Transformada rápida de Fourier.

Transcripción

1 Capítulo 24 Trasformada rápda de Fourer. Es cosderado u algortmo clásco, que permte obteer a partr de ua sere de valores temporales las compoetes espectrales e frecueca, y vceversa co u costo O( log ). Como veremos es u caso partcular del problema más geeral de calcular polomos. Exste dos formas de cálculo: ua es evaluar u polomo represetado por sus coefcetes. La otra es represetar el polomo por ua sere de putos Represetacó por coefcetes. Sea u polomo de coefcetes: A( x) Dode los coefcetes so los valores de a j. S se evalúa las potecas de x a través de multplcacoes se requere (-) + (-2) +..+ multplcacoes, orgado u algortmo de complejdad O( 2 ). La evaluacó de polomos suele efectuarse empleado la regla de Horer: Que es de complejdad O(), ya que requere (-) multplcacoes. La sguete ruta lustra el procedmeto de cálculo. double Horer(t a[ ], t, double x) { double A=a[-]; for( =-2; >=; --) A=a[] +x*a; retur(a); Las operacoes de suma y resta de polomos expresados por sus coefcetes so de complejdad O(), ya que basta sumar o restar los coefcetes. S embargo el producto de polomos es de complejdad O( 2 ). S A y B so de coefcetes, el producto C(x) = A(x)B(x) tedrá (2-) coefcetes: j a x A( x ) a x ( a x ( a... x ( a x ( a ))...)) 2 2 j j

2 2 Estructuras de Datos y Algortmos C( x) 2 2 j c x j j c = a b c = a b + a b c 2 = a b 2 + a b + a 2 b c j a b j k j k k Operacó que se deoma covolucó de los coefcetes. La evaluacó de los coefcetes de C es O(), y debe repetrse veces, lo cual mplca O( 2 ), para el costo de la multplcacó de polomos Represetacó por valores. Se tee los valores o muestras: y A( x ) co k =..- k k y y - y y 2 x x x 2 x - x Fgura 24. Represetacó por muestras. S se cooce los putos: (x k, y k ), se tee ecuacoes co cógtas (los coefcetes). y a x a x a x... a x 2 2 y a x a x a x... a x y a x a x a x... a x 2 2 Puede exstr dferetes represetacoes por putos, ya que sólo se requere que los putos x k sea dferetes. Como se verá la eleccó adecuada de los putos permtrá acelerar el cálculo a O( log ). Esta represetacó puede obteerse a partr de la represetacó por coefcetes co u costo O( 2 ), ya que debe aplcarse veces el algortmo de Horer.

3 Trasformada rápda de Fourer 3 També es posble pasar de la represetacó por putos a la de coefcetes, para esto es precso resolver el sstema de ecuacoes plateado ates. Este problema se cooce como terpolacó. x x... x 2 2 x x... x a a y y x x... x 2 a y La matrz tee versa s el determate o es cero. El determate de la matrz ateror, que se deoma de Vadermode, puede calcularse segú: det ( x x ) ( x x )( x x )...( x x ) j k k j 2 2 El costo de evaluar la matrz versa es O( 2 ) y además se debe realzar multplcacoes del vector de los y k por los regloes de la matrz versa, co lo cual resulta O( 3 ). S embargo los coefcetes puede calcularse co costo O( 2 ) empleado la fórmula de terpolacó de polomos de Lagrage: ( x x )( x x )...( x x ) ( x x )( x x )...( x x ) ( x x )( x x )...( x x ) A( x) y y... y ( x x )( x x )...( x x ) ( x x )( x x )...( x x ) ( x x )( x x )...( x x ) Que es u polomo de coefcetes que pasa por los putos (x k, y k ). O be tal que A(x k ) = y k para k=..-, lo cual puede comprobarse e la fórmula ateror. La vetaja de represetacó por putos es que el cálculo del producto (també la suma y resta) de polomos es ahora O(). Pero e caso de multplcacó, los polomos debe represetarse co 2 putos, ya que C, debe ser de 2 putos. S se tee los polomos A y B, puede determarse su producto C, segú: A( x) ( x, y ),...( x, y ),...( x, y ) A A 2 A2 B( x) ( x, y ),...( x, y ),...( x, y ) B B 2 B2 C( x) ( x, y y ),...( x, y y ),...( x, y y ) A B A B 2 A2 B Trasformada dscreta de Fourer. Se tee las trasformadas de Fourer, drecta e versa, e el domo de f y t, para la señal s(t) y su desdad espectral S(f), defdas segú:

