GUÍA DE EJERCICIOS. Área Matemática Álgebra lineal

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1 GUÍA DE EJERCICIOS Área Matemátca Álgebra leal Resultados de apredzaje. Recoocer exsteca de subespaco vectoral. Cotedos 1. Espacos vectorales. 2. Subespacos vectorales. Debo saber Se debe recordar que u espaco vectoral es u cojuto de objetos, deomados vectores, juto co dos operacoes llamadas suma y multplcacó por escalar, que satsface certas propedades. K es u cuerpo, tal que puede ser R o C. Defcó: Sea V u espaco vectoral sobre K, sea W V. Se dce que W es u subespaco vectoral de V sobre K (o smplemete W es u subespaco vectoral de V) S se cumple: W W es u espaco vectoral sobre K (co las operacoes heredadas por V) Notacó: Para deotar a W como subespaco vectoral de V, escrbmos W V. ) * +, el subespaco ulo de V. ) ) * + Ejemplo de subespacos. Lametablemete para efectos de probar que algo es o o u subespaco vectoral, es poco tedoso probar las propedades de espaco vectoral. Pero exste ua caracterzacó para subespaco vectoral e térmos más secllos. Teorema: Sea V u espaco vectoral sobre K y W V. Etoces { Servcos Académcos para el Acompañameto y la Permaeca - PAIEP Prmera Edcó

2 Ejemplos: ) Sea V = R 4, defmos el subcojuto * + Etoces. Demostracó: Veamos s se cumple los tres putos del teorema: a) El vector (0,0,0,0) Está e W (pues =0), luego b) Sea W, veamos s W Como = = 0 + 0; = 0. Luego. c) Sea E efecto, se tee: λ λ ; (pues ) = 0. Luego λ. Por lo tato W es subespaco vectoral de V. ) Sea el espaco vectoral de las matrces 3x3 co etradas reales. Defmos el subcojuto W=* +. Probar que W es subespaco de V. Demostracó: Veamos s se cumple los tres putos del teorema: a) Claramete, la matrz detdad está e W. Luego. b) Sea A, B W, veamos s A + B W. E efecto se tee, Luego A + B. c) Sea A W y λ R veamos s λ A W. λa λ Luego λ A Por lo tato W es subespaco vectoral. Servcos Académcos para el Acompañameto y la Permaeca - PAIEP Prmera Edcó

3 Observacó: Para complemetar la caracterzacó de subespaco vectoral, corporamos el sguete, mportate teorema y defcó, que permtrá coocer otro efoque a las formas de los elemetos que se costtuye e el subespaco vectoral Teorema: Sea V espaco vectoral sobre K y { } V Etoces { } { } E efecto ) así ) Sea a v 1 w W b v Luego u w 1 1 ) Sea u W y K ( a b ) v / a K,1 / b K,1 W etoces u a v 1 1 ( a ) v De este modo W V Defcó. S V es u espaco vectoral sobre K Etoces el cojuto: W (1) W v 1, v2, v3,... v r v / r K, 1 se llamará Subespaco Geerado 1 por v 1, v2,..., v y cada v para 1,2,3... se llamará u geerador (2) u V se llamará ua combacó leal de =v 1, v2, v3..., v s u W es decr exste -escalares, dgamos a 1 a, a,... tal que u 1 a v, 2 3 a es decr los elemetos de W se llama combacoes leales de Servcos Académcos para el Acompañameto y la Permaeca - PAIEP Prmera Edcó

4 Ejemplos: ) Sea V = R 3, defmos el subcojuto W= * y + Etoces W V. Demostracó: E efecto, sea y y v * + Luego W * + Así, por teorema ateror, W V. ) Sea V el espaco vectoral de las matrces de 2 x2 co etradas reales. Defmos el subcojuto W =*A A A +. Probar que W es subespaco de V. Demostracó: E efecto, sea A=. /. /. /. / A. / c A. / A. /. /. / A. /. /. / Luego W {. /. /. /}. Así, por teorema ateror, W V. ) Sea V = el espaco vectoral de los polomos de grado a lo más 2, co coefcetes reales. Se defe el subcojuto W= * +. Probar que W es subespaco de V. Demostracó: E efecto, sea p(x) = W. Servcos Académcos para el Acompañameto y la Permaeca - PAIEP Prmera Edcó

5 p p * + Luego W * +. Así, por teorema ateror, W Servcos Académcos para el Acompañameto y la Permaeca - PAIEP Prmera Edcó

6 Ejerccos propuestos. Para cada espaco vectoral V sobre R y W V Decda e cada caso s W es o o su espaco vectoral de V. a) V= R 3, W={ } b) V= W { } c) V= R 3, W=* + d) V= W * (A) + (dode (A) ) e) V= W {. / a c d } f) V= W {. / ad c } g) V=, - W *, - + h) V=, - W *, - + Servcos Académcos para el Acompañameto y la Permaeca - PAIEP Prmera Edcó