TEMA 3: ESTIMACIÓN PUNTUAL.

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1 TEMA 3: ESTIMACIÓN PUNTUAL FUNDAMENTOS. La fereca estadístca proporcoa u método objetvo que establece reglas base para crtcar, rechazar y aceptar "tems" de formacó cetífca cuado prevalece codcoes de certdumbre. De esta forma, se puede extraer coclusoes (co certdumbre valorada medate probabldad s se aplca prcpos y reglas objetvables) sobre ua poblacó utlzado como matera prma la formacó muestral. Ua fereca es ua extesó de lo partcular a lo geeral. La fereca ductva es u proceso co resgo ya que ua fereca ductva exacta es mposble. Ua clara aplcacó se tee sobre la realdad ecoómca de la que se estuda problemas cocretos para mejorar el coocmeto de certas poblacoes (grades grupos de dvduos, mles o mlloes) medate ecuestas que recoge formacó de ua muestra (pequeños grupos de dvduos extraídos de la poblacó, cetos). Los procedmetos empleados puede clasfcarse e fucó del objetvo de la fereca e métodos paramétrcos (se desea evaluar los parámetros poblacoales descoocdos) y métodos o paramétrcos (se desea coocer otra característca de la poblacó). Los procedmetos empleados puede clasfcarse segú la técca ferecal e Estmacó y Cotraste de Hpótess. La Estmacó asga valores a parámetros: s asga u úco valor es Estmacó Putual y s asga u tervalo es Estmacó por Itervalos. El Cotraste de Hpótess establece ua regla de rechazo o aceptacó de certa afrmacó o hpótess, sobre los parámetros poblacoales o sobre otro aspecto poblacoal o paramétrco, medate prueba basada e formacó muestral. Los procedmetos empleados puede clasfcarse segú el tpo de formacó que utlza e métodos cláscos (los parámetros se cosdera valores fjos pero descoocdos) y métodos bayesaos (los parámetros se trata como s fuera varables aleatoras). Este tema dedcado a la Estmacó Putual se preseta co efoque cláscos (utlzado sólo formacó muestral y cosderado los parámetros valores fjos descoocdos), sguedo u método paramétrco (se teta evaluar algú parámetro poblacoal descoocdo), y se cetra e la técca de Estmacó Putual (asga u úco valor al parámetro poblacoal descoocdo).

2 Se pretede asgar u valor a u parámetro poblacoal. El parámetro es u valor represetatvo de ua poblacó (vsó geeralsta o descrptva). Desde ua vsó más formal o ferecal, es u valor que defe ua famla de objetos matemátcos o modelos de probabldad. Esto es, es u valor asocado a la poblacó, etedda como varate, que permte fjar el modelo estocástco. Hay modelos co u parámetro (uparamétrco) como B(,p),, t o Posso ; modelos co dos (bparamétrcos) como B(,p), U(a,b), N(µ, ) o F m, ; y modelos co más de dos parámetros. Para coocer el parámetro se utlza los estmadores. El Estmador será u estadístco (cualquer fucó muestral) dedcado al coocmeto de u parámetro poblacoal descoocdo (útl para estmar). El parámetro es ua característca de la poblacó, la formacó sobre la poblacó se trasmte a la muestra medate el proceso de muestreo, la muestra es resumda (mateedo la formacó relevate o mportate) por el estadístco, el estadístco seleccoado por sus cualdades se emplea para estmar y se deoma estmador. De esta forma, parámetro y estmador está coectados o relacoados. Además, se tee que el estmador será ua varable aleatora ates de obteer la muestra cocreta (a pror) y será u valor o cocrecó de la varable aleatora después de obteer la muestra (a posteror). E la gra mayoría de las ocasoes los parámetros poblacoales a estmar so, como es lógco, los más mportates: la meda y la varaza. Por ello, parece de setdo comú que la meda muestral, la varaza muestral y la cuasvaraza muestral sea estadístcos relevates (por aalogía) o estadístcos estmadores cuya dstrbucó de probabldad e el muestreo ecesta ser coocda por su ampla utlzacó (por eso se estuda e el tema ateror). Así se puede platear las sguetes estmacoes putuales: Parámetro poblacoal Meda µ Varaza σ Proporcó p Estmador Estmacó x µ x σ S ( ) s ( x x úmeroéxtos p x p úmeropruebas )

