Una revisión de la estimación de la función de distribución y métodos de remuestreo bootstrap en poblaciones finitas(*)(1)

Transcripción

1 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA Vol. 46, Núm. 155, 2004, págs. 149 a 175 Ua revsó de la estmacó de la fucó de dstrbucó y métodos de remuestreo bootstrap e poblacoes ftas(*)(1) por LOMBARDÍA, M.J., GONZÁLEZ-MANTEIGA, W. PRADA-SÁNCHEZ, J.M. Departameto de Estadístca e Ivestgacó Operatva. Facultad de Matemátcas. Uversdad de Satago de Compostela RESUMEN Etre las ramas de la estadístca, el muestreo e poblacoes ftas es otable por su terés e la estadístca ofcal. E tales poblacoes teresa habtualmete coocer algua de sus característcas, las cuales queda determadas a partr de la fucó de dstrbucó e la poblacó. E este trabajo hacemos ua revsó de los dferetes efoques de la fereca e poblacoes ftas y los métodos bootstrap desarrollados e este campo, prestado especal atecó a la estmacó de la fucó de dstrbucó. (*) Los autores agradece al referee sus cometaros y sugerecas, los cuales mejoraro el mauscrto orgal. Este trabajo ha sdo facado por el Mstero de Educacó y Cultura, la Xuta de Galca y el Mstero de Ceca y Tecología, medate los proyectos PB C02, PGIDT00PXI20704PN y BFM , respectvamete. (1) Este artículo se publcó e el úmero ateror de la Revsta Estadístca Española (º 154). A causa de ua errata e la terpretacó de u símbolo que afecta a varas fórmulas, se ha cosderado oportuo volverlo a publcar.

2 150 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA Palabras clave: Muestreo s reemplazameto, fucó de dstrbucó y métodos de remuestreo bootstrap. Clasfcacó AMS (2000): 62D05, 62G08, 62G INTRODUCCIÓN El objetvo del aálss estadístco es extraer de los datos la formacó relevate para deducr propedades de la poblacó que los geera. Ua poblacó fta P va a ser u cojuto fto de udades dsttas tales como persoas, hosptales, colegos, comarcas. Estas udades so detfcables y puede ser etquetadas co úmeros: 1,2,...N. Sobre ellas tomará valores ua varable aleatora de terés. Estos valores podrá cosderarse fjos (teoría clásca del muestreo) o be realzacoes de ua muestra aleatora smple de ua superpoblacó (teoría de superpoblacó para muestreo e poblacoes ftas). E este trabajo detfcaremos la poblacó fta co los N valores que sobre ella toma dcha varable. El procedmeto por el cual se seleccoa ua muestra de udades de la poblacó se llama dseño muestral de probabldad o pla muestral de probabldad, el cual queda determado asgado a cada posble muestra S la probabldad P(S) de seleccoarla. Los datos muestrales so los valores de la varable de terés para cada udad e la muestra. E lo que sgue, os cetraremos e el problema básco de hacer fereca sobre u parámetro e la poblacó fta, a partr de la observacó de ua muestra seleccoada de acuerdo a u dseño muestral P(S) y utlzado formacó complemetara, lo que mplca tres pasos esecalmete: eleccó del dseño muestral, eleccó del estmador y eleccó de u estmador de la varaza y costruccó de tervalos de cofaza. Hay, a su vez, tres aproxmacoes dferetes para abordar estos tres pasos: Estmacó basada e el dseño: Esta estmacó utlza el dseño muestral de probabldad para seleccoar la muestra y para hacer fereca a partr de los datos (teoría clásca de muestreo e poblacoes ftas). Las probabldades de seleccó se refleja e los estmadores. Así, la forma e que la muestra se dseña es ta mportate como la forma matemátca del estmador. E esta estmacó el úco elemeto aleatoro es la muestra. Estmacó basada e el modelo de predccó:

3 UNA REVISIÓN DE LA ESTIMACIÓN DE LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN Y MÉTODOS DE REMUESTREO BOOTSTRAP 151 E muestreo, la estmacó basada e el modelo de predccó asume ua superpoblacó. Los valores de la varable de terés e la poblacó fta so realzacoes de u vector aleatoro de dmesó N Esta estmacó cosste e u pla muestral de probabldad y uos estmadores de tal forma que el pla muestral o los estmadores tega propedades deseables bajo el modelo supuesto de superpoblacó. Así pues, cosste e (a) u pla muestral que puede o o requerr aleatorzacó e la seleccó de la muestra, (b) estmadores que so sesgados bajo el modelo cosderado (modelo-sesgados) o cosstetes bajo dcho modelo (modelo-cosstetes) y (c) u proceso de fereca que depede del modelo asumdo. Estmacó asstda por el modelo: Es u híbrdo etre la fereca basada e el dseño y la depedete del modelo, de aparcó más recete. La teoría de muestreo e poblacoes ftas se ha cetrado cláscamete e la estmacó de parámetros putuales de la poblacó (medas, totales, razoes, proporcoes, varazas,...) pero exste parámetros de tpo fucoal que puede ofreceros formacó mportate acerca del comportameto de ua varable e la poblacó, por ejemplo la fucó de dstrbucó, cuyo coocmeto permte determar cualquer parámetro de los aterores. E la Seccó 2 revsamos la lteratura de muestreo relatva a la estmacó de la fucó de dstrbucó de ua varable e la poblacó fta, cosderado o o formacó auxlar e la etapa de estmacó. Idcamos aquellos estmadores basados e el dseño, e el modelo de predccó o los que comba el modelo de predccó y el dseño muestral. Por últmo, e la Seccó 3 descrbmos los métodos bootstrap más recetes recogdos e la lteratura de muestreo e poblacoes ftas. Aquí los mecasmos so descrtos bajo muestreo aleatoro smple s reemplazameto y dstgumos aquellos métodos que utlza remuestreo s reemplazameto del resto. Destacamos el hecho de que la mayoría costruye ua poblacó empírca apropada a partr de la muestra cal. 2. BREVE HISTORIA DE LA ESTIMACIÓN DE LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN EN POBLACIONES FINITAS El prcpal terés de los textos cláscos de muestreo se cetra e la estmacó de medas, totales y razoes defdos para las varables estudadas. S embargo, e la práctca muestral, la estmacó de la fucó de dstrbucó es u objetvo mportate, e partcular cuado estamos teresados e predecr el comportameto de la varable de terés, estudar los cuatles de la poblacó o la cocetracó de la dstrbucó, de gra mportaca e estudos demográfcos y ecoómcos. Así, el estudo de la dstrbucó de las retas y sus cambos e el tempo es de