4 4 Estructuras de Datos y Algortmos ( ( )) ( ) ( ) j2 ft s t S f s t e dt ft ( S( f )) s( t) S( f ) e df j2 Y las trasformadas dscretas de Fourer: Co k=..- -j2 / S se defe: w =e como S( k) s( ) e s( k) S( ) e j2 k / j2 k / la -ava raíz compleja de la udad, se tee que: e -j2 k/ = (w ) k El valor prcpal suele defrse segú: e j2 /, e el prmer cuadrate. Reemplazado S(k) por S k, s(k) por s k, y (w ) k por x se tee dos polomos. S s k k s x S x x x... x 2 2 x x... x x x... x 2 s s s S S S Los polomos se evalúa e las raíces complejas de la udad. S se reemplaza las potecas de x se obtee la relacó que permte obteer el espectro a partr de las muestras temporales: w w... w * *2 *( ) * *2 *( ) w w... w s s S S w w... w ( )* ( )*2 ( )*( ) s S Las fguras sguetes muestra los polomos represetados por putos.

5 Trasformada rápda de Fourer 5 s s - S S - s s 2 S S 2 t t t 2 t - t f f f 2 f - f T=tervalo de muestreo f S =/ T=separacó e frecueca Fgura 24.2 Represetacó de polomos por putos. El elemeto (r, c) de la matrz ateror es (w ) r*c co r y c varado etre y (-). Puede comprobarse que el elemeto (r, c) de la matrz versa es: (/)*(w ) -r*c w w... w * *2 *( ) * *2 *( ) w w... w w w... w ( )* ( )*2 ( )*( ) Que permte obteer las muestras temporales a partr del espectro. Notamos que el problema es smlar al ateror, pero cambado el sgo de las -avas potecas complejas de la udad, y u escalameto dvdedo por. Coocdas las muestras temporales, se requere multplcacoes para obteer ua muestra del espectro, y como se requere muestras e frecueca, se obtee u algortmo de costo cuadrátco. Además debe calcularse las potecas complejas de las -avas raíces de la udad Desarrollo del algortmo de trasformada rápda de Fourer. El algortmo FFT permte calcular la DFT e O( log ). El polomo S(x) puede separarse e dos, uo co las potecas pares de x; el otro, co las potecas mpares: S S( x) s x k S ( x) s s x... s x 2 2 S ( x) s s x... s x p S S S ( / 2) ( / 2) 3 S S x S x xs x 2 2 k ( ) p ( ) ( ) s s s

6 6 Estructuras de Datos y Algortmos Los polomos so de /2 putos cada uo. Esto cosderado par y más específcamete ua poteca de dos. El cálculo de los S k para putos puede descompoerse e dos cálculos de polomos pero co la mtad de putos cada uo. A su vez, cada uo de esos polomos, puede ser calculado e térmos de dos polomos co la cuarta parte de los putos, y así sucesvamete. Más adelate veremos cómo los S k puede calcularse recursvamete, para obteer esa relacó es precso coocer alguas propedades de las raíces complejas de la udad avas raíces complejas de la udad. Exste raíces -avas complejas de la udad: w, w, w 2 -, w Co : (w ) k -j2 k/ = e Para = 2, se tee w 2 =e -j = cos() + j se() = + w 2 =e -j = cos(- ) + j se(- ) = - w 2 w 2 Fgura Raíces complejas cuadradas de la udad Para = 4, se tee: (w 4 ) = e -j /2 = -j w 4 = + w 4 = -j w 4 2 = - w 4 3 = +j Debe otarse que w 4 4 = w 4 w 4 2 w 4 3 w 4 w 4 Fgura Raíces complejas cuartas de la udad Alguas propedades: Para >=, k>= y d>:

7 Trasformada rápda de Fourer 7 w e e w dk j 2 / d dk j2 / k k d ( ) ( ) w ( e ) e w / 2 j2 / / 2 j ( w ) w w w ( w ) k / 2 2 2k 2k k 2 j2 / 2 j2 / / 2 w2 e ( e ) w k k k k ( w) ( w) () ( w ) k k k w w w 2 La últma relacó es ua sere geométrca, se requere >=, y que k sea postvo o dvsble por, para que el deomador o sea cero. S se efectúa el producto de la matrz de Vadermode por su versa, el elemeto (r, c) del producto, puede expresarse segú: kr kc k ( c r) k k ( w / ) w ( w / ) la cual toma valor para r=c, y cero e caso cotraro. Lo cual orga ua matrz utara, comprobádose que la expresó para la versa es correcta. Se requere que (c-r) o sea dvsble por, esto se cumple ya que fuera de la dagoal: -(-) < (r-c) < (-) Seres dscretas para dos y cuatro putos. Se tee para = 2: S = s + x s S = s + x s Evaluado e las raíces cuadradas complejas de la udad: S = s + w 2 s = s + (+)s S = s + w 2 s = s + (- )s Resultado: S = s + s S = s - s Para = 4: Evaluado e las raíces cuartas complejas de la udad, otado que todos los valores o so dferetes, debdo a las propedades de las raíces cuartas complejas de la udad, se obtee: S w s w s w s w s S w s w s w s w s S w s w s w s w s S w s w s w s w s