3 Para la eleccó de estos estmadores putuales la base ha sdo, prcpalmete la tucó y la posble aalogía de los parámetros poblacoales co sus correspodetes valores muestrales, pero éste o será el método más adecuado para la obtecó de estmadores putuales, auque e este caso se obtee estmadores satsfactoros para los parámetros poblacoales. E geeral, el problema de obteer estmadores putuales o será ta secllo, por ello se emplea las propedades que sería deseables que se cumplera por los dferetes estmadores putuales obtedos, auque o exste u mecasmo o método úco que os permta obteer el mejor estmador putual e todas las crcustacas. Resumedo, el proceso de estmacó putual sería:.- Se tee ua poblacó que preseta parámetro o parámetros descoocdos (por ejemplo ua poblacó ormal de meda descoocda y varaza 4)..- Se platea asgar u úco valor al parámetro o parámetros descoocdos (por ejemplo teresa dar u úco valor a la meda poblacoal). 3.- Se plafca u muestreo probablístco, e este curso sempre m.a.s., para obteer ua muestra,..., ) (por ejemplo m.a.s. de tamaño 4 ). ( 4.- Se seleccoa co algú crtero u estadístco estmador (,..., ) que a pror es ua varable aleatora (por ejemplo la varate meda muestral). 5.- Se obtee la muestra cocreta x x,..., x ) tras efectuar el muestreo (por ejemplo x, x, x 3, x 4 ). ( 6.- Se susttuye e el estadístco estmador la muestra obteda ( x,..., x ) que a posteror es ua cocrecó o suceso deomado estmacó putual (por ejemplo la x,5 ) Esa estmacó putual es el valor cocreto que se asga al parámetro poblacoal descoocdo. Se debe destacar que cuado se partcularza el estmador para ua muestra cocreta o se sabe s la estmacó obteda está próxma al verdadero valor del parámetro: esto es debdo a la aleatoredad del muestreo y al carácter sempre

4 descoocdo del verdadero valor del parámetro poblacoal (segú el efoque de la fereca clásca). Para cosegur, al meos, ua técca objetva y buea de estmacó putual se debe garatzar que los estadístcos estmadores cumple propedades deseables. Por eso se estuda las propedades adecuadas para los estmadores: sesgo (el estmador e meda es el parámetro a estmar o esperaza del estmador cocde co el valor del parámetro descoocdo), efceca (el estmador tee poca varabldad o mmzacó de la varaza del estmador), cossteca (estmacoes mejores cuato mayor sea el úmero de udades observadas o covergeca e probabldad), sufceca (el estadístco cotee toda la formacó muestral relevate respecto del parámetro descoocdo), robustez (cambos e las hpótess de comportameto poblacoal o afecta al estmador), etc. Ahora be, cómo seleccoar los estmadores más adecuados para luego evaluar sus propedades?. Cualquer fucó de la muestra es u posble estmador y so ftas las posbldades. El problema es mayor cuado exste muchos estmadores que pueda ser objeto de estudo. El crtero de aalogía tee ua débl justfcacó formal. Debe emplearse métodos para costrur a pror bueos estmadores (sólo el mejor o uos pocos mejores), auque a posteror se compruebe s cumple las propedades deseables. Coclusó: se ecesta dspoer de métodos objetvos para costrur estmadores que permta obteer, de etre los ftos estmadores, los más razoables. Los métodos propuestos sumstrará uos estmadores que cumplrá, al meos, certas deseables propedades. Exste varos métodos de estmacó, etre ellos: mometos y máxma verosmltud MÉTODO DE LOS MOMENTOS. Idea tutva. Como la muestra es ua mage o represetacó a escala de la poblacó, los mometos muestrales debe ser guales a los poblacoales. Iformacó utlzada. Se basa e el coocmeto drecto que se tee de la dstrbucó poblacoal a través de los mometos poblacoales. Es u método smple

5 y aplcable a muchas stuacoes. A veces puede llevar a resultados compatbles co la poblacó estudada dado que o utlza toda la formacó del modelo poblacoal. Método. El método cosste e establecer ua gualdad etre mometos muestrales y poblacoales (respecto del orge). Los mometos poblacoales, e geeral, estará e fucó de los parámetros descoocdos. Se platea tatas ecuacoes como cógtas (úmero de parámetros poblacoales descoocdos) co el f de llegar a u sstema de ecuacoes completo compatble que permta obteer la estmacó de los parámetros como resultado del sstema de ecuacoes. α (,..., ) a α (,..., ) a... α (,..., ) a k k k k k ) (,..., k ) Justfcacó. Este procedmeto de estmacó se justfca, sguedo el teorema de Ktche, por la covergeca e probabldad de los mometos muestrales a los poblacoales (supuesta la..d. de las varates que se tee e los elemetos de la muestra) y e que los mometos muestrales respecto del orge so estmadores sesgados de los mometos poblacoales respecto del orge. Propedades. E cuato a las propedades del estadístco estmador es claro que s se estma u mometo respecto del orge de la dstrbucó poblacoal se llega a que el estmador es sesgado. Por el mecoado teorema de Ktche, s se estma u mometo respecto del orge de la dstrbucó poblacoal se tee estmacoes cosstetes y co el teorema de Ldeberg-Lev se comprueba la ormaldad astótca. S se cosdera e geeral (o ecesaramete estmado u mometo poblacoal), los estmadores so cosstetes pero o so cetrados (sesgados) de varaza míma. La mayor vetaja es su smplcdad. La mayor desvetaja es que o cosdera toda la formacó dspoble sobre la dstrbucó poblacoal y sobre la muestra (sólo utlza los mometos), por ello puede llegar a sumstrar estmacoes claramete malas.