4 152 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA gra mportaca e ecoomía (U.S. Bureau of Labor Statstcs regularmete publca estmacoes de la gaaca medaa de los trabajadores asalarados, utlzado datos de la Curret Populato Survey). Revsado la lteratura de muestreo e poblacoes ftas ecotramos estmadores de la fucó de dstrbucó basados e el dseño, depedetes del modelo de superpoblacó y ua mxtura de ambos 1 plateametos. Los cometamos a cotuacó. 1, S u subcojuto de -elemetos de P y P-S el complemetaro de S e P. Deotemos por Y la varable de terés e la poblacó fta P, co valores Y, Y,..., para los N elemetos de la poblacó, sedo Sea P el cojuto de eteros {,...,N} 1 2 YN fjos estos valores (estmacó basada e el dseño) o varables aleatoras, e geeral depedetes e détcamete dstrbudas a la varable de terés (estmacó basada e u modelo de predccó). Sea X la varable auxlar, co realzacoes x, x,..., coocdas para todos los elemetos de la poblacó. 1 2 xn El objetvo es estmar la fucó de dstrbucó de Y e la poblacó fta, = F () t N Ι ( Y t) = N Ι ( Y t) + Ι ( Y t) [] 1 N P S j P S dode t R e Ι () ζ es la fucó dcadora del suceso ζ De esta ecuacó se deduce que estmar la fucó de dstrbucó de la varable aleatora Y e la poblacó fta es equvalete a estmar Ι ( t), j P S, t ΙR Y j j 2.1. Estmador tpo Haj e El estmador habtual de F N basado e el dseño, coocdo como estmador tpo Haj e, es: H = S S () t π Ι ( Y t) dode π es la probabldad de clusó e la muestra del elemeto -ésmo. Bajo muestreo aleatoro smple π = /N y H () t se reduce a la fucó de dstrbucó empírca ordara, F () t. Además, H () t es segado de dseño para F N () t bajo 1 cualquer esquema muestral tal que S π = N (estmador de Horvtz- Thompso). U problema que preseta es la dfcultad para corporar formacó π

5 UNA REVISIÓN DE LA ESTIMACIÓN DE LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN Y MÉTODOS DE REMUESTREO BOOTSTRAP 153 auxlar e el proceso de estmacó. E teoría esto podría subsaarse e la etapa del dseño vía la defcó de probabldades de clusó, pero hay dseños co fes múltples e los cuales esto o sería posble y lo más coveete sería corporar la formacó auxlar e la etapa de estmacó Estmador de Chambers y Dusta es u modelo de regresó l- Asumremos que la relacó etre eal co errores homocedástcos: x e Y ( P) ξ : Y ( x ) = α + βx + ε [] 2 dode α y β so costates fjas y descoocdas y los ε so perturbacoes aleatoras depedetes, détcamete dstrbudas a G, de meda cero y varaza costate. Deotaremos por P = {(, )} y P- S = {( Y j, x )} ; los Y so úcamete coocdos para la muestra S = {( Y, x )} S Y x P j j P S Cosderado este modelo de superpoblacó (ξ ), u estmador secllo que se F N t es os podría ocurrr para ( ) F ~ { } 1 () t = N F () t + ( N ) () t co F () t la fucó empírca ordara evaluada e el puto t y r () t = ( N ) Ι ( α ˆ + βˆ xj t) j P S dode α ˆ y ˆβ deota los estmadores de mímos cuadrados de α y β respectvamete, calculados a partr de la muestra. S embargo, F ~ ( t ) es sesgado (Vallat et al, 2000; pág.383). Ua mejor estmacó de F N () t debda a Chambers y Dusta (1986), utlza los resduos del modelo ( ζ ): r CD () t = N Ι ( Υ ) + ( α β ) t Ĝ t ˆ ˆ xj S j P S [] 3 S dode () u = Ι ( εˆ u) Ĝ es la dstrbucó empírca de los resduos, ε ˆ = Υ αˆ βˆ x.

6 154 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA Este estmador es depedete del dseño y más efcete que el estmador tpo Haj e cuado el modelo es ua suposcó razoable para la poblacó estudada. E 1986, Chambers y Dusta probaro que bajo certas codcoes de regulardad su estmador era astótcamete ormal. Además, a partr de él proporcoaro u estmador de la fucó cuatl, cuyo comportameto astótco també estudaro. E 1992, Chambers, Dorfma y Hall dero las expresoes astótcas 1 del sesgo y varaza de CD (), t, ambos de orde O ( ). E 1993, Dorfma comprobó que el sesgo era de orde ua costate s el modelo o era correcto, lo que hace preferble cualquer estmador basado e el dseño s el modelo de partda es dudoso. El estmador de Chambers-Dusta ha servdo de refereca e la búsqueda de posterores estmadores de F N ( t). Extesos estudos teórcos y empírcos, cometados a lo largo de esta seccó, sugere que s el modelo fue costrudo y verfcado cudadosamete, el estmador de Chambers-Dusta claramete es u bue competdor de las alteratvas basadas e el dseño Estmadores de Ku Ku (1988) propoe tres estmadores de F N () t basados e u dseño muestral co probabldades desguales y s cosderar la formacó auxlar e la etapa de la estmacó. El prmero de ellos es K1 () t N d Ι ( Υ t ) = P dode d S = π s S (0 e caso cotraro) para muestreo proporcoal al tama- ño y ( ) 1 d = z s S (0 e caso cotraro) para muestreo proporcoal al tamaño agregado (Lahr, 1951); co udad muestreada. π S = z, z = x / x y x el tamaño de la Alteratvamete, a partr de la proporcó complemetara S () t 1 FN () t autor obtee el sguete estmador, tomado, Ŝ ( t ) N d Ι ( Υ > t) = () t 1 Ŝ () t = 1 N d () t = K 2 + P K1 P = el Se sgue que, s N K1 t K2 t y guo de ellos es P fucó de dstrbucó. Falmete, el tercer estmador que preseta es el estmador ormalzado d etoces () ()

