{ a 1, a 2,..., a } n. Cualquier vector n

Transcripción

1 Deparameo de Aálss Ecoómco UNIVERSIDAD DE ZARAGOZA Tema 3: Formas cuadrácas reales Para odo el ema, se cosdera e R u ssema de refereca (o base) dado { a 1, a 2,..., a }. Cualquer vecor x R se escrbe de forma úca como combacó leal de los vecores del ssema de refereca medae sus coordeadas: x = x 1 a 1 + x 2 a x a y por ao ese vecor se puede represear respeco del ssema de refereca cosderado por la marz columa formada por dchas coordeadas: x1 x2 x = x1a1 + x2a2 + + xa X = x 3.1. Formas cuadrácas: defcó. Expresó marcal y expresó polómca Defcó: Se llama forma cuadráca real de varables a ua aplcacó Q: R R que hace correspoder a cada vecor x = ( x1,, x2,..., x ) R u úmero real dado por Qx ( ) = X AX, sedo A ua marz cuadrada de orde smérca. a11 a12 a1 x1 a12 a22 a2 x2 La expresó Qx ( ) X AX ( x1, x2,..., x) = = se llama expresó a1 a2 a x marcal de la forma cuadráca Q y a la marz A se le llama marz asocada a Q. Desarrollado esa expresó marcal se obee la expresó: Qx ( ) = a11x1 + a22x2 + + ax + 2a12xx a13xx a1 xx 1 + 2a23x2x a24x2x a2 x2x + + 2a 1 x 1x que se llama expresó polómca de la forma cuadráca Q. 1

2 Deparameo de Aálss Ecoómco UNIVERSIDAD DE ZARAGOZA Paso de la expresó polómca a la expresó marcal Para pasar de la expresó polómca de Qx ( ) a la expresó marcal hay que eer e cuea lo sguee: 1) Cada elemeo a de la marz A es el coefcee de 2 x de la expresó polómca. 2) Cada elemeo a j y la expresó polómca. a j co j de la marz A es la mad del coefcee de x x j de Observacó: Ua forma cuadráca acepa dsas expresoes polómcas y marcales depededo del ssema de refereca que se ulce e R. Sabemos que s el vecor x esá represeado por la marz X respeco del ssema de refereca { 1, 2,..., } * la marz X respeco de oro ssema de refereca { 1, 2,..., } marz regular P al que X * = PX. Por ao: a a a y por b b b, eoces exse ua * * * * Qx ( ) = X AX= ( PX ) APX ( ) = X ( P APX ) Defcó: Dadas dos marces smércas A,B M se dce que so marces cogruees s exse ora marz P M regular, al que B = P AP. E oras palabras, dos marces so cogruees s esá asocadas a ua msma forma cuadráca Expresó dagoal de ua forma cuadráca 1 d2 Defcó: S la marz asocada a Qx ( ) es ua marz dagoal D =, d eoces Qx ( ) = XDX = dx dx d x es ua expresó dagoal de Qx ( ). d A couacó se expoe dos méodos para obeer ua expresó dagoal de Qx ( ). 2

3 Deparameo de Aálss Ecoómco UNIVERSIDAD DE ZARAGOZA Méodo de los valores propos Proposcó: Toda forma cuadráca Qx ( ) = X AX adme ua expresó dagoal Qx * * *2 *2 *2 ( ) = X DX = λ1 x 1 + λ2 x λ x dode λ 1, λ 2,, λ so los valores propos de la marz A. Así, ua marz cogruee co A y, por ao, asocada a la msma forma cuadráca que A λ1 λ2 es D = λ Méodo de formacó de cuadrados A parr de la expresó polómca de la forma cuadráca Qx ( ) se puede formar cuadrados perfecos sumado y resado los érmos que sea ecesaros. Se obedrá así ua expresó dagoal de la forma cuadráca. (Se explcará e clase co ejemplos cocreos.) Proposcó: Ua forma cuadráca adme dsas expresoes dagoales pero e odas ellas el úmero de coefcees posvos, de coefcees egavos y de coefcees ulos es el msmo Clasfcacó de ua forma cuadráca segú su sgo Sea Qx ( ) ua forma cuadráca o ula (es decr exse 1.- Q es defda posva s Qx ( ) > x 2.- Q es defda egava s Qx ( ) < x x R co Qx ( ) ) eoces: 3.- Q es semdefda posva s Qx ( ) x y x al que Qx ( ) = 4.- Q es semdefda egava s Qx ( ) x y x al que Qx ( ) = 5.- Q es defda s exse x e y ales que Q( x) > y Q( y ) < S se cooce ua expresó dagoal de la forma cuadráca es medao obeer su sgo ulzado el sguee resulado: 3

4 Deparameo de Aálss Ecoómco UNIVERSIDAD DE ZARAGOZA Proposcó: Dada ua expresó dagoal de ua forma cuadráca Qx ( ) = XDX = dx dx d x, se verfca: 1.- Q es defda posva d >, = 1, 2,, 2.- Q es defda egava d <, = 1, 2,, 3.- Q es semdefda posva d, = 1, 2,, y algú d j = 4.- Q es semdefda egava d, = 1, 2,, y algú d j = 5.- Q es defda exse d > y d j < E alguas ocasoes es posble obeer el sgo de ua forma cuadráca Qx ( ) = X AX medae el esudo del sgo de los meores prcpales de la marz A, s ecesdad de buscar ua expresó dagoal. Méodo de los meores prcpales Proposcó: Dada la forma cuadráca Qx ( ) = X AX y deomado por A, = 1, 2,, los meores prcpales de A, se verfca lo sguee: 1. S A = A : ) A > = 1, 2,, Q( x) es defda posva ) (-1) A > = 1, 2,, Q( x) es defda egava ) S o se cumple 1.) 1.) Qx ( ) es defda 2. S A = A = : ) A > = 1, 2,, 1 Q( x) es semdefda posva ) (-1) A > = 1, 2,, 1 Q( x) es semdefda egava ) S A = 1, 2,, 1 y o se cumple 2.) 2.) Qx ( ) es defda 4

5 Deparameo de Aálss Ecoómco UNIVERSIDAD DE ZARAGOZA 3.4. Forma cuadráca resrgdas Sea la forma cuadráca Qx ( ) sedo B ua marz de orde mx co rgb = m <. = X AX resrgda al cojuo { x BX = O mx 1} Se verfca: 1.- S la forma cuadráca s resrccoes es defda posva (egava), eoces la forma cuadráca resrgda es ambé defda posva (egava). 2.- S la forma cuadráca s resrccoes o es defda, eoces ampoco es defda la forma cuadráca resrgda. Esudo del sgo de ua forma cuadráca resrgda Del ssema de ecuacoes leales homogéeo BX = O m x1 se puede despejarse m varables e fucó de las -m resaes. Se susuye esas m varables e Qx ( ) = X AX y se obee ua forma cuadráca s resrccoes co -m varables cuyo sgo cocde co el sgo de la forma cuadráca resrgda. També puede aplcarse el crero de la marz orlada e cualquera de sus dos formulacoes (ver documeo co ese íulo e ADD). Para más dealles de la eoría ver Capíulo 6 de Jare, G.; Pérez-Grasa, I. y Mgulló, E.: Maemácas para la Ecoomía. Álgebra Leal y Cálculo Dferecal. Ed. McGraw-Hll, Para ejerccos resuelos ver Capíulo 6 de Mgulló, E.; Jare, G. y Pérez-Grasa, I.: Maemácas para la Ecoomía. Lbro de ejerccos. Álgebra Leal y Cálculo Dferecal. Ed. McGraw-Hll,