X = d representa la métrica (distancia) euclideana en R n, dada por: d T(X,Y) = X Y = 1.3 TOPOLOGÍA BÁSICA EN

Transcripción

1 0.3. Cojutos abertos y cerrados.3 TOPOLOGÍA BÁSICA EN R El espaco eucldeao dmesoal se defe como: E ( R,,, d ) Dode (asumedo que X, Y R, co X = (x,..., x ), Y = (y,..., y )): El símbolo represeta el producto eucldeao o producto puto e R, defdo como: X Y = (x,..., x ) (y,..., y ) = x y represeta la orma eucldeaa e R, dada por: X = X X = x d represeta la métrca (dstaca) eucldeaa e R, dada por: d T(X,Y) = X Y = ( x y ) Nota: E el estudo de las fucoes vectorales se debería referr e adelate al espaco E, pero es usual cotuar refrédose a R y así se hará e este texto. Se defe los sguetes cojutos mportates e el estudo del cálculo vectoral: 6

2 Capítulo 0: Fucoes Vectorales Vecdad o etoro Cojuto smbolzado por V(X 0, r), dode X 0 R es el cetro y r R + es el rado. Se defe como: V(X 0, r) = { X R / d(x, X 0 ) < r } = { X R / X X 0 < r } Puede suceder que la vecdad o cluya el cetro X 0, e cuyo caso se deoma vecdad reducda o agujereada y se smbolza y defe como: V*(X 0, r) = { X R / 0 < d(x, X 0 ) < r } = { X R / 0 < X - X0 < r } E R ; 0 < X - X0 < r es equvalete a 0 < X - X0 X - X0 < r Lo cual sgfca: 0 < X - X0 X X0 E R, represeta u tervalo co cetro e X0 y rado r X - X0 < r E R, represeta u dsco (crculo s el borde) co cetro e X0 y rado r 3 E R, represeta ua bola (soldo esferco s el borde) co cetro e X0 y rado r Dado u cojuto S e R, e geeral o vacío y subcojuto propo de R (Φ S R ), S determa los sguetes cojutos: Complemeto de S: S = C S = { X R / X S } R Iteror de S: It(S) = { X 0 S / V(X 0, r) S } Los putos que perteece a It(S) se llama putos terores de S. Exteror de S: Ext(S) = { X 0 S / V(X 0, r) S } Los putos que perteece a Ext(S) se llama putos exterores de S. 7

3 0.3. Cojutos abertos y cerrados Frotera de S: Frot(S) = { X 0 R / V(X 0, r) se cumple que V(X V(X,, r) 0 0 S Φ r) S Φ Los putos que perteece a Frot(S) se llama putos frotera de S. } També se deota la frotera de S como S, e especal e teoría de tegracó. { It(S), Ext(S), Frot(S) } forma ua partcó de R (co S Φ S R ), pues cumple las sguetes propedades: ) Cada cojuto es o vacío. ) So dsjutos dos a dos: It(S) Ext(S) = It(S) Frot(S) = Ext(S) Frot(S) = Φ ) Su uó es el cojuto referecal: It(S) Ext(S) Frot(S) = R Límte o Acumulacó de S: Acum(S) = { X 0 R / V*(X 0, r) se cumple V*(X 0, r) S Φ } Los putos que perteece a Acum(S) se llama putos de acumulacó de S. U subcojuto S de R se deoma: Aberto: S todos sus putos so terores. Cerrado: S cotee todos sus putos de frotera, es decr, Frot(S) S (ó S S). També se dce que S es cerrado s y solo s S es aberto. Es claro etoces que: It(S) es u cojuto aberto, de hecho es el máxmo aberto cotedo e S. Frot(S) es u cojuto cerrado. Todo cojuto co u úmero fto de elemetos es cerrado. 8

4 Capítulo 0: Fucoes Vectorales Se acepta (se postula) matemátcamete que los cojutos Φ (vacío) y R (referecal) so smultáeamete abertos y cerrados. Además s S es aberto, se cumple la propedad volutva del complemeto: S = (S ) Aberto y cerrado so complemetaros e R, es decr, el complemeto de u cojuto aberto e R es u cojuto cerrado e R y vceversa. Tega u cojuto puede ser o aberto y o cerrado. Ejemplo. E este ejemplo se muestra cómo el domo de ua fucó vectoral defe dsttos cojutos e R. Ecotrar el domo de cada ua de las sguetes fucoes y los cojutos asocados a ellos (complemeto, teror, exteror, frotera, acumulacó). Aalzar cuáles de ellos so abertos, cerrados o gua de los dos. a) F: R 3 R (x,y,z) F(x,y,z) = ( x y z, x y z ) b) P: R R (x,y) P(x,y) = x x, y y 4 Solucó a) El domo de F está dado por: Dom(F) = { (x,y,z) R 3 / x + y + z } Así se tee: (DomF) = { (x,y,z) R 3 / x + y + z > } It(DomF) = { (x,y,z) R 3 / x + y + z < } 9