7 UNA REVISIÓN DE LA ESTIMACIÓN DE LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN Y MÉTODOS DE REMUESTREO BOOTSTRAP 155 K3 d, P P () t d Ι ( Υ t ) = que cocde co el estmador tpo Haj e s el muestreo es proporcoal al tamaño. Por costruccó, K3 () t es fucó de dstrbucó. E base a comparacoes teórcas y empírcas, e térmos de su error cuadrátco medo, podemos elmar K 1 () t. Etre K 2 () t y, K 3 () t, resultados empírcos sugere que K 2 () t es mejor, auque éste o sea ua verdadera fucó de dstrbucó. Por últmo, para la estmacó de cuatles, e partcular de la medaa, propoe además de los tres estmadores aterores, K4 () t = λ K1 () t + ( 1 λ ) K2 () t (estmado el λ óptmo). Cosdera como estmador de la medaa ξ ˆ K = f { t K () t 1/ 2} ( = 1,2,3,4 ). El comportameto de ξ K se estuda empírcamete Estmadores de Rao, Kovar y Matel Rao, Kovar y Matel (1990) obtuvero, utlzado formacó auxlar, estmadores de razó y dfereca de la fucó de dstrbucó poblacoal basados e el dseño y para esquemas muestrales geerales: RKMr = S S P () t N π Ι ( Y t) π Ι ( rx t) Ι ( rx t), RKMd () t N π Ι ( Y t) + Ι ( rx t) π Ι ( rx t), = S P S Estos estmadores se basa e los estmadores cláscos de la meda ( y r = r X) e = y + c ( X x), dode X es la meda de la varable X e la poblacó; x e y y d so las medas de las correspodetes varables X e Y e la muestra; r = Y / π / x π es el estmador de Horvtz-Thompso de la razó ( ) ( / ) S S poblacoal r = Y / x, cosstete bajo el dseño y c es u valor P P costate depedete de la muestra) tratado Ι ( rx t) e ( Y t) Ι como varables X e Y, respectvamete. Ambos estmadores so astótcamete sesgados bajo el dseño cosderado y su varaza es cero cuado Y es proporcoal a x para todo R, como e el caso de los estmadores de razó y regresó para la meda.

8 156 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA També propusero u estmador de la dfereca modfcado, geeralzado por Dorfma (1993), que es astótcamete segado de dseño y de modelosesgado bajo (2): RKMdm [] 4 S P S () t = N π Ι ( Y t) + Ĝ ( t αˆ βˆ x ) π Ĝ ( t αˆ βˆ x) dode ( S) 1 = () t + N ( 1) { ( t) Ĝ ( t ˆ ˆ π Ι Υ α βx )} CD S π so las probabldades del dseño y Ĝ es la dstrbucó empírca de los resduos obtedos del modelo de superpoblacó () ξ. Los autores compararo empírcamete sus tres estmadores y el de Chambers- Dusta e térmos del error cuadrátco medo relatvo; los resultados dcaro que RKMdm era mejor que RKMd y RKMr. Comprobaro además, que para muestras pequeñas y bajo u modelo de trabajo correcto CD era el mejor. S embargo éste era meos robusto, e el setdo de mal comportameto para u modelo de trabajo correcto, que. RKMdm. Este hecho fue corroborado teórcamete por Dorfma e E este msmo año Dorfma y Hall da ua versó corregda por el sesgo de RKMdm para muestreo aleatoro smple. Observa que s el modelo de trabajo o es correcto, mpoedo certas codcoes sobre los putos del dseño x, el sesgo es del msmo orde y tee la msma varaza que la fucó de dstrbucó empírca. Los estmadores RKMr, RKMd y RKMdm o so ecesaramete fucoes moótoas. Esto o es ua sera objecó s úcamete estamos teresados e estmar la fucó de dstrbucó e u puto. S embargo, puede causar complcacoes e el estudo de cuatles. E este puto los autores propoe estmadores de razó y dfereca para la fucó cuatl, hallados a partr de RKMdm y, RKMd proporcoado los estmadores de sus respectvas varazas. Además, de RKMr, RKMd y RKMdm se cooce la varaza astótca bajo el dseño (Rao, Kovar y Matel, 1990) y bajo el modelo de superpoblacó (2) tomado muestreo aleatoro smple (Chambers, Dorfma y Hall, 1992). E la práctca el modelo de superpoblacó (ξ ) es poco probable que se coozca exactamete. Esta desformacó provoca que los estmadores basados e el modelo o fucoe todo lo be que debera; Rao, Kovar y Matel (1990), Dorfma (1993), Dorfma y Hall (1993), Ku (1993) exploraro la robustez del estmador de Chambers-Dusta cuado el modelo de trabajo o es correcto. Dcho esto,

9 UNA REVISIÓN DE LA ESTIMACIÓN DE LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN Y MÉTODOS DE REMUESTREO BOOTSTRAP 157 parece atural expresar el modelo de superpoblacó, de forma geeral, como ua certa fucó de la varable auxlar más u error: Y = m ( ) + ε [] 5 x Surge, así, la estmacó o paramétrca: e 1993 aparece dversos artículos que corpora la estmacó o paramétrca como alteratva para estmar () t F N 2.5. Estmador de Kuo y estmadores de Chambers, Dorfma y Wehrly Como vmos calmete, estmar F N () t es equvalete a estmar, Ι Υ t, j Ρ. Recordemos que: ( ) S j F N { }, 1 () t = N F () t + ( N ) F () t dode F () t es el promedo sobre los elemetos de la muestra y F r () t = ( N ) Ι ( Υ t) j P S Chambers, Dorfma y Wehrly (1993) estudaro el estmador de F r () t sugerdo por Kuo (1988), que drectamete suavza la fucó dcadora, e base a cremetar la robustez. Se cosdera m () x = Ρ { Υ t / x } ua fucó suave de la varable auxlar y su estmador mˆ h () x w () x Ι ( Υ t) = S dode los pesos w está basados e ua desdad tpo úcleo, el suavzador de Nadaraya-Watso (NW) o Gasser-Müller (GM) como propoe los autores, o e la aproxmacó -putos próxmos, como e Kuo (1988). Así el estmador o paramétrco resultate de F r () t es F rkuo () t = ( N ) mˆ ( x ) = ( N ) w ( x ) Ι ( Υ t), j P S h j j r S j P S j y por tato F KUO { }, 1 () t = N F () t + ( N ) F () t rkuo

10 158 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA co F () t la dstrbucó empírca e el puto t. La vetaa óptma será el valor que mmza el error cuadrátco medo bajo el modelo de trabajo (5) como fucó de dcho parámetro, () 2 MSE h = Ε ( () ()) KUO t FN t. E la práctca, esto puede hacerse defedo ua rejlla de vetaas potecales y buscado el valor e la rejlla que hace míma ua estmacó del MSE (h). Kuo (1988) basaba su eleccó e argumetos astótcos para la estmacó óptma de la fucó de desdad (Chambers, Dorfma y Wherly; 1993). A partr de los resultados empírcos presetados coclumos que para u modelo de trabajo correcto el estmador de Chambers-Dusta es más efcete que los estmadores o paramétrcos presetados por estos autores ( KUO y el correspodete estmador o paramétrco corregdo por el sesgo CDW ),co pesos de NW y GM. Pero s aceptamos la pérdda de la efceca, es claro que el estmador o paramétrco corregdo por el sesgo es altamete deseable. Estos estmadores fuero estudados astótcamete por Dorfma y Hall (1993) bajo u modelo de regresó o paramétrco co errores homocedástcos (5). El sesgo de ambos 2 estmadores es de orde Ο ( h ) + o [( h) ]. S el parámetro vetaa, h tee la forma h = C -c para cualquer costate C y ¼ < c < 1/2, etoces el sesgo sería o ( -1/2 ), que es ua parte desprecable del error cuadrátco medo. Dorfma y Hall (1993) y Ku (1993) ofrece otras alteratvas a estos estmadores Estmador o paramétrco de Chambers y Dusta y estmador o paramétrco de Rao, Kovar y Matel Dorfma y Hall (1993), bajo (5) y muestreo aleatoro smple, dero la versó o paramétrca del estmador de Chambers y Dusta y de Rao, Kovar y Matel de la dfereca modfcado, CDh () t N Ι ( Υ t) + Ĝ ( t mˆ ( x ) = S j P S h j [] 6 y RKMh () t Ι ( Υ t) + N Ĝ ( t mˆ ( x ) ( N ) Ĝ t mˆ ( x ) S j P S h j S ( ), = [] 7 h y sus versoes corregdas por el sesgo. E las expresoes aterores,

