ESTADÍSTICA TEÓRICA: ESTIMADORES

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1 Gestó Aeroáutca: Estadístca Teórca Facultad Cecas Ecoómcas y Empresarales Departameto de Ecoomía Aplcada Profesor: Satago de la Fuete Ferádez ESTADÍSTICA TEÓRICA: ESTIMADORES Estadístca Teórca: Estmadores

2 Estadístca Teórca: Estmadores

3 Gestó Aeroáutca: Estadístca Teórca Facultad Cecas Ecoómcas y Empresarales Departameto de Ecoomía Aplcada Profesor: Satago de la Fuete Ferádez ESTIMADORES U estmador es u estadístco (ua fucó de la muestra) utlzado para estmar u parámetro descoocdo de la poblacó. Por ejemplo, s se desea coocer el preco medo poblacoal de u artículo (parámetro descoocdo) se recoge observacoes del preco de dcho artículo e dversos establecmetos (muestra) pudedo utlzarse la meda artmétca de las observacoes para estmar el preco medo poblacoal. Para cada parámetro puede estr varos estmadores dferetes. E geeral, se elge el estmador que posea mejores propedades que los restates, como sesgadez, efceca, covergeca y robustez (cossteca). El valor de u estmador proporcoa ua estmacó putual del valor del parámetro e estudo. E geeral, se realza la estmacó medate u tervalo, es decr, se obtee u tervalo estadístco muestral error estmacó detro del cual se espera se ecuetre el valor poblacoal detro de u certo vel de cofaza. El vel de cofaza es la probabldad de que a pror el valor poblacoal se ecuetre cotedo e el tervalo. PROPIEDADES DE LA ESPERANZA Y VARIANZA a) EaX bxeax EbX aex bex b) VaraX bx VaraX VarbX a VarX b VarX Estadístca Teórca: Estmadores 3

4 SESGO Se deoma sesgo de u estmador a la dfereca etre la esperaza (valor esperado) del estmador y el verdadero valor del parámetro a estmar. Es deseable que u estmador sea sesgado o cetrado, esto es, que el sesgo sea ulo para que la esperaza del estmador sea gual al valor del parámetro que se desea estmar. Por ejemplo, s se desea estmar la meda de ua poblacó, la meda artmétca de la muestra es u estmador sesgado de la msma, ya que la esperaza (valor esperado) es gual a la meda poblacoal. S ua muestra X (,,, ) procede de ua poblacó de meda : E para (,,,) La meda artmétca muestral es u estmador sesgado de la meda poblacoal: E E E E E E E La varaza de ua muestra aleatora smple es u estmador sesgado de la varaza poblacoal, sedo su esperaza: La varaza muestral ( ). Para calcular su esperaza matemátca se realza prevamete alguos cálculos sumado y restado la esperaza de la varable aleatora poblacoal. ( ) ( ) ( ) ( ) Desarrollado el cuadrado: Estadístca Teórca: Estmadores 4

5 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Calculado la esperaza matemátca de la varaza muestral varazapoblacoal : E E ( ) ( ) E ( ) E ( ) E el segudo membro aparece dos esperazas, la prmera varaza meda muestral E( ) cocde co la varaza poblacoal al tratarse de ua muestra aleatora smple, la seguda esperaza E( ) es la varaza de la meda muestral Por tato, E La cuasvaraza de ua muestra aleatora smple es u estmador sesgado de la varaza poblacoal: s ( ) Estadístca Teórca: Estmadores 5

6 Relacó etre varaza y cuasvaraza: ()s s La esperaza de la cuasvaraza s es la varaza poblacoal E s E.E.. U estmador es sesgado (cetrado) cuado E( ) : U estmador es sesgado sí E( ) b( ) b( ) E( ) sesgo U estmador es astótcamete sesgado s su posble sesgo tede a cero al aumetar el tamaño muestral que se calcula: lm b( ) 0 Sea el estmador E( ) E E E( ) ( ) b( ) E( ) 0 sesgado astótcamete Estadístca Teórca: Estmadores 6

7 ERROR CUADRÁTICO MEDIO DE LOS ESTIMADORES (ECM) La utlzacó de la estmacó putual como s fuera el verdadero valor del parámetro coduce a que se pueda cometer u error más o meos grade. El Error Cuadrátco Medo (ECM) de u estmador vee defdo: ECM( ) E( ) V( ) E( ) sesgo b( ) E( ) sesgo Cuado el estmador es cetrado, el sesgo b( ) 0 ECM( ) V( ) U error cuadrátco medo pequeño dcará que e meda el estmador o se ecuetra lejos del parámetro. CONSISTENCIA S o es posble emplear estmadores de míma varaza, el requsto mímo deseable para u estmador es que a medda que el tamaño de la muestra crece, el valor del estmador teda a ser el valor del parámetro poblacoal, propedad que se deoma cossteca. U estmador cosstete es u estmador astótcamete sesgado cuya varaza tede a cero al aumetar el tamaño muestral. El estmador es cosstete cuado lm E( ) y lm V( ) 0 EFICIENCIA U estmador es más efcete o más precso que otro estmador, s la varaza del prmero es meor que la del segudo. Sea y dos estmadores sesgados, se dce que es más efcete que s se verfca que Var( ) Var( ) La efceca relatva se mde por la rato: Var( ) Var( ) Estadístca Teórca: Estmadores 7