8 8 Estructuras de Datos y Algortmos Reemplazado por los valores umércos: S s s s s 2 3 S s js s js 2 3 S s s s s S s js s js Falmete, se adverte que para cuatro putos, está corporados los polomos asocados a dos putos. Dode se ha defdo: (S p, S p ) y (S, S ) como seres de dos putos. S ( s s ) ( s s ) S w S 2 3 p 4 S ( s s ) ( s s ) S w S p 4 S ( s s ) j( s s ) S w S 2 3 p 4 S ( s s ) j( s s ) S w S p Relacoes de recurreca. De la descomposcó e dos polomos y reemplazado los valores de evaluacó co las - avas raíces complejas de la udad, se desprede dos relacoes de recurreca para calcular los S k. Ua para los valores: S, S, S 2,., S /2 -, y otra para: S /2, S /2 +, S /2 +2,., S - S S x xs x 2 2 k p ( ) ( ) S S w w S w 2k k 2k k p ( ) ( ) S S w w S w 2 k k / 2 2k k /2 p ( ) ( ) Empleado las propedades de las raíces complejas, se obtee: S S w w S w S w w S w S w S 2k k 2k k k k k k p ( ) ( ) p ( / 2 ) ( / 2) kp k S S ( w ) w S ( w ) S ( w ) w S ( w ) S ( w ) w S ( w ) S w S 2 k k / 2 2k 2k k 2k k k k k k / 2 p p p / 2 / 2 kp k Dode se ha defdo los valores de la parte par e mpar como ua evaluacó de u polomo de /2 putos. S S ( w ) S k kp p /2 S ( w ) k k /2 Falmete se obtee:

9 Trasformada rápda de Fourer 9 S S w S k k kp k S S w S k k /2 kp k Co k=,, 2, (/2)- Asumedo operacoes co úmeros complejos, los valores se calcula de a pares, e térmos de los valores asocados a dos seres de /2 putos cada ua: for (k=; k<= (/2)-; k++) { S k = S kp + w k S k ; S k+/2 = S kp - w k S k ; Es usual calcular ua sola vez, la expresó comú detro del for. for (k=; k<= (/2)-; k++) { t = w k S k ; S k = S kp + t ; S k+/2 = S kp - t ; El costo de calcular ua poteca puede extraerse, a través de ua multplcacó detro del lazo: w = e -j2 / ; w = ; for (k=; k<= (/2)-; k++) { t = w*s k ; S k = S kp + t ; //Operacó deomada marposa. Butterfly. S k+/2 = S kp - t ; w * = w ; La codfcacó puede modfcarse para tratar las varables complejas, por sus partes reales e magaras. Para u polomo descrto por 8 putos temporales. El cálculo puede vsualzarse medate la descomposcó e dos polomos de 4 putos, co los putos pares e uo, y los mpares e otro. U polomo de 4 putos, se puede calcular medate la composcó de dos polomos de dos putos, dode uevamete se separa los ubcados e poscoes pares e mpares. No es ecesaro descompoer polomos de dos putos, ya que su evaluacó es seclla. El sguete árbol lustra la separacó etre partes pares e mpares.