11 UNA REVISIÓN DE LA ESTIMACIÓN DE LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN Y MÉTODOS DE REMUESTREO BOOTSTRAP 159 S () u = Ι ( εˆ u) Ĝ es la dstrbucó empírca de los resduos, ε ˆ = Υ mˆ ( x ) ( S) ; mˆ h () x y () x h mˆ h so los estmadores o paramétrcos de m(x) tpo Nadaraya-Watso (co y s el dato -ésmo) y h > 0 es el parámetro vetaa de la regresó. Dorfma y Hall realzaro u amplo estudo teórco: estudaro las propedades astótcas bajo el modelo de superpoblacó (ξ) (5) co errores homocedástcos, 2 obteedo que ambos estmadores tee sesgo de orde Ο [ h + ( h) ]. Además, s el parámetro vetaa, h, tee la forma h = C -c para cualquer costate C y ¼ < c <1/2, etoces el sesgo es o ( -1/2 ), parte desprecable del error cuadrátco medo Estmador o paramétrco de Ku Ku (1993) cosdera el uso de formacó auxlar, a dfereca de los estmadores que propuso e 1988, para mejorar la estmacó de la fucó de dstrbucó de ua poblacó fta. El estmador sugerdo comba la dstrbucó coocda de la varable auxlar co u estmador tpo úcleo de la dstrbucó de la varable de terés codcoada a los valores de la varable auxlar. Dado que, e geeral, la fucó de dstrbucó de ua varable Y puede expresarse e térmos de la dstrbucó codcoada de Y dado X = x y la dstrbucó F N t por margal de X, parece atural estmar ( ) Kh () t = Qˆ ( t x) dg () x = N Qˆ (t x ), dode G N () t es la dstrbucó margal de X y N P Qˆ ( t x) = S π w S {( x x) / h} W {( t Υ )/ h} π w {( x x )/ h} es u estmador suavzado de la dstrbucó codcoada de Y dado X = x, sedo W(x) = e x / (1+e x ) la fucó de dstrbucó logístca estádar co desdad w (x) = e x / (1+ e x ) 2 pues resulta coveete trabajar co úcleos logístcos depedetes. El parámetro vetaa lo aproxma por el rago de los valores { x } P dvddo etre el tamaño de la muestra seleccoada. Este estmador, váldo para cualquer dseño muestral, es cosstete bajo el dseño y su sesgo y varaza los podemos estmar sguedo métodos de muestreo cláscos. Tomado como refereca el estudo empírco realzado por Ku (1993) para estudar la flueca de u modelo de trabajo correcto, e el que compara su

12 160 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA estmador co la dstrbucó empírca, el estmador de Chambers-Dusta y el estmador de la dfereca modfcado de Rao-Kovar-Matel bajo u modelo de regresó leal, se observa que Kh es más efcete (e térmos del error cuadrátco medo) que el estmador de la dfereca modfcado RKMdm y la dstrbucó empírca. Se observa que el sesgo de CD permaece más o meos costate y o dsmuye al cremetarse el tamaño de muestra, lo que dca que el estmador o es astótcamete sesgado, como demostraro teórcamete Dorfma (1993) y Dorfma y Hall (1993) Estmadores de Ku y Ma Ku y Ma (1994) propoe dos estmadores basados e la composcó de fucoes, de los cuales se cooce su dstrbucó astótca. El prmero de ellos sgue la dea del estmador de razó tradcoal, y r = ( X / x)y co, X, x, y la meda poblacoal y muestral de la varable X y la meda muestral de Y respectvamete. Se expresa como KM () t = L o L o F () t N dode L N y L so las fucoes de dstrbucó poblacoal y muestral de la varable auxlar X, respectvamete, y F () t la dstrbucó empírca de la varable de terés, Y. Este estmador es depedete del modelo superpoblacoal. El sguete estmador es ua modfcacó de KM aprovechado la formacó adcoal proporcoada por el modelo de regresó leal (2) como modelo de trabajo, pero al msmo tempo preservado la cossteca bajo el dseño. Sea ˆ x x y ˆ x Υ = α ˆ + βˆ + ε, dode β = Υ ( ) ε = Υ α βx co Ρ e S Sea la fucó S S 2 Q que da probabldad (N) -1 a cada ˆ ˆ. ˆΥ y Qˆ que da probabldad -2 a cada Ŷ l, co Ρ e S. Así podemos escrbr: N () t = ( N) Ι ( Υˆ t) Q, Qˆ P S 2 () t = Ι ( Υˆ l t) l S S

13 UNA REVISIÓN DE LA ESTIMACIÓN DE LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN Y MÉTODOS DE REMUESTREO BOOTSTRAP 161 Y falmete cosderar () t = Q o Qˆ o F () t KMm N Estos estmadores se compararo empírcamete co el estmador de Chambers-Dusta y el de Rao-Kovar-Matel modfcado. Los resultados está e la líea de los aterores: cuado el modelo de trabajo es correcto, el mejor estmador (e térmos del error cuadrátco medo) es CD. Ua alteratva a RKMm es KMm, co resultados smlares, pero este últmo garatza la mootoía. Al gual que, RKMm, KMm també es astótcamete de modelo-sesgado, bajo el modelo de trabajo (2) Estmador de Wag y Dorfma Wag y Dorfma (1996) desarrollaro u uevo estmador basado e los ya estudados CD y RKMdm y tomado como modelo superpoblacoal u modelo de regresó leal, WD () t = w () t + ( 1 w) (t), CD RKMdm dode w depede del puto t y toma valores etre cero y uo. Los autores propoe tomar el w que mmza el error cuadrátco medo del error de predccó { WD () t FN () t }. Este estmador hace uso de las bueas propedades de ambos estmadores, está basado e el dseño y e el modelo, pero sus propedades o depede del dseño muestral. Para modelos de regresó leal smple homocedástcos preseta meor error cuadrátco medo que CD y RKMdm. Además la robustez, cotra la volacó del modelo, se matee para muestras grades. Podríamos ctar algú otro estmador de la fucó de dstrbucó de ua poblacó fta: los debdos a Sedras y Sedras (1979), Fracsco y Fuller (1991), Shao (1994), Bolfare y Sadoval (1994), Stefas y Bay (1996)... los cuales se da e crcustacas especales que o tratamos e este trabajo (dseños muestrales muy complejos, udades meddas co error).

