Contraste de Hipótesis

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1 Cotraste de Hpótess 1. Se quere comprobar s ua muestra de tamaño 0 co meda 10 procede de ua poblacó N(14,3) co el vel de sgfcacó 0,05..- E ua propagada se auca que uas determadas plas proporcoa más horas de luz que las ormales. Doce persoas decde comprarlas y los resultados obtedos so los sguetes: Idvduo Varacó 0, 0 1 0,6-0,5-0,6-1 0,6 1 0,5-0,4-0,5 Se puede admtr, teedo e cueta estos datos, que el auco es correcto? 3.- Se teta comparar dos métodos de eseñaza y para ello se seleccoa ua muestra de 50 dvduos. A 0 persoas se les aplca el método A y a las otras 30 el B. Al cabo de u año los aumetos e coocmeto ha sdo los sguetes A 0; x A 5;SA 1, ; B 30; x B 3;S B 0,9. Cotrastar la hpótess de gualdad de varazas y de gualdad de medas al 95%. 4.- De 1000 famlas co 5 hjos cada ua se ha aalzado la dstrbucó de la varable X = úmero de hjos varoes, obteédose los sguetes resultados: X Nº de famlas Se puede afrmar que la varable X sgue ua dstrbucó bomal B(5,p)? 5.- U tpógrafo asegurar que el úmero medo de errores por pága que comete es, metras el edtor sospecha que es mayor. Supoedo que el úmero de errores por pága sgue ua dstrbucó de Posso y que e ua muestra de 00 págas se ecotraro 450 errores, especfcar las hpótess ula y alteratva del cotraste y realzar el cotraste co u vel de sgfcacó del 5%. 6.- U fabrcate de bolsas de plástco asegura que el 95% de sus bolsas resste 6 kg o más. Se toma 40 de estas bolsas al azar y se llea co 6 kg rompédose 6 de ellas. Exste evdeca estadístca para rechazar la afrmacó del fabrcate? 7.- Se sabe que la reta aual de los dvduos de u país sgue ua dstrbucó ormal de meda descoocda y de desvacó típca Se ha observado la reta aual de 16 dvduos escogdos al azar y se ha obtedo u valor medo de euros. Cotrastar, a u vel de sgfcacó del 5%, s la meda de la dstrbucó es de de euros. 8.- Se aplca u certo test de memora a estudates de dos uversdades dferetes. Los resultados sgue ua dstrbucó ormal co desvacó típca 33,5 para la prmera uversdad y para la seguda 38,. Se toma ua muestra aleatora smple de 18 alumos de la prmera uversdad y de 5 alumos de la seguda; las medas muestrales obtedas so, respectvamete, 183,7 y 165,4. a) So estos datos sgfcatvos de ua dfereca de memora etre los alumos de ambas uversdades? (Cosderar u vel de sgfcacó del 0,05) b) Calcular el p-valor e terpretarlo. Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M 1

2 Cotraste de Hpótess 9.- Se ha recogdo los sguetes datos de ua poblacó: X Podemos admtr que sgue ua dstrbucó de Posso? 10.- Se quere comprobar s exste algua relacó etre las calfcacoes de los alumos e el tpo de asgaturas superadas. Para ello se ha tomado ua muestra co alumos de las tres asgaturas sguetes: Aprobado Notable Sobresalete Total Geomátca Matemátcas Físca Total Cotrastar la depedeca co el test de la Ch-cuadrado. Qué ocurre s cosderamos sólo las asgaturas de Matemátcas y Físca? 11.- El vel medo de errores e velacó es de 0 errores/100 tramos. Se estuda 40 velacoes e las que se sabe se ha cometdo errores. Los resultados so: x = 18.5 err./100 tr. y s = 4 err/100 tr. a) Itervalo de cofaza del 95% del vel medo de errores e las 40 velacoes. b) Es la muestra comparable co la poblacó co u vel de sgfcacó 005.? 1.- Queremos cotrastar la hpótess H 0 : la duracó meda de los motores de ua determada marca es km. Para ello se toma ua muestra de 9 motores de automóvles, obteédose ua meda de km y ua varaza muestral S =(30.000). Estudar s debemos aceptar la hpótess H 0 co u vel de cofaza del 95% S el coefcete medo de telgeca de la poblacó uverstara de la U.P.M. es 95 y =14, y se extrae ua muestra de 49 estudates de esa poblacó. a) Qué probabldad hay de que resulte ua meda muestral gual o feror a 9? b) Hallar u tervalo de cofaza al 95% para la meda de la poblacó uverstara, para la muestra de meda 9. c) Podemos aceptar la hpótess de ser la meda 95, 14.- Se prueba 1 pezas de u materal A resultado u desgaste medo de 85 udades co ua desvacó típca de 4. Por otra parte 10 pezas de u materal B produce uos resultados de 81 udades y ua desvacó típca de 5. a) Comprobar que las varazas poblacoales so guales a u vel de sgfcacó de 0,1. b) Podemos coclur co u vel de sgfcacó del 0,05 que el desgaste del materal A excede el del materal B e más de udades? Supoga que las poblacoes so ormales. Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M

3 Cotraste de Hpótess 15.- E meddas de águlos co u certo teodolto, u topógrafo asegura que la varaza que obtee es gual o meor que 5. Se le poe a prueba y se le hace 0 determacoes, obteédose ua varaza de 6. S la varable medda del águlo es ormal. Se pde: a) Itervalo de cofaza del 99% para la varaza obteda. b) Aceptamos su aseveracó a u vel de sgfcacó 0,01? 16.- Se tabula los errores de cerre e velacó obtedos e 1000 polígoos. Se puede admtr que el error de cerre se dstrbuye ormalmete? Cotrastar la bodad del ajuste medate la co α=0,05. error de cerre de polígoos 0-0,1 64 0,1-0, 4 0,-0, ,3-0,4 38 0,4-0, La sguete tabla cotee los datos de dos muestras de tamaño 50. Podemos admtr que tee la msma dstrbucó utlzado el estadístco de Pearso y calculado el p-valor? 1ª muestra ª muestra A la vsta de los datos que aparece e la tabla adjuta, obtedos después de ua ecuesta realzada para ver s la edad tee flueca e los errores cometdos por los observadores. Se puede admtr que el cometer errores es depedete de la edad? Edad Cometer error < > No cometer error Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M 3

4 Cotraste de Hpótess 19.- Se quere comparar la vda útl de dos tpos de bateras para movles, para ello obteemos muestras de tamaño 9 de cada tpo, obteedo los sguetes resultados A 9;xA 5;SA 1,;B 9;xB 3;SB 0,9. Cotrastar la hpótess de gualdad de medas al 95% supoedo que la varaza es descoocda pero gual para las dos muestras. 0.- Al calcular cco veces la dstaca etre dos putos, obteemos los sguetes valores: 170,13m; 170,1m; 170,m; 170,65m; 170,4 Se pde: a) Itervalo de cofaza del 80% para la meda. b) Cuál será el úmero de medcoes ecesara para que el error sea feror a 0,1 m co u vel de sgfcacó de 0,? c) Itervalo de cofaza del 90% para la varaza obteda. d) S la varable medda del águlo es ormal aceptamos ua desvacó típca feror a 0,1 m co u vel de sgfcacó 0,1? 1.- Se ha observado u águlo cco veces, obteédose los sguetes valores: 65º5 ; 65º33 ; 65º3 ; 65º8 ; 65º7 Se pde: a) Itervalo de cofaza del 95% para la meda del águlo observado. b) Cuál será el úmero de observacoes ecesara para que el error sea feror a 1 muto co u vel de sgfcacó de 0,05? c) Itervalo de cofaza del 99% para la varaza obteda. d) S la varable medda del águlo es ormal aceptamos ua desvacó típca feror a mutos a u vel de sgfcacó 0.01? Escrbr la regó crítca..- Se quere comprobar s es certo que u uevo modelo de automóvl cosume 5,7 ltros por cada 100 km a 90 km/h tal y cómo afrma e su propagada. Para ello se realza 10 recorrdos de 100 km a dcha velocdad, co los sguetes cosumos: 5,8; 6,3; 6; 5,5; 6,1; 6,5; 5,5; 7; 6,8; 5,7 Se pde: a) Itervalo de cofaza para la meda obteda co u vel de sgfcacó del 0,05. b) Se puede aceptar la afrmacó del fabrcate al 95%? 3.- U jugador afrma que los dos dados que utlza o está trucados. Para comprobar esta afrmacó, se laza los dos dados 360 veces y se aota la suma de los resultados. Dchas sumas se muestra e la sguete tabla, juto co su probabldad correspodete (para facltar la comparacó). Suma FRECUENCIA PROBABILIDAD OBSERVADA 11 1/ / / / / /36 Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M 4

5 Cotraste de Hpótess 8 5 5/ / / / /36 Para poder decdr s los dados está trucados o o, realzar u cotraste Deberíamos jugar co estos dados?. 4.- Durate 50 días se ha observado la varable úmero daro de cacelacoes de cuetas e ua sucursal bacara aotádose la sguete tabla de frecuecas: Nº Frecuecas cacelacoes observadas Sumas 50 Cotrastar el hecho de que la dstrbucó es de Posso de parámetro λ= Para curar ua efermedad se sabe que exste cuatro tratametos dferetes. Aplcados por separado a uos grupos de efermos se ha observado los resultados sguetes: Tratameto Curados No Curados A B 45 8 C D 8 6 Total Se puede asegurar que la efcaca de los cuatro tratametos es la msma, co u vel de sgfcacó del 95%? 6.- S el coefcete medo de telgeca de la poblacó uverstara de la U.P.M. es 95 y =14, y se extrae ua muestra de 49 estudates de esa poblacó y el resultado de la varaza muestral S =100. Podemos coclur co u vel de sgfcacó del 0,05 que la varaza es meor de 14? 7.- Se lleva a cabo u expermeto para comparar el desgaste por abrasvo de u materal lamado. Se prueba 1 pezas del materal medate la exposcó de cada peza a ua máqua para medr la profuddad del desgaste. La muestra da u desgaste medo de 53 udades co ua desvacó estádar muestral de 4. Supogamos que la poblacó es aproxmadamete ormal co varaza descoocda. a) Podemos coclur co u vel de sgfcacó del 0,05 que el desgaste abrasvo medo del materal es meor de 50 udades? b) Se justfca la suposcó de varaza gual a 10 co u vel de sgfcacó de 0,1. Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M 5