6 EJEMPLO. Hallar, por el método de los mometos, el estmador del parámetro de ua poblacó, supuesto que se extrae ua m.a.s. de tamaño, sabedo que la fucó de desdad poblacoal es: f ( x) f ( x, ) x 0, > 0. + ( + x) Como sólo hay u parámetro descoocdo se platea ua ecuacó co ua cógta: prmer mometo poblacoal co respecto al orge (que es fucó de ) se guala a prmer mometo muestral co respecto al orge). α ( ) a + x ( + x) + x dx x Al despejar se obtee el estmador x MÉTODO DE MÁIMA VEROSIMILITUD. Verosmltud. Covee troducr el cocepto de verosmltud y la fucó de verosmltud como strumeto básco para ferecas e grades muestras. La verosmltud dcará la cofaza que se tee e la estmacó o fereca sobre u parámetro atededo a la formacó coteda e la muestra (segú la fucó de verosmltud) y cosderado que habtualmete sucede lo más probable. Co base e el coocmeto que se tee (o se supoe váldo) de la dstrbucó de probabldad poblacoal se costruye la fucó de verosmltud para expresar medate ésta la posbldad u orde de prefereca e cuato al valor cocreto que pueda tomar el parámetro descoocdo. E el caso dscreto, se obtee la fucó de verosmltud como probabldad de la muestra pero etedda como fucó del parámetro (la varable de la fucó es el parámetro). Dada ua m.a.s. x(x,x,,x ) y la fucó de probabldad poblacoal P ( x, ) se llega a ua fucó de verosmltud defda como proporcoal a la probabldad de aparcó de la muestra codcoada al parámetro

7 L ( ; x) L( / x) kp( / x). La probabldad de la muestra es x ) P( x)... P( x) P( j x j ) P( x j ) j j P( x) P( y la fucó de verosmltud (elmado la costate del efecto escala o udades muestrales) es L(x,...,x, ) P( x, ) P( x, )... L(x,...,x, ) P( x, ) P( x, ) E el caso cotuo, se obtee la fucó de verosmltud como desdad de la muestra pero etedda como fucó del parámetro (la varable de la fucó es el parámetro). Dada ua m.a.s. x(x,x,,x ) y la fucó de desdad poblacoal f ( x, ) se llega a ua fucó de verosmltud defda como proporcoal a la desdad de aparcó de la muestra codcoada al parámetro L ( ; x) L( / x) k f ( / x). La desdad de la muestra es f ( x) f ( x ) f ( x)... f ( x) f ( x j ) f ( x j j) j j y la fucó de verosmltud (elmado la costate del efecto escala o udades muestrales) es L(x,...,x, ) L(x,...,x, ) f (x, ) f (x, )... f ( x, ) f (x, ) E el caso dscreto, la probabldad muestral (probabldad de ua muestra cocreta) se obtee e muestreo aleatoro smple como producto de las probabldades de cada elemeto muestral (probabldad de u elemeto muestral cocreto). E el caso cotuo se utlza los valores referdos a la fucó de desdad. La fucó de verosmltud L expresa cómo varía la dstrbucó de probabldad de ua varate cuado el parámetro toma dferetes valores. La fucó de verosmltud es fucó del parámetro cosderado fja la muestra. S se maxmza la fucó de verosmltud respecto, el máxmo se obtee para u valor del parámetro que asegura que la muestra dada era la muestra más probable.