14 162 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA 3. EL BOOTSTRAP EN POBLACIONES FINITAS El avace de la tecología formátca e las dos últmas décadas estmuló el desarrollo de uevos métodos estadístcos que requere de cálculos computacoales tesos (métodos de remuestreo). Estos métodos os permte estmar la dstrbucó muestral de u estadístco o sus característcas. Los más populares utlzados e el cotexto de las poblacoes ftas so el jacfe, el método de las semmuestras (coocdo e la lteratura glesa como BRR) y el bootstrap. E esta seccó hablaremos del bootstrap, troducdo por Efro (1979). Este método se ha exteddo a dseños muestrales complejos (Rao y Wu, 1988; Stter, 1992b; etre otros), y es muy utlzado tato para la estmacó de la varaza como para la costruccó de tervalos de cofaza. Es coocdo que gra parte del atractvo del bootstrap se atrbuye a su terpretacó como u prcpo plug-: así, ua característca poblacoal θ =θ(f) es estmada por θ ˆ = θ ( F ), sedo F la versó empírca de la fucó de dstrbucó poblacoal (Efro y Tbshra, 1993). Surge etoces la sguete cuestó: Cuál es la forma más atural de hacer bootstrap e el cotexto de poblacoes ftas? E este caso, la poblacó fta P jugará el papel de la fucó de dstrbucó descoocda. Así, para estmar ua característca θ = θ (P) de la poblacó, usaremos el correspodete fucoal de ua poblacó empírca P * costruda co la muestra S, θˆ = θ ( P ). E prcpo, el plug també motva que el bootstrap trabaje be e cotextos geerales, lo que sgfca que la dstrbucó bootstrap de u estadístco se aproxme a la dstrbucó del msmo. E esta seccó descrbmos los métodos bootstrap más recetes recogdos e la lteratura de muestreo e poblacoes ftas. Destacamos el hecho de que la mayoría se basa e las probabldades del dseño muestral: se costruye ua poblacó empírca apropada y los estmadores bootstrap resultates se estuda bajo el dseño cosderado. Aquí, los mecasmos so descrtos bajo muestreo aleatoro smple s reemplazameto. Su extesó al muestreo estratfcado se hace s más que aplcar el método separadamete e cada estrato. Desgracadamete o está muy claro cómo aplcarlos e dseños más complejos, auque alguos autores (Rao y Wu, 1988; Stter, 1992b) los utlzaro co muestreo betápco, clusters y probabldades desguales. Deotamos por E y Var a los operadores meda y varaza; y por E y Var a los msmos operadores bajo el mecasmo aleatoro bootstrap, codcoado a la formacó de la muestra cal. Para lustrar los mecasmos de remuestreo bootstrap e poblacoes ftas cosderamos θ = Υ, la meda e la poblacó fta de terés, y θ ˆ = y la meda e la muestra tomada aleatoramete y s reemplazameto de la poblacó. Deotamos por V âr () θˆ al estmador sesgado

15 UNA REVISIÓN DE LA ESTIMACIÓN DE LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN Y MÉTODOS DE REMUESTREO BOOTSTRAP 163 usual de la varaza de θˆ bajo muestreo aleatoro smple e la poblacó fta P. Notemos que la fucó de dstrbucó e ua poblacó fta es el promedo de fucoes dcadoras. Tratado Ι ( Υ t) como la varable Y los sguetes métodos de remuestreo bootstrap se puede aplcar al caso partcular θ = F N () t, tomado θ ˆ = F () t Métodos bootstrap co remuestreo s reemplazameto B(BF): Bootstrap de Bcel y Freedma Este bootstrap geeralza el método atural sugerdo por Gross (1980): e el caso de que N / = sea u etero, la poblacó empírca P * se costruye agrupado copas de la muestra S. Las muestras bootstrap S * se seleccoa s reemplazameto de P *. S N = + l co 0 < l <, Bcel y Freedma (1984) propoe crear dos poblacoes empírcas, P 1 * y P 2 *, cosstedo e y +1 copas de la muestra cal, respectvamete. La muestra bootstrap se toma s reemplazameto P 1 * de co probabldad α o de P 2 *, co probabldad (1-α ), dode α se toma bajo certos crteros. La vrtud de este esquema es que P 1 * y P 2 *, tee la msma dstrbucó, F. P * va a ser, por lo tato, ua mxtura de P 1 * y P 2 *, co probabldades α y (1-α). Este método fue estudado depedetemete e 1985 por Chao y Lo. La aalogía etre los uversos real y bootstrap bajo este método se muestra e el sguete esquema, dode smbolzamos co SR el muestreo s reemplazameto Mudo Real: ( ) S( ) θ SR P N N SR Mudo Bootstrap: ( ) S( ) P θ S θ es algú parámetro de terés e la poblacó fta P y = θ ( S) θˆ es u estma- dor de ese parámetro, etoces θ = θ ( S ) ˆ represeta el valor del estadístco calculado co algua muestra bootstrap. El estmador bootstrap de Var () θˆ e este cotexto es etoces Ε { ( θˆ P )} Var, dode Ε deota la esperaza respecto de la mxtura ateror. Notemos que e este caso la poblacó fta bootstrap es aleatora, así los estmadores bootstrap se calcula promedado sobre ambas poblacoes empírcas y sobre todas las posbles muestras bootstrap de cada poblacó empírca. Bcel y Freedma (1984) se cetraro e el estudo de la dstrbucó astótca de combacoes leales de medas poblacoales, aalzado las codcoes