8 La efceca de los estmadores está lmtada por las característcas de la dstrbucó de probabldad de la muestra de la que procede. U estmador es efcete cuado verfca: Es sesgado Posee varaza míma La cuestó de teer varaza míma queda resuelta medate la Cota de Cramér Rao. La varaza de u estmador verfca sempre la Cota de Cramér Rao: V( ) CCR. U estmador será efcete cuado V( ) CCR y la cota resulta b( ) V( ) CCR l L(, ) E S el estmador es sesgado b( ) 0: V( ) CCR l L(, ) E E muestras aleatoras smples: b( ) V( ) CCR l L(, ) E Es precso destacar que la Cota de Cramér Rao (CCR) o tee por qué tomar sempre u valor muy pequeño (cercao a cero). U estmador es astótcamete efcete sí: lm V( ) CCR El deomador de la Cota de Cramér Rao es la catdad de formacó de Fsher e ua muestra: l L(X, ) I( ) E o be l L(, ) ( ) E dode I( ).( ) A la fucó l L(X, ) se llama soporte o Log verosmltud. Estadístca Teórca: Estmadores 8

9 La catdad de formacó de Fsher I( ) puede smplfcarse e ua muestra aleatora smple (m.a.s.), segú sea el caso dscreto o cotuo, obteedo la epresó: l P(,,, ; ) l P( ; ) Dscreto: E.E l f(,,, ; ) l f( ; ) Cotuo: E.E MÉTODO DE MÁXIMA VEROSIMILITUD (EMV) La estmacó por máma verosmltud es u método de optmzacó que supoe que la dstrbucó de probabldad de las observacoes es coocda. Sea (,, ) ua muestra aleatora (o ecesaramete smple) de ua poblacó X co fucó de masa P (o fucó de desdad f ) dode (,, ). El estmador de máma verosmltud (probabldad cojuta) de es el formado por los valores (,, ) que mamza la fucó de verosmltud de la muestra (,, ) obteda: P(, ) P(, ) caso dscreto L( ) L(X; ) L(,, ; ) f() f()casocotuo E muchas ocasoes, es más práctco ecotrar el estmador de máma verosmltud es cosderar la fucó soporte o Log verosmltud l L(X, ), e lugar de la fucó de verosmltud L( ), ya que es más fácl de maejar y preseta los msmos mámos y mímos. Estadístca Teórca: Estmadores 9

10 Se despeja (,, ) de la ecuacó: obtee el estmador de máma verosmltud l L( ) E.M.V( ) 0 y se SUFICIENCIA U estmador es sufcete cuado o da lugar a ua pérdda de formacó. Es decr, cuado la formacó basada e es ta buea como la que hcera uso de toda la muestra. Para detfcar estadístcos sufcetes se utlza el crtero de factorzacó de Fsher Neyma, que dce que dada ua muestra aleatora (,, ) de ua poblacó X co fucó de masa P (o fucó de desdad f ) u estadístco es sufcete para s y sólo sí: P θ (,, ) gθ(,, ), θ.h(,, ) f θ (,, ) gθ(,, ), θ.h(,, ) caso dscreto caso cotuo Para ecotrar u estadístco sufcete hay que factorzar la fucó de verosmltud de la forma: L( ) g (θ, θ).h(,, ) Estadístca Teórca: Estmadores 0

11 MÉTODO DE LOS MOMENTOS El procedmeto cosste e gualar mometos poblacoales respecto al orge r a los correspodetes mometos muestrales respecto al orge a r, formado así tatas ecuacoes como parámetros poblacoales se pretede estmar: E(X) a E(X ) a r r E(X ) r ar r Estadístca Teórca: Estmadores

12 EJERCICIOS DE ESTIMADORES La varable aleatora poblacoal "reta de las famlas" del mucpo de Madrd se dstrbuye sguedo u modelo N(, ). Se etrae muestras aleatoras smples de tamaño 4. Como estmadores del parámetro, se propoe los sguetes: Se pde: a) Comprobar s los estmadores so sesgados b) Cuál es el más efcete? c) S tuvera que escoger etre ellos, cuál escogería?. Razoe su respuesta a partr del Error Cuadrátco Medo. Solucó: a) U estmador es sesgado (o cetrado) cuado se verfca E( ) 33 E( ) E E E( ) E( ) 3E( 3) E( ) E E 4 E( ) 4E( ) E( 3) E E E( ) E( ) E( 3) E( 4) Estadístca Teórca: Estmadores

13 Los tres estmadores so sesgados o cetrados. b) El estmador más efcete es el que tega meor varaza. 33 V V V V( ) 4V( ) 9V( 3) 4 0, V V V 4 V( ) 6V( ) , V 3 V V V( ) V( ) V( ) V( ) 4 0, El estmador 3 es el más efcete. c) ECM( ) E( ) V( ) b( ) sesgo b( ) E( ) Al ser los tres estmadores sesgados b( ) 0 ECM( ) V( ) El error cuadrátco medo cocde co la varaza, por tato, se elge el estmador 3 por presetar meor varaza. Estadístca Teórca: Estmadores 3

14 La varable aleatora X represeta los gastos mesuales de ua empresa, cuya fucó de desdad es f(,) co 0 y 0. Se realza ua m.a.s. de tamaño 3, y se propoe tres estmadores: a) Calcule los sesgos b) S la muestra que se obtee es (0,7; 0,; 0,3), calcule las estmacoes putuales c) Cuáles so las fucoes estmadas para las estmacoes aterores? Solucó: a) 3 E( ) E E 3 (3 ) dode f(, ) d f(, ) d d d 0 Sesgo: E( ) b( ) E( ) 3 3 E( ) E E( ) E( ) 3E( ) (6 ) E( ) f(, ) d f(, ) d d d 0 0 Estadístca Teórca: Estmadores 4