6 Cotraste de Hpótess 8.- Al realzar u muestreo aleatoro co 100 alumos de la U.P.M para estudar la estatura de los alumos de esta Uversdad, se obtuvero los sguetes resultados agrupados e tervalos de ampltud 10 cm, así como los parámetros de la muestra X 1.77 y S = meos de más de.1 0 Cotrastar la hpótess, La muestra obteda sgue ua dstrbucó ormal N( X 1.77, S = ) a) Obteer el p-valor y dar su terpretacó. b) Para u vel de sgfcacó 005. calcular el valor crítco. c) Se acepta el ajuste para u vel de sgfcacó 005.? 9.- Para cotrastar que la esperaza matemátca µ de ua dstrbucó Normal es 10, se toma ua muestra de tamaño 16 y se rechaza la hpótess e el caso e que la meda muestra sea mayor que 10, aceptádose e caso cotraro. Sabedo que la desvacó típca de la poblacó es σ= y habedo obtedo ua meda muestral de 11. Calcular el p-valor y decdr s se acepta la hpótess de que la meda de la poblacó es µ< Para los sguetes datos x Se pde: Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M 6

7 Cotraste de Hpótess a) Calcular las respectvas frecuecas teórcas correspodetes a ua dstrbucó Bomal de parámetros =3 y p=0,53, es decr, p=p(x=x) b) Hallar el valor del estadístco de cotraste: D p c) Estudar la Bodad del ajuste para u vel de sgfcacó α=0,05 p 31.- Supoedo ua poblacó ormal co meda 50 y desvacó típca 8. Para ua muestra de tamaño 9, cuál es la probabldad de que: a) La meda muestral sea superor a 55? b) La desvacó típca muestral sea superor a 10? 3.- Segú u estudo sobre los hábtos de cosumo de las famlas de la Comudad de Madrd, el gasto mesual e productos de marcas blacas de las famlas puede cosderarse segú ua varable aleatora X co ley Normal de desvacó típca 50 euros. Los datos sguetes correspode a ua muestra aleatora smple de tamaño = 10 famlas: Famla Gasto a) Qué estmacó del gasto medo mesual se obtee co u estmador sesgado? b) Calcula u tervalo de cofaza al 95% para el gasto medo mesual e productos de marcas blacas de las famlas de la Comudad de Madrd. c) S queremos trabajar co veles de cofaza del 90%, obtedríamos u tervalo más o meos) amplo que el calculado aterormete? 33.- Se sabe que la demada dara de u producto fabrcado por certa empresa sgue ua dstrbucó ormal. Se toma ua muestra aleatora smple de la demada regstrada e 10 días dsttos, obteédose ua meda muestral gual a 3,5 y ua desvacó típca muestral (o cuasdesvacó típca) gual a 0,9. Se pde: a) U tervalo de cofaza al 95% para la meda de la demada dara de dcho producto. b) El pla de produccó de la empresa está basado e la suposcó de que la demada meda dara del ctado producto es como mímo gual a 4. Cotrastar esta hpótess, al vel de sgfcacó de 0, Se supoe que el retraso de los trabajadores de ua empresa es, por térmo medo, de 5 mutos; para cotrastar dcha hpótess se seleccoó al azar ua muestra de 10 empleados y se mdó su retraso: 0.1,, 7, 5.6, 7.4, 5.1, 6.1, 6, 4.5 y 9. Utlzar el p- valor. Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M 7

8 Cotraste de Hpótess 35.- La sguete tabla de cotgeca cotee datos sobre el gasto mesual e llamadas telefócas (e euros) y el sexo de 500 ecuestados: Gasto Hombres Mujeres [0,6) [6,1) 4 6 [1,30) [30,60) [60,10] 8 Justfcar s es certo que el gasto mesual medo de los hombres es superor al de las mujeres co u vel de sgfcacó del 5% Se puede admtr la dstrbucó uforme de valores agulares e ua tragulacó de prmer orde de u país e la que se ha tomado ua muestra de tamaño 100 y se ha obtedo los sguetes resultados? Utlzar el p-valor. Meddas agulares < >70 3 frecuecas observadas 37.- U proceso dustral fabrca pezas cuya logtud e mlímetros se dstrbuye segú ua Normal de meda 190 y desvacó típca 10. Ua muestra de 5 pezas proporcoa los resultados sguetes: 185, 00, 186, 197 y 185. Utlzado u vel de sgfcacó del 0,05, se pde: a) Cotrastar la hpótess de que la meda del proceso es 190. b) Cotrastar la hpótess de la varaza del `proceso es Se quere cotrastar la hpótess ula ua moeda de u euro está be equlbrada, y que por tato, cara y cruz so equprobables; para ello se realza 100 lazametos de ua moeda de u euro y se observa 63 caras y 37 cruces. Cotrastar la hpótess utlzado el test de co u vel de sgfcacó de 0,05. Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M 8

9 Cotraste de Hpótess 1.- Se quere comprobar s ua muestra de tamaño 0 co meda 10 procede de ua poblacó N(14,3) co el vel de sgfcacó 0,05. Solucó: Se trata de u cotraste de hpótess para la meda de ua poblacó ormal de varaza coocda: H 0 : 14 H: 1 14 X 0 Sabemos que: Z N(0,1) / El valor del estadístco Z bajo la hpótess ula es: X Z 5,96 / 3/ 0 Para =0,05 e la N(0,1) teemos que: Pz/ Z z/1 PZ 1,96 0,975 z0,05 1,96 Como el valor de uestro estadístco Z bajo la hpótess ula cae fuera de la regó de aceptacó ( Z z /), RECHAZAMOS la hpótess ula, y por tato la muestra o procede de dcha poblacó. Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M 9

10 Cotraste de Hpótess.- E ua propagada se auca que uas determadas plas proporcoa más horas de luz que las ormales. Doce persoas decde comprarlas y los resultados obtedos so los sguetes: Idvduo Varacó 0, 0 1 0,6-0,5-0,6-1 0,6 1 0,5-0,4-0,5 Se puede admtr, teedo e cueta estos datos, que el auco es correcto? Solucó: Realzamos la hpótess ula de que o proporcoa más horas de luz que las ormales. H 0 : 0 H: 1 0 Datos: 1; x 0,075 ; S 0,67; 0.05 x 0 0,075 0 t= S / 0,67 / 1 Calcularemos el p-valor p 1P 0,3866 t 0,3866 P 0,3866 t 0, DERIVE: #1: (1-(STUDENT(0.3866, 11)) #: EXCEL: =DISTR.T.(0,3866;11;) 0, SPSS: (1-CDF. T(0.3866,11)) 0,7 Podemos aceptar la hpótess ula, para cualquer valor de < 0,7 y e cosecueca la propagada es falsa. Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M 10

11 Cotraste de Hpótess 3.- Se teta comparar dos métodos de eseñaza y para ello se seleccoa ua muestra de 50 dvduos. A 0 persoas se les aplca el método A y a las otras 30 el B. Al cabo de u año los aumetos e coocmeto ha sdo los sguetes A 0; x A 5;SA 1, ; B 30; x B 3;S B 0,9. Cotrastar la hpótess de gualdad de varazas y de gualdad de medas al 95%. Solucó: Debemos e prmer lugar cotrastar la hpótess de gualdad de varazas H 0: A B H: 1 A B S A F,F S 1,A1,B1,A1,B1 B SA F 0.975,19,9,F0.05,19,9 0.4,.3 SB 0.9 EXCEL: =DISTR.F.INV(0,975;19;9)0,41633; =DISTR.F.INV(0,05;19;9),3175 SPSS: IDF.F(0.975,19,9).4;IDF.F(0.05,19,9).3 0,4 < 1,78 <,3 y por tato aceptamos la hpótess de varazas guales. Cotrastamos ahora la gualdad de medas de dos poblacoes ormales de varazas descoocdas pero guales y muestras pequeñas. H 0 : A B A B 0 H: 1 A B A B 0 xa xb El estadístco de prueba es: t sedo 1 1 S A B (A 1)S A (B 1)S B S co lo cual ( A 1) ( B 1) 19 9 xa xb y para =0.05, t 0.05,48 = S A B 0 30 EXCEL: =DISTR.T.INV(0,05;48), SPSS:IDF.T(0.975,48).01 Como 6.73 > RECHAZAMOS la hpótess de gualdad de medas. Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M 11

12 Cotraste de Hpótess 4.- De 1000 famlas co 5 hjos cada ua se ha aalzado la dstrbucó de la varable X = úmero de hjos varoes, obteédose los sguetes resultados: X Nº de famlas Se puede afrmar que la varable X sgue ua dstrbucó bomal B(5,p)? Solucó: Prmeramete debemos estmar el valor del parámetro p, hacemos X,5 Xpp 0,5 5 Observado ua dstrbucó B(5,0.5) y multplcado por 1000, obteemos el úmero de famlas segú la dstrbucó teórca (esperadas). X p p p p k D 1,59 1 ( p ) p utlzado el p-valor: DERIVE: 1 - CHI_SQUARE(1.59,4)= > EXCEL: = DISTR.CHI(1,59;4) 0,810588> SPSS: 1 - CDF.CHISQ(1.59,4).81> Para = 0,05 P( ) ,49 sedo D = 1,59 meor que 005. aceptamos la hpótess de ser el ajuste bueo. La dfereca etre la dstrbucó empírca y la ley de la dstrbucó bomal o es sgfcatva. Aceptamos el ajuste para todo vel de sgfcacó meor que 0, Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M 1

