CAPÍTULO IV NÚMEROS COMPLEJOS E INDUCCIÓN MATEMÁTICA

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1 NÚMEROS COMPLEJOS E INDUCCIÓN MATEMATICA 55 CAPÍTULO IV NÚMEROS COMPLEJOS E INDUCCIÓN MATEMÁTICA 4. INTRODUCCIÓN Los úmeros Complejos costtuye el mímo cojuto C, e el que se puede resolver la ecuacó x a dode a R. U úmero complejo se escrbrá como: ( a, b) a b Dode 4. ADICIÓN Y MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS ; ( a, b)( c, d) ( a, b) ( c, d ) ( a b) ( c ( ac bd, ad ( a d) bc) c, b ( a d) b) ( c d) ( a b)( c d) ( ac ad bc bd ) ( ac bd) ( ad bd) 4. SUSTRACCIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS Sea, w dos úmeros complejos Dode S w w w ( w) w x y etoces w x y x y x y Deomado smétrco multplcatvo 4.4 PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS Los úmeros reales so u subcojuto propo de los úmeros complejos.

2 56 ÁLGEBRA I Los complejos de la forma (a,b) e los cuales b 0 se deoma úmeros magaros y s a = 0 se trata de u úmero magaro puro. El complejo cojugado de ( a, b) es a, b ( a, b), todo úmero real es su propo cojugado, metras que el cojugado de u magaro puro es su opuesto. La suma y el producto de dos complejos cojugados es u úmero real. El cuadrado de todo úmero magaro puro es u úmero real egatvo. Ejemplo. S ; w 4 v allar: a) w b) w ( ) ( 4) ( 4) ( ( )( )( 4) 4) ( 4 ( 5 4) (( 4) ()) ( ) ( 8 ) c) e) w w d) v e) w v v ( )( ) (4 9) ( 6 6) ( 4 ) ( 4) ()() 4 4 w ( 0 7 w ) 7 7 ( 4 )

3 NÚMEROS COMPLEJOS E INDUCCIÓN MATEMATICA REPRESENTACIÓN TRIGONOMÉTRICA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS S establecemos u sstema de ejes cartesaos e el cual el eje y srve para represetar la parte magara del úmero complejo, teemos: y r x y P(x+y) x rcos y rs r r(cos s ) θ x r x y Coocda como la forma trgoométrca o forma polar de u úmero complejo, dode r se cooce como el módulo de y Ө como el argumeto. 4.6 TEOREMA El valor absoluto del producto de dos úmeros complejos es el producto de sus valores absolutos y el águlo del producto es la suma de sus águlos. Demostracó: Sea r cos s r cos s r cos s r cos s cos cos s s s cos cos s r r r r (cos cos s s ) (s cos cos s ) r r cos( ) s( 4.7 TEOREMA El valor absoluto del cocete de dos úmeros complejos es el cocete

4 58 ÁLGEBRA I de sus valores absolutos y el águlo del cocete es el águlo del umerador meos el águlo del deomador. Demostracó: Sea r r cos s r cos s r cos s cos s r cos s cos s cos cos s s ) (s cos cos s r cos s r r cos( ) s( ) Ejemplo S cos s ; 4 cos s Hallar a) b) cos s 4 cos s 8 cos s 8(cos s ) 8 cos s cos s 4 cos s

5 NÚMEROS COMPLEJOS E INDUCCIÓN MATEMATICA 59 cos s 4.8 FÓRMULA DE EULER La expoecal compleja e cos s Co Ө Є R es la fórmula de Euler. S x y r(cos s ) re La poteca eésma será: ( x y) r (cos s ) r e r (cos s ) Que se cooce como el Teorema De Movre Ejemplo Calcular Solucó r Por el teorema De Movre 6 ; arcta 60º 00º r (cos6 s 6 ) cos800º s800º 6 64 cos0º s 0º

6 RAÍCES Para cualquer etero postvo se tee: ÁLGEBRA I r(cos s ) r (cos s ) La ecuacó A (cos s ) Dode es u etero postvo y A es cualquer úmero complejo, tee exactamete raíces, s r(cos s ) es ua de ellas se tee Dode r (cos s ) (cos s ) r r k k El úmero de raíces dsttas es el de los águlos del cojuto k que o terma e el msmo lado. Para cualquer etero postvo k q m ; 0 m Es evdete que k m y Tee lados termales cocdetes. Por tato ay raíces dsttas dadas por k k cos s ; k 0,,,,..., Estas raíces so coordeadas de putos equdstates sobre u círculo de cetro e el orge y rado A. S etoces A (cos s ) es cualquera de las raíces eésmas de A, las otras raíces se obtedrá sucesvamete aumetado el águlo e y reducedo módulo π cuado quera que el águlo sea mayor a π. AYRES FRANK, Álgebra Modera. Edt McGraw-Hll (Coleccó Scaum) 969.Pag. 77

7 NÚMEROS COMPLEJOS E INDUCCIÓN MATEMATICA 6 Las raíces eésmas de la udad so 4 cos s ;,,,,...,, Ejemplo 4 Hallar las raíces cuartas de Observe que el módulo y el argumeto de este ejemplo ya fuero allados e el ejemplo ateror y so: r ; arcta 60º 00º La expresó que os permte allar la raí eésma es 60º 60º r cos k s k Para el ejercco plateado tedremos: 00º k60º 00º k60º cos s k w 0 0 cos 75º s 75º ( ) k w cos 5º s 5º ( ) k w cos 55º s 55º ( ) k w cos 45º s 45º ( ) S los valores de k se tomase a partr del uo la últma raí cocdría co la allada e prmer térmo para k = 0, es decr, w 0 = w 4 k w 4 4 cos 75º s 75º ( ) E el plao complejo se puede represetar gráfcamete:

8 6 ÁLGEBRA I w w 0 =w 4 75º w w Ejemplo 5 Ecuetre las raíces cúbcas de la udad Sea w, w, w las raíces buscadas, etoces: w cos s w cos s 6 6 w cos s cos s 4.0 RAÍCES PRIMITIVAS DE LA UNIDAD Ua raí eésma de se dce prmtva s, y sólo s, co 0 m Es decr, ua raí se cosdera prmtva s, multplcada por s msma u úmero meor de veces que el grado de la raí o reproduce la udad. Ejemplo 6 Determe cuáles de las raíces cúbcas de la udad so prmtvas

9 NÚMEROS COMPLEJOS E INDUCCIÓN MATEMATICA 6 w w w w Podemos observar que la raí w es ua raí prmtva w w w w La raí w es també ua raí prmtva de la udad. 4. SUMATORIA Es el símbolo que se utla para abrevar ua suma que sgue ua ley de formacó, por ejemplo, la suma de los úmeros aturales Se puede abrevar como Que se lee como, sumatora de los que varía desde asta 4.. PROPIEDADES a b a b aa a a dode a cte. Ejemplo

10 64 ÁLGEBRA I Ejemplo 8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )... Ejemplo 9 Hallar la suma de los cuadrados de los prmeros úmeros aturales El cubo de u bomo vee dado por: 4... ( x ) x x x x ( x ) x x Por tato: x ( ) x ( ) ( ) ( ) ( ) x.. x () () () x ( ) ( ) ( ) ( ) (0) () () Sumado todas estas ecuacoes vemos que los segudos térmos de cada ecuacó del prmer membro se cacela, metras que e el segudo membro aparece: las sumatora de los cuadrados meos la sumatora de los aturales mas veces uo, por tato: La sumatora de los úmeros aturales es la suma de ua progresó artmétca coocda, por tato:

11 NÚMEROS COMPLEJOS E INDUCCIÓN MATEMATICA 65 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 4. PRODUCTORIO Deota el producto de térmos de ua sucesó Y goa de la sguete propedad a a a a a... a 4 log a log a a 0 4. INDUCCIÓN MATEMÁTICA El prcpo reduccó matemátca proporcoa u método de demostracó por recurreca de varas aplcacoes e matemátca Este prcpo afrma el poder raoar por recurreca. Compeda cas todo el pesameto matemátco, todo lo que acemos cuado costrumos agregados complejos a partr de elemetos smples. Es como lo destacó Pocaré a la ve ecesaro al matemátco e rreductble a la lógca. El eucado del prcpo es: S ua propedad es verdadera para el úmero uo y s demostramos que es verdadera para +, cosderado que lo es

12 66 ÁLGEBRA I també para, etoces será verdadera para todos los úmeros aturales. La duccó matemátca o derva de la expereca, so que mas be costtuye ua propedad de la mete, tutva, erete y cas sttva: lo que emos eco ua ve, lo podremos acer uevamete. Hpótess La proposcó se cumple para = Por tato se cumple para = Tess Debe demostrarse que se cumple para =+ La demostracó cosste e tomar la fórmula que es válda para =, añadr u termo más a esta fórmula y demostrar que es gual a la fórmula co = + Ejemplo 0 Demostrar por duccó Verfcamos la fórmula para = Supoemos que la fórmula es verdadera para =... Debemos demostrar que se cumple para = +... Hay que demostrar que: Kaser Edgard y Newma James, LAS MATEMÁTICAS Y LA IMAGINACIÓN Edt. UNAM 967, 008 Pag. 7

13 NÚMEROS COMPLEJOS E INDUCCIÓN MATEMATICA 67 ( ) ( ) 4 lqqd. Ejemplo Demostrar por duccó ( )( ) 6 Verfcamos para = ( )( ) Supoemos verdadera para = ( )( ) 6 Demostramos para = + ( )( )(( ) ) 6 Hay que demostrar que: ( )( ) ( )( )(( ) ) ( ) 6 6 ( )( ) 6( ) ( )( )(( ) ) 6 6 ( ) ( ) 6( ) ( )( )(( ) ) 6 6 ( ) 7 6 ( )( )(( ) ) 6 6

14 68 ( )( )( ) ( )( )( ) 6 6 ÁLGEBRA I Ejemplo Demostrar por duccó ( ) Verfcamos para = ( ) Supoemos que la fórmula se verfca para = ( ) Para = + se tee: ( ) Debe demostrarse que: ( ) ( ) ( ) ( ) Ejemplo ( ) ( ) ( ) Demostrar que: Verfcamos para = Rojo Armado, ÁLGEBRA I, Edt. El Ateeo 975 Pag. 74

15 NÚMEROS COMPLEJOS E INDUCCIÓN MATEMATICA 69 4,7 Supoemos que la fórmula es correcta para = Debemos demostrar que se cumple para + Demostracó ( a) Es evdete que: Sumado a ambos membros se tee: Elevado a la poteca ( b)

16 70 ÁLGEBRA I Igualado las ecuacoes (a) y (b) se tee: Y como Multplcado membro a membro estas dos últmas desgualdades se tee: ( c) Como ( d) Por trastvdad de (c) y (d) se obtee: lqqd