ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA E INFERENCIAL I

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1 COLEGIO DE BACHILLERES ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA E INFERENCIAL I FASCÍCULO. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Autores: Jua Matus Parra

2 COLEGIO DE BACHILLERES Colaboradores Asesoría Pedagógca Revsó de Cotedo Dseño Edtoral Leoel Bello Cuevas Javer Darío Cruz Ortz

3 Í N D I C E INTRODUCCIÓN 5 PROPÓSITO 7 CUESTIONAMIENTO GUÍA 9 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA CAPÍTULO. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL. MEDIDAS DESCRIPTIVAS, MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL O DE POSICIÓN.. Moda 3.. La Medaa 6..3 La Meda 9..4 La Moda de Datos Agrupados..5 Cálculo de la Medaa de Datos Agrupados 5..6 La Meda de Datos Agrupados 7..7 Rago 7..8 La Desvacó Meda 8..9 La varaza 4..0 Cálculo de la Varaza de Datos Agrupados 44.. Desvacó Estádar 45 3

4 . MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y DE DISPERSIÓN EN CURVAS DE FRECUENCIAS 5.. Curvas Smétrcas 5.. Mometos Curvas Asmétrcas Sesgo 57 RECAPITULACIÓN 6 ACTIVIDADES DE CONSOLIDACIÓN 6 AUTOEVALUACIÓN 63 BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA 66 4

5 I N T R O D U C C I Ó N La estadístca como ua de las ramas de la Matemátca, os ayuda a orgazar la ormacó obteda e la vestgacó de campo de ua poblacó o muestra. Ua maera de orgazar esta ormacó so las tablas de recuecas. Las tablas de recueca so ua sítess de la ormacó que os aclta su represetacó gráca e u hstograma o polígoo de recuecas. La gráca os aclta el aálss e terpretacó de la ormacó, la relacó de los parámetros de tedeca cetral: Moda (Mo), Medaa (Me) y Meda (x) y la relacó de los parámetros de tedeca cetral co los de dspersó: Desvacó meda (DM); Rago, Varaza (S ) y desvacó estádar (S). La gráca també os muestra co clardad, la ítma relacó que hay etre los parámetros de dspersó y cómo luye éstos e su orma, dado como resultado grácas: a) Smétrcas, o b) Asmétrcas. La orma e clacó de la gráca coocda como curtoss os permte vsualzar haca dode se dspersa los datos. E sítess: la gráca os aclta el aálss y la terpretacó de la ormacó al represetarla e orma seclla y compacta. E este ascículo aprederás a cuatcar e terpretar la ormacó de cualquer problema de vestgacó. 5

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7 P R O P Ó S I T O La vestgacó cetíca y tecológca ha dejado de ser ua actvdad de laboratoro. E la actualdad toda actvdad o acttud humaa, todo ucoameto de ua máqua debe estudarse y aalzarse co la aldad de determar s el ucoameto de la máqua es óptmo, s la actuacó o característcas de las persoas so las deseadas. El coocmeto que se deduce de cada estudo, os permte hacer correccoes que os garatce el logro de las metas jadas e las polítcas de trabajo de ua empresa, de u laboratoro, etcétera. Este ascículo pretede darte los elemetos metodológcos udametales que te permtrá abordar el mportate estudo de cualquer eómeo que te terese coocer co el de buscar su óptma realzacó; també el apredzaje de coceptos estadístcos mportates para el aálss de cualquer eómeo que queras cursoar para coocerlo y tomar ua decsó. Estos coceptos que aparece e el ídce te permtrá ua avetura agradable e teresate, pasado mometos satsactoros como los que vve todo cetíco cuado ecuetra la comprobacó de su hpótess. 7

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9 CUESTIONAMIENTO GUÍA Seguramete has escuchado e los medos de ormacó, otcas como las sguetes: - El promedo de las edades de la seleccó de útbol es 8 años. - La temperatura promedo del día es 4 grados. - El sueldo promedo de los trabajadores de ua empresa está por arrba del salaro mímo. Esta ormacó os hace relexoar y deducr algú coocmeto: - E el prmer ejemplo se deduce que la seleccó es u equpo de jóvees. - E el segudo ejemplo, que el clma es agradable. - E el tercero, que la empresa remuera muy be a sus trabajadores. S embargo uestra deduccó o es sempre correcta, aalcemos el últmo ejemplo: La ormacó que os proporcoó la empresa es que tee 5 trabajadores y su óma dara es de $ y el promedo del salaro es de $ Este resultado os hace pesar que los sueldos de la empresa de sus trabajadores es cas el doble del sueldo mímo del cual se deduce que la remueracó a sus trabajadores es buea, s embargo o es así porque e la óma esta cludo el sueldo del gerete y esta catdad dsraza el sueldo real de cada uo. S el gerete percbe $ daros, etoces Cuál es el sueldo real de los otros trabajadores?. Como habrás otado e este ejemplo, coocer los promedos o es sucete, es ecesaro saber cómo está dspersos los datos. E este ascículo aprederás a calcular, aalzar e terpretar otros parámetros que descrbe co precsó la ormacó obteda de ua muestra de ua poblacó e estudo. 9

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11 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA LE BOUTIQUE DE MADAME LAGUSSI Fgura El sexo emeo suele vestr muy a la moda y esto se releja e las vetas del mes de mayo e la cada de modas de Madame Laguss. M. Laguss al hacer u balace obtuvo los sguetes resultados: Tpo de vestdo VENTAS DEL MES DE MAYO No. de vestdos veddos Suare 6 Corte de Prcesa 8 Traje de Nova 6 Short Materdad Bermudas 5 Maldas 0 Traje sastre 4 Vestdo de cocktel 3

12 De acuerdo co esta ormacó, Qué tpo de ropa crees que esté de moda? E toda actvdad humaa se preseta muchos problemas que se puede aalzar y estudar e orma sstemátca y lógca. El estudo de estos problemas os permte tomar decsoes acertadas que os coduce a lograr metas mportates de progreso. La ormacó que se obtee de u determado problema e estudo como el dell ejemplo ateror, se resume medate adecuadas descrpcoes estadístcas que llamamos: CAPÍTULO MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL. MEDIDAS DESCRIPTIVAS, MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL O DE POSICIÓN Las meddas descrptvas que estudaremos e este ascículo so de dos tpos: a) Meddas de Tedeca Cetral o de Poscó y b) Meddas de Dspersó o de Varacó. Meddas de Tedeca Cetral o de Poscó. Las meddas de tedeca cetral descrbe las característcas báscas de u cojuto de datos. So meddas represetatvas del cojuto y geeralmete se resume medate u valor umérco que ídca la varacó etre éstos. Las meddas de tedeca cetral so: a) La Moda (Mo) b) La Medaa (Me) c) La Meda artmétca ( X ) E esta udad aprederás el cálculo y aplcacó de estas meddas. E estadístca se usa el cocepto de Moda (Mo) y represeta lo msmo que dedujste e el problema ateror.