13 Cotraste de Hpótess 5.- U tpógrafo asegurar que el úmero medo de errores por pága que comete es, metras el edtor sospecha que es mayor. Supoedo que el úmero de errores por pága sgue ua dstrbucó de Posso y que e ua muestra de 00 págas se ecotraro 450 errores, especfcar las hpótess ula y alteratva del cotraste y realzar el cotraste co u vel de sgfcacó del 5%. Solucó: La varable aleatora X= úmero de errores por pága =P() H 0 : H: Para realzar el cotraste se extrae ua muestra x, x,..., x co = La varable Y X1X... X que represeta el úmero de errores e págas, sgue ua dstrbucó aproxmadamete Normal (Teorema Cetral del Límte) Y EY Y NEY, VY N(0,1) VY Etoces: E Y E X... X V Y V X 1... X V X 400 Y EY Z,5 VY 400 Para =0,05 e la N(0,1) teemos que: P Z z 1 P Z 1,6448 0,95 z 1,6448 0,05 Como el valor de uestro estadístco Z bajo la hpótess ula cae fuera de la regó de aceptacó (,5>1,64), se RECHAZAMOS la hpótess ula y se puede coclur que el úmero de errores por pága es superor a. DERIVE: #1: NSOLVE(NORMAL(λ) = 0.95, λ, Real) #: λ = EXCEL: =DISTR.NORM.INV(0,95;0;1) SPSS: IDF. NORMAL(0.95, 0,1) 1,64 Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M 13

14 Cotraste de Hpótess 6.- U fabrcate de bolsas de plástco asegura que el 95% de sus bolsas resste 6 kg o más. Se toma 40 de estas bolsas al azar y se llea co 6 kg rompédose 6 de ellas. Exste evdeca estadístca para rechazar la afrmacó del fabrcate? Solucó: Establecemos la proporcó de bolsas rotas de uestra muestra e p y =40, sedo X= úmero de bolsas que se rompe tedremos ua dstrbucó Bomal de parámetros y p que ajustaremos a ua dstrbucó Normal; e uestro caso: X Np, p(1 p) N 40p, 40p(1 p) H 0 :p 0,05 Plateamos, e cuyo caso la dstrbucó adecuada queda e N(,1.3784) H:p 1 0,05 que podemos ajustar a ua dstrbucó Normal que tpfcado resulta X X Z N(0,1) y e partcular para X=6 Z Para =0,05 e la N(0,1) teemos que: PZ z 1 PZ 1,6448 0,95 z0,05 1,6448 Como el valor de uestro estadístco Z bajo la hpótess ula cae fuera de la regó de aceptacó (,9>1,64), se RECHAZAMOS la afrmacó del fabrcate Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M 14

15 Cotraste de Hpótess 7.- Se sabe que la reta aual de los dvduos de u país sgue ua dstrbucó ormal de meda descoocda y de desvacó típca Se ha observado la reta aual de 16 dvduos escogdos al azar y se ha obtedo u valor medo de euros. Cotrastar, a u vel de sgfcacó del 5%, s la meda de la dstrbucó es de de euros. Solucó: Se trata de u cotraste de hpótess para la meda de ua poblacó ormal de varaza coocda: H 0 : H 1 : X 0 Sabemos que: Z N(0,1) / El valor del estadístco Z bajo la hpótess ula es: X Z / 1400 / 16 Para =0,05 e la N(0,1) teemos que: Pz/ Z z/1 PZ 1,96 0,95 z0,05 1,96 Como el valor de uestro estadístco Z bajo la hpótess ula cae fuera de la regó de aceptacó ( Z z /), RECHAZAMOS la hpótess ula, y la meda o puede ser euros. Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M 15

16 Cotraste de Hpótess 8.- Se aplca u certo test de memora a estudates de dos uversdades dferetes. Los resultados sgue ua dstrbucó ormal co desvacó típca 33,5 para la prmera uversdad y para la seguda 38,. Se toma ua muestra aleatora smple de 18 alumos de la prmera uversdad y de 5 alumos de la seguda; las medas muestrales obtedas so, respectvamete, 183,7 y 165,4. a) So estos datos sgfcatvos de ua dfereca de memora etre los alumos de ambas uversdades? (Cosderar u vel de sgfcacó del 0,05) b) Calcular el p-valor e terpretarlo. Solucó: a) Cotrastamos la gualdad de medas de dos poblacoes ormales de varazas coocdas. H 0 : A B A B 0 H: 1 A B A B 0 XA XB El estadístco de prueba es: z sedo A B XA 185, 7; XB 165, 4; A 33,5; B 38, ; A 18; B 5 co lo cual X A XB 183, 7 165, 4 1, A B 33,5 38, A B 18 5 Para =0,05 e la N(0,1) teemos que: P z Z z 1 P Z 1,96 0,95 z 1,96 / / 0,05 Como 1,6655 < 1,96 ACEPTAMOS la hpótess de gualdad de medas. b) utlzado el p-valor: p 1P( 1,66 Z 1,66) P(Z 1,66) 1P(Z 1,66 1F(1,66) 0,0969 DERIVE: (1 -NORMAL(1.66))= > EXCEL: = (1-DISTR.NORM.ESTAND(1,66)) 0, > SPSS: * (1- CDF.NORMAL(1.66,0,1)).1 > Para CUALQUIER < 0,1 = P-VALOR aceptamos la hpótess de gualdad de meda. A B Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M 16

17 Cotraste de Hpótess 9.- Se ha recogdo los sguetes datos de ua poblacó: X Podemos admtr que sgue ua dstrbucó de Posso? Solucó: La dstrbucó de Posso depede de u úco parámetro λ cuyo estmador de máxma x verosmltud es la meda muestral X, que e uestro caso es X 3 10 Calculamos la dstrbucó teórca de tal forma que la últma opcó sea X= 7 o superor k k 3 3 pk P(Xk) e e k! k! X p p 0 8 0, , , , , , , , , , , , , , , ,01046 Debemos agrupar las dos últmas clases para cumplr el requsto de p >5 X p - p ( - p )^ ( -p )^/(p ) 0 8 5,974448, , , , , , , , , , , , , , , ,163767, , , ,098576, , , , , , , sumas , El estadístco de Pearso es 7 k D 3,16 0 ( p ) p Como queda 7 clases resulta ua dstrbucó ch- cuadrado co 5 grados de lbertad. utlzado el p-valor: DERIVE: 1 - CHI_SQUARE(3.16,5)= > EXCEL: = DISTR.CHI(3,16;5) > SPSS: 1 - CDF.CHISQ(3.16,5).68> Aceptamos la hpótess de ser el ajuste bueo. La dfereca etre la dstrbucó empírca y la ley de la dstrbucó Posso o es sgfcatva. Aceptamos el ajuste para todo vel de sgfcacó meor que 0,68. Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M 17

18 Cotraste de Hpótess 10.- Se quere comprobar s exste algua relacó etre las calfcacoes de los alumos e el tpo de asgaturas superadas. Para ello se ha tomado ua muestra co alumos de las tres asgaturas sguetes: Aprobado Notable Sobresalete Total Geomátca Matemátcas Físca Total Cotrastar la depedeca co el test de la Ch-cuadrado. Qué ocurre s cosderamos sólo las asgaturas de Matemátcas y Físca? Solucó: Qué debería salr, s fuera depedetes? Aprobado Notable Sobresalete Total Geomátca / / / Matemátcas / / / Físca / / / Total H o : Las tres asgaturas so depedetes H 1 : Algua o es depedete Aprobado Notable Sobresalete Total Geomátca 15(139,5) 99(101,5) 9(39,) 80 Matemátcas 35(39,8) 8(9) 17(11,) 80 Físca 1(19,9) 18(14,5) 10(5,6) 40 Total Comparamos frecuecas observadas (O ) y esperadas (e j ) (O e ) r k j j D j1 1 ej Resulta ua dstrbucó ch- cuadrado co (3-1)x(3-1)=4 grados de lbertad. utlzado el p-valor: DERIVE: 1 - CHI_SQUARE(14.9,4)= > EXCEL: = DISTR.CHI(14,9;4) > SPSS: 1 - CDF.CHISQ(14.9,4).00 > Co u valor de p ta pequeño debemos RECHAZAR la depedeca de los datos. Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M 18

19 Cotraste de Hpótess Cosderaremos solamete dos asgaturas H : Las dos asgaturas so depedetes o H : Las asgaturas o so depedetes 1 Aprobado Notable Sobresalete Total Matemátcas 35(31,3333) 8(30,6666) 17(18) 80 Físca 1(15,6666) 18(15,3333) 10(9) 40 Total Teemos u estadístco D= co ua dstrbucó ch_cuadrado co (-1)x(3-1) = grados de lbertad. utlzado el p-valor: DERIVE: 1 - CHI_SQUARE(,15,)= > EXCEL: = DISTR.CHI(,15;) > SPSS: 1 - CDF.CHISQ(.15,).34 > No teemos evdeca para rechazar la depedeca de las calfcacoes. Aceptamos la depedeca para todo vel de sgfcacó meor que 0,34. Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M 19