16 164 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA que garatzaba la valdez de la aproxmacó bootstrap. El estmador bootstrap de Var θˆ, es co Ε () 2 s y a varaza muestral y { ( ˆ 2 Var θ )} = N ( N ) ( 1 f) s y Ε P, f = N la fraccó muestral. El estmador bootstrap { Var ( θˆ P )} dfere del estmador sesgado usual ( ( ˆ 2 Vâr θ) = ( 1 f)( 1 ) 1 s y ) e el factor (-1) N/ (N-1). Bcel y Freedma (1984), Chao y Lo (1985), McCarthy y Sowde (1985) y Stter (1992a) dero fórmulas específcas para el valor de α de modo que ocurra lo ateror. Este método es aplcable úcamete a muestreos estratfcados B(S): Bootstrap de Stter Stter (1992a) propuso para el estudo de θ u método bootstrap s reemplazameto e el cual los tamaños de la poblacó empírca y muestra bootstrap so dferetes de N y. Aquí, * copas de la muestra S forma la poblacó empírca, de la cual se seleccoa s reemplazameto la muestra bootstrap de tamaño * Los valores de * y * se busca de modo que la fraccó muestral orgal, f = /N, se matega y V âr ( θˆ ) = ( θ ) ˆ Vâr (la poblacó fta bootstrap que se costruye es úca, al gual que la cal). E la práctca * y * o so eteros y Stter (1992a) sugere usar pares ( 1 = [], 1 = 1) y ( 2 = [ ], 2 = ) aleatoramete, dode [ ], [ ] represeta el mayor etero meor o gual a y el meor etero mayor o gual a, repectvamete, co = N 1 1 La aalogía etre los uversos real y bootstrap bajo el método de Stter se esquematza a cotuacó f Mudo Real: P( N ) S( ) θˆ SR P N Mudo Bootstrap: ( ) = S( ) ( ) K S( ) ( ) θˆ S SR

17 UNA REVISIÓN DE LA ESTIMACIÓN DE LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN Y MÉTODOS DE REMUESTREO BOOTSTRAP B(MM): Bootstrap mrror-match També estudado por Stter (1992b), su dea era la mtacó del esquema muestral orgal, como su ombre dca. Costa de dos etapas: 1. Se toma muestras aleatoras s reemplazameto de S, Sj co tamaño 0< <. 2. Se repte la etapa 1 depedetemete veces, obteedo las muestras S, K,. La muestra bootstrap será S S 1 K S, co tamaño * =, 1 S ( 1 f ) dode = ( 1 f) co f * = /. = Este método respode al sguete esquema: Mudo Real: P( N ) S( ) θˆ SR Mudo Bootstrap: S( ) S ( ) S SR 1( ) K S ( ) = θˆ Este método bootstrap proporcoa estmadores cosstetes de g(θ), co g ua fucó leal. Stter (1992b) també estuda astótcamete el caso de g o leal. La desvetaja de este método, al gual que otros aterores, es que puede o ser etero. La solucó es aleatorzar cosderado la varable * de modo que α = Ρ = y 1 α = Ρ =, co { } { [ ]} [ ] α = 1 [ ] [ ] dode [ ],, pues 1< < /(2-f)). Co esta aleatorzacó se cosgue estmadores bootstrap cosstetes. Stter (1992b) també sugró el uso de = f para gualar el estmador bootstrap del mometo cetral de tercer orde de θ al estmador sesgado usual. [] represeta lo msmo que e el caso ateror (se supoe [ ] Este método de remuestreo se extede a dseños muestrales s reemplazameto complejos: muestreos estratfcados, muestreos cluster betápcos y al método de Rao-Hartley-Cochra para muestreos de probabldades desguales.,

18 166 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA B(BBH): Bootstrap de Booth, Butler y Hall Booth, Butler y Hall (1994) da ua geeralzacó del método de Gross (1980) que o requere aleatorzacó etre dos poblacoes empírcas (Bcel y Freedma, 1984). Se costruye ua poblacó empírca, P *, de tamaño N= +l, agrupado = [N/] copas de la muestra cal S co ua muestra tomada s reemplazameto de tamaño l de S, {Y } =1,...l (deotamos por [a] la parte etera del valor a). Las muestras bootstrap, de tamaño se toma s reemplazameto de la poblacó empírca. La aalogía etre los uversos real y bootstrap co este método se preseta e el sguete esquema: Mudo Real: P( N ) S( ) θˆ SR N = S Mudo Bootstrap: ( ) ( ) P () K S Υ ( ) { } ( ) = 1,...l S SR θˆ E este caso, o hay ua úca poblacó empírca cuado l >0 Booth et al. (1994) argumeta que el aálogo atural del prcpo plug- es estmar θ(p) por Ε θ P De esta forma, los estmadores bootstrap se calcula promedado sobre { ( )} todas las posbles poblacoes empírcas y sobre todas las posbles muestras bootstrap de cada poblacó empírca. Notemos que bajo este bootstrap el estmador de Var () θˆ es Ε { ( ˆ 2 Var θ P )} = { 1 l N ( 1 ( l )( N ) )} N ( N ) ( 1 f ) s y, dfredo del estmador de B(BF) e el factor etre{ }, que toma valor uo para l= B(PB): Bootstrap de Presell y Booth Presell y Booth (1994) supoe que la poblacó fta P es ua realzacó de ua muestra aleatora smple (observacoes depedetes e détcamete dstrbudas, d) de ua superpoblacó co fucó de dstrbucó F. La muestra S se obtee por muestreo s reemplazameto de P. Aquí P * es ua muestra obteda a partr de F de la msma forma que P fue obteda a partr de F, como se lustra e el sguete esquema:

19 UNA REVISIÓN DE LA ESTIMACIÓN DE LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN Y MÉTODOS DE REMUESTREO BOOTSTRAP 167 Mudo Real: F P( ) S( ) θˆ d N SR Mudo Bootstrap: F P( N ) S( ) θˆ d SR Metodológcamete, este bootstrap es détco al de Booth, Butler y Hall excepto que las poblacoes empírcas se geera por muestreo aleatoro smple a partr de F. Como e el método ateror, los estmadores bootstrap se obtee como promedo sobre todas las posbles poblacoes empírcas y sus posbles muestras bootstrap. Para estmar, por ejemplo, Var ( θˆ P) (otemos el codcoameto del operador varaza debdo al carácter aleatoro de la poblacó fta, recordemos que uestro estudo se cetra e ua poblacó fta partcular), el predctor, e termología de los autores, es { ( ˆ ) } { ( ˆ Ε Var θ P = Ε Var θ P ) F }. Bajo este esquema bootstrap Ε { ( θˆ Var P )} = ( 1) Vâr ( θˆ P) A la hora de hacer estmacó es de gra utldad aprovechar, s es posble, la formacó de covarables. E esta líea Rao y Katzoff (1996) y Helmers y Wegamp (1998) estmaro la meda poblacoal vía el estmador de razó o regresó B(RK): Bootstrap de Rao y Katzoff Rao y Katzoff (1996) propoe seleccoar * observacoes de la muestra cal s reemplazameto. La varaza bootstrap cocde co Vâr ( θ ) s = / ( 2 f ). La aología etre el uverso real y bootstrap co este método respode al sguete esquema: Mudo Real: P( N ) S( ) θˆ SR. θˆ S S Mudo Bootstrap: ( ) SR ( ) B(W): Wld bootstrap e poblacoes ftas Helmers y Wegamp (1998) cocbe la poblacó fta como ua realzacó (observacoes d) de u modelo de superpoblacó, corporado formacó auxlar, ξ : Υ = β + ε x