15 3 3 E( ) E E( ) E( ) 3E( 3) 6 6 Sesgo: b( ) E 3 4 E( 3) E E 3 4 (3 ) f(, ) d f(, ) d d d 0 Sesgo: b( 3) E( 3) ( ) b) Las estmacoes putuales de la muestra (0,7 ; 0, ; 0,3): 0,7 0, 0,3 0, ,7.0, 3.0,3 0,3 6 0,3.0,7 4.0, 3 0,7 o puede ser, puesto que 0 6 c) Las fucoes estmadas para las estmacoes de la muestra: f(0,367, ) 0,367 0,367 0,367 0,633 f(0,3, ) 0,3 0,367 0,3 0,87 Estadístca Teórca: Estmadores 5

16 Sea ua poblacó co meda de la que se etrae m.a.s. de tamaño. Cosdere los sguetes estmadores de la meda: a) Estudar la sesgadez, la efceca relatva y la cossteca de ambos estmadores b) Elegr uo de los dos e térmo del error cuadrátco medo Solucó: a) Isesgadez: E( ) E() E E E( ) ( ) Sesgo: b( ) E( ) 0 E( ) E E E( ) ( ) 0 cuado b( ) E( ) Efceca: sesgado astotcamete Sea dos estmadores sesgados y de u parámetro descoocdo. Se dce es más efcete que s se verfca: Var ( ) Var( ) Var( ). La efceca relatva se mde por la rato Var ( ) V( ) V() V( ) V( ) ( ) Estadístca Teórca: Estmadores 6

17 V( ) V V( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Efcecarelatva: Var( ) ( ) Var( ) Var( ) Var( ) ( ) El estmador tee meor varaza, por lo que es más efcete que Cossteca: U estmador es cosstete cuado lm E( ) y lm V( ) 0 lm E( ) lm E() es cosstete lm V( ) lm 0 lm E( ) lm ( ) lm V( ) lm 0 es cosstete b) ECM( ) E( ) V( ) b( ) sesgo b( ) E( ) ECM( ) V( ) b( ) 0 ECM( ) V( ) b( ) ( ) ( ) El estmador será elegdo sí ECM( ) ECM( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Estadístca Teórca: Estmadores 7

18 () () () () () ( ) ( ) () () S se elge ates que S se elge ates que Sea (,,, ) ua muestra aleatora smple de ua varable aleatora X co E(X) y Var(X) Calcular el error cuadrátco medo para los sguetes estmadores de : Solucó: Isesgadez E( ) E( ) b( ) E( ) E 3E( ) E( ) E( 3) b( ) E( ) sesgo 3 3 Respecto al sesgo es mejor el prmer estmador que es sesgado o cetrado. Varaza Var( ) Estadístca Teórca: Estmadores 8

19 3 3 Var( ) Var Var Var( ) 4Var( ) Var( 3) 9 4 Respecto a la varaza es mejor el segudo estmador por ser 7 8 El mejor estmador será el que presete meor Error Cuadrátco Medo ECM( ) V( ) b( ) ECM( ) V( ) b( ) El prmer estmador será mejor sí Estadístca Teórca: Estmadores 9

20 La dstrbucó del peso de las mazaas de ua determada cosecha sgue ua dstrbucó ormal, cuyo peso medo es descoocdo y cuya desvacó típca es 7 gramos. Se pde: a) Aalzar cuál de los estmadores, del peso medo es mejor respecto del sesgo y de la efceca, para ua muestra aleatora smple de tamaño cco. 5 b) S y , obteer los pesos 5 medos estmados a partr de la muestra (5, 35, 30, 37, 4). Solucó: a) El peso de las mazaas sgue ua dstrbucó N(, 7) Se calcula las esperazas para aalzar el sesgo de los estmadores E( ) E /5 E E (5 ) E( ) E( 3 4 ) E( ) E( ) 3E( ) 4E( ) E( ) 34 Los estmadores, so sesgados (cetrados). b) Para aalzar la efceca de los estmadores se obtee las varazas: V( ) V /5 V V (5.49) V( ) V( ) V( ) 4V( ) 9V( 3) 6V( 4) V( 5) (49) 4 (49) 9 (49) 6 (49) (49) 3 (49) 59 Como los dos estmadores so sesgados y V( ) V( ) se elge como mejor el estmador, el peso medo de la muestra de las cco mazaas. Estadístca Teórca: Estmadores 0

21 Sea (,, 3, 4, 5) ua muestra aleatora smple de ua varable aleatora X co dstrbucó ormal co meda ( 5) y varaza. Se propoe los sguetes estmadores: Determar cuál es el mejor estmador para. Justfcar la respuesta. Solucó: Isesgadez 5 E( ) E E ( 5) 5 5 E( ) E 8 3 8E( ) 3E( ) 8( 5) 3( 5) 5( 5) Ambos estmadores so sesgados, co détco sesgo: b( ) b( ) 5( 5) 45 Varaza 5 Var( ) Var 5Var() 5 Var( ) Var Var( ) 3 Var( ) Dado que los dos estmadores tee el msmo sesgo y el prmer estmador tee meor varaza, será el estmador óptmo. Puede observarse que preseta el meor Error Cuadrátco Medo: ECM( ) V( ) b( ) 5 45 ECM( ) V( ) b( ) Estadístca Teórca: Estmadores