20 Cotraste de Hpótess 11.- El vel medo de errores e velacó es de 0 errores/100 tramos. Se estuda 40 velacoes e las que se sabe se ha cometdo errores. Los resultados so: x = 18.5 err./100 tr. y s = 4 err/100 tr. a) Itervalo de cofaza del 95% del vel medo de errores e las 40 velacoes. b) Es la muestra comparable co la poblacó co u vel de sgfcacó 0.05? Solucó: a) Teemos ua muestra de tamaño grade (=40) y varaza descoocda de ua dstrbucó ormal: S S I Xz /,Xz/ Datos: X 18.5 ; S 4; 0.05 y e la dstrbucó ormal F(Z z / ) / I , , b) H 0 : H 1 : I , Rechazamos la hpótess ula H 0. X Otro método puede ser, Z ,1.96 la muestra o / 4/ 40 es comparable a la poblacó. Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M 0

21 Cotraste de Hpótess 1.- Queremos cotrastar la hpótess H 0 : la duracó meda de los motores de ua determada marca es km. Para ello se toma ua muestra de 9 motores de automóvles, obteédose ua meda de km y ua varaza muestral S =(30.000). Estudar s debemos aceptar la hpótess H 0 co u vel de cofaza del 95%. Solucó: Se trata de u cotraste de hpótess para la meda de ua poblacó ormal de varaza descoocda: H 0 : H 1 : Datos: 9; x ; S ; 0,05 t -1 = X =3 S / / 9 Buscaremos u valor t / tal que Pt/ t 1 t/1. DERIVE: #1: NSOLVE(STUDENT(t, 8) = 0.975, t) #: t = EXCEL: =DISTR.T.INV(0,05;8, SPSS: IDF. T(0.975,8),3 Puesto que t 3>,3, No podemos aceptar la hpótess ula, y e cosecueca la propagada es falsa. Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M 1

22 Cotraste de Hpótess 13.- S el coefcete medo de telgeca de la poblacó uverstara de la U.P.M. es 95 y =14, y se extrae ua muestra de 49 estudates de esa poblacó. a) Qué probabldad hay de que resulte ua meda muestral gual o feror a 9? b) Hallar u tervalo de cofaza al 95% para la meda de la poblacó uverstara, para la muestra de meda 9. c) Podemos aceptar la hpótess de ser la meda 95. Solucó: La dstrbucó de la meda muestral es N, N 95, N 95, a) F(9) P DERIVE: #1: NORMAL(9,95,) #: EXCEL: =DISTR.NORM.(9;95;;1) 0, SPSS: CDF. NORMAL(9,95,), b) El tervalo de cofaza para ua poblacó ormal es: X z/ Para uestros datos: x 9; 14; 49; 0.05 X 0 Teemos Z N(0,1) / P z Z z 1 P Z 1,96 0,975 z 1,96 / / 0,05 DERIVE: #1: NSOLVE(NORMAL(z) = 0.975, z, Real) #: z = EXCEL: =DISTR.NORM.INV(0,975;0;1) 1, O drectamete =INTERVALO.CONFIANZA(0,05;14;49) 3, X z/ 9 3, SPSS: IDF. NORMAL(0.975, 0,1) 1, I , , c) 95I ,95.9, SÍ SE ACEPTA Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M

23 Cotraste de Hpótess 14.- Se prueba 1 pezas de u materal A resultado u desgaste medo de 85 udades co ua desvacó típca de 4. Por otra parte 10 pezas de u materal B produce uos resultados de 81 udades y ua desvacó típca de 5. a) Comprobar que las varazas poblacoales so guales a u vel de sgfcacó de 0,1. b) Podemos coclur co u vel de sgfcaca del 0,05 que el desgaste del materal A excede el del materal B e más de udades? Supoga que las poblacoes so ormales. Solucó: A 1; xa 85;SA 4; B 10; xb 81;S B 5 a) Debemos e prmer lugar cotrastar la hpótess de gualdad de varazas H 0: A B H: 1 A B S A F,F S 1,A1,B1,A1,B1 B SA F 0.95,11,9,F0.05,11, ,3, SB 5 EXCEL:=DISTR.F.INV(0,95;11;9) 0, ; =DISTR.F.INV(0,05;11;9) 3, SPSS:IDF.F(0.05,1,9), ;IDF.F(0.95,11,9) 3, ,345 < 0,64 <3,1 y por tato aceptamos la hpótess de varazas guales. b) Cotrastamos ahora la dfereca de medas de dos poblacoes ormales de varazas descoocdas pero guales y muestras pequeñas. H 0 : A B A B H: 1 A B A B xa xb A B El estadístco de prueba es: t sedo 1 1 S A B (A 1)S A (B 1)SB S 0.05 co lo cual (A 1) (B 1) 119 xa xb y para =0.05, t 0.05,0 = S A B EXCEL: =DISTR.T.INV(0,05;0), SPSS:IDF.T(0.975,0).01 Como 1.04 < ACEPTAMOS la hpótess ula. Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M 3

24 Cotraste de Hpótess 15.- E meddas de águlos co u certo teodolto, u topógrafo asegura que la varaza que obtee es gual o meor que 5. Se le poe a prueba y se le hace 0 determacoes, obteédose ua varaza de 6. S la varable medda del águlo es ormal. Se pde: a) Itervalo de cofaza del 99% para la varaza obteda. b) Aceptamos su aseveracó a u vel de sgfcacó 0,01? Solucó: a) ( 1).S ( 1).S P 1 k k1 P19 k Buscaremos los valores de k 1 y k tales que:, obteemos P19 k k 1 =6, y k = 38, P 0,99 38, , ,95 16, 66 b) H 0 : 5. H 1 : 5 S P 1 x para -1=19 y 0.01 x Aplcado el teorema de Fsher 1 (0 1). 8. Por tato.8<36.19 se acepta la hpótess ula Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M 4

25 Cotraste de Hpótess 16.- Se tabula los errores de cerre e velacó obtedos e 1000 polígoos. Se puede admtr que el error de cerre se dstrbuye ormalmete? Cotrastar la bodad del ajuste medate la co α=0,05. Solucó: x error de cerre de polígoos 0-0,1 64 0,1-0, 4 0,-0, ,3-0,4 38 0,4-0,5 66 x x p p p error p <0 0 0, , , ,05 3, 0,16 0, , , ,15 36,3 5,445 0, , , ,5 97,5 4,375 0, ,9493 0, ,35 83,3 9,155 0, , , ,45 9,7 13,365 0, , , < 0 0, , , , ,80609 Teemos que calcular la meda y la desvacó típca de la dstrbucó Normal. Para ello cosderamos la muestra obteda: x x x =0,5; x =0,01 Para estmar la meda y la desvacó típca de la poblacó utlzamos los resultados aterores teedo e cueta que debemos cosderar la cuasvaraza, es decr, S 0, y por tato s=0,1. Cosderamos la poblacó co 1 dstrbucó N(0.5,0.1). La prueba de la bodad de ajuste de Pearso se basa e la dstrbucó Chcuadrado co k-h-1 grados de lbertad, e uestro caso k=7 (º de tervalos), h= (º de parámetros) y para u vel de sgfcacó 0.05 resulta P( 7 19,49) 0,05 y como D= p =13,8 > 9,49 SE RECHAZA EL AJUSTE. p Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M 5

26 Cotraste de Hpótess 17.- La sguete tabla cotee los datos de dos muestras de tamaño 50. Podemos admtr que tee la msma dstrbucó utlzado el estadístco de Pearso y calculado el p-valor? 1ª muestra ª muestra Solucó: 1ª muestra ª muestra Frec. esperadas , , , ,5 4 3 Vemos que hay frecuecas esperadas meores que 5, luego agrupamos: 1ª muestra ª muestra Frec. esperadas , , D r k j j j1 1 j (O e ) (5 5) (4 6,5) (11 8) (11 10,5) (9 9) e 5 6,5 8 10,5 9 (10 11) (5 5) (9 6,5) (5 8) (10 10,5) (9 9) (1 11) ,5 8 10, , El estadístco D=4,4 co dstrbucó de Pearso co (6-1)x(-1)=5 grados de lbertad resulta u pp( 5 4,4) 0,49 No teemos evdeca para rechazar la homogeedad de las muestras. Aceptamos la dstrbucó comú para todo vel de sgfcacó meor que 0,49. Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M 6

27 Cotraste de Hpótess 18.- A la vsta de los datos que aparece e la tabla adjuta, obtedos después de ua ecuesta realzada para ver s la edad tee flueca e los errores cometdos por los observadores. Se puede admtr que el cometer errores es depedete de la edad? Edad Cometer error No cometer error < > Solucó: La probabldad de cometer error depedetemete de la edad será: 155 P(Error) Calculamos la probabldad de cometer error e cada tervalo correspodete a la edad teedo e cueta el úmero de observacoes e cada tervalo. Cometer error No cometer error Total P ( -P ) /P ,775 1, ,875 9, ,55 0, ,55 3, ,8375 3, , , Utlzado el cotraste de la bodad de ajuste de la dstrbucó kh1 de Pearso co k- h-1 = = 4 grados de lbertad y observado el valor del estadístco 5 p D 17, p P( 4 17,96) 0 p 1 Para cualquer vel de sgfcacó >p se rechaza la hpótess y cosderamos que el cometer errores o es depedete de la edad. Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M 7

28 Cotraste de Hpótess 19.- Se quere comparar la vda útl de dos tpos de baterías para móvles, para ello obteemos muestras de tamaño 9 de cada tpo, obteedo los sguetes resultados A 9;xA 5;SA 1,;B 9;xB 3;SB 0,9 Cotrastar la hpótess de gualdad de medas al 95% supoedo que la varaza es descoocda pero gual para las dos muestras. Solucó: El estadístco de prueba es: A B x x t 1 1 S A B A B A B (A 1)S A (B 1)S B S 1.15 co lo cual: ( 1) ( 1) 8 8 xa xb S A B 4 A B sedo y para =0.05, t 0.05,16 =,1 EXCEL: =DISTR.T.INV(0,05;16),1199 SPSS:IDF.T(0.975,16).1 Como 4 > RECHAZAMOS la hpótess de gualdad de medas. Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M 8