20 168 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA co ( Ρ) y ε varables aleatoras depedetes, defdas sobre el msmo 2 espaco de probabldad, de meda ula y Var ( ε ) = σ. Esto es, u modelo de razó smple (regresó leal pasado por el orge) co errores heterocedástcos. Los x so úmeros reales postvos y coocdos. Tato el parámetro de valores { } P regresó β como { σ} P 2 so descoocdos y se estmará a partr de los datos. Los autores propoe u procedmeto de remuestreo e dos etapas e orde a mtar el esquema muestral orgal, sguedo la dea de Stter (1992b). Así, la fraccó muestral del remuestreo, f = / y f=/n será guales astótcamete. A cotuacó lustramos los tres métodos de remuestreo propuestos por Helmers y Wegamp (1998). El prmero de ellos es la base de los otros dos. E él se mxtura la dea del wld bootstrap tradcoal (Shao y Tu, 1995, pág.291) y el bootstrap match-mrror (Stter, 1992b). REMUESTREO 1: 1. Se calcula los resduos del modelo de superpoblacó (ξ), ˆ = Υ ˆ βx ε co ( S ) 2. Se geera copas depedetes de ua varable aleatora Z co EZ=0 y EZ 2 =1 y se costruye el modelo de superpoblacó bootstrap co ε = εˆ Ζ, ξ* : Υ ˆ + ε ( S ) = βx 3. Co los valores x de ua muestra tomada s reemplazameto de S y a partr * de ξ geeramos ua muestra bootstrap, S j, co tamaño ' = ([ f ] + 1), deotado por a b el mímo etre a y b. 4. Repetmos la etapa 3 depedetemete veces. La muestra bootstrap será S S 1 K S, co tamaño * = y = [/ ]. = El esquema de este método es Mudo Real: ξ P( ) S( ) θˆ d N SR Mudo Bootstrap: { ( Υ, x) } S( ) = S 1 ( ' ) K S ( ' ) ξ θˆ d = 1,... SR

21 UNA REVISIÓN DE LA ESTIMACIÓN DE LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN Y MÉTODOS DE REMUESTREO BOOTSTRAP 169 El segudo remuestreo es ua adaptacó del bootstrap pareado (Shao y Tu, 1995, pág.291) a la poblacó fta de terés. REMUESTREO 2: 1. Tomamos s reemplazameto de S ua muestra bootstrap S j, co tamaño ' ([ f ] + 1 ) =. 2. Repetmos el paso prevo depedetemete veces. La muestra bootstrap será S S 1 K S, co tamaño * = y =[/ ]. = El esquema de este método es: Mudo Real: ξ P( ) ( ) θˆ N S d SR S S Mudo Bootstrap: ( ) SR ( ) 1 ( ) ( ) = S K S θˆ Falmete, propoe ua varate muy smple del wld bootstrap. E él o se dstgue dos etapas mtado el muestreo s reemplazameto e poblacoes ftas, so que se toma uas varables apropadas que lo refleje. REMUESTREO 3: 1. Se calcula los resduos del modelo de superpoblacó ( ) ( S ) ξ, ε ˆ = Υ ˆ βx co 2. Se geera copas depedetes de ua varable aleatora Z co EZ=0, 2 2+δ ΕΖ = 1 f y Ε Ζ < δ > 0 ( ) ( S ) 3. Se toma ξ : Υ = βx + ε Ζ A cotuacó mostramos el esquema de este remuestreo: Mudo Real: ξ P( ) S( ) θˆ d N SR Mudo Bootstrap: ξ S ( ) θˆ

22 170 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA Helmers y Wegamp (1998) prueba que bajo certas codcoes de regulardad los estmadores bootstrap del parámetro de regresó, razó y la meda poblacoal so astótcamete ormales, al gual que sus estmadores usuales Otros métodos de remuestreo bootstrap Bootstrap ave Ua extesó seclla del bootstrap al cotexto de poblacoes ftas es aplcar el bootstrap estádar, es decr, obteer la muestra bootstrap por muestreo aleatoro smple co reemplazameto (CR) de la muestra orgal. El esquema de este pla de remuestreo es Mudo Real: P( N ) S( ) θˆ SR Mudo Bootstrap: S( ) S CR ( ) θˆ S vestgamos las propedades de los estmadores bootstrap co este método, ecotramos que el estmador bootstrap de la varaza de, θ ˆ, Var ( ) θ ˆ tee dos defectos potecales: (1) la pérdda del factor escala (1-f) lo que puede causar problemas s el muestreo orgal es s reemplazameto; (2) la exsteca de factores de escala superfluos, que puede provocar la pérdda de propedades deseables e el estmador de la varaza. El estmador bootstrap de la fucó de dstrbucó de ( ˆ ) () { ( ˆ θ θ, H t = Ρ θ θˆ ) t}, puede ser cosstete B(MS): Bootstrap co reemplazameto de McCarthy y Sowde McCarthy y Sowde (1985) propoe el uso de muestras bootstrap co reemplazameto de tamaño * = (-1) / (1-f), tomadas de modo que se tega Var ( θˆ ) = ( θ) ˆ Vâr. Esto requere que * sea etero; e caso cotraro recurrríamos a la aleatorzacó como aputa Stter (1992b). E este caso Η () t es cosstete. McCarthy y Sowde (1985) deomaro a este método el bootstrap co reemplazameto. Su esquema es el sguete:

23 UNA REVISIÓN DE LA ESTIMACIÓN DE LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN Y MÉTODOS DE REMUESTREO BOOTSTRAP 171 Mudo Real: P( N ) S( ) θˆ SR S S θˆ Mudo Bootstrap: ( ) CR ( ) BWR(RS): Bootstrap reescalado de Rao y Wu Rao y Wu (1988) propoe reescalar el bootstrap ordaro. Las muestras bootstrap se costruye e dos etapas: 1. Se seleccoa ua muestra co reemplazameto de la muestra cal S, Υ,K Υ, de tamaño * > 0 arbtraro. S = { } 1, 2. Se reescala los valores remuestreados de tal forma que los estmadores bootstrap de θ y de Var ( θˆ ) sea guales a los estmadores sesgados usuales. E el caso partcular de θ = Υ y muestreo aleatoro s reemplazameto, Υ ˆ c ( ˆ = θ + Υ θ),, dode c = { ( 1 f) ( 1) } 1 2. Para la eleccó de *, Rao y Wu recomeda 2 ( 1 f)( 2) ( 1 2 f) ( 1) = 2, e orde a que el estmador bootstrap del mometo cetral de tercer orde sea gual al estmador sesgado usual. E geeral, * o es u valor etero; ua 2 2 aleatorzacó etre los eteros [( 1 f )/ ( 1 2 f ) ] y [( 2) / ( 1) ] y sería lo más coveete. La eleccó de * tee mpacto e la costruccó de tervalos de cofaza para g () θˆ, g fucó sufcetemete suave. La aalogía etre el mudo real y el mudo bootstrap co este método de remuestreo se muestra esquemátcamete a cotuacó: Mudo Real: P( N ) S( ) θˆ SR S S reescalar S Mudo Bootstrap: ( ) CR ( ) ( ) θˆ Este método de remuestreo se extede a dseños muestrales s reemplazameto complejos: muestreos estratfcados, muestreos cluster betápcos y muestreos co probabldades desguales.