13 E este ejemplo, el tpo de ropa co mayor recueca de veta es la malda, porque la recueca = 0 es la mayor. E este caso deotamos Mo = malda. Esta varable aleatora descrbe ua cualdad como e uestro ejemplo (malda); pero també descrbe ua catdad represetada por u valor umérco, como ya veremos... Moda La Moda (Mo) de u cojuto de datos es el valor (o cualdad) de la varable aleatora que aparece co mayor recueca. Ejemplos:. E la coereca que se llevó a cabo e el hotel María Isabel Sherato para altos ejecutvos, cuyo tema ue: El tratado de lbre comerco ; la assteca ue la sguete: Día No. de persoas Lues 0 Martes 5 Mércoles 6 Jueves 6 Veres 8 Sábado 6 Domgo 5 a) Cuál es la moda de la assteca? b) Qué tpo de varable es esta moda? c) Qué día ue la moda de assteca? d) Qué tpo de varable aleatora es el día de moda de assteca? R. a) La moda de la assteca es Mo = 6. b) El tpo de varable es de catdad. c) El día co mayor recueca e assteca ue Mo = domgo. d) El tpo de varable es de cualdad.. E el etreameto de u equpo de básquetbol, los 5 jugadores estrella, detro de los ejerccos de etreameto daro, deberá correr daramete 5 mutos a toda su velocdad, tratado de rebasar daramete su marca. Veamos el klometraje del lues: 3

14 Núm. de jugador Recorrdo e km Cuál es la moda del recorrdo? R. Como pudste otar e este ejemplo o hay moda porque gua dstaca recorrda se repte. Esto sempre ocurre; es decr, s tees u cojuto de datos e el cual cada dato aparece ua sola vez, se dce que o hay moda. 3. El úmero de lbros veddos e la lbrería Acuaro e la prmera semaa de clases del semestre 93B, regstró las sguetes catdades: Lues Martes Mércoles Jueves Veres Sábado Domgo a) Qué día ue la moda e vetas? b) Cuál es la moda e vetas? R. a) El día de moda e vetas ue el domgo porque la recueca e vetas es la mayor de todas, Mo = domgo. b) La moda e vetas es Mo = 00 porque es la catdad que aparece co mayor recueca. Como ya quedó dedo, la varable aleatora puede ser de cualdad o de catdad. E este ejemplo lo hacemos otar uevamete: jaremos la varable depededo del terés que tegamos. 4. E u equpo de útbol las estaturas del cuadro campeó so: Delateros mts. Medos mts. Deesas mts. Portero.88 mts. 4

15 Cuál es la moda de las estaturas? R. Aalzamos la recueca de cada medda y obteemos: Mts La moda de las estaturas es: Mo =.70 mts. Mo =.75 mts. De acuerdo a la decó de moda vemos que esta varable aleatora tee dos modas porque dos estaturas deretes tee la msma recueca y ésta es la mayor. E estos casos la varable se llama modal. La varable aleatora que tee moda se llama umodal. La varable aleatora que tee dos modas se llama bmodal. La varable aleatora que tee tres modas se llama trmodal, etc. Por lo tato e el ejemplo ateror la varable aleatora es bmodal por teer dos modas. Multmodal es la varable aleatora que tee más de ua moda. Es umodal s tee solamete ua. ACTIVIDAD DE REGULACIÓN Para cada uo de los ejerccos sguetes cotesta las pregutas que se dca: a) Cuál es la varable aleatora? b) La moda es Mo = c) La moda es de cualdad o catdad? Por qué? d) La varable aleatora es umodal o multmodal? Por qué? 5

16 . Las calcacoes e estadístca descrptva obtedas e u grupo de 0 alumos so; 7, 9, 0, 8, 6, 5, 4, 7, 9, 8, 5, 0, 9, 6, 7, 5, 4, 8, 9, 7.. E la esta de graduacó de la geeracó del Colego de Bachlleres Platel No., se hzo u aálss sobre el color del vestdo, tomado como muestra al azar, a las prmeras 5 damas. Se obtuvero los sguetes resultados: rojo, egro, azul, blaco, rojo, verde, blaco, azul, amarllo, verde, grs, rojo, egro, azul, egro. La moda es ua medda de tedeca cetral porque su valor ecuetra e la proxmdad de otros valores que també se localza e la parte cetral de los valores que toma la varable aleatora. Estas so: la medaa (Me) y la meda artmétca ( X ), de las cuales os ocuparemos e las seccoes sguetes... La Medaa GRADUACIÓN DE LA GENERACIÓN 00 DEL COLEGIO DE BACHILLERES Fg. E la esta de graduacó de la Geeracó 00 del Colego de Bachlleres se observó el color del vestdo de las prmeras 5 damas que llegaro al saló de estas, obteédose los resultados que se muestra e la sguete tabla: 6

17 Color del vestdo F Blaco Negro 5 Rojo 7 Azul 6 Verde 3 Grs Amarllo total 5 Al ordear los datos de la tabla e setdo crecete obteemos:,,, 3, 5, 6, 7 De este ordeameto puedes observar que el valor que está e el cetro de todos los datos es el úmero 3; este valor recbe el ombre de medaa. E este caso deotamos Me = 3. E uestro ejemplo correspode al color verde del vestdo. 5. Para el programa Apoyo a la Uversdad, la Sra. de Haceda y Crédto públco, publcó ua lsta de las empresas y el úmero de uversdades del país que recbero recursos de aquellas. Dcha lsta es: Empresa A B C D E F G H I J K L M Uversdad Al ordear e setdo crecete el úmero de aportacoes por empresa, obteemos: 6, 6, 8, 9, 0,,,,, 3, 6, 6, 9. De este cojuto ordeado podemos ver que el úmero que se ecuetra e el cetro de los datos es el y por lo tato Me =. MEDIANA es el valor de la varable aleatora que se ecuetra e el cetro de u cojuto ordeado de datos. Para determar el valor de la medaa (Me) de u cojuto co () datos, s es mpar, etoces aplcamos la órmula: + ( ) E el ejemplo de las doacoes, = 3, susttuyedo e ( ) obteemos: 3 + = 7 7