29 Cotraste de Hpótess 0.- Al calcular cco veces la dstaca etre dos putos, obteemos los sguetes valores: 170,13m; 170,1m; 170,m; 170,65m; 170,4 Se pde: a) Itervalo de cofaza del 80% para la meda. b) Cuál será el úmero de medcoes ecesara para que el error sea feror a 0,1 m co u vel de sgfcacó de 0,? c) Itervalo de cofaza del 90% para la varaza obteda. d) S la varable medda del águlo es ormal aceptamos ua desvacó típca feror a 0,1 m co u vel de sgfcacó 0,1? Solucó: a) Datos: 5;X 170,3; S 0,05095 S 0,57107; 0, Teemos ua muestra de tamaño pequeño y varaza descoocda: S S I Xt /,Xt/ y e la dstrbucó de Studet Buscaremos u valor t / tal que Pt/ t 1 t/1t0, 1, , , I0, 170,3 1,533067,170,3 1, , b) / / S S 0,05095 t t 1,53 11, ,1 So ecesaras 1 medcoes c) ( 1).S ( 1).S P 1 k k1 P4 k10.05 Buscaremos los valores de k 1 y k tales que:, obteemos P4 k0.95 k 1 = 0, y k = 9, , ,05095 P 0,9 9, , ,015 0,87 d) H 0 : 0,01. H 1 : 0,01 S 0,05095 Sabemos que 1 1 (51) 0,38 0,1 P 1 para -1=4 y 0,10,1 7, La regó crítca es ( , ). Por tato 7.8<0,38 se rechaza la hpótess ula, la desvacó típca o es feror a 0,1 Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M 9

30 Cotraste de Hpótess 1.- Se ha observado u águlo cco veces, obteédose los sguetes valores: 65º5 ; 65º33 ; 65º3 ; 65º8 ; 65º7 Se pde: a) Itervalo de cofaza del 95% para la meda del águlo observado. b) Cuál será el úmero de observacoes ecesara para que el error sea feror a 1 muto co u vel de sgfcacó de 0,05? c) Itervalo de cofaza del 99% para la varaza obteda. d) S la varable medda del águlo es ormal aceptamos ua desvacó típca feror a mutos a u vel de sgfcacó 0.01? Escrbr la regó crítca. Solucó: a) Datos: 5;X 65º 9' ; S 11,5 S 3, ; 0,05 Teemos ua muestra de tamaño pequeño y varaza descoocda: S S I Xt /,Xt/ y e la dstrbucó de Studet Buscaremos u valor t / tal que Pt/ t 1 t/1t0,05, , , I º 9', ,65º 9', º4.79', 65º 33.1' b) / / S S 11,5 t t,77 88, So ecesaras 89 observacoes c) ( 1).S ( 1).S P 1 k k1 P4 k Buscaremos los valores de k 1 y k tales que:, obteemos P4 k0.995 k 1 =0, y k = 14, ,5 411,5 P 0,99 14, , ,10,3 d) H 0 :. H 1 : S 11,5 Sabemos que 1 1 (51) 11,5 P 1 para -1=4 y 0,010,01 13,8. La regó crítca es (13.8, ). Por tato 11,5<13,8 se acepta la hpótess ula, la desvacó típca es feror a Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M 30

31 Cotraste de Hpótess.- Se quere comprobar s es certo que u uevo modelo de automóvl cosume 5,7 ltros por cada 100 km a 90 km/h tal y cómo afrma e su propagada. Para ello se realza 10 recorrdos de 100 km a dcha velocdad, co los sguetes cosumos: 5,8; 6,3; 6; 5,5; 6,1; 6,5; 5,5; 7; 6,8; 5,7 Se pde: a) Itervalo de cofaza para la meda obteda co u vel de sgfcacó del 0,05. b) Se puede aceptar la afrmacó del fabrcate al 95%? Solucó: a) x 5,86,3 6 5,5 6,1 6,5 5,5 7 6,8 5,7 X 6,1 10 x X S 0, 7511 S 0, , Sabemos que el estadístco X sgue ua dstrbucó t de Studet co -1 grados de S lbertad. 6,1 Así pues: t10 1, 0, Buscaremos el tervalo S S I Xt /,Xt/, es decr, S S PXt/ Xt/ 1. E uestro caso, queda: 0, , I0,05 6,1, 61576,6,1, , 6.50 b) H 0 : 5,7 H: 1 5,7 6,1 5,7 t -1 = t 10 1,5 0, Buscaremos u valor t tal que Pt 1t1. E uestro caso t=1,8, por lo que se RECHAZA la hpótess ula. Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M 31

32 Cotraste de Hpótess 3.- U jugador afrma que los dos dados que utlza o está trucados. Para comprobar esta afrmacó, se laza los dos dados 360 veces y se aota la suma de los resultados. Dchas sumas se muestra e la sguete tabla, juto co su probabldad correspodete (para facltar la comparacó). Suma FRECUENCIA PROBABILIDAD OBSERVADA 11 1/ / / / / / / / / / /36 Para poder decdr s los dados está trucados o o, realzar u cotraste. Deberíamos jugar co estos dados? Solucó: SUMA P P -P ( -P ) ( -P ) /P 11 1/ / / / / / / / / / / / / D 1 P P.01. Cuado la dstrbucó está determada o hay parámetros que estmar y por tato utlzamos ; sedo p valor P(.01) y por tato próxmo a 1 y se acepta la 10 hpótess ula los dados o está trucados. Podemos jugar co estos dados. Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M 3

33 Cotraste de Hpótess 4.- Durate 50 días se ha observado la varable úmero daro de cacelacoes de cuetas e ua sucursal bacara aotádose la sguete tabla de frecuecas: Nº cacelacoes Frecuecas observadas Sumas 50 Cotrastar el hecho de que la dstrbucó es de Posso de parámetro λ=1. Solucó: E el caso de la dstrbucó de Posso la meda cocde co la varaza que es el valor del parámetro de la dstrbucó. Para esta muestra utlzaremos 1 y calculamos las probabldades teedo e cueta las frecuecas esperadas p 5. Nº Frecuecas Frecuecas Frecuecas p cacelac observadas p esperadas esperadas co p oes p p , , , , , , , , , , ,106 0, , , Sumas , Utlzado el cotraste de la bodad de ajuste de la dstrbucó kh1 de Pearso co k-h-1 = = 1 grados de lbertad y observado el valor del estadístco 3 p D 1, p Buscamos el p-valor = P 1 D P 1 1, ,175 Para cualquer vel de sgfcacó 0, 175=p se acepta la hpótess y cosderamos que la dstrbucó es de Posso. Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M 33

34 Cotraste de Hpótess 5.- Para curar ua efermedad se sabe que exste cuatro tratametos dferetes. Aplcados por separado a uos grupos de efermos se ha observado los resultados sguetes: Tratameto Curados No Curados A B 45 8 C D 8 6 Total Se puede asegurar que la efcaca de los cuatro tratametos es la msma, co u vel de cofaza del 95%? Solucó: La probabldad de curar depedetemete del tratameto será: 70 P(Curar) 0, Calculamos la probabldad de curar e cada tratameto teedo e cueta el úmero de pacetes co cada tratameto. Curados No Curados Total p ( -p ) /p , , , , ,0540 0, , , , Utlzado el cotraste de la bodad de ajuste de la dstrbucó kh1 de Pearso co k- h-1 = = 3 grados de lbertad y observado el valor del estadístco 5 p D 1, p 1 Para = 0,05 P( 3 0,05) 0, ,8 sedo D = 1,8 <7,8 se ACEPTA la hpótess y cosderamos que los tratametos so gual de efcaces. Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M 34

35 Cotraste de Hpótess 6.- S el coefcete medo de telgeca de la poblacó uverstara de la U.P.M. es 95 y =14, y se extrae ua muestra de 49 estudates de esa poblacó y el resultado de la varaza muestral S =100. Podemos coclur co u vel de sgfcacó del 0,05 que la varaza es meor de 14? Solucó: Datos: S 100; 14; 49; 0,05 H 0 : <14 H 1 : 14 S 100 Aplcado el teorema de Fsher 1 1 (49 1) 4,49 14 P x P x 0,05 x 65, ,05 0,05 Por tato x0,05 65, >4,49 se ACEPTA la hpótess ula. Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M 35

36 Cotraste de Hpótess 7.- Se lleva a cabo u expermeto para comparar el desgaste por abrasvo de u materal lamado. Se prueba 1 pezas del materal medate la exposcó de cada peza a ua máqua para medr la profuddad del desgaste. La muestra da u desgaste medo de 53 udades co ua desvacó estádar muestral de 4. Supogamos que la poblacó es aproxmadamete ormal co varaza descoocda. a) Podemos coclur co u vel de sgfcacó del 0,05 que el desgaste abrasvo medo del materal es meor de 50 udades? b) Se justfca la suposcó de varaza gual a 10 co u vel de sgfcacó de 0,1. Solucó: Datos: 1;X 53; S 4; 0.05 a) Sabemos que el estadístco X sgue ua dstrbucó t de Studet co -1 S grados de lbertad. H : <50 Así pues: 0 H: t, Buscaremos u valor t tal que P t t 1. E uestro caso aproxmadamete t 0,05 =1,8<,598=t, por lo que se RECHAZA la hpótess ula. 1 b) H 0 : H 1 : =10 10 S 16 Aplcado el teorema de Fsher 1 1 (1 1) 17,6 10 P-1 k1 P11 k10,05 Buscaremos los valores de k 1 y k tales que:, P-1 k1- P11 k0,95 obteemos k 1 = 4, y k =19, para -1=11 y 0,1. - Por tato 4,6<17,6<19,7 se ACEPTA la hpótess ula. Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M 36