22 El peso e klos de los jamoes veddos por ua empresa sgue ua dstrbucó ormal co varaza 4 y peso medo descoocdo. Se cooce que el peso medo de los jamoes veddos es superor a 5 kg, y se toma m.a.s. de tamaño 4 para estmar. Cuál de los dos estmadores sería el mejor respodedo a la sesgadez y efceca? Solucó: La v.a varaza X 4 3 'peso ekg delos jamoes' sgue ua dstrbucó ormal de 4 Para estudar la sesgadez de los estmadores se calcula sus esperazas: 3 3 E( ) E E( ) E( ) E( 3) El sesgo del estmador será: b( ) E( ) 4 4 E( ) E E( ) E( ) El estmador es sesgado, b( ) 0 Atededo al sesgo se elge Para aalzar la efceca relatva de los dos estmadores se calcula las respectvas varazas 3 V( ) V V( 3) Observacoes depedetes 3 V( ) V( ) V(X ) 6 V( ) V( ) V V( ) V( ) V( ) Estadístca Teórca: Estmadores

23 Respecto a la varaza se elge el estmador por ser el de meor varaza. Aparece decsoes cotrapuestas, de modo que el estmador se elge e base al error cuadrátco medo: ECM Varaza (sesgo) 3 ECM( ) ECM( ) Se aalza cuado es mayor el ECM el prmer estmador : 6 ECM( ) ECM( ) 0 0 4,47 S es e valor absoluto mayor que 4,47, el error cuadrátco medo de es mayor, co lo que se elge el estmador. Se cooce que el peso medo de los jamoes es superor a 5 kg, o queda duda que el estmador a elegr (co meor error cuadrátco medo) es Supogamos que la dstrbucó de gresos de ua certa poblacó es ua varable aleatora co meda descoocda y varaza també descoocda. S queremos estmar el greso medo de la poblacó medate ua m.a.s. de tamaño, respecto de la sesgadez y de la efceca. Cuál de los dos estmadores elegríamos?. So cosstetes? Solucó: La v.a N(, ) 'gresos de certa poblacó' sgue ua dstrbucó ormal Para aalzar el sesgo de los estmadores, se calcula la esperaza: Estadístca Teórca: Estmadores 3

24 E( ) E E E( ) () ( ) El sesgo del estmador será: b( ) E( ) E( ) E E E( ) ( ) El estmador, que es la meda muestral, es sesgado (cetrado) y el estmador que se elge. La efceca de los estmadores se aalza a través de su varaza: V( ) V V V( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) V( ) V V V( ) ( ) El estmador más efcete será el de meor varaza. Comparado las varazas de los estmadores: V( ) V( ) puestoque () ( ) El estmador, que es la meda muestral, es el mejor tato al sesgo como a la efceca. Los dos estmadores so cosstetes: Estadístca Teórca: Estmadores 4

25 lm E( ) y lm V( ) lm 0 ( ) lm E( ) y lm V( ) lm 0 Nota: El estmador de máma verosmltud (probabldad cojuta) de es el formado por los valores (,, ) que mamza la fucó de verosmltud de la muestra (,, ) obteda: L( ) L(X; ) L(,, ; ) P(, ) P(, ) caso dscreto E muchas ocasoes, es más práctco ecotrar el estmador de máma verosmltud al cosderar la fucó Soporte o Log verosmltud l L(X, ), e lugar de la fucó de verosmltud L( ), ya que es más fácl de maejar y preseta los msmos mámos y mímos. Se despeja l L( ) (,, ) de la ecuacó: 0 y se obtee el estmador de máma verosmltud E.M.V( ) U atleta olímpco de salto de altura se efreta a u lstó de,3 metros. Su etreador desea estudar el comportameto del saltador. Sabe que el úmero de saltos falldos por hora es ua varable aleatora dstrbuda como ua Posso de parámetro. a) Calcular el estmador mámo verosíml del parámetro. b) Aalzar sus propedades. Solucó: a) Sea la v.a. X = 'úmero de saltos falldos por hora' E la dstrbucó de Posso: E() P(X ) e! V() La fucó de verosmltud L(X, ) e ua muestra aleatora smple de tamaño : Estadístca Teórca: Estmadores 5

26 L( ) L(X, ) P(, ) e e e!!!!! L(X, ) e ll(x, ) l e l ( ) l (!) l(e ) l l(!) l L(X, ) l l(!) Para obteer el estmador de máma verosmltud EMV( ), se derva la epresó ateror respecto del parámetro para obteer, susttuyedo por ll(x, ) 0 0 El estmador de máma verosmltud (estmador que ofrece mayor credbldad) vee dado por la meda muestral EMV( ) b) Propedades de Isesgadez, Cossteca y Efceca Isesgadez El estmador es sesgado (cetrado) sí E( ) E( ) E E( ) E( ) ( ) Estadístca Teórca: Estmadores 6