18 El 7 dca el úmero de orde del elemeto que represeta la medaa que es Me =. S el úmero de datos ( ) es u úmero par, etoces la medaa recae e los dos valores cetrales. 6. Para = 50, susttuyedo e ( )obteemos: = = 5.5 Este valor os dca que la medaa se obtee por la semsuma de los elemetos que ocupa los lugares 5 (vgésmoquto) y 6 (vgésmo sexto). 7. El úmero de trasaccoes e dólares, realzadas por el Baco Nacoal de Méxco durate los prmeros días del mes de julo de 993, uero los sguetes: el er. día 9, el do. día 3 y los sguetes días, 8, 3, 7, 4, 6, 8 y 7 respectvamete. Determa la medaa (Me) de la varable aleatora: Al ordear los datos e setdo crecete obteemos 3, 7, 8, 9,, 3, 4, 6, 7, 8. Aplcado la órmula () para = 0 obteemos: 0 + = = 5.5 El valor obtedo os dca que la medaa se obtee por la semsuma de los elemetos que ocupa los 5º y los 6º Lugares o sea los valores y Me = = =.5 Me =.5 Este valor de la medaa os dca que el valor cetral de los datos correspode a.5 y como ya se djo, s el úmero de datos es par, para determar el valor de la medaa se toma la semsuma de los dos valores cetrales. També esto lustra que la medaa o es ecesaramete u elemeto del cojuto e cuestó. ACTIVIDAD DE REGULACIÓN E cada uo de los problemas sguetes determa la moda y la medaa de cada cojuto de datos. Aalza los resultados e dca tus observacoes. 8

19 . La oca de correos de la Cudad de Méxco evó e el mes de julo, a deretes estados de la Repúblca, el sguete úmero de paquetes: 78, 38, 47, 84, 49, 55, 4, 3, 66, 60, 94, 67, 6, 68, 70.. Las tallas más comues de los vestdos que se vedero e la boutque de Madame Lagusy, e el mes de julo so: 7, 0, 4, 9, 4, 9, 8, 9, 6,, 4,, La Meda LAS DIEZ PRIMERAS FINALISTAS DEL CONCURSO MISS UNIVERSO Fg 3 Las edades de las 0 prmeras alstas del Cocurso de Belleza, so: 8, 9, 5, 9, 0,, 0,, 8 y 8 años, respectvamete. Cuál es la edad del promedo ( X ) de las dez alstas? R. Para poder determar la edad promedo, hacemos ua suma de las edades y el resultado lo dvdmos etre el úmero de alstas X = = 0 0 X = 0 9

20 Este resultado os dce que la edad promedo de las 0 alstas del cocurso Mss Uverso es de 0 años. 8. E la temporada pasada los equpos de útbol que más goles aotaro uero los sguetes: El Atlate 47, el Pachuca 50, el Amérca 45, el Guadalajara 39, el Cruz Azul 38, el Necaxa 9, el Uversdad 39, la U. de G. 4, el Toluca 44, el Querétaro 43 y el Puebla 46. Cuál ue el promedo de goleo de la temporada pasada? Para determar la meda artmétca ( ) X o promedo de datos, se suma y el resultado se dvde etre. De uestro ejemplo obteemos = X = = X = 4 goles: Promedo de goleo de la temporada pasada. 4 goles S los valores de la varable los represetamos co X, X,.., X etoces la represetacó smbólca de la meda es: X + X +...X X = ( ) Esta expresó se puede represetar e su orma más compacta s usamos el símbolo ( sgma), para expresar la suma de los valores de la varable, obteédose: = X X = ( 3 ) Esta expresó dca que el umerador del segudo membro exste ua suma de la varable X, el subídce ( ) dca que el valor de X es la varable y la aotacó abajo y arrba de dca que el subídce ( ) toma valores desde = hasta =, es decr; la suma se hace desde X = X hasta X = X. 9. E el orme de la sala de Urgecas del Hosptal Geeral sobre los pacetes ateddos e la prmera semaa de julo, se obtuvero los sguetes datos: Lues 5, martes 4, mércoles 0, jueves 30, veres 6, sábado 35 y domgo 9. 0

21 Determar el promedo de pacetes ateddos e la semaa. Para obteer este promedo susttumos los datos e la órmula (3). X = 5 X = 4 X 3 = 0 X 4 = 30 X 5 = 7 X 6 = 35 X 7 = 8 = 7 X = 7 X = 7 7 X = = 7 El promedo semaal de atecó de pacetes e la sala de urgecas es de 7 pacetes. 7 ACTIVIDAD DE REGULACIÓN E cada uo de los ejerccos sguetes, determa la Mo, Me y X, aalza tus resultados, compáralos y expresa tus observacoes.. E el departameto de cotrol de caldad se tomó ua muestra al azar de 0 ocos para determar el úmero de horas de vda de cada oco, obteédose los sguetes datos: De muestra De horas La produccó de torllos especales elaborados por u empleado de la ábrca Mecaca Falk e ua de las semaas que se toma de muestra, ue la sguete: Día de la semaa No. de torllos lues martes mércoles jueves veres Sábado

22 Hasta este mometo, hemos calculado las meddas de tedeca cetral (Mo = moda, Me = medaa X = meda) de datos o agrupados y esto se puede hacer debdo a que las muestras tomadas de la poblacó so pequeñas. S la muestra es grade etoces es ecesaro agrupar los datos e tablas de recuecas como ya lo estudaste e el ascículo ateror. Ahora estudaremos cómo determar la moda, la medaa y la meda para datos agrupados...4 La Moda De Datos Agrupados. Para determar la moda se costruye ua tabla de recueca como el sguete ejemplo: 0. U grupo de 40 alumos, acumuló e u mes 43 retardos reportados e mutos e la sguete tabla: Clase e mutos Frecueca de retardos Total 43 Co estos datos aplcamos la sguete ecuacó: A = Itervalo de clase. Lr = Límte real eror de la clase modal. d Mo = Lr + A ( 4 ) d + d d = recueca de la clase modal meos la recueca de clase ateror a la modal. d = recueca de la clase modal meos la recueca de la clase sguete. Recordarás que la moda es el valor que se repte co mayor recueca. Para los datos agrupados e clases, la moda es el valor que se ecuetra e la clase de mayor recueca y a esta clase se le llama clase modal.

23 Para aplcar la ecuacó ( 4 ), el procedmeto es el sguete: ) E uestra tabla de dstrbucó de recuecas vsualzamos la clase modal y la marcamos co doble raya, para o equvocaros e la toma de datos, toda vez que para aplcar la ecuacó ( 4 ) toda la ormacó está basada e esta clase. ) Determamos el límte real eror de la clase modal Lr = 9.5 3) Calculamos d = 8 = 4 4) Calculamos d = 6 = 6 5) Calculamos A. Para el cálculo de A se resta al límte superor de cualquer clase, el límte eror y al resultado se le suma la udad. Para la clase modal de uestro ejemplo A: A = 0 + = + = 3 Se susttuye los datos e la órmula y obteemos: Mo = ( 4 ) = = La órmula que hemos aplcado tee su udameto e el hstograma que se obtee al gracar los datos; aalcemos la sguete gráca: d d X A 0 L T = 9.5 Fg 4 3 x