37 Cotraste de Hpótess 8.- Al realzar u muestreo aleatoro co 100 alumos de la U.P.M para estudar la estatura de los alumos de esta Uversdad, se obtuvero los sguetes resultados agrupados e tervalos de ampltud 10 cm, así como los parámetros de la muestra X 1.77 y S = meos de más de.1 0 Cotrastar la hpótess, La muestra obteda sgue ua dstrbucó ormal N( X 1.77, S = ) a) Obteer el p-valor y dar su terpretacó. b) Para u vel de sgfcacó 005. calcular el valor crítco. c) Se acepta el ajuste para u vel de sgfcacó 005.? Solucó: Supuestamete hemos calculado la meda y la desvacó típca de la muestra obteda: x X =1,77; =0,1168 Cosderamos la poblacó co dstrbucó N(1.77,0.1168). P = F(e )-F(e -1 ) P P >5 ( -P ) /P 0 0, , , ,049 7,043 0, , ,837 19,837 0, , ,593 3,593 0, , ,871 6,871 0, , ,110 13,656 0, ,097503,98 0 0, , , , p D 0, p Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M 37

38 Cotraste de Hpótess a) La prueba de la bodad de ajuste de Pearso se basa e la dstrbucó Chcuadrado co k-h-1 grados de lbertad, e uestro caso k=5 (º de tervalos), h= (º de parámetros) p-valor= P( 0, ) 0, Se acepta para cualquer vel 51 de sgfcacó meor. b) Para u vel de sgfcacó 0.05 resulta x0,05 5,99 c) y como D= p p P( x ) 0, ,05 =0,716 < 5,99 SE ACEPTA EL AJUSTE. Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M 38

39 Cotraste de Hpótess 9.- Para cotrastar que la esperaza matemátca µ de ua dstrbucó Normal es 10, se toma ua muestra de tamaño 16 y se rechaza la hpótess e el caso e que la meda muestra sea mayor que 10, aceptádose e caso cotraro. Sabedo que la desvacó típca de la poblacó es σ= y habedo obtedo ua meda muestral de 11. Calcular el p-valor y decdr s se acepta la hpótess de que la meda de la poblacó es µ<10 Solucó: Se trata de u cotraste de hpótess para la meda de ua poblacó ormal de varaza coocda: H 0 : 10 H : 10 1 Sabemos que: X 0 Z N(0,1) / El valor del estadístco z bajo la hpótess ula es: X z / / 16 pp Z 0,07 Por ser muy próxma a cero RECHAZAMOS la hpótess ula, y la meda o puede ser meor que 10. Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M 39

40 30.- Para los sguetes datos Cotraste de Hpótess x Se pde: a) Calcular las respectvas frecuecas teórcas correspodetes a ua dstrbucó Bomal de parámetros =3 y p=0,53, es decr, p =P(X=x ) b) Hallar el valor del estadístco de cotraste: D p c) Estudar la Bodad del ajuste para u vel de sgfcacó α=0,05 Solucó: a) A partr de de la dstrbucó Bomal B(3,0.53) calculamos las frecuecas teórcas: P(X = k) = k k k p. q 3 = 0,53 k 1 0,53 3 k k 3 P(X = 0) = 0, , ,1 0 3 P(X = 1) = 0, , , P(X = ) = 0,53 1 0,53 3 0,39 3 P(X = 3) = 0, , ,16 3 b) p p p p , , , ,114 p p D 6,114 p p Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M 40

41 Cotraste de Hpótess c) Para = 0,05 P( 4 1x 0,05) 0,05 x0,05 3,84 sedo D = 6,114 meor que 0,05 aceptamos la hpótess de ser el ajuste bueo. Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M 41

42 Cotraste de Hpótess 31.- Supoedo ua poblacó ormal co meda 50 y desvacó típca 8. Para ua muestra de tamaño 9, cuál es la probabldad de que: a) La meda muestral sea superor a 55? b) La desvacó típca muestral sea superor a 10? Solucó: Sabemos que la meda muestral X N, Para uestros datos: X 50; 8; Teemos X N 50, 50,8/3 a) PX 551PX 551F (55) 0, X b) Sabedo que ( ). S 1 1 s la poblacó de partda es N(, ) (9 1).S E uestro caso 91 8 S 10 PS 10 P P8 1,51P 8 1,51F 1, Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M 4

43 Cotraste de Hpótess 3.- Segú u estudo sobre los hábtos de cosumo de las famlas de la Comudad de Madrd, el gasto mesual e productos de marcas blacas de las famlas puede cosderarse segú ua varable aleatora X co ley Normal de desvacó típca 50 euros. Los datos sguetes correspode a ua muestra aleatora smple de tamaño = 10 famlas: Famla Gasto a) Qué estmacó del gasto medo mesual se obtee co u estmador sesgado? b) Calcula u tervalo de cofaza al 95% para el gasto medo mesual e productos de marcas blacas de las famlas de la Comudad de Madrd. c) S queremos trabajar co veles de cofaza del 90%, obtedríamos u tervalo más o meos) amplo que el calculado aterormete? Solucó: a) La meda muestral es u estmador sesgado para la meda poblacoal x 1 X 65,3 b) El tervalo de cofaza para ua poblacó ormal de varaza coocda es: X z / Para uestros datos: X 65,3; 50; 10; 0.05 Teemos X Z N(0,1) P z Z z F(z ) P Z z z 1.96 / / / / / X z/ 65,3 33, I , , 75.1 c) Al dsmur el vel de cofaza dsmuye la ampltud del tervalo Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M 43

44 Cotraste de Hpótess 33.- Se sabe que la demada dara de u producto fabrcado por certa empresa sgue ua dstrbucó ormal. Se toma ua muestra aleatora smple de la demada regstrada e 10 días dsttos, obteédose ua meda muestral gual a 3,5 y ua desvacó típca muestral (o cuasdesvacó típca) gual a 0,9. Se pde: a) U tervalo de cofaza al 95% para la meda de la demada dara de dcho producto. b) El pla de produccó de la empresa está basado e la suposcó de que la demada meda dara del ctado producto es como mímo gual a 4. Cotrastar esta hpótess, al vel de sgfcacó de 0,05. Solucó: a) Se trata de ua poblacó que sgue ua dstrbucó Normal de varaza descoocda, y muestras pequeñas, por lo que el tervalo de cofaza es: S X t / Datos: 10;X 3,5 ; S 0,9; 0.05 P t t t 1. Buscaremos u valor t tal que / 1 / P t t 1 P t t P t t 0,05 t, / 1 / 9 / 0,05 0,05 0,9 0,9 I0.05 3,5,6,3,5, ,4.14 b) Realzamos la hpótess ula de que la demada dara es mayor que 4. H 0 : 4 H: 1 4 X 0 3,5 4 El estadístco es: t=, S/ 0,9/ 10 Ahora se trata de u valor t tal que Pt 1 t 9 0,05 0,05. P t t 0,05 t 1, t0,05 1, >, =t9, luego se RECHAZA la hpótess ula Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M 44

45 Cotraste de Hpótess 34.- Se supoe que el retraso de los trabajadores de ua empresa es, por térmo medo, de 5 mutos; para cotrastar dcha hpótess se seleccoó al azar ua muestra de 10 empleados y se mdó su retraso: 0.1,, 7, 5.6, 7.4, 5.1, 6.1, 6, 4.5 y 9. Utlzar el p-valor. Solucó: Se trata de ua poblacó que sgue ua dstrbucó Normal de varaza descoocda, y muestras pequeñas, por lo que la dstrbucó a emplear es 1 t Datos: 10;X 5, 8; S,6 Realzamos la hpótess ula de que la meda dara es 5. H 0 : 5 H: 5 1 X 0 5, 8 5 t = 0, S/,6/ 10 Calcularemos el p-valor p 1P-0, t 10, P0, t 1 0, 74. luego se ACEPTA la hpótess ula para cualquer vel de sgfcacó meor que 0,74 Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M 45

46 Cotraste de Hpótess 35.- La sguete tabla de cotgeca cotee datos sobre el gasto mesual e llamadas telefócas (e euros) y el sexo de 500 ecuestados: Gasto Hombres Mujeres [0,6) [6,1) 4 6 [1,30) [30,60) [60,10] 8 Justfcar s es certo que el gasto mesual medo de los hombres es superor al de las mujeres co u vel de sgfcacó del 5%. Solucó: Debemos e prmer lugar cotrastar la hpótess de gualdad de varazas H : S S 0 h m H: 1 h m h F,F 1,h1,m1,h1,m1 m Datos: 50;X h 8,896; S 78,8448; 50;X m,368; S 643, h h m m S 78,8448 1,1318 F,F , S 643, h m 0.975,49, ,49,49 0,78 < 1,13 < 1,8 y por tato aceptamos la hpótess de varazas guales. Cotrastamos ahora la dfereca de medas de dos poblacoes ormales de varazas descoocdas pero guales y muestras pequeñas. H : 0 0 h m h m H: 0 1 h m h m xh xm El estadístco de cotraste es: 1 1 S h m t sedo (h 1)S h (m 1)S m 4978, , S 686, 8 co lo cual ( 1) ( 1) h h m m xh xm 8,896, S 686, , y para =0.05, resulta t0.05,498 = <, ACEPTAMOS la hpótess de que el gasto medo de los hombres es superor al de las mujeres. Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M 46

