Introducción al Algebra Lineal en Contexto Autor José Arturo Barreto M.A. Web:

Transcripción

1 Itroduccó al Algebra Leal e Cotexto Autor José Arturo Barreto M.A. Web: josearturobarreto@yahoo.com Descomposcó e Valor Sgular (SVD: Sgular Value Decomposto) El sguete teorema se ha ctado e este texto, obado su demostracó. El capítulo 7 puede ser de gra ayuda para leer este apédce co mayor compresó. El lbro gratuto Itroduccó al Álgebra Leal e Cotexto se ecuetra e Se sgue aquí muy de cerca la exposcó sobre el tema de Lay[ ]. El sguete teorema se ha ctado e el texto, mostrado sus posbldades e la práctca, cuado se ejecutó la dagoalzacó de matrces smétrcas, e relacó co la descomposcó QR. eorema Espectral para Matrces Smétrcas E este bree estudo seguremos a Lay[ ] y Moler [ ]. Ua matrz smétrca tee las sguetes propedades: a) A tee autoalores reales, cotado multplcdades b) La dmesó del Espaco Propo E ( ), para cada alor propo (autoalor) es gual a la multplcdad de como raíz de la ecuacó característca. c) Los espacos propos E ( ) so mutuamete ortogoales, e el setdo de que ectores propos (autoectores), correspodetes a autoalores dferetes, so ortogoales. d) Exste ua base ortoormal formada por autoectores. Es decr, A es dagoalzable ortogoalmete. Aquí comeza las aplcacoes. Dada A mx, la matrz A A es ua matrz smétrca de orde (ya que ( A A) A ( A ) A A. Sus autoalores so reales y sus autoectores puede escogerse de tal maera que costtuya ua base ortoormal de (de ahí proee su posbldad de dagoalzacó por ua trasformacó ortogoal. Al escoger teemos que:, tal que,, y, 0 s j,,, j

2 Itroduccó al Algebra Leal e Cotexto Autor José Arturo Barreto M.A. Web: josearturobarreto@yahoo.com, ( ) A, so los autoalores de A A. Como la orma es o- Dode los, egata, así será los autoalores de E cosecueca: A A. Los autoalores de A A, so sempre o egatos. Los alores sgulares de la matrz A so úmeros o-egatos σ 0, asocados co ectores 0 y u 0, co las propedades: () σu () A u σ Los cuales se deomará ectores sgulares (derecho e zquerdo respectamete). Nuestro proyecto cosste e mostrar la exsteca de los msmos y cómo ua adecuada escogeca de los ectores sgulares, os llea a ua descomposcó, llamada SVD (Sgular Value Decomposto), co umerosas aplcacoes e campos como compresó de datos, procesameto de mágees, estadístca, regresó leal, maejo de formacó, etc. al descomposcó, es ta utl, que comezaremos proto a añadr hperículos a documetos e dferetes domas que trata de maera mas o meos compresble, sus aplcacoes. De las codcoes dadas a los alores sgulares, señaladas arrba coclumos A ( σ) σ A σ u σa u σ, 0 AA u Aσ σ σ( σu) σ u, u 0 De dode cocluímos que los σ debe ser autoalores de la matrz smétrca A A, los cuales, afortuadamete, so sempre o egatos, lo cual faclta uestra defcó:

3 Itroduccó al Algebra Leal e Cotexto Autor José Arturo Barreto M.A. Web: josearturobarreto@yahoo.com Los alores sgulares de ua matrz A de dmesó mx, se defe como σ, σ,..., σ dode,,..., so los autoalores, o ecesaramete dsttos, de A A. Los ectores sgulares derechos, será autoectores de A A. Los ectores sgulares zquerdos, autoectores de AA. S se tee los ectores sgulares derechos, y los alores sgulares σ, los ectores sgulares zquerdos correspodetes a alores sgulares σ dferetes de 0, se puede calcular a partr de la ecuacó σu E base a lo señalado, teemos que como los autoectores de A A, se puede escoger ortogoales y de orma, para tal escogeca, teemos que: ( ) AV A σ 0, σ Los alores sgulares será por lo tato las logtudes de los ectores (recuerde que los { },, costtuye ua base ortoormal de R. Por lo tato los alores sgulares da ua dea de la expasó producda por la matrz A al aplcarse al ector base y da dea de la logtud de. E el caso de las formas cuadrátcas estudadas e el capítulo 7, los alores σ daría ua dea de las meddas de los ejes mayor y meor de ua elpse rotada y lo msmo e el caso de elpsodes e R. Alguos de los autoalores de A A puede ser 0. De ahí lo sguete.

4 Itroduccó al Algebra Leal e Cotexto Autor José Arturo Barreto M.A. Web: josearturobarreto@yahoo.com Asuma que los autoalores de A A, se ha ordeado de tal maera que... r > 0, r+ o, r+ 0,..., 0, es decr que se ha ordeado de maera decrecete los autoalores dferetes de 0 (reptédolos segú multplcdad). Desde el mayor (domate), hasta el meor (subdomate). Sea,,..., r los correspodetes autoectores de A A. E tal caso,,..., r es ua base del espaco columa de A, C(A). Por lo tato r es el rago de A. Además los ectores sgulares zquerdos defdos por u, σ será també ua base de tal espaco columa c(a). omado la base de R formada por u cojuto ortoormal de autoectores de A A;,,...,, tales que, es claro que como σ, teemos que r+ r+ Como los ectores a { Ax x R }, geera a R,es claro que r + r+,...,,, geera,...,, C(A). Como 0, es claro que,,..., r geera també a C(A). La depedeca de los, r, se dera de su ortogoaldad ya que, A, s j, por costtur los j ( ) 0 j j j j j j ua base ortoormal. La descomposcó e Valor Sgular SVD Sea los u, u,..., ur alores sgulares zquerdos (ej: autoectores de AA correspodetes a los alores sgulares de A, dferetes de 0). Etoces A U V E dode U mxm [ u u... ur ur+ a. um ], dode [ u u... u r ] se ha completado m a ua base de R σ D 0 0 σ mx r, D r 0 0 σ σ r σ, σ,..., σ r, los alores sgulares de A, dferetes de 0 V.. Ua base ortoormal de [ ] R formada por ectores sgulares derechos de A. 4

5 Itroduccó al Algebra Leal e Cotexto Autor José Arturo Barreto M.A. Web: josearturobarreto@yahoo.com Justfcacó: AV [ 0. 0] [ σ u σ u. u 0 0 ] U. r σr r 0 Por lo tato U V, ya que V es ua matrz ortogoal. A Bblografía [ ]. Lay, Dad C. [ 999 ]. Algebra Leal y sus Aplcacoes. da. Edcó. Ed. Pearso. Pags [ ]. Moler, Clee[ 004 ]. Numercal Computg wth MatLab. he MathWorks. [ ]. Strag, Glbert [ 004 ]. Itroducto to Lear Algebra. rd. Edto. Pags