10 Estructuras de Datos y Algortmos s s s 2 s 3 s 4 s 5 s 6 s 7 s s 2 s 4 s 6 s s 3 s 5 s 7 Fgura Descomposcó e polomos pares e mpares. S cada vez se suprme el bt meos sgfcatvo que represeta al ídce e baro, se tedrá que la dvsó se efectúa etre pares e mpares. Por ejemplo el grupo (, 2, 4, 6) se trasforma al suprmr el bt meos sgfcatvo e (,, 2, 3). Esta vsualzacó també posblta u algortmo teratvo e lugar de recursvo. E el vel de las hojas se aplca la operacó marposa a todos los grupos de a dos (pero e el orde que fgura e las hojas), luego se evalúa polomos de 4 putos cada uo, cosderado ahora las raíces cuartas complejas de la udad, y así sucesvamete ascededo de vel Reordeameto de los putos. s s 4 s 2 s 6 s s 5 s 3 s 7 S se observa la sguete tabla, dode se ha colocado los valores de las muestras temporales e u arreglo, juto a sus ídces e baro y el arreglo modfcado. Puede otarse que los ídces e baro del arreglo modfcado so las mágees especulares de los ídces orgales. Puede també otarse que la últma columa se puede vsualzar como u cotador baro verso, es decr los dígtos que prmero camba so los más sgfcatvos. E este caso sólo es precso tercambar s co s 4, y s 3 co s 6. Arreglo orgal Cotador baro Arreglo modfcado Cotador verso s s s s 4 s 2 s 2 s 3 s 6 s 4 s s 5 s 5 s 6 s 3 s 7 s 7 Fgura Cotador baro drecto e verso. Para 6 putos, colocado los valores de los cotadores baros drecto e verso, e decmal, puede otarse que bastaría geerar las dos secuecas de valores sguetes:

11 Trasformada rápda de Fourer j g x g x g x x x x g Fgura Cotador baro verso co cuetas e decmal. Y sólo tercambar cuado j>. Esto evta los cambos e los casos detfcados e el tercer regló co g (por gualdad), y los cambos marcados co x (esto volvería a su lugar a los elemetos del arreglo). Además o es precso revsar los casos co = e =5. S el úmero de muestras es ua poteca de dos, se tee que el prmer valor de j, de la secueca que debe geerarse, será: j=/2 o la expresó equvalete: j=>>. La sguete fucó tercamba los elemetos de u arreglo x, geerado las secuecas de valores de y j. vod btreverse(t *x, t ) { t medos=>>,, j, k, tx; // cotador baro for (=, j=medos; <-2; ++) { //prtf("=%d j=%d\",, j); f ( < j) { tx = x[]; x[] = x[j]; x[j] = tx; //j cotador baro verso. Icremeta e uo la poscó más sgfcatva. //y desplaza a la derecha las reservas. for(k=medos; k <= j; k >>= ) {j -= k; j+=k; Ejemplos del cotador baro verso, co operacoes e decmal: S k y j tee valor 8 ( e baro) se efectúa la resta (queda j=) y la codcó de reco deja k=4 (), lo cual terma la teracó. Después del for se setea e uo el bt que marca k, y deja j=4 (). Se camba todos los uos más sgfcatvos por ceros, hasta ecotrar el prmer cero, el cual se setea a uo. S k=8 y j = 2 ( e baro) se efectúa la resta (queda j=4) y la codcó de reco deja k=4 (), se vuelve a terar, quedado j= y k=2. Lo cual terma la teracó. Después del for se setea e uo el bt que marca k, y deja j=4 ().

12 2 Estructuras de Datos y Algortmos El sguete ejemplo, busca el prmer cero y lo camba por uo, poedo e cero el más sgfcatvo. S k=8 y j= (), la prmera teracó deja j=2 () y k = 4 (), termado la teracó. El uevo valor de j será 6 () Otra alteratva de dseño es geerado la mage especular de para formar j. Se detecta los uos de, y se los copa, medate la varable m, e la poscó especular e j. vod cotadorverso(t *x, t ) { t medos=>>,, j, m,k,tx; for (=,j=medos; <-2; ) //el peúltmo es par { prtf("=%d j=%d\",,j); f ( < j) { tx = x[]; x[] = x[j]; x[j] = tx; for(++, k=medos, m=, j=; k >=; k >>=, m<<=) { f(&k) j =m; Operacó marposa. Para deducr el algortmo teratvo, veremos alguos casos específcos. Para ua sere de dos putos, se muestra la sere cal de putos temporales e u arreglo. Luego de aplcar la operacó marposa, y falmete la reterpretacó de los putos e frecueca. =2 for (k=; k<= (/2)-; k++) { S k = S kp + w k S k ; S k+/2 = S kp - w k S k ; S = S p + w 2 S ; S = S p - w 2 S ; Co w 2 = s s s + s s -s S S La composcó de la sere de 4 putos a partr de las seres de dos putos, se obtee co:

13 Trasformada rápda de Fourer 3 =4 for (k=; k<= (/2)-; k++) { S k = S kp + w k S k ; S k+/2 = S kp - w k S k ; S S w S ( s s ) ( s s ) p S S w S ( s s ) ( s s ) 2 p S S w S ( s s ) j( s s ) p S S w S ( s s ) j( s s ) 3 p Co: w 4 =, w 4 = - j = (w 2 ) /2 w 4 = w 2 Para ua sere de cuatro putos temporales, se procede al reordeameto. A éstos se los trata como seres de dos putos. Se aplca la operacó marposa, co =2, a todos los pares: Luego de la operacó e los pares: (,)(2,3) s s 2 s s 3 s + s 2 s -s 2 s +s 3 s -s 3 Queda las seres e frecueca de dos putos S p S p S S Se aplca ahora la operacó marposa co =4. A los pares (,2) y (,3). Lo cual geera los cuatro putos e frecueca. S p +S S p -S S p -js S p +js Que puede leerse segú: S S S 2 S 3 La composcó de la sere de 8 putos a partr de las seres de cuatro putos, se obtee co: =8 for (k=; k<= (/2)-; k++) { S k = S kp + w k S k ; S k+/2 = S kp - w k S k ; Es decr:

14 4 Estructuras de Datos y Algortmos S S w S p 8 S S w S 4 p 8 S S w S p 8 S S w S 5 p 8 S S w S p 8 2 S S w S p 8 2 S S w S p 8 3 S S w S p 8 3 Co: w 8 =, w 8 = e -j /4 = ( j ) w 8 = w 4 2 E el vel : Se forma seres de dos putos, aplcado la operacó marposa co =2, a los pares: (, ), (+2*, +2*), (+2*2, +2*2), (+2*3, +2*3) E el vel uo: Se forma seres de 4 putos. La composcó de dos seres de 2 putos se logra aplcado la operacó co =4, a los pares (,2) (,3) y també a los pares (+4, 2+4) (+4, 3+4) logrado dos seres de cuatro putos. E el vel dos: La composcó de dos seres de 4 putos se logra aplcado la operacó co =8. A los pares (,4) (,5) (2,6) (3, 7) Dos seres de 4 putos S p S p S 2p S 3p S S S 2 S 3 Sere de 8 putos Veamos ahora el caso geeral: S es el úmero de putos. E el vel, se tee /2 seres de 2 putos. E el vel, se tee /4 seres de 4 putos. E el vel 2, se tee /8 seres de 8 putos. E el vel j, se tee /2 j+ seres de 2 j+ putos. E últmo vel, el m-, la úca sere es de = 2 m putos. S S S 2 S 3 S 4 S 5 S 6 S 7 El algortmo teratvo debe geerar las seres asocadas al vel, y los pares de putos de cada sere y luego aplcarles la operacó marposa a cada par. Es decr, a través de la varable j, se repte para cada grupo formado por putos:

15 Trasformada rápda de Fourer 5 for(j=; j<; j+=) for (k=; k<= (/2)-; k++) { S k+j = S kp + w k S k ; S k+j+/2 = S kp - w k S k ; Falta aú ua últma teracó para procesar cada uo de los veles. El sguete segmeto geera los pares a los que debe aplcárseles la operacó. vod marposa(t m) { t, k, j,, vel; = ; for (k=; k<m; k++) *= 2; //=2^m geera úmero de putos =; for (vel=; vel<m; vel++) { =2*; //seres de putos. Co =2^(vel+) for(j=; j<; j=j+) //Para todos los elemetos e grupos de { for (k=; k< /2; k++)//se aplca marposa a los pares (k+j, k+j+/2) { prtf("(%d,%d)", k+j, k+j+/2); putchar('\'); Para m= 4, se tee 6 putos, el programa geera los pares: (,) 8 seres de dos putos (2,3) (4,5) (6,7) (8,9) (,) (2,3) (4,5) (,2)(,3) 4 seres de 4 putos (4,6)(5,7) (8,)(9,) (2,4)(3,5) (,4)(,5)(2,6)(3,7) 2 seres de 8 putos (8,2)(9,3)(,4)(,5) (,8)(,9)(2,)(3,)(4,2)(5,3)(6,4)(7,5) sere de 6 putos La sguete fucó resume las prcpales deas. Sólo falta defr el tratameto de los úmeros complejos y de los arreglos.

16 6 Estructuras de Datos y Algortmos vod marposa(double *S, t m) { t, k, j,, vel; double w, w, u, t; for (k=, =; k<m; k++) *= 2; //=2^m geera, el úmero de putos a partr de m =; w = w 2 ; //Al co las seres so de dos putos for (vel=; vel<m; vel++) { =2*; //seres de putos. Co =2^(vel+) for(j=; j<; j=j+) //Para todos los elemetos e grupos de { w = ; for (k=; k< /2; k++) //Se aplca marposa a los pares (k+j, k+j+/2) { t = w*s k+j+/2 ; //Co los valores de seres de /2 putos u = S k+j ; S k+j = u + t ; //Se calcula co la operacó marposa, los S k+j+/2 = u - t ; //valores de las seres de putos. w * = w ; w = w ; //Se duplca el úmero de putos. Al co, e el vel cero, las seres so de dos putos; al subr de vel debe calcularse la ueva raíz compleja. Se lustra, e el prmer cuadrate la ueva raíz, que tee la mtad del águlo. w w 2 /2 Fgura Cálculo de la raíz cuadrada. Para calcular la raíz compleja prcpal asocada a ua sere de 2 putos a partr de la raíz compleja prcpal asocada a ua sere de putos, puede efectuarse las sguetes defcoes:

17 Trasformada rápda de Fourer 7 w x jy w x jy Del dagrama, aplcado la detdad trgoométrca para la tagete del águlo medo, se obtee ua relacó etre las coordeadas cartesaas de las raíces; la seguda relacó se cumple debdo a que el módulo de las raíces es de magtud utara. se tg( /2) cos y2 y x x x 2 y Despejado, del sstema de ecuacoes, se obtee las coordeadas cartesaas de w 2 e fucó de las coordeadas de w. x y2 2 x 2 x 2 El códgo completo de la fucó, co: s[]=x[] + jy[], w=w +jw2, w=w +jw2, además se defe ua sere de varables locales, para tercambos y para extraer costates detro de los lazos. Se elma los llamados a fucó, para dsmur el costo de la creacó de frames e el stack. Se agrega el argumeto dr, para obteer la trasformada drecta e versa co la msma fucó. vod FFT(short t dr, log m, double *x, double *y ) { t,, medos, vel,,j,k,; double w,w2, w,w2,tx,ty,tw,t,t2; for (k=,=; k<m; k++) *= 2; //=2^m geera úmero de putos a partr de m //vod btreverse(t *x, t ) medos=>>; for (=, j=medos; <-2; ++) { //prtf("=%d j=%d\",,j); f ( < j) { tx = x[]; ty = y[]; x[] = x[j]; y[] = y[j]; x[j] = tx; y[j] = ty;

18 8 Estructuras de Datos y Algortmos //j cotador baro. Icremeta e uo la poscó más sgfcatva. //y desplaza a la derecha las reservas. for(k=medos; k <= j; k >>= ) {j -= k; j+=k; /* Calcula FFT */ =; //w = w2 = -+j; E el prmer vel so seres de dos putos w = -.; w2 =.; for (vel=; vel<m; vel++) { =2*; //seres de putos. Co =2^(vel+) for(j=; j<; j=j+) //Para todos los elemetos e grupos de { //w = +j; w =.; w2 =.; for (k=; k< /2; k++) //Se aplca marposa a los pares (k+j, k+j+/2) { =k+j; =+/2; //t = w*s[k+j+/2]; t = w * x[] - w2 * y[]; t2 = w * y[] + w2 * x[]; //u = S[k+j]; //S[k+j+/2] = u - t; x[] = x[] - t; y[] = y[] - t2; //S[k+j] x[] += t; y[] += t2; //w * = w ; tw = w * w - w2 * w2; w2 = w * w2 + w2 * w; w = tw; = u + t ; //Operacó marposa. //w = sqrt(w) ; Al subr de vel se requere la raíz cuadrada de la ateror. w2 = sqrt((. - w) / 2.); f (dr == ) w2 = -w2; w = sqrt((. + w) / 2.); /* Escalameto para trasformada versa */ f (dr == -) for (=; <; ++) { x[] /= ; y[] /= ;

19 Trasformada rápda de Fourer Iterpretacó de la FFT Correte cotua. Para ua sere de 6 valores costates e el tempo se obtee u espectro de u solo puto e el orge. Fgura Forma de oda y espectro para señal cotua e tempo. Nótese el valor 6 e el valor máxmo del espectro. E alguas defcoes se platea la trasformada drecta escalada e /. E este caso el máxmo valor del espectro será. Esto mejora la terpretacó como u mpulso de Drac de fuerza uo, asocado a la correte cotua Prmera armóca. Para 6 muestras de la señal temporal: cos(2 t/6), co =..5 se tee la gráfca de la señal, e cremetos de t. Su FFT, grafcada como magtudes de los valores complejos, está asocada dos putos dferetes de cero; uo e f= f, y otro e f=5 f. Dode f = / t. Se toma 6 muestras e u período de la señal temporal. La gráfca temporal está e udades de t, que es el tervalo de muestreo. Se dce que es la prmera armóca. El espectro está e udades de f. El puto espectral e 5 f es ua frecueca espejo relatva a f=8 f, que se deoma frecueca de Nyqust, para el caso de 6 muestras. E el espectro, la más alta muestra e frecueca (postva o egatva) se deoma frecueca de Nyqust. Es la mayor compoete de alta frecueca que puede exstr e la señal temporal. Dcho de otra forma s la señal o cotee frecuecas superores a la de Nyqust puede ser recostruda exactamete a partr de sus muestras.