47 Cotraste de Hpótess 36.- Se puede admtr la dstrbucó uforme de valores agulares e ua tragulacó de prmer orde de u país e la que se ha tomado ua muestra de tamaño 100 y se ha obtedo los sguetes resultados? Utlzar el p-valor. Solucó: Meddas agulares < >70 3 frecuecas observadas Cosderamos la dstrbucó uforme de parámetros a=30 y b=80. p p p p Clases p ,8 40, , 50, ,70) , ,45 sumas ,5 Utlzado el cotraste de la bodad de ajuste de la dstrbucó kh1 de Pearso co k-h-1 = = 4 grados de lbertad y observado el valor de la dstrbucó: 5 p D= =1,5. 1 p P valor P( 1,5) 0, próxmo a 1 4 Se acepta la hpótess de uformdad de la muestra. Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M 47

48 Cotraste de Hpótess 37.- U proceso dustral fabrca pezas cuya logtud e mlímetros se dstrbuye segú ua Normal de meda 190 y desvacó típca 10. Ua muestra de 5 pezas proporcoa los resultados sguetes: 185, 00, 186, 197 y 185. Utlzado u vel de sgfcacó del 0,05, se pde: a) Cotrastar la hpótess de que la meda del proceso es 190. b) Cotrastar la hpótess de la varaza del `proceso es 100. Solucó: a) Se trata de u cotraste de hpótess para la meda de ua poblacó ormal de varaza descoocda: H 0 : 190 H 1 : 190 Estmamos los parámetros de la dstrbucó Normal a partr de la muestra: X (X-meda) X =190,6 S =53,3 Datos: 5;X 190,6 ; S 7,3; 0,05 t-1= X 190,6 190 =0, S/ 7,3/ 5 Buscaremos u valor t / tal que Pt/ t 1 t/ 1. Puesto que t 0, <,776, Se acepta la hpótess ula b) Para cotrastar la hpótess ula: H 0 : 100 H 1 : 100 P k 0,05 Buscaremos los valores de k1 y k tales que: 4 1, obteemos P4 k0,975 k1=0,4844 y k= 11,14 S 53,3 Aplcado el teorema de Fsher 1 1 (51), Por tato 0,4844 0,05,13<11,14 se ACEPTA la hpótess ula. Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M 48

49 Cotraste de Hpótess 38.- Se quere cotrastar la hpótess ula ua moeda de u euro está be equlbrada, y que por tato, cara y cruz so equprobables; para ello se realza 100 lazametos de ua moeda de u euro y se observa 63 caras y 37 cruces. Cotrastar la hpótess utlzado el test de co u vel de sgfcacó de 0,05. Solucó: Frecuecas observadas p Frecuecas esperadas p p p Cara 63 0,5 50 3,38 Cruz 37 0,5 50 3,38 Sumas ,76 Utlzado el cotraste de la bodad de ajuste de la dstrbucó kh1 de Pearso co k-h-1 = -0-1 = 1 grados de lbertad y observado el valor de la dstrbucó para 0. 05, P 1 x 0, 05, se obtee x=3,84 que es mayor que D= 1 p p.=6,76. Se rechaza la hpótess ula. Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M 49

50 Cotraste de hpótess. Cotrastar ua hpótess estadístcamete es tomar ua decsó sobre s certa propedad de ua poblacó es compatble co lo observado e ua muestra de dcha poblacó. Llamamos hpótess ula, H 0, a la hpótess que vamos a cotrastar, H 0 represeta la hpótess que matedremos metras los datos o os dque su falsedad. Llamamos hpótess alteratva, H 1, a la hpótess que se aceptará s H 0 se rechaza. Las fases e u cotraste de hpótess so: 1) Defr la hpótess a cotrastar que llamaremos H 0. ) Defr ua medda de dscrepaca D que mda la dfereca etre los valores observados y los esperados (de acuerdo co H 0 ). 3) Calcular D. S la dscrepaca D es muy grade, rechazaremos H 0 ; e caso cotraro, aceptamos H 0.

51 Nvel de sgfcacó Número etre 0 y 1 que se elge subjetvamete e estadístca para acotar superormete el error de tpo I e u test, o be para costrur tervalos o regoes de cofaza. E u tervalo de cofaza del estmador de forma tal que la P 1. E u cotraste de hpótess es el valor es la probabldad de cometer u error de tpo I, y determa u valor d c de forma que: P ( D d c ) La fgura sguete muestra gráfcamete este método. S la dscrepaca observada D cae detro de la regó de rechazo (probabldad de rechazar y ser verdadera), rechazamos la hpótess H0, e caso cotraro la aceptaremos. Defmos la regó de rechazo por D d c y la regó de aceptacó de H0 será D d c Cosderacoes acerca de. 1) Aceptar o rechazar la hpótess H 0 puede depeder del valor, sedo posble rechazar H 0 co = 0.05 y aceptar H 0 co = 0.04 ) Dar sólo el resultado del test o dca el grado de dscrepaca. Se acostumbra a utlzar veles de sgfcacó del 0.05 ó S, por ejemplo se elge u vel de sgfcacó del 0.05 etoces hay aproxmadamete 5 ocasoes de cada 100 e que se rechazaría la hpótess cuado debe ser aceptada. < > Aceptacó d c Rechazo U.D. de Matemátcas de la E.T.S.I. e Topografía, Geodesa y Cartografía 1

52 Nvel crítco Se defe el vel crítco o p valor como el mímo vel de sgfcacó para el que, co los datos de ua muestra cocreta, se tedría que rechazar la hpótess ula H 0. p P(D D ). Es decr la probabldad de obteer ua dscrepaca mayor o gual que la observada e la muestra. De esta forma, el valor de p o se fja a pror, so que se determa e fucó de la muestra. D es el estadístco y D es valor del estadístco obtedo co la muestra. Como se evdeca e la fgura sguete, cuato meor sea el valor crítco, meor es la probabldad de exstr dscrepaca como la observada, y meor es la certdumbre de H 0. Esto es; cuato más cercao a cero sea su valor co mayor cofaza se rechazará H 0. Puesto que, pp(d D ) y D u valor fjo, s p es grade D es u valor pequeño, por tato, para u valor fjo de < p será D < d c y aceptamos la hpótess H 0, E geeral cuato más próxmo a 1 sea p co mayor evdeca se habrá de aceptar H 0. S p>0.5 o exste sufcete evdeca para rechazar H 0. S 0.01<p<0.5 exste certdumbre etre rechazar o o rechazar H 0. S p<0.01 e geeral deberá ser rechazada la hpótess H 0, S se ha fjado de atemao u vel de sgfcacó, se acepta H 0, s p>, y se rechaza H 0 s p<

53 Cotraste de Hpótess Pruebas relatvas a la meda ETSITGC Madrd H : 0 0 Parámetros Regó Estadístco Dstrbucó H descoocdos 1 crítca X 0 0 z N(0,1) 0 z z z z / z z 0 t X S 0, 1 t t t t / t t t Udad Docete de Matemátcas

54 Cotraste de hpótess para la meda co la varaza coocda Cotraste ulateral (cola de la zquerda) H : 0 0 H : 1 0 Cotraste blateral ( colas) H : 0 0 H : 1 0 Cotraste ulateral (cola de la derecha) H : 0 0 H : 1 0 Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M.

55 Cotraste de hpótess para la meda co la varaza descoocda Cotraste ulateral (cola de la zquerda) H : 0 0 H : 1 0 Cotraste blateral ( colas) H : 0 0 H : 1 0 Cotraste ulateral (cola de la derecha) H : 0 0 H : 1 0 Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M.

56 Cotraste de Hpótess ETSITGC Madrd Pruebas relatvas a la dferecas de medas H : Parámetros Estadístco Dstrbucó H 1 Regó descoocdos crítca, 1 x x ( ) N(0,1) z z z z / z z,,, x S p x ( ) t 1 1 S 1 S S S p t t t t 0 t t 1 0 / Udad Docete de Matemátcas

57 Cotraste de Hpótess ETSITGC Madrd Parámetros descoocdos Pruebas relatvas a la varaza Estadístco Dstrbucó H 0 H 1 Regó crítca 1 S / 1 / 0 1 f S S, 1 1 F 1, f f f F1,1 1, 1 F 1 /, 1, 1 F 1 /, 1, 1 1 f F, 1, 1 Lus 1 Sebastá

58 Cotraste de hpótess para la varaza Cotraste ulateral (cola de la zquerda) H : 0 0 H : 1 0 Cotraste blateral ( colas) H : 0 0 H : 1 0 Cotraste ulateral (cola de la derecha) H : 0 0 H : 1 0 Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M.

59 Bodad de ajuste (test de la ) El problema que vamos a tratar es el de la coformdad de ua dstrbucó expermetal y ua dstrbucó teórca; esto es, susttur la dstrbucó expermetal (dstrbucó de la muestra de la poblacó), el hstograma, o la dstrbucó de frecuecas, por ua dstrbucó teórca coocda. Sea: = tamaño de la muestra. k = úmero de clases. = frecueca absoluta de la clase. p = probabldad de cada clase segú la dstrbucó teórca. p = frecueca absoluta de cada clase segú la dstrbucó teórca. h = úmero de parámetros estmados a partr de la muestra. = úmero de grados de lbertad. Las frecuecas observadas e la dstrbucó de ua muestra, se emplea para poer a prueba, la hpótess de que la poblacó de la cual se ha obtedo la muestra, o dfere e dstrbucó, de la de algua dstrbucó coocda. Supuesta coocda la dstrbucó de Y. La hpótess H 0 tee la forma: la poblacó X de la cual se obtuvo la muestra tee la msma dstrbucó que la poblacó Y, formulamos la hpótess alteratva H 1 las poblacoes X e Y o tee la msma dstrbucó. Ua medda de las dscrepacas e este setdo, fue estudada por Pearso costruyedo el k ( p ) sguete estadístco: D, y demostró que, para 30 y p 5 D kh1, 1 p esto es, la varable D sgue ua dstrbucó j-cuadrado co = k - h - 1 grados de lbertad. Fjado u vel de sgfcacó, buscamos u valor tal que P S D aceptamos la hpótess H 0 de coformdad co el ajuste, sedo las dferecas p debdas al azar. S D rechazamos la hpótess H 0, las dferecas p so sgfcatvas y por tato, las dstrbucoes so dsttas.