27 V( ) V() V V( ) ( ) Cossteca Cuado o es posble emplear estmadores de máma verosmltud, el requsto mímo deseable para u estmador es que sea cosstete. El estmador es cosstete cuado lm E( ) y lm V( ) 0 lm E( ) lm y lm V( ) lm 0 El estmador es cosstete Para que u estmador sea efcete tee que ser cetrado y de varaza míma. La varaza míma se aalza e vrtud de la acotacó de Cramer Rao: b( ) V( ) CCR l P(,,, ; ) E La catdad de formacó de Fsher I( ) puede smplfcarse e ua muestra aleatora smple (m.a.s.), obteedo la epresó: l P(,,, ; ) l P( ; ) I( ) E.E b( b( ) ) 0 V( ) CCR V( ) CCR l P( ; ) l P( ; ).E.E El estmador es efcete cuado V( ) CCR Efceca Sedo, P(X ) e! Estadístca Teórca: Estmadores 7

28 lp(, ) l e l l(!)! lp(, ) lp(, ) E E E( ) E() V() E cosecueca, V( ) El meor valor de la varaza del estmador será Se sabe que V( ) V(), lo que muestra V( ) CCR, el estmador empleado es efcete. Sea la dstrbucó N(,, ) co la meda y varaza descoocdas. Calcular los estmadores mámo verosímles de y Solucó: Fucó de verosmltud: L(X;, ) ( ) ( ) ( ) e e e ( ) ( ) e ( ) Fucó soporte o Log verosmltud: Estadístca Teórca: Estmadores 8

29 ( ) l L(X;, ) l e ( ) ( ) ( ) l( ) l( ) l L(X;, ) l( ) l( ) ( ) Para obteer los estmadores de máma verosmltud de y se derva la epresó ateror respecto de los parámetros, susttuyedo por e por, e gualado a cero: l L(X;, ) ( ) 0 ( ) ( ) l L(X;, ) 0 3 E coclusó, y ( ) La codcó de mámo se verfca, pues: l L(X; ) 0 Los estmadores mámo verosímles de y muestrales. so la meda y la varaza Estadístca Teórca: Estmadores 9

30 E ua dstrbucó N(,, ) se estma la meda poblacoal medate la meda de ua muestra aleatora smple (,,, ). El estmador es sesgado y su varaza V(). Demostrar que la meda muestral es u estmador efcete. Solucó: La varaza de u estmador verfca sempre la Cota de Cramer Rao: V( ) CCR. U estmador es efcete cuado V( ) CCR Para obteer la cota de Cramer Rao se parte de la fucó de desdad poblacoal: CCR lf(, ) E Fucó de desdad poblacoal: f(, ) Tomado logartmos eperaos, se tee: e ( ) ( ) ( ) lf(, ) l e l l Dervado respecto a : lf(, ) lf(, ) ( ) ( ) 4 La esperaza matemátca: lf(, ) ( ) E E 4 4 Susttuyedo el valor de la esperaza matemátca e la epresó de la cota para estmadores sesgados: Estadístca Teórca: Estmadores 30

31 CCR lf(, ) E La varaza del estmador cocde co la cota de Cramer Rao, V() CCR, cocluyedo que la meda muestral es u estmador efcete de la meda poblacoal e la dstrbucó ormal. Calcular el estmador mámo verosíml del parámetro 'a' de las fucoes: a a) f(,a) a e sedo 0 e muestras aleatoras smples de tamaño b) f(,a) ae a para 0, a 0 e muestras aleatoras smples de tamaño Solucó: a) f(,a) a a e f(,a) a a e dode 0 e m.a.s. de tamaño Fucó de verosmltud: a a a L(X,a) L(,,, ;a) (a e ).(a e ) (a e ) a e Fucó soporte o Log verosmltud: a l L(X, a) l (a e ) la a Para obteer el estmador de máma verosmltud EMV(a), se derva la epresó ateror respecto del parámetro para obteer, susttuyedo a por â e gualado a cero: l L(X, a) 0 a a a a a a a a a b) Sea f(,a) ae a para 0, a 0 e m.a.s. de tamaño Fucó de verosmltud: Estadístca Teórca: Estmadores 3

32 L(X, a) L(, ; a) (ae ).(ae ) a e Fucó soporte o Log verosmltud: a a a( ) a( l L(X, a) l a e ) laa( ) Dervado respecto de a, gualado a cero y susttuyedo a por â: l L(X, a) ( ) 0 a a a a a a a E ua dstrbucó N(, ) se estma la meda poblacoal e ua muestra aleatora smple de tamaño (,,, ) por medo de la fucó muestral: Estúdese la efceca del estmador. Solucó: U estmador es efcete cuado V( ) CCR Para hallar la cota de Cramer Rao se ecesta saber e prmer lugar s el estmador es sesgado o o, se calcula para ello la esperaza matemátca: E( ) E E( ) E( ) E( ) E( ) 3E( 3) E( ) 3 ) 3 Estadístca Teórca: Estmadores 3

33 ( ) ( ) E( ) b( ) sesgo b( ) E( ) Varaza del estmador: V( ) V V( ) V( ) V( ) V( ) 3 V( 3 ) V( ) 3 3 ( )( ) ( )( ) V( ) 6 6 Cota de Cramer Rao CCR b( ) ll(, ) E () b( ) 4 La Iformacó de Fsher I( ) I 0( ) de la muestra: ll(x, ) ll(, ) I() 0 E E se obtee a partr de la fucó de desdad poblacoal f(, ) e ( ) Tomado logartmos eperaos, se tee: Estadístca Teórca: Estmadores 33