20 2 Estructuras de Datos y Algortmos S la señal que se va a muestrear tee ua frecueca máxma, para poder recuperar dcha señal, a partr de sus muestras, debe muestreársela co ua frecueca que sea el doble de la frecueca máxma. Es decr dos muestras por período a lo meos. S la señal varía más rápdo que la mtad de la frecueca de muestreo o puede recuperársela a partr de las muestras Seguda armóca. Fgura 24.. Forma de oda y espectro para Prmera armóca. Para 6 muestras de la señal temporal: cos(2 t/8), co =..5 se tee la gráfca de la señal, e cremetos de t. Su FFT está asocada dos putos dferetes de cero; uo e f=2 f, y otro e f=4 f. Dode f = / t. Se dce que es la seguda armóca. El puto espectral e 4 es ua frecueca espejo relatva a la frecueca de Nyqust. Se toma ahora 8 muestras por período. Fgura 24.. Forma de oda y espectro para Seguda armóca.

21 Trasformada rápda de Fourer Tercera armóca. Se dbuja ahora la señal temporal de tercera armóca juto a la prmera o fudametal, e forma cotua. A la derecha se lustra las 6 muestras de la tercera armóca. Se toma 6/3 muestras por período. Fgura Forma de oda y muestras para Tercera armóca. La trasformada rápda muestra el espectro, dode fgura la tercera armóca, y su espejo e Séptma armóca. Fgura Espectro para Tercera armóca. Nótese que las muestras temporales dfíclmete permte vsualzar la fgura cotua. Se toma 6/7 muestras por período.

22 22 Estructuras de Datos y Algortmos Fgura Forma de oda y muestras para Séptma armóca. La trasformada rápda permte vsualzar el cotedo armóco de la séptma. Y el espejo e Octava armóca. Fgura Espectro para Séptma armóca. Al tomar muestras co la frecueca de Nyqust, se toma dos muestras por período de la octava armóca, que tee período 2 t, ya que la fudametal tee período 6 t. Frecueca de la fudametal = /6 t = f/6 = f f. Frecueca de la octava armóca es = f/2 = 8 f f. Período de muestreo = t, frecueca de muestreo =/ t = f. Frecueca de Nyqust = f/2 = 8 f f. Las muestras de la octava armóca, dos por período, se lustra juto a ua gráfca cotua.

23 Trasformada rápda de Fourer 23 Fgura Forma de oda y muestras para Octava armóca. Y el espectro de magtudes obtedo medate la FFT: Fgura Espectro para Octava armóca. Para la ovea armóca, cuya frecueca es mayor que la de Nyqust se obtee u espectro détco al de la séptma armóca. Lo cual o permte recostrur la señal temporal a través de su espectro Frecuecas o múltplos eteros de la frecueca de muestreo. Los casos aterores daba u espectro de toos puros. S embargo ua frecueca levemete dferete hace aparecer varas armócas. Veamos por ejemplo ua señal de,2 veces la frecueca fudametal (cos(2 t*,2/6) ) Se apreca u valor de compoete cotua y preseca de seguda tercera y cuarta, e magtudes decrecetes. Sedo mayor la preseca de prmera armóca.

24 24 Estructuras de Datos y Algortmos Fgura Forma de oda y espectro para o múltplo de frecueca de muestreo. Para ua señal co frecueca,5 veces la de prmera armóca, aparece compoetes espectrales e toda la bada (de a 8), sedo más mportates las cotrbucoes de la prmera y seguda. Fgura Espectro para co frecueca,5 veces la de prmera armóca.