24 Aalzado la gráca vemos que el rectágulo mayor del hstograma se localza e la clase modal cuyo límte real eror de clase es Lr = 9.5 d es la dstaca etre la recueca modal y la recueca de la clase ateror. d es la dstaca etre la recueca mayor y la recueca de la clase sguete a la modal. A es tervalo de clase o ampltud de clase. X es la dstaca del límte real de clase al puto dode se localza la moda; como estas dstacas so proporcoales, podemos establecer la sguete proporcó: X = d A d + d d X = A d + d ( a ) La moda es gual a la suma de las sguetes dstacas: Mo = Lr + X ( b ) Susttuyedo ( a ) e ( b ) obteemos: Mo = Lr + A d d + d ( c ) Del ejemplo ateror podemos coclur que la moda de datos agrupados se puede determar de dos ormas:. Aplcado la ecuacó ( 4 ). Cálculo gráco. Para el cálculo gráco, ua vez gracado el hstograma, se traza las dagoales uedo los putos superor derecho de los rectágulos de la clase modal y la clase ateror y los putos superor zquerdo de la clase modal y la clase sguete a ésta. E el puto dode se corta las dagoales se traza ua perpedcular al eje X. El puto dode se corta la perpedcular y el eje X es la moda de los datos agrupados. 4

25 ACTIVIDAD DE REGULACIÓN E cada uo de los sguetes ejerccos, determa la moda (Mo) medate la gráca y comprueba el resultado, aplcado la órmula.. E u grupo de 60 alumos se obtuvero los sguetes resultados e su exame al que coteía 0 reactvos. Los datos reportados so acertos. 5,,8,3,0,4,6,4,8,9 8,5,9,,7,9,4,3,,0 7,3,5,8,0,,5,9,0,0 9,,0,0,,3,,8,4, 0,,0,9,3,8,5,7,9,,9,7,0,8,5,8,4,7,9. Las llamadas teleócas daras que ua empresa hzo a sus cletes durate los dos prmeros meses del año uero: 6,,7,5,3,8,6,0,5,,0,8 3,5,6,9,8,0,5,,7,0,,3 9,,5,8,0,3,7,3,5,4,8,6 4,6,9,6,0,,0,3,7,4,5,7..5 Cálculo de la Medaa de Datos Agrupados. La medaa (Me) de u cojuto de observacoes, agrupados e ua tabla de dstrbucó de recuecas, se puede determar aplcado la ecuacó: Me = L + L = límte eror de la clase modal A = ampltud del tervalo de clase = úmero de observacoes de la muestra F = recueca acumulada hasta la clase ateror a la clase modal = recueca absoluta de la clase modal A F ( 5 ) 5

26 Para aplcar esta ecuacó, veamos el sguete ejemplo:. El peso de 50 trabajadores de ua empresa se represeta e la sguete tabla de dstrbucó de recuecas. Itervalo de clase Kg. Frecueca absoluta Frecueca acumulada total 50 Para aplcar la ecuacó, procedemos de la sguete orma: Sabemos que la medaa se ecuetra e el cetro de las observacoes, por lo tato dvdmos los datos etre dos: = 50 = 5 De este resultado se deduce que la medaa ocupa el 5o. lugar, por lo que vemos e la recueca acumulada e qué clase se ubca, y ésta correspode a la clase Marcamos esta clase co doble raya para ácl reereca. Para determar la medaa es ecesaro terpretar los datos, dado que o teemos la medaa a la vsta e la tabla so que se ecuetra etre los valores que está cludos e la clase Determamos el valor de los parámetros observado los datos e la tabla: = 5 L = 68 Ecuacó: Me = L + A ( - F ) ( 5) A = A = 4+ = 5 F = 9 = Susttuyedo e la órmula obteemos Me = ( 5 9 ) = ( 6 ) = Me = = 70.5 Kg. El valor de Me = 70.5 Kg. represeta la medaa de los pesos de los 50 trabajadores de la empresa. 6

27 ACTIVIDAD DE REGULACIÓN Determa la medaa e los problemas y del ejercco ateror aplcado la órmula (5)...6 La Meda De Datos Agrupados E tu ascículo ateror ya realzaste tablas de dstrbucó de recueca para orgazar los datos obtedos de u problema. Los datos los agrupaste e clases. Las clases tee el msmo tervalo de clase y el puto medo del tervalo de clase se llama marca de clase (M). Para determar la marca de clase, se suma los extremos de la clase y el resultado se dvde etre. M = x + x M = Marca de clase. Puto medo de clase. La marca de clase es la medaa de las observacoes compreddas e cada clase y ésta se obtee solamete de dos valores como ya se dcó e la órmula (6). La marca de clase o es útl porque para obteer el valor de las observacoes compreddas e ua clase, multplcamos la recuecas por la M. Este producto dee todas las observacoes compreddas e ua clase. Para el cálculo de la meda de datos agrupados, sumamos estos productos y los dvdmos etre el úmero de observacoes. La ecuacó es la sguete: M X = + M +...M = = M M = X = ( 7 ) 7

28 . Se desea saber la edad promedo de 50 acaos de u aslo y para ello co la ormacó se elaboras la sguete dstrbucó de recuecas: Clase años M F M total 50 =383 Susttuyedo los datos e la ecuacó ( 7 ) obteemos X = = M = = años es la edad promedo e el aslo de acaos. Exste otro método para calcular la meda de datos agrupados, lo llamaremos Método abrevado para el cálculo de la meda. Este método cosste e jar u orge muy aproxmado a la meda ( X ) de los datos. Este valor que srve de orge se resta a cada uo de los valores dvduales obtedos como dereca, valores egatvos y postvos cuya suma es cero; pero el producto de cada dereca por la recueca os da valores cuya suma es derete de cero, co estas catdades aplcamos la sguete ecuacó: X = X' + = X' ( 8 ) X Es el valor que se toma como orge. Se recomeda el valor que se tome como orge (X ) sea u valor próxmo a la medaa. El valor escogdo de esta orma, aclta el cálculo y el valor obtedo de la meda más exacta. Veamos el sguete ejemplo: 3. Las calcacoes obtedas e la escala de 0 a 0 de u grupo de 50 alumos se muestra e la sguete tabla: 8

29 Calcacó Cal.- orge X X = X X = = = = = 3 3 X ( 5 ) 5 5 = = = = = = Total 50 Σ= 88 X = 5 = 50 Susttuyedo e la ecuacó obteemos = X' = 88 X = X' + = X' = = X = 6.76 promedo de calcacoes del grupo. Cuado los datos está agrupados por clases e ua tabla de recuecas, se toma como puto de orge (X ) u valor termedo de las marcas de clase. Se calcula las derecas Mc X = X ' y co este resultado se calcula los productos e X ' completado las columas ecesaras de la tabla de recuecas; estos valores los susttumos e la órmula ( 8 ). 4. Aplcado esta órmula calculemos la edad promedo de los 50 acaos del problema (), y comparemos los resultados obtedos co ambos métodos. 9