24 172 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA Por últmo, ctar el trabajo de Bcel y Kreger (1989), quees estudaro las badas de cofaza bootstrap de la fucó de dstrbucó de ua poblacó fta co muestreo estratfcado, co y s reemplazameto, e la líea de Bcel y Freedma (1984). Y los trabajos de Lombardía et al. (2003) y Lombardía (2002), dode se desarrolla u método de remuestreo bootstrap para estmar la fucó de dstrbucó F N (t) a partr del estmador de Chambers-Dusta, tomado como modelo de superpoblacó u modelo de regresó paramétrco y o paramétrco. REFERENCIAS BICKEL, P.J. AND FREEDMAN, D.A. (1984). «Asymptotc ormalty ad the bootstrap stratfed samplg». The Aals of Statstcs, 2, BICKEL, P.J. AND KRIEGER, A.M. (1989). «Cofdece bads for a dstrbuto fucto usg the bootstrap». J. Amer. Statst. Assoc.,, 405, BOLFARINE, H. AND SANDOVAL, M. (1994). «O predctg the fte populato dstrbuto fucto». Statstcs ad Probablty Letters, BOOTH, J.G., BUTLER, R.W. AND HALL, P. (1994). «Bootstrap methods for fte populatos». J. Amer. Statst. Assoc., 428, CHAMBERS, R.L., DORFMAN, A.H. AND HALL, P. (1992). «Propertes of estmators of the fte populato dstrbuto fucto». Bometra, 3, CHAMBERS, R.L., DORFMAN, A.H. AND WEHRLY, T.E. (1993). «Bas robust estmato fte populatos usg oparametrc calbrato». J. Amer. Statst. Assoc., 421, CHAMBERS, R.L. AND DUNSTAN, R. (1986). «Estmatg dstrbuto fuctos from survey data». Bometra, 3, CHAO, M.T. AND LO, S.H. (1985). «A bootstrap method for fte populato». The Ida J. of Statst.,, Sere A, 3, DORFMAN, A.H. (1993). «A comparso of desg-based ad model-based estmators of the fte populato dstrbuto fucto». Austral. J. Statst., (1), DORFMAN, A.H. AND HALL, P. (1993). «Estmators of the fte populato fucto usg oparametrc regresso». The Aals of Statstcs, 3, EFRON, B. (1979). «Bootstrap methods: aother loo at the jacfe». The Aals of Statstcs, 1-26.

25 UNA REVISIÓN DE LA ESTIMACIÓN DE LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN Y MÉTODOS DE REMUESTREO BOOTSTRAP 173 EFRON, B. AND TIBSHIRANI, R.J. (1993). «A troducto to the bootstrap». Moographs o Statstcs ad Appled Probablty. Chapma ad Hall. FRANCISCO, C. AND FULLER, W.(1991). «Quatle estmato wth a complex survey samplg desg». The Aals of Statstcs, 1, GROSS, S.T. (1980). «Meda estmato sample surveys». ASA Proc. of Survey Rsch. Methods Sect., HELMERS, R. AND WEGKAMP, M. (1998). «Wld Bootstrap fte populatos wth auxlary formato». Board of the Foudato of the Scadava Joural of Statstcs, KUK, A. (1988). «Estmato of dstrbuto fuctos ad medas uder samplg wth uequal probabltes». Bometra, 1, KUK, A. (1993). «A erel method for estmatg fte populato dstrbuto fuctos usg auxlary formato». Bometra, 2, KUK, A. AND MAK, T.K. (1994). «A fuctoal approach to estmatg fte populato dstrbuto fuctos». Commu. Statst.-Theory Meth., (3), KUO, L. (1988). «Classcal ad predcto approaches to estmatg dstrbuto fuctos from survey data». Proceedgs of the Secto o Survey Research Methods, Amerca Statstcal Assocato, LAHIRI, D.B. (1951). «A method of sample selecto provdg ubased rato estmates». Bull. It. Statst. Ist., Boo 2, LOMBARDÍA, M.J. (2002). «El bootstrap e la estmacó de la fucó de dstrbucó e poblacoes ftas». Tess doctoral. Uversdad de Satago de Compostela. LOMBRDÍA, M.J., GONZÁLEZ-MANTEIGA, W. AND PRADA-SÁNCHEZ, J.M. (2003). «Bootstrappg the Chambers-Dusta estmate of a fte populato dstrbuto fucto». J. Statstcal Plag ad Iferece, (2003) 116, pág LOMBARDÍA, M.J., GONZÁLEZ-MANTEIGA, W. AND PRADA-SÁNCHEZ, J.M. (2003). «Bootstrappg the oparametrc Chambers-Dusta estmator of a fte populato dstrbuto fucto». J. Noparametrc Statstcs, pedete de publcacó. MCCARTHY, P.J. AND SNOWDEN, C.B. (1985). «The bootstrap ad fte populato samplg» Vtal ad Health Statstcs 2, Publc Health Servce Publcato, PRESNELL, P. AND BOOTH, J.G. (1994). «Resamplg methods for sample surveys». Techcal Report, Departmet of Statstcs, Uversty of Florda.

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27 UNA REVISIÓN DE LA ESTIMACIÓN DE LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN Y MÉTODOS DE REMUESTREO BOOTSTRAP 175 REVIEW OF DISTRIBUTION FUNCTION ESTIMATION ANDBOOT- STRAP RESAMPLING METHODS IN FINITE POPULATION SUMMARY The survey samplg s very mportat statstcs. The fte populatos are usual our lfe, ad frequetly we wat to ow some characterstc of them. These characterstcs are ow from the fte populato dstrbuto fucto. I ths wor we mae a revew of the dferet vewpots of the ferece fte populatos ad the developed bootstrap methods ths area, ceterg our terest the dstrbuto fucto estmato. Key Words: Wthout replacemet samplg, dstrbuto fucto ad resamplg bootstrap methods. AMS Classfcato (2000): 62D05, 62G08, 62G09