34 ( ) lf(, ) l e l l Dervado respecto a : ( ) lf(, ) lf(, ) ( ) ( ) 4 La esperaza matemátca: lf(, ) ( ) E E 4 4 Atededo a la adtvdad de esta medda: I( ) I 0( ) ( ) b( ) 4 ( ) ( )( ) CCR V( ) ll(, ) 4 6 E Al ser la varaza del estmador mayor que la cota de Cramer Rao: ( )( ) ( ) V( ) CCR 6 4 El estmador o es efcete, sempre que Para : V( ) CCR el estmador es efcete. Estadístca Teórca: Estmadores 34

35 Para que u estmador sea efcete tee que ser cetrado y de varaza míma. La varaza míma se aalza e vrtud de la acotacó de Cramer Rao (coocda també como desgualdad de la formacó). E el caso cotuo: V( ) CCR I( ) l L( ; ) l f( ; ) E E La formacó de Fsher I( ) es ua cota feror para la varaza de u estmador sesgado del parámetro. U estmador es efcete cuado V( ) CCR I( ) Cuado se etede la codcó de regulardad a la seguda dervada e u parámetro bdmesoal, (, ) se puede utlzar ua forma alteratva de la formacó de Fsher para obteer ua ueva desgualdad de Cramer Rao: V( ) CCR I( ) l L( ; ) l f() E U estmador es efcete cuado E V(, ) CCR I(, ) La matrz de formacó de Fsher I(, ), matrz de segudas dervadas (Jacobao), vee dada por la epresó: ll(, ) ll(, ) I(, ) E ll(, ) ll(, ) Estadístca Teórca: Estmadores 35

36 A partr de ua muestra aleatora smple X de tamaño, determar la matrz de formacó de Fsher de ua poblacó co dstrbucó N(,, ) respecto a los dos parámetros y. Solucó: Fucó de desdad poblacoal: Fucó de verosmltud: f() e ( ) L(, ) L(X;, ) ( ) ( ) ( ) e e e ( ) e ( ) Fucó soporte o Log verosmltud: ( ) l L(, ) l e l l ( ) ( ) Para determar la formacó de Fsher se derva la epresó ateror respecto de los parámetros y : l L(, ) l l ( ) l L(, ) ( ) ( ) l L(, ) 3 Estadístca Teórca: Estmadores 36

37 Cálculo de las segudas dervadas, ( ) l L(X;, ) ( ) (, ) (, ) (, ) ll(x;, ) ll(x;, ) ( ) ( ) 3 (, ) (, ) (, ) (, ) 0 ( ) l L(X;, ) 3 (, ) (, ) 3 ( ) 3 ( ) 6 4 (, ) 3 4 (, ) Matrz de Iformacó de Fsher I(, ): l L(, ) l L(, ) I(, ) E l L(, ) l L(, ) Estadístca Teórca: Estmadores 37

38 Al ser u elemeto de ua muestra aleatora smple de ua poblacó ormal N(,, ) se tee que E( ) 0 y E( ) Se puede obteer la dstrbucó de (, ) f() e ( ) Fucó soporte: ( ) ( ) l f() l e l l e ( ) ( ) l l ( ) l l Para determar la formacó de Fsher se derva la epresó ateror respecto de los parámetros y : l f() l l ( ) l f() ( ) ( ) ( ) l f() 4 3 Cálculo de las segudas dervadas: f() ( ) f() f() ( ) 4 3 Estadístca Teórca: Estmadores 38

39 3 3( ) 6 4 f() ( ) Matrz de Iformacó de Fsher I(, ): f() I(, ) E f() 0 f() f() ( ) ( ) 3 3 E E ( ) 3( ) ( ) 3( ) Como u elemeto de ua muestra aleatora smple de ua poblacó ormal N(,, ) se tee que E( ) 0 y E( ) La matrz de formacó de Fsher: I( 0, ) Atededo a la adtvdad de esta medda: I(, ) I 0(, ) 0 0 Estadístca Teórca: Estmadores 39

40 I( 4 0, ) Por el Teorema Cetral del Límte la dstrbucó astótca de N 0, I 0 (, ) N, (, ) t es: Ua aplcacó drecta se ecuetra e el Valor e Resgo o Value at Rsk (VaR), medda amplamete utlzada e ua cartera de versoes de actvos faceros. E ua cartera de versoes, asumedo mercados ormales y que o se produce egocacó e la cartera, el VaR se defe como u valor límte tal que la probabldad de que ua pérdda a precos de mercados e la cartera sobre u horzote temporal dado eceda ese valor sea el vel de probabldad dado. Parámetros comues para el VaR so probabldades de % y 5% y horzotes temporales de u día y de dos semaas, auque també se utlza otras combacoes. PRÁCTICA: Ua empresa que cotza e Bolsa cosdera como pérddas todos los redmetos ferores a 3 euros por accó, es decr, los beefcos sgue ua dstrbucó N 3,. Las pérddas mámas esperadas para u vel de sgfcacó so VaR 3z. La dstrbucó del estmador VaR 3 z VaR 3 z z 3 t La dstrbucó astótca de (, ) : VaRVaR N0, z Estadístca Teórca: Estmadores 40

41 MÉTODO DE LOS MOMENTOS: Procedmeto cosstete e gualar mometos poblacoales respecto al orge a los correspodetes mometos muestrales respecto al orge a r, formado así tatas ecuacoes como parámetros poblacoales se pretede estmar: E(X) a E(X ) a E(X ) a r r r r r r Sea ua poblacó defda por: P(X ), P(X 0), P(X ), dode 0, 0. Estmar los parámetros y por el método de los mometos, estudado s so sesgados. Solucó: Puesto que hay que estmar dos parámetros y hay que calcular los dos prmeros mometos. mometos poblacoales E(X) P(X ) ( ) (0) () E(X ) P(X ) ( ) (0) () Estadístca Teórca: Estmadores 4