30 Clase años M F M X = X X = = 3 33 X = = = = = = 4 Total 50 = 7 Susttuyedo valores e (8), obteemos: X = = = X = años es la edad promedo e el aslo de acaos. Al comparar este valor co el calculado por el otro método, podemos observar que el valor es el msmo. ACTIVIDAD DE REGULACIÓN PROBLEMA. Calcula la meda ( X ) tomado como puto orge X = 80 y repte los cálculos para X = 8 compara tus resultados co el ateror y expresa tus coclusoes. E el sguete problema, aplca el método abrevado para calcular la meda.. Ua zapatería poe e remate 00 pares de zapatos cuyos precos y catdades de exsteca se dca e la sguete tabla de recuecas: PRECIO EN $ total 00 30

31 . La produccó de pataloes de ua ábrca de ropa e el mes de julo y agosto ue la sguete: 4, 63, 08, 57, 60, 4, 40, 3, 35, 8, 35, 50, 49, 0, 6, 8, 45, 50, 39, 49, 44, 9, 3, 37, 4, 63, 08, 33, 46, 37, 49, 4, 63, 65, 58, 46 0, 6, 50, 59, 60, 48, 0, 08, 0,5 Calcula la meda de la produccó aplcado las ecuacoes ( 7 ) y ( 8 ) y compara los resultados. Explca cuál es el más recomedable usar y por qué. La meda de ua muestra se smbolza como ya se djo X (equs testada) y la meda de ua poblacó se smbolza como µ (letra grega mu). El ombre que los estadístcos da para derecarlas es: X (estadístca de la muestra) µ ( parámetro de la poblacó) µ = N = N X ( 9 ) Recuerda que poblacó es todo el cojuto de observacoes obtedas de u certo eómeo, y muestra es ua parte represetatva de la poblacó. El total de observacoes de la poblacó se smbolza co ( N ) y los elemetos de la muestra se smbolza co ( ). També recordarás que, para que la muestra sea represetatva de la poblacó, esta debe ser ua muestra aleatora. Hasta el mometo hemos calculado meddas represetatvas de u cojuto de datos cocetrados e u valor umérco que descrbe a todo el cojuto y cuyo valor es característco del msmo. A estas meddas les hemos llamado meddas de tedeca cetral porque su valor se ecuetra cerca del cetro de observacoes obtedas al aalzar u determado problema y éstas so: a) La Moda (Mo) b) La Medaa (Me) c) La Meda ( X ) Hay otras característcas de las observacoes que so mportates coocer, por ejemplo: Cuáto varía los datos etre sí? Cuál es el grado de dspersó de los datos?. Esta ormacó o la proporcoa las meddas de tedeca cetral, por lo que a cotuacó aalzaremos cómo determar estos uevos valores. 3

32 Aalcemos el sguete ejemplo: 5. Las vetas realzadas e 0 días de uo de los meses por tres vededores de ua compañía uero las sguetes: Vetas de Pedro: 5, 8, 8,, 7, 9, 5, 7, 7, 0 Vetas de Adrés: 5, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7 Veta de Carlos: 5, 6, 0, 0,, 0, 9, 8, 9, 0 Ordea los datos y calcula las meddas de tedeca cetral de las vetas de cada uo. Vetas de Pedro: Mo Me X Vetas de Adrés: Mo Me X Vetas de Carlos: Mo Me X De acuerdo a tus cálculos, la meda de las vetas que obtuvste ue la msma para los tres: X = 5.8 Qué podrías deducr de estos resultados? Expresa brevemete tu deduccó: De acuerdo a los valores de tedeca cetral de Adrés y Pedro, Qué puedes decr de estos vededores? Cuál de los tres cosderas que es más cosstete e sus vetas? Cosdera a Pedro y Carlos Qué cosderas que es más cosstete e sus vetas? Cometa tus resultados co tu asesor de cotedo. Los resultados que debste obteer so: Vetas de Pedro: Mo 7; Me 7; X 5.8 Vetas de Adrés: Mo 7; Me 7; X 5.8 Vetas de Carlos: Mo 0; Me 9; X 5.8 3

33 Esta ormacó podría haceros pesar que todo está be, s embargo o lo es, por lo que es ecesaro tomar algua medda para mejorar las vetas. S observas los resultados aterores, podrás otar que el valor de la meda es el msmo para los tres, por lo que o os dca e dode las vetas ada mal. U cálculo rápdo y secllo cosste e restar al valor mayor de los datos el valor meor, este resultado os dca el rago e que está dspersos los datos. Calcula el rago de dspersó de cada uo de los vededores. Los resultados que debste obteer so: Rago de vetas de Pedro 5 5 = 0 Rago de vetas de Adrés 7 5 = Rago de vetas de Carlos 5 = 6 Las vetas de Adrés so muy cosstetes porque el rago de dspersó es de. Las vetas de Carlos també so cosstetes auque meor que las de Adrés; la dspersó de los datos es 6. Las vetas de Pedro regstra el mayor rago de dspersó, por lo tato os dca que sus vetas o so cosstetes. Co este aálss debemos recomedar que se haga ua vestgacó de campo para determar las causas de la rregulardad de Pedro co el de dar ua solucó para mejorar. La varabldad y dspersó de los datos la proporcoa otras meddas que so:. El rago. La desvacó meda 3. La desvacó estádar 4. La varaza..7 El Rago: Ua orma rápda de coocer la dspersó de los datos determado el rago o recorrdo de la varable aleatora. El rago (R) es la dereca etre el valor mayor y el meor que toma la varable. 33

34 R = rago X = el meor valor R = X X (0) X = el mayor valor E el ejemplo ateror obtuvmos los ragos de dspersó de las vetas aplcado la ecuacó (0). Para determar el rago de datos agrupados X es el límte superor del últmo tervalo de clase y X es el límte eror del prmer tervalo de clase. ACTIVIDAD DE REGULACIÓN E cada uo de los ejerccos determa el rago, aalízalo y da tus coclusoes.. El departameto de cotrol de caldad tomó ua muestra de 0 lechas al azar, para medr su dámetro y coocer s la toleraca está detro de las especcacoes. Se obtuvero los sguetes datos (y las udades so cm.):,.05,.03,.95,.0,.04,,.98,.99 y.03. El departameto de cotrol de caldad de ua ábrca de baterías tomó ua muestra aleatora de 0 plas co el de determar su vda útl. Se obtuvero los sguetes resultados: 6. hrs., 6.8 hrs., 6.0 hrs., 6.4 hrs., 5.9 hrs., 6.6 hrs., 5.8 hrs., 6.3 hrs., 6. hrs., 6. hrs., 6.8 hrs. El rago es muy útl e el cotrol de caldad porque e esa área maeja derecas muy pequeñas (toleracas). S embargo, la meda y el rago o permte coocer co precsó cómo está dspersos los datos, por lo tato es ecesaro troducr otra varable que permta coocer la dspersó y ésta es la desvacó meda que troducremos e la sguete seccó...8 La Desvacó Meda La desvacó (d ) que hay de cada observacó (X ) co respecto a la meda ( X ) se obtee medate la sguete ecuacó: 34