60 Dstrbucó bomal o de Beroull Cosderemos u expermeto aleatoro que admte sólo dos resultados excluyetes: Suceso A (éxto) co probabldad P(A) = p. Suceso A (fracaso) co probabldad P( A ) = 1-p = q. A la varable aleatora dscreta = úmero de veces que ocurre el suceso A (éxto) e las pruebas se la deoma varable bomal. Para calcular la dstrbucó de probabldad os fjamos e el suceso favorable a A e k veces, k) k) A... AA... A cuya probabldad por ser sucesos depedetes es el producto de las k) k) k k probabldades p... p. q... q = p. q. Resultado que se puede repetr veces, luego P( = k) k = k p k q k. La fucó de dstrbucó correspodete es: F(x) = k kx p k q k. Ua dstrbucó bomal queda caracterzada cuado se cooce p y y se escrbe B(, p). =.p La esperaza matemátca: E = E - La varaza: V E =.p.q

61 Dstrbucó de Posso Es ua dstrbucó que se preseta cuado teemos ua poblacó grade y la probabldad de que ocurra u suceso determado, tee ua probabldad muy pequeña (ley de casos raros). Ua varable aleatora tee dstrbucó de Posso de parámetro, s toma los valores eteros 0, 1,..., co probabldad:p( k) k! e E = Esperaza matemátca: Varaza: VE E = k s > 0

62 Dstrbucó t de Studet. Sea 1,,..., y, +1 varables aleatoras depedetes etre sí co dstrbucó N(0, ) cada ua de ellas. Etoces la varable t se 1... deoma t de Studet co grados de lbertad x Fucó de desdad: fx ( ) 1 Su meda 0 (>1) y su varaza (>). La gráfca de la fucó de desdad para =3 grados de lbertad: Tee su aplcacó e la estmacó de las característcas de ua poblacó co dstrbucó ormal medate los llamados tervalos de cofaza. Studet fue el seudómo de Wllam Sealy GOSSET (1.876,1.937), el estadístco y químco que descubró la forma de la dstrbucó t medate ua combacó de trabajo matemátco y trabajo empírco co úmeros aleatoros, ua aplcacó tempraa de lo que ahora se llama el método de MoteCarlo. U.D. de Matemátcas de la E.T.S.I. e Topografía, Geodesa y Cartografía 57

63 Dstrbucó de Pearso Sea 1,,...,, varables aleatoras N(0,1) e depedetes, etoces la expresó: 1... es ua varable aleatora que recbe el ombre de jdos ch-cuadrado de Pearso (1.857,1936). El úmero de varables ormales sumadas recbe el ombre de grados de lbertad, y la represetamos por. La fucó de desdad de la varable aleatora es: 1 x - x f (x) e s x 0 La fucó de dstrbucó de ua varable aleatora vee dada por: F(x) P( x ) f( x)dx x 0 La meda, varaza y desvacó típca de ua varable aleatora j-cuadrado co grados de lbertad so:,, respectvamete. Correspode a ua dstrbucó Gamma de parámetros 1/ y /. U.D. de Matemátcas de la E.T.S.I. e Topografía, Geodesa y Cartografía 54

64 Dstrbucó Normal. Ua varable aleatora cotua X se dce que tee ua dstrbucó ormal o de 1(x ) 1 Laplace-Gauss de meda y desvacó típca : f(x) e es su fucó de desdad. es la llamada campaa de Gauss. La fucó de dstrbucó es: 1(x ) x 1 F(x) P(X x) e dx La esperaza matemátca o meda es y la varaza es. Se deota N(, ). La Normal tpfcada o estádar X Z N(0,1) U.D. de Matemátcas de la E.T.S.I. e Topografía, Geodesa y Cartografía 55

65 Itervalos de cofaza para la meda a) Poblacó ormal co varaza coocda. Sabemos que N,, luego N( 01, ). Queremos calcular u tervalo de forma que la P 1. A 1 se le llama vel de cofaza A se le llama vel de sgfcacó y es la probabldad de que el parámetro o esté e el tervalo. Buscaremos e la N(0,1) u valor de forma que P 1 como, y so coocdos, teemos el tervalo,. El tervalo de cofaza sería: x b) Poblacó cualquera de varaza fta y muestras grades. Sabemos que N(, ). Razoado gual que ates, s la varaza es coocda el tervalo será P 1 para >30. S la varaza es descoocda la estmamos por la cuasvaraza, y queda: S S S P 1 para >100 y el tervalo es x. c) Poblacó ormal co varaza descoocda. Buscaremos e u valor t tal que Pt t1 t 1 y el correspodete tervalo S S de cofaza será: P t t 1 S Para ua muestra cocreta: x t y s queremos determar el tamaño muestral, resulta t S de dode t.s.

66 Nvel o grados de cofaza Fjado u vel de cofaza 1-a buscaremos dos estadístcos T1=T(x1,x,,x) y T=T(x1,x,,x) tales que el tervalo de cofaza para q co ese vel de cofaza sea: h, 1 h T,T 1 de forma que 1 Los grados de cofaza P P(T T ) 1, sedo 0<a<1 1 (frecuetemete expresada e tato por ceto equvalete) es la frecueca relatva de veces que los tervalos de cofaza cotee el parámetro de la poblacó, etededo que el proceso de estmacó se repte u úmero grade de veces. U.D. de Matemátcas de la E.T.S.I. e Topografía, Geodesa y Cartografía 9

67 Itervalos de cofaza para la varaza ( 1).S Se sabe que 1s la poblacó de partda es N(, ). Por tato, para tomar el tervalo de cofaza de vel de sgfcacó, buscamos los valores k 1 y k, tal que: ( 1).S Pk1 k 1 y el correspodete tervalo de cofaza será: ( 1).S ( 1).S P 1 k k1 Se os platea el problema de que la dstrbucó 1 o es smétrca (como ocurría co la Normal y la t de Studet) por lo que o es posble determar co exacttud los valores k 1 y k para que el tervalo esté cetrado e S. Ua solucó aproxmada y geeralmete buea es determar k 1 y k co las codcoes: P 1k1 y P 1k U.D. de Matemátcas de la E.T.S.I. e Topografía, Geodesa y Cartografía 10

68 Estmador de la varaza de la poblacó 1 La varaza muestral S es u estmador sesgado de la varaza, ya 1 1 que: ES = Debe observarse que o hemos hecho gua hpótess de cual sea la dstrbucó de probabldad de la varable. 1 Por tato, la desvacó típca muestral será: S 1 1 U.D. de Matemátcas de la E.T.S.I. e Topografía, Geodesa y Cartografía 73

69 Esperaza matemátca La esperaza matemátca es el valor medo teórco que resulta de susttur las f (frecuecas relatvas) por las P (probabldades), y que o es so ua meda artmétca poderada. Se acostumbra a defrlo como esperaza matemátca de gaacas, es decr, la gaaca que teórcamete esperaba obteer u jugador frete a uas determadas reglas de juego. Sea ua varable aleatora, se defe el operador E como: E = 1 xpx ( ) para ua varable dscreta y fta. E = covergete. E = 1 xpx ( ) para ua varable dscreta y o fta sempre que la sere sea tf. ( t). dt cuado la varable es cotua co fucó de desdad f(x) y sempre que la tegral sea absolutamete covergete. U.D. de Matemátcas de la E.T.S.I. e Topografía, Geodesa y Cartografía 70

70 Estmador Isesgado o cetrado U estmador se llama sesgado cuado E La meda muestral efcete, puesto que V, y sufcete. es u estmador sesgado, ya que E, cosstete, U.D. de Matemátcas de la E.T.S.I. e Topografía, Geodesa y Cartografía 73

71 Muestreo aleatoro smple Se trata de extraer ua muestra de ua poblacó. Se caracterza porque todos los elemetos de la poblacó tee la msma probabldad de ser elegdos. El procedmeto práctco de escoger la muestra, puede ser umerar los elemetos de la poblacó, aputar los úmeros e tarjetas, y sacarlas al azar. S la muestra y la poblacó so grades, e vez de tarjetas se utlza tablas de úmeros aleatoros. Este muestreo puede ser: Co reemplazameto: se elge u elemeto de la poblacó, se estuda y se retegra a la poblacó. Así sucesvamete, la probabldad de obteer cualquer elemeto se matee costate, teresa para que los elemetos de la muestra sea depedetes. S reemplazameto: los elemetos elegdos e la muestra o se resttuye e la poblacó. La probabldad de obteer u elemeto va aumetado al dsmur los elemetos posbles. U.D. de Matemátcas de la E.T.S.I. e Topografía, Geodesa y Cartografía 1

72 Dstrbucó Uforme o Rectagular. Se dce que ua varable cotua sgue ua dstrbucó uforme e el tervalo ab, cuado su fucó de desdad es: Gráfcamete: 0 s x a 1 f (x) s a x b b-a 0 s b<x 1 _ b-a La fucó de dstrbucó, será: a b 0 s x a x-a F(x) b-a s a x b 1 s b< x cuya gráfca es: 1 a b Meda: E a b x.f(x).dx a b 1 Varaza: V E E Esta dstrbucó depede de los parámetros a y b y se deota Uab,. Para el caso dscreto se caracterza por teer todos su valores la msma probabldad U.D. de Matemátcas de la E.T.S.I. e Topografía, Geodesa y Cartografía 58