42 mometos muestrales a a a a a a a a a Isesgadez E( ) E(a ) E(a ) E() E( ) E(a ) E(a ) E() Los estmadores y so sesgados. Estadístca Teórca: Estmadores 4

43 U estmador es sufcete cuado o da lugar a ua pérdda de formacó. Es decr, cuado la formacó basada e es ta buea como la que hcera uso de toda la muestra. Para detfcar estadístcos sufcetes se utlza el Teorema de Factorzacó, que establece que dada ua muestra aleatora (,, ) de ua poblacó X co fucó de desdad f (caso cotuo) u estadístco es sufcete para sí y sólo sí: f (,, ) g (,, ),.h(,, ) Para ecotrar u estadístco sufcete hay que factorzar la fucó de verosmltud de la forma: L( ) g(, ).h(,, ) Ua muestra aleatora (,, ) de la poblacó tee como fucó s (0,) de desdad f() > 0 0 e el resto a) Hallar u estadístco sufcete b) Estmador de máma verosmltud de c) Estmador de por el método de los mometos Solucó: a) Para ecotrar u estadístco sufcete hay que factorzar la fucó de verosmltud de la forma: L( ) g(, ).h(,, ) Fucó de verosmltud: L( ) f ( ) f ( ) f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Por tato,,, es u estadístco sufcete. b) L( ) (,, ) Fucó soporte o Log verosmltud: Estadístca Teórca: Estmadores 43

44 l L( ) l (,, ) l l l l( ) ll( ) ll( ) l l( ) l( ) 0 l( ) c) Se platea la ecuacó EX E(X) f ()d d d 0 ( ) Ua muestra aleatora (,, ) de la poblacó tee como fucó de desdad f() e s 0 0 e el resto a) Hallar u estmador por el método de los mometos de b) Estudar s el estmador ecotrado e el apartado ateror es sesgado para estmar el parámetro Solucó: a) Se platea la ecuacó: EX tegracó por partes EX f ()d e d e d ( e ) e d e e u dv u v v du Estadístca Teórca: Estmadores 44

45 ( ) e e e e d e e b) U estmador es sesgado o cetrado cuado su valor probable cocde co el valor del parámetro a estmar. Es decr, E E E( ) E() ( ) Ua muestra aleatora (,, ) de la poblacó tee como fucó θ θ e s 0 de desdad f() θ 0 e el resto Hallar el estmador de máma verosmltud de Solucó: La fucó de verosmltud L( ) θ θ θ L(θ) f θ ( ) f θ ( ) f θ ( ) θ e θ e θ e ( ) ( ) e ( ) e L( ) ( )e ll( ) l ( )e l L( ) () l l ll( ) () l l ll( ) 0 Estadístca Teórca: Estmadores 45

46 El coseo X del águlo co el que se emte los electroes e u proceso radoactvo es ua varable aleatora co fucó de desdad (), f() 0 e el resto Se cosdera ua muestra aleatora (X,,X ) de la varable aleatora a) Obteer el estmador por el método de los mometos b) Calcular la varaza de este estmador y demostrar que es cosstete Solucó: a) Se platea la ecuacó EX 3 EX d b) V(X) 9 V( ) V(3) 9V() 9 V(X) 3 V(X) E(X ) E(X) d de dode, V( ) V(X) 9 Cossteca o robustez del estmador lme( ) lme(3) lm3e() 3E(X) lm V( ) lm V(3) lm 0 Queda probado que el estmador es cosstete Estadístca Teórca: Estmadores 46

47 E u estacoameto el úmero de veces que se abre la barrera e u tervalo de 0 mutos, para que pase vehículos e u sector de segurdad, se cosdera ua varable aleatora co dstrbucó de Posso de parámetro descoocdo. a) E ua muestra aleatora de 8 tervalos de 0 mutos cada uo, elegdos de forma depedete, se regstra para cada tervalo el valor que toma la varable e estudo Ecotrar la estmacó mámo verosíml de b) Sea (,, ) ua muestra aleatora de tamaño que sgue ua dstrbucó de Posso. S, 3 so estmadores. 4 Determar el mejor estmador del parámetro Solucó: a) X = "úmero de veces que se abre la barrera e u tervalo de 0 mutos", X P( ) e 0,,,... P(X, )! 0 otro caso Fucó de verosmltud: L( ) L(X, ) P(, ) e e e!!! ll(x, ) l e l( ) l! l(e )! l l(!) Estadístca Teórca: Estmadores 47

48 ll(x, ) l l(!) Para obteer el estmador de máma verosmltud EMV( ), se derva la epresó ateror respecto del parámetro para obteer, susttuyedo por ll(x, ) 0 0 El estmador de máma verosmltud vee dado por la meda muestral EMV( ) Utlzado la muestra aleatora de ocho tervalos de 0 mutos, se obtee el estmador mámo verosíml: E cosecueca, e ua muestra aleatora de ocho tervalos de 0 mutos cada uo, elegdos de forma depedete, la estmacó máma verosíml correspode a que la barrera se abre 5 veces. b) Se aalza s los estmadores so o o sesgados, esto es, s la esperaza del estmador cocde co el parámetro a estmar. E( ) E E( ) 3 3 E( ) E E( ) 3E( ) Ambos estmadores so sesgados. Varaza de cada estmador: V( ) V V( ) Estadístca Teórca: Estmadores 48