35 d = X - X... () d = Desvacó de cada observacó co respecto a la meda La desvacó es egatva para valores X < X y postva para valores X > X. La suma de todas las desvacoes es gual a cero y se smbolza medate la sguete ecuacó: D = = ( X X) 0 = () Este valor D = 0 o os ayuda e el cálculo; para evtar que la suma sea gual a cero, se toma el valor absoluto de cada desvacó y la ecuacó () se trasorma e: D = ( X X) = = = d (3) La desvacó meda (DM) es la suma de los valores absolutos de todas las desvacoes dvddo etre el úmero de datos u observacoes. Su decó matemátca es: Para ua muestra: DM = = ( X X) (4) Para ua poblacó: DM = N = ( X µ ) N (5) DM = desvacó meda X = -esmo dato u observacó µ = meda poblacó X = meda muestral N = úmero de observacoes de la poblacó = úmero de observacoes de la muestra = sgo de sumatora = sgo del valor absoluto 35

36 6. El gerete de persoal etrevstó a 5 persoas para su cotratacó; el tempo que duró la etrevsta de cada asprate ue: 37 m., 30 m., 3 m., 46 m., 8 m., 40 m., 58 m., 43 m., 39 m., 55 m., 64 m., 4 m., 8 m., 0 m., 57 m. Determa la desvacó meda de las etrevstas. Determamos la meda de los datos: X m. X X X X = = = = = = = = = = = = = = = 4 4 Total = 70 = X X = ( 3 ) 600 X = = 5 40 DM = = ( X X) = 70 5 = (4) DM =.3 mutos. 36

37 El valor de la desvacó meda de este ejemplo se debe terpretar que la desvacó de los tempos de cada etrevsta es de. 3 m. mayor o meor que la meda, es decr el tempo de cada etrevsta se expresa por medo de la meda e X ± DM Esto sgca que los datos se dstrbuye e toro a la meda e: X ±.3 mutos ( Es ua dstaca promedo a la meda). S los datos está agrupados e ua tabla de dstrbucó de recuecas, etoces para determar la desvacó meda DM es ecesaro multplcar cada desvacó por su recueca y de esto se obtee otra ecuacó de la DM para datos agrupados, la cual es: ( X X) = DM = (6) = recueca absoluta 7. La sguete dstrbucó de recuecas correspode al úmero de avoes que despega daramete e el aeropuerto captalo tomado como muestra aleatora los prmeros 0 días de u mes. X X X X X X X X = = = = 0 a) Completa la tabla de recuecas. b) Determamos la meda de los datos. X = = X = 90 0 = 46 X = 46 37

38 c) Determamos la dereca de cada observacó meos la meda. X X d) Determamos el valor absoluto de las desvacoes. e) Realzamos el producto X X y sumamos los productos. ) Susttumos e la órmula: DM = = ( X X) = 4 0 =. DM = El valor de la desvacó meda lo redodeamos al valor etero porque de acuerdo al problema, o tee setdo hablar de raccoes de avó que despega del aeropuerto. Este resultado os dca que los datos está dstrbudos e 46 ± avoes a partr de la meda, que despega daramete. Cuado los datos está agrupados e clase, para obteer la dereca de cada observacó co la meda, se toma la M, esto es: M X (7) co esto obteemos otra ecuacó para la desvacó meda: = ( M X) DM = (8) = 8. Las estaturas de la compañía de usleros del batalló de guardas presdecales se regstra e la sguete tabla de dstrbucó de recuecas, calcula la DM de las estaturas. 38

39 Itervalo de clase M M X M X = = = = = Total 00 a) Completa la tabla de recuecas ateror. b) Calculamos la meda 6.96 X = =.6 metros 00 c) Calculamos las otras columas de la tabla. d) Aplcamos la ecuacó (8) 3.4 DM = = Este resultado dce que las estaturas se dstrbuye e promedo e mts., a uo y otro lado de la meda. Como éste es u valor muy pequeño, se terpreta que los datos está agrupados muy próxmos a la meda. ACTIVIDAD DE REGULACIÓN. E ua ábrca o se ha realzado debdamete el programa de matemeto por lo que ua máqua está uera de operacó debdo a las allas que a meudo se preseta. El tempo de actvdad cosecutvos e mutos durate u año se regstra e la sguete tabla. Esta ormacó cluye el tempo actvdad de alguas máquas cuya alla ocurre más de ua vez al día. 39

40 a) Agrupa los datos e ua dstrbucó de recuecas que cotega 7 clases. b) Elabora u hstograma. c) Calcula la Mo. d) Calcula la Me aplcado la ecuacó y grácamete. e) Calcula la meda artmétca X. ) Calcula el rago. g) Calcula la DM. Otras meddas que descrbe la dspersó de los datos so la: ) Varaza S ó σ y la ) desvacó estádar S o σ S es la desvacó estádar de la muestra. σ es la desvacó estádar de la poblacó. La desvacó estádar es la medada más útl de la varacó de los datos. E los ejemplos hemos poddo observar que la dspersó de u cojuto de datos, es pequeña s los datos se reúe muy cerca de la meda y es grade s estos se dspersa amplamete e toro de la meda. Vmos que la suma de las desvacoes es gual a 0 y como este valor o os srve, para el cálculo de la desvacó meda (DM) de u cojuto de datos, troducmos el valor absoluto de las desvacoes X X para elmar el sgo y de esta orma teer sempre u valor postvo e la suma de las desvacoes. otra orma de elmar el sgo de las desvacoes es elevado al cuadrado de cada ua de éstas, es decr; ( X X ) = ( X X) (9) Recuerda que todo úmero elevado al cuadrado sempre es postvo. 40

41 La ecuacó (9) es el cuadrado de las desvacoes, estos valores os permte el cálculo de la varaza de la muestra (S ) cuya decó matemátca se da a cotuacó. S = = ( X X) (0) X = -ésmo elemeto de la muestra X = meda de las observacoes = úmero de elemetos de la muestra ( X X) = sumatora del cuadrado de las desvacoes, desde la prmer desvacó = hasta la eésma = El cálculo de la varaza (σ) de ua poblacó se determa medate la sguete ecuacó: ( X ) σ = µ () N..9 La Varaza Es ua medda de dspersó, e cuyo cálculo tervee el cuadrado de las desvacoes de cada putuacó. Para obteer su valor, calculamos la sumatora de los cuadrados de las desvacoes y el resultado lo dvdmos etre o N. 9. E u almacé de ábrca de jergas, al estbar las cajas e orma correcta, se detectó que alguas se había roto, por lo que se había roto, por lo que se hzo ua speccó. Se tomaro 0 cajas al azar para su revsó habédose obtedo la sguete ormacó: De la prmera caja jergas rotas, de las sguetes: 3,,0,4,,,3,0,. Determa la varaza de las jergas rotas. El procedmeto es el sguete: 4