8 L MV Ate ua muestra cocreta, permte elegr o dcar prefereca etre dos parámetros: f s L / ) > L( / ). ( De hecho, toda la formacó relevate de la muestra que permte elegr etre dos parámetros se ecuetra e la razó de verosmltud o cocete de las verosmltudes (se elma el efecto escala o udades de los elemetos muestrales que aparece al corporar los valores muestrales obtedos): λ ( ) L( / ). L( / ) S λ ( ) > se prefere el parámetro del umerador, s λ ( ) < se prefere el parámetro del deomador, y s λ ( ) hay dfereca (o prefereca). Co grades muestras, tal como se tee e muchos casos empírcos reales, la verosmltud tee tutvamete mucha mportaca. Idea tutva. Habtualmete sucede lo más probable, co lo que la muestra cocreta se ha obtedo porque presetaba la máxma probabldad. De forma más tutva se puede decr que habtualmete sucede lo más probable y se tee o da los valores muestrales más probables (cuato mayores sea los tamaños muestrales mejores será las estmacoes ya que pesa más la muestra y más adecuada será esta dea tutva). Iformacó utlzada. Co el método de máxma verosmltud, la estmacó putual se basa e el coocmeto drecto de la dstrbucó de probabldad poblacoal que se tee a través de la fucó de cuatía o de desdad. Co base e el coocmeto que se tee (o se supoe váldo) de la dstrbucó de probabldad

9 poblacoal se costruye la fucó de verosmltud para expresar medate ésta la posbldad u orde de prefereca e cuato al valor cocreto que pueda tomar el parámetro descoocdo. Método. El método cosste e obteer el valor del parámetro (detro del espaco paramétrco) que maxmza la fucó de verosmltud. Para facltar los cálculos se recurre al logartmo eperao de la fucó de verosmltud (deomado fucó soporte) ya que, auque proporcoa u máxmo dstto, éste se ecotrará e el msmo puto (o valor estmador del parámetro): l L( ; ) máxl L( ; ). Θ E la práctca es más fácl maxmzar el logartmo de la fucó de verosmltud (maxmzar la deomada fucó soporte). E resume: se parte de ua muestra (m.a.s.) y de ua poblacó co fucó de probabldad coocda, se costruye la fucó de verosmltud, se toma logartmo y se halla la fucó soporte, se busca el valor del parámetro que hace máxmo el valor de la fucó (s dferecable codcoes de prmer y segudo orde). Ese valor del parámetro es el estmador s se deja e fucó de los valores muestrales y es la estmacó putual s se susttuye los valores cocretos de la muestra dada. Justfcacó. Este procedmeto de estmacó se justfca por el prcpo de verosmltud. El prcpo de verosmltud matee que las ferecas sobre el parámetro efectuadas co la muestra so las msmas que las realzadas co la fucó de verosmltud y que el cálculo de esta fucó de verosmltud supoe ua reduccó del espaco muestral. Propedades. El método de máxma verosmltud tee gra mportaca debdo a las adecuadas propedades astótcas que preseta. Esto es, co grades muestras, tal como se tee e muchos casos empírcos reales, los estmadores de máxma verosmltud tee teresates propedades. So astótcamete sesgados y cosstetes, s exste u estmador efcete es el obtedo por máxma verosmltud, sempre se llega a la ormaldad y efceca astótcas, s u parámetro tee u estadístco sufcete el estmador máxmo-verosíml es fucó del mecoado estadístco, y la estmacó máxmo-verosíml es varate ate ua trasformacó del parámetro.

10 EJEMPLO. Hallar, por el método de máxma verosmltud, el estmador del parámetro de ua poblacó, supuesto que se extrae ua m.a.s. de tamaño, sabedo que la fucó de desdad poblacoal es: f ( x) f ( x, ) x 0, > 0. + ( + x) Para obteer el estmador se comprueba que e el eucado se da m.a.s. y fucó de probabldad poblacoal coocda (e este caso fucó de desdad por ser varate poblacoal cotua). Se costruye la fucó de verosmltud y se toma logartmo para hallar la fucó soporte L(x,...,x, ) ( x, ) ( + x ) ( + x ) Se busca el valor del parámetro que hace máxmo el valor de la fucó (prmera dervada respecto al parámetro gual a cero y seguda dervada respecto al parámetro evaluada meor que cero) Ese valor del parámetro es el estmador ya que se deja e fucó de los valores muestrales. S tuvéramos muestra cocreta dada se llega a la estmacó putual susttuyedo. L L(x,...,x, ) L ( + ) L L(x,...,x, ) L f ( + x ) L L(x,...,x, ) L L ( + x ) < Defceca de cualquer estmacó putual. Auque co la estmacó putual es posble costrur u estmador adecuado e cuato a cumplmeto de propedades deseables, cuado se partcularza el estmador para ua muestra cocreta o se sabe s la estmacó obteda está próxma al verdadero valor del parámetro (las propedades estudadas para los estmadores garatza u bue comportameto

11 probablístco de éstos pero o permte efectuar gua afrmacó sobre las estmacoes partculares). Esto es debdo a la aleatoredad del muestreo y al carácter sempre descoocdo del verdadero valor del parámetro poblacoal (segú el efoque de la fereca clásca). E el tema de estmacó por tervalos se propodrá ua solucó a este problema: cada estmacó putual se debe acompañar de u tervalo de cofaza.