25 Trasformada rápda de Fourer 25 La mezcla de dos toos puros: seguda de ampltud uo, y cuarta de ampltud,5. Fgura Mezcla de frecuecas múltples de la de muestreo. La mezcla de u terco de la 3,2 armóca co u quto de la 5,5 armóca: Fgura Mezcla de frecuecas o múltplos de la de muestreo. Se apreca la dfcultad para terpretar el cotedo armóco e el espectro. Se detecta co facldad la mportaca de la tercera, pero o la de la quta o sexta Dervacó de la FFT a partr de la trasformada de Fourer. ( s( t)) S( f ) s( t) e j2 ft dt ( S( f )) s( t) S( f ) e j2 ft df

26 26 Estructuras de Datos y Algortmos S se aproxma la prmera tegral, asumedo que s(t) es cero fuera del período fudametal (=..-), por ua sumatora, cosderado el tempo como ua varable dscreta t= t. s s - s s 2 t t = t = t t 2 =2 t t - t=tervalo de muestreo t=período fudametal Fgura Aproxmacó de la tegral temporal. j2 f t S( f ) s( t) e t Para aproxmar la seguda tegral, se dscretza la varable f, e los putos f. Esto també cosdera cero el espectro fuera del tervalo f. Co =..- y k=..-. Dvdedo la prmera por t, y arreglado la seguda sumatora, se obtee: Defedo, co k=..-: j2 fk t s( k t) S( f ) e df j2 k f t S( k f ) s( t) e t j2 k f t s( k t) S( f ) e f S( k f ) t s( t) e j2 k f t S( f ) s( k t) f t e t j2 k f t

27 Trasformada rápda de Fourer 27 S( k f ) Sk ( ) t s( k) s( k t) f t Se obtee los polomos: S( k) s( ) e s( k) S( k) e j2 k / j2 k / Referecas. Thomas H. Corme, Charles E. Leserso, y Roald L. Rvest, "Itroducto to Algorthms", Secod Edto, McGraw-Hll, ISBN , 2.

28 28 Estructuras de Datos y Algortmos Ídce geeral. CAPÍTULO TRANSFORMADA RÁPIDA DE FOURIER REPRESENTACIÓN POR N COEFICIENTES REPRESENTACIÓN POR N VALORES TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER DESARROLLO DEL ALGORITMO DE TRANSFORMADA RÁPIDA DE FOURIER N-AVAS RAÍCES COMPLEJAS DE LA UNIDAD SERIES DISCRETAS PARA DOS Y CUATRO PUNTOS RELACIONES DE RECURRENCIA REORDENAMIENTO DE LOS PUNTOS OPERACIÓN MARIPOSA INTERPRETACIÓN DE LA FFT Correte cotua Prmera armóca Seguda armóca Tercera armóca Séptma armóca Octava armóca Frecuecas o múltplos eteros de la frecueca de muestreo DERIVACIÓN DE LA FFT A PARTIR DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER REFERENCIAS ÍNDICE GENERAL ÍNDICE DE FIGURAS

29 Trasformada rápda de Fourer 29 Ídce de fguras. FIGURA 24. REPRESENTACIÓN POR MUESTRAS FIGURA 24.2 REPRESENTACIÓN DE POLINOMIOS POR PUNTOS FIGURA RAÍCES COMPLEJAS CUADRADAS DE LA UNIDAD... 6 FIGURA RAÍCES COMPLEJAS CUARTAS DE LA UNIDAD... 6 FIGURA DESCOMPOSICIÓN EN POLINOMIOS PARES E IMPARES.... FIGURA CONTADOR BINARIO DIRECTO E INVERSO.... FIGURA CONTADOR BINARIO INVERSO CON CUENTAS EN DECIMAL.... FIGURA CÁLCULO DE LA RAÍZ CUADRADA FIGURA FORMA DE ONDA Y ESPECTRO PARA SEÑAL CONTINUA EN TIEMPO FIGURA 24.. FORMA DE ONDA Y ESPECTRO PARA PRIMERA ARMÓNICA FIGURA 24.. FORMA DE ONDA Y ESPECTRO PARA SEGUNDA ARMÓNICA FIGURA FORMA DE ONDA Y MUESTRAS PARA TERCERA ARMÓNICA FIGURA ESPECTRO PARA TERCERA ARMÓNICA FIGURA FORMA DE ONDA Y MUESTRAS PARA SÉPTIMA ARMÓNICA FIGURA ESPECTRO PARA SÉPTIMA ARMÓNICA FIGURA FORMA DE ONDA Y MUESTRAS PARA OCTAVA ARMÓNICA FIGURA ESPECTRO PARA OCTAVA ARMÓNICA FIGURA FORMA DE ONDA Y ESPECTRO PARA NO MÚLTIPLO DE FRECUENCIA DE MUESTREO FIGURA ESPECTRO PARA CON FRECUENCIA,5 VECES LA DE PRIMERA ARMÓNICA FIGURA MEZCLA DE FRECUENCIAS MÚLTIPLES DE LA DE MUESTREO FIGURA MEZCLA DE FRECUENCIAS NO MÚLTIPLOS DE LA DE MUESTREO FIGURA APROXIMACIÓN DE LA INTEGRAL TEMPORAL