42 a) Orgazamos los datos e ua tabla: X X X ( X X ) = = = = = = = = = = = 0 = 5.60 b) Calculamos la meda X = X + X... X = 8 =.8 0 X =.8 c) Calculamos las desvacoes y las regstramos e la tabla. d) Calculamos el cuadrado de las desvacoes. e) Co los datos de la tabla calculamos la varaza susttuyedo la ecuacó: S = = ( X X) 5.60 = = =.73 La varaza de las jergas rotas es de S = toda vez que o podemos hablar de raccoes de jerga. 0. Regresemos al problema de los agetes de vetas (ejemplo 4) y calculemos la varaza de cada uo: Pedro Adrés Carlos X X X ( X X ) X X X ( X - X ) X X X ( X X ) X = 58 =5.8 0 X = 58 = X = 58 =5.8 0

43 Susttuyedo los datos e la ecuacó (9), obteemos: S = = ( X X) (0) 9.6 S A = = Sp = = = SC = = = 35.6 = S A = 4 S P = 35 S C = 39 Estos valores se ha redodeado al etero más próxmo porque o podemos hablar de vetas raccoaras. El mayor valor de la varaza os dce que hay mayor dspersó de los datos y esto lo podemos costatar e las tablas. La varaza de las vetas de Adrés es meor que las otras dos y de hecho, sólo u valor se aleja de la meda, los demás está smétrcamete agrupados alrededor de ésta. La relacó de la varaza de los tres vededores es: S A < S P < S C a) Cuál de los tres tee mayor varaza? b) Qué podemos err de este resultado? c) S tú ueras el gerete de vetas, Qué meddas dctamarías? 43

44 ..0 Cálculo de la Varaza co Datos Agrupados S los datos está agrupados e ua tabla de recueca, etoces el cuadrado de cada desvacó se multplca por sus recuecas obteédose la sguete ecuacó: S = = ( X X) (). Tomamos los datos del ejemplo de las jergas ( 9 ), los agrupamos e ua tabla de recuecas y obteemos: X X X ( X X ) ( X X ) Co los datos de la tabla calculamos S aplcado la ecuacó (): S = = ( X X) 5.6 = = =.73 S = este valor sgca que la varaza de las jergas rotas es, toda vez que o podemos hablar de raccoes de jerga. Compara los dos cálculos del problema y explca tus coclusoes. S los datos está agrupados e clases, etoces la putuacó que se toma para determar la desvacó de cada uo co respecto a la meda, es la marca de clase M, obteédose la sguete ecuacó: S = = ( M X) (3). Tomemos los datos del ejercco VIII reerete a la alla de la máqua que costatemete está uera de servco. E este ejercco debste haber segudo este procedmeto de cálculo: a) Ordeamos los datos de meor a mayor 44

45 b) Los dstrbumos e sete clases como se dcó c) Determamos la marca de clase M d) Determamos la recueca e) Calculamos la meda de los datos multplcado la M por la recueca y los sumamos ) Calculamos la desvacó de cada dato co respecto a la meda g) Elevamos al cuadrado las desvacoes h) Multplcamos el cuadrado de las desvacoes por su recueca ) Sumamos este producto Co esta ormacó tomamos los valores de la tabla y los susttumos e la ecuacó () para el cálculo de S. Itervalo de clase M M M X ( M X ) ( M X ) Cálculo de la meda X = = M = = = 55.7 S = = ( X X) 3056 = = = 3.88 S = 33 La varaza de los tempos e que la máqua está uera de servco por alla es de S = 33 m. 45

46 Como puedes otar e el resultado, los tempos está e udades cuadradas por lo que o os da ua dea precsa de los tempos que la máqua está uera de servco toda vez que las udades de la varaza o cocde co las udades de los datos, por lo que o podemos saber s la dspersó co respecto a la meda es muy grade o pequeña. Para poder determar la dspersó de las putuacoes co la msma udad de la varable aleatora, se usa otra medda de dspersó que se llama desvacó estádar (S) o (σ). S es la desvacó estádar de la muestra y σ es la desvacó estádar de la poblacó... Desvacó Estádar Es ua medda de dspersó que es gual a la raíz cuadrada de la varaza. Su decó matemátca es: S = S = = ( X X) Datos o agrupados de ua muestra aleatora (4) S = S = = ( X X) Datos agrupados e recuecas de ua muestra aleatora (5) S = S = = ( M X) Datos agrupados e clases de ua muestra aleatora (6) σ = σ = N = ( M µ ) N Datos agrupados e clases de ua muestra poblacó (7) 46

47 3. Calcula la desvacó estádar del ejemplo ateror correspodete a los tempos uera de servco de la máqua por descompostura. R.- Como ya calculamos la varaza basta co extraerle la raíz cuadrada, obteédose: S = 33 m. S = S = 33 = 5.6 S= 5.3 Esta ormacó es más compresble y debemos eteder que los tempos de descompostura de la máqua se dstrbuye a X ± 5.3 m. ACTIVIDAD DE REGULACIÓN E cada uo de los sguetes problemas, calcula la varaza y la desvacó estádar. Iterpreta tus resultados y expresa tus deduccoes.. La oca de quejas de los mcrobuses del D.F. recbero e ua semaa el sguete úmero de quejas: Lues 6, martes 0, mércoles 8, jueves, veres 5, sábado 8 y domgo 0.. El buete jurídco de ua empresa evó cartas de cobraza a los cletes morosos del mes de Juo. El prmer día del mes evó 64, el segudo día 6 y los sguetes días 5, 58, 83, 54, 57, 5, 4, 54, 74, 6, 47, 59, 5, 67, 53, 45, 58, 78, 69, 5, 7, 69, 78, 45, 64, La sguete tabla muestra la dstrbucó de recuecas de las horas/hombre que requere ua compañía de ptura para ptar 00 casas clascadas por el grado de deteroro. Horas No. casas

48 Exste ua orma smplcada para calcular la desvacó estádar y para ello se aplca las sguetes ecuacoes: Para datos o agrupados S = X = = X (8) X X S = (9) = = M M S = (30) = = E el sguete problema, calcula la desvacó estádar aplcado las dos ecuacoes. Compara los procedmetos y resultados. 4. Ua compañía de computadoras recbó u peddo urgete de computadoras doméstcas para todas las cudades del país que deberá etregar e u perodo de 6 semaas. De acuerdo co el cotrato rmado co los dstrbudores, la etrega dara es para el prmer día, para los sguetes días 65, 77, 79,83, 65, 50, 75, 73, 60, 33, 66, 65, 30, 63, 4, 55, 65, 57, 6, 45, 49, 75, 59, 55, 54, 5, 8, 39, 5, 50, 48, 68, 55, 87, 35, 65, 65, 79, 6, 45, 53. R.- Secueca de operacoes: a) Orgazamos los datos e clases. b) Determamos la marca de clase M c) Determa la recueca. d) Calculamos el producto M e) Determamos la meda X. ) Calculamos el producto M g) Calculamos el producto ( X X) M h) Calculamos ) Calculamos el producto M 48