49 V( ) V V( ) 9V( ) La efectvdad de los estmadores depede del tamaño de la muestra: S la muestra es gual a ( ) el estmador más efcete es S la muestra es mayor que ( ) el estmador más efcete es Sea (,, ) ua muestra aleatora de tamaño, dstrbuda segú f(, ) co descoocdo, dode X represeta el tempo mámo ecesaro para determar u proceso e segudos: ( ) 0; f(x, ) 0 otro caso a) Determar el estmador mámo verosíml de b) Determar la estmacó mámo verosíml de e ua muestra aleatora smple costtuda por los datos: 0,7 0,9 0,6 0,8 0,9 0,7 0,9 0,8 Estmar la probabldad del tempo mámo ecesaro para termar u proceso, que o eceda de 0,5 segudos supere los 0,75 segudos. c) Determar el estmador mámo verosíml de: (a) (b) Solucó: L( ) L(X, ) f(, ) 0 0 a) Fucó de verosmltud L(,,, ; ) ( ) ( ) ( ) ( ) Fucó soporte o Log verosmltud: 0 0 ll(,,, ; ) l ( ) l( ) l ll(,,, ; ) l( ) l 0 Estadístca Teórca: Estmadores 49

50 Para obteer el estmador de máma verosmltud EMV( ), se derva la epresó ateror respecto del parámetro para obteer, susttuyedo por ll(,,, ; ) l 0 l EMV( ) l b) El estmador mámo verosíml de co los datos de la muestra: 8 l0,7l0,9l0,6 l0,8 l0,9l0,7l0,9l0,8 4,07 3,07 El estmador mámo verosíml De otra parte, EMV( ) 3,07 0,75 0,75 P(0,5 X 0,75) f(x, )d ( ) d ( ) 0,5 0,5 ( ) 0,75 4,07 4,047 0,5 0,75 0,5 0,3 La probabldad del tempo mámo ecesaro para termar el proceso (etre 0,5 y 0,75 segudos) es 0,3 c) Estmador mámo verosíml de y EMVEMV 3,07 4,07 EMV 3,07 EMV,493 EMV 3,07 0,75 0,5 Estadístca Teórca: Estmadores 50

51 E la dstrbucó B(m,p) se cosdera como estmador del parámetro p el estadístco p, sedo la meda muestral e m muestras aleatoras smples de tamaño. Hallar la efceca del estmador. Solucó: U estmador es efcete cuado su varaza cocde co la Cota de Cramer RaoV(p) CCR l P( ; p) CCR I( ).E Iformacó de Fsher l P( ; p).e Isesgadez: mp E(p) E p m m El estmador es sesgado o cetrado Para determar la CCR se cosdera la fucó de cuatía de la m m dstrbucó bomal: P(, p) p ( p) Fucó soporte o Log verosmltud: m lp(, p) l lp (m )l( p) lp(, p) (m ) ( p) p(m ) mp p p p p(p) p(p) lp(, p) mp E( mp) E E p p( p) p (p) E ua dstrbucó bomal: E(X) mp, co lo que, V(X) E(X mp) mp(p) Estadístca Teórca: Estmadores 5

52 lp(, p) mp E( mp) mp E E p p( p) p (p) p p( p) CCR l P( ; p) m m.e p( p) De otra parte, la varaza del estmador: mp( p) p( p) V(p) V V() m m m m ( p) ( p) m p( p) Como la varaza del estmador cocde co la cota de Cramer Rao el estadístco p es efcete. m Ua ura cotee bolas blacas y egras. Sea p la probabldad de etraer ua bola blaca cuado se realza ua etraccó al azar. Asocado a este epermeto aleatoro se ecuetra la varable aleatora X que puede tomar los valores: X = s la bola etraída es blaca X = 0 s la bola etraída es egra Se seleccoa ua muestra aleatora co reemplazameto de tamaño 3 (,, 3), sedo la varable aleatora a la etraccó ésma, y se supoe que ha resultado la sguete relacó (B, N, B). Como el parámetro p es descoocdo se pretede saber, etre los valores, p 0,65 y p 0,73 qué valor hace más probable la aparcó de dcha etraccó. Solucó: La dstrbucó de probabldad será ua B(; p): P(X ) p ( p) S la muestra (B, N, B) es depedete, sedo P(B) p P(N) p P(B, N, B) P(B NB) P(B).P(N).P(B) p.( p).p p. ( p) Estadístca Teórca: Estmadores 5

53 etoces p 0,65: P(B,N,B) 0,65.0,35 0,479 p 0,73: P(B,N,B) 0,73.0,7 0,439 Resulta más probable (p = 0,65), sedo más verosíml. Se cosdera la m.a.s. (,, 3), sedo las varables aleatoras depedetes, tomado los valores 0,, co dstrbucó B(, p), la dstrbucó de probabldad asocada será: P(,p) P(X ) p (p) P(,p) P(X ) p ( p) P(, p) P(X ) p ( p), 0 seabola blaca o egra Fucó de verosmltud 3 L(p) P(,p) p ( p).p ( p).p ( p) ( ) p (p) 3 3 E la muestra (B, N, B) el valor que toma la fucó de verosmltud será: 0 3 (0) L(p) p (p) p.(p) Estadístca Teórca: Estmadores 53

54 Estadístca Teórca: Estmadores 54