5 0.3. Cojutos abertos y cerrados Ext(DomF) = { (x,y,z) R 3 / x + y + z > } Frot(DomF) = { (x,y,z) R 3 / x + y + z = } Acum(DomF) = { (x,y,z) R 3 / x + y + z } E este caso Dom(F) es u cojuto cerrado (cotee a su frotera). b) El domo de P está dado por: Dom(P) = { (x,y) R / x 0 y y y } Así se tee: (DomP) = { (x,y) R / x < 0 y = y = y = } It(DomP) = { (x,y) R / x > 0 y y y } Ext(DomP) = { (x,y) R / x < 0 } Frot(DomP) = { (x,y) R / x = 0 (y = y = y = ) x 0 } Acum(DomP) = { (x,y) R / x 0 } E este caso Dom(P) o es u cojuto aberto (pues cotee la frotera x = 0), cerrado (pues o cotee las froteras y =, y =, y = para x 0). Respecto a las operacoes baras teras de uó e terseccó e la famla de subcojutos de R se cumple las sguetes teoremas: Teorema. S A so cojutos abertos e R =,..., ; N, etoces a) A b) A Demostracó: so cojutos abertos e R. La demostracó de la parte a) se hará por duccó. 0

6 ) Para =, sea A y A subcojutos abertos de Capítulo 0: Fucoes Vectorales A A R, etoces es u cojuto aberto e R. E efecto, sea b ( A A ) b A b A por lo tato Vbr (, ) A Vbr (, ) A, puesto que A y A so abertos. S se toma r m { r, r } V(b, r) A V(b, r) A, es decr V(b, r) (A A ) A A es aberto e R. ) Para = se supoe que la propedad es válda, es decr, s A so cojutos abertos e R =,..., etoces ) Para t = + se hace la demostracó: + A = A A + A (por asocatvdad de la terseccó). es aberto. Sea b + A = A b = b A +. Como A es aberto V(b, r ) A Y como A + es aberto V(b, r ) A + Tomado r m { r, r } se tee que V(b, r) A y V(b, r) A + y por tato V(b, r) ( A A + ) = + A, lo cual sgfca que + A es u cojuto aberto e R. Se deja como ejercco para el lector la demostracó de la respectva propedad para la uó. Teorema. S B so cojutos cerrados e R =,..., ; N, etoces B y B so cojutos cerrados e Demostracó R. E efecto, de las leyes de dualdad de De Morga se tee que:

7 0.3. Cojutos abertos y cerrados B = B y B = B Como B so cerrados e R =,..., t, etoces B so abertos e R =,..., t y de la propedad ateror t B y t B so abertos e R y e cosecueca sus complemetos t B y t B so cerrados e R. Teorema.3 S R, se cumple que It(S) es el mayor aberto de S cotedo e S, lo cual sgfca que s S es cualquer aberto cotedo e S etoces S It(S). Corolaro Para ua fucó vectoral F: R R m, It(DomF) es el máxmo cojuto aberto e el cual está defda. Ejemplo. E este ejemplo se lustra que la terseccó de cojutos cerrados es cerrada. Sea los cojutos A = {( x, y) R / y = x } y B = {( x, y) R / y = x } ; aalzar s los cojutos A B, A B y A' so cojutos abertos o cerrados o guo de ellos.

8 Capítulo 0: Fucoes Vectorales Solucó: Fgura.4 {(, ) R / y x } A = x y = {(, ) R / y x } B = x y = es cerrado ya que todos sus putos so frotera; es cerrado por la msma razó ateror. {(, ),(,) } A B = (fgura.4) el cual es u cojuto cerrado porque cumple el teorema. { ( ) ( )} A B = ( x, y ) R / y = x y = x el cual es u cojuto cerrado porque cumple el teorema. Ejemplo.3 E este ejemplo se lustra como ecotrar e ua superfce e cojutos de la topología. 3 R dversos Sea la fucó Fx (, yz, ) = ( y x z, L[0 x y z ], y 5, 5 y) ; A = DomF ( ) halle t(a) ; Acum(A) ; aalce s Aes aberto o cerrado. Solucó: 3

9 0.3. Cojutos abertos y cerrados { (,, ) R 3 / ( ) ( 0 ) ( 5) ( 5) } A = x yz y x + z y < x z y y { (,, ) 3 / ( y x z ) ( y 0 x z ) ( y 5) } A = x yz R + < = lo cual es u círculo, que o cluye la crcufereca, e el plao y = 5 y de rado 5, como lustra la fgura.5 Fgura.5 Ejemplo.3 t(a)= Φ ; Acum(A)= A frot(a) dode { R 3 / x + z = 5 y = 5} frot(a)= (x, y,z) 4