49 Aplcamos las órmulas para datos agrupados, la geeral y la smplcada. Fórmula geeral = ( M X) S = S = (6) = Fórmula smplcada M M S = (30) = = Clase M M M X (M X) (M X) M M Cálculo de la meda = M X = = = 56.4 X = Cálculo de la varaza = ( M X) S = S = (6) = 49

50 Tomados los valores de la columa 3 y 7, obteemos: S = = 39.3 = S S = 5.46, etoces S = 39.3 S aalzamos las columas de la tabla de recuecas ecesaras para cada ecuacó, vemos que para la ecuacó ormal debemos elaborar de la prmera a la séptma columa. Cálculo co la órmula smplcada S = = M = = = M (30) Tomados los valores de la columa 4 y 9 obteemos S = = (56.38) = = 5.46 S S = 5.46, etoces S = 39.3 La desvacó estádar del problema es S = 5 y este valor sgca que el úmero de computadoras que se etrega daramete se dspersa e ± 5 computadoras alrededor de la meda ( X ), es decr X ± 5 es la etrega dara de computadoras. El valor decmal se ha elmado toda vez que o podemos pesar que estamos etregado raccoes de computadora. Para el cálculo de la desvacó estádar co la ecuacó smplcada, las columas que debe elaborarse so las tres prmeras, la 8 y la 9. Los resultados obtedos e ambas ecuacoes, so exactamete los msmos por lo tato puedes usar para tus cálculos la que cosderes que es más seclla. 50

51 ACTIVIDAD DE REGULACIÓN Para amlarzarte co la ecuacó smplcada, repte los cálculos del ejercco (IX) y compara tus resultados. Las meddas de poscó y las meddas de varacó so descrpcoes estadístcas muy mportates, porque os descrbe cómo se está agrupado o alejado los datos de ua dstrbucó co respecto a las meddas de tedeca cetral. Exste otras maeras de descrbr los datos estadístcos e orma más lustratva que u smple úmero que descrbe todo u proceso y que almete su terpretacó se hace más compleja. La otra orma de aalzar e terpretar los datos, es medate su represetacó gráca que a cotuacó estudaremos.. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y DE DISPERSIÓN EN CURVAS DE FRECUENCIAS. La represetacó gráca de la dstrbucó de recuecas toma deretes ormas, más lustratvas y áclmete detcables, que os permte coocer y comparar los estadístcos o parámetros vsualmete. Las ormas e que se preseta las grácas de ua dstrbucó de recuecas se puede geeralzar e dos tpos: a) Curvas smétrcas y b) Curvas asmétrcas... Curvas Smétrcas Curva smétrca es la represetacó gráca de ua dstrbucó de recuecas cuyo eje de smetría es la meda X o µ. Las curvas smétrcas se caracterza por su curtoss. Curtoss es la orma característca de la putagudez que preseta la parte superor de la gráca. 5

52 Por su curtoss las curvas smétrcas se clasca e:. Partcúrtca (g. ). Leptcúrtca (g. ) 3. Mesocúrtca (g. 3) Las sguetes grácas muestra la orma característca de cada ua de ellas: µ x µ x µ x Fg Fg Fg 3 Aalza cada ua de las grácas y cotesta las sguetes pregutas:. Expresa las característcas partculares de cada gráca.. Qué característcas so comues a las tres grácas? R.-. Fg.. La Plartcúrtca preseta ua zoa cas horzotal e su puto máxmo, su putagudez es cas ula. Fg.. La Leptcúrtca preseta u pco muy agudo. Fg. 3. La Mesocúrtca es semejate a la curva ormal de Gauss.. Como podemos ver, las tres grácas so smétrcas co respecto a la meda y tee orma de campaa. Como ya se djo, la curtoss es el grado de putagudez de la gráca de ua dstrbucó de recuecas y ésta se smbolza co la letra K. K = Grado de aputameto o putagudez de la gráca de la dstrbucó de recuecas. El aputameto (K) es el cocete del promedo de las desvacoes co respecto a la meda elevadas a la 4ª. Poteca etre el cuadrado de la varaza, dsmudo e tres udades. De la decó de aputameto se desprede uevos estadígraos que llamamos mometos (M). 5

53 .. Mometos Mometos so los promedos de las seres de potecas de las desvacoes de la varable co respecto a la meda. La decó matemátca de cada uo de los mometos es:. Mometo de prmer orde o meda artmétca: M X X X = = = (3). mometo de segudo orde o varaza: ( X X) X = = = S M = (3) 3. Mometo de tercer orde: M 3 ( X X) 3 3 X = = = (33) 4. Mometo de cuarto orde: M 4 ( X X) 4 4 X = = = (34) 5. Mometo de orde m: M 5 ( X X) 5 5 X = = = (35) 53

54 6. Mometo de orde m para datos agrupados: M m = ( X X) m = (36) Basádose e los mometos, la decó matemátca del aputameto (K) es: M4 K = (37) ( M ) M 4 = Cuarto mometo M = Varaza E el sguete problema calcula los mometos sucesvos hasta el de cuarto orde y determa el aputameto (K). 3. Se tomaro al azar 0 alumos para determar su apttud e la lectura; para ello se les do a leer u texto de 00 palabras, habédose obtedo los sguetes tempos de lectura e segudos: 70, 78, 60, 58, 80, 70, 75, 78, 60, 65, 70, 85, 78, 80, 75, 60, 55, 58, 78. R. Elaboramos la sguete tabla: X X X - X (X - X) (X - X) (X - X) 3 (X - X) 3 (X - X) 4 (X - X)

55 X = = X = = 69.4 M = 69.4 M 3 = = M = = M 4 = = Co estos valores susttuyedo e la ecuacó (36) podemos calcular el grado de aputameto (K). M4 K = (37) M 4 = Cuarto mometo ( M ) M = Varaza M 4 = M = K = ( 89.34) 3 =.57 3 K =.4 El valor de K dee la curtoss de la gráca, tal que: E = 0 La curva es mesocúrtca (curva ormal) > 0 La curva es leptcúrtca < 0 La curva es platcúrtca E uestro ejemplo dode K = -0. sgca que K < 0 por lo tato s gracamos la tabla de recueca, obtedremos ua gráca smlar al de la gura o sea ua gráca platcúrtca. 55