Sistemas y Señales I. Ecuaciones de Estado. Variables de Estado

Transcripción

1 Sisemas y Señales I Ecuacioes de Esado Auor: Dr. Jua Carlos Gómez Variables de Esado Defiició: Las Variables de Esado so variables ieras del sisema, cuyo coocimieo para odo iempo, juo co el coocimieo de las eradas, permie compuar cualquier ora variable del sisema. Defiició: El míimo úmero de variables de esado liealmee idepediees, que permie deermiar cualquier ora variable del sisema es el deomiado orde del sisema. J.C. Gómez SyS-I

2 Ecuacioes de Esado La diámica de u sisema puede represearse e fució de las variables de esado co ua ecuació diferecial de primer orde, de la forma: EE ( ) x () = F x(), u() dode [ ] x() = x (), x (),, x () T 1 es el vecor de esado de dimesió (igual al orde del sisema), u() es el vecor de erada, y F(x,u) es ua fució, e geeral o lieal, del esado y la erada. J.C. Gómez SyS-I 3 Ecuació de Salida La Ecuació de Salida es ua ecuació algebraica dode las salidas del sisema se escribe e fució de las variables de esado y las eradas. Es decir ES y() = G x(), u() ( ) J.C. Gómez SyS-I 4

3 Ejemplo Cosideremos el sisema masa-resore represeado e la Fig. 1 Figura 1: Sisema masa-resore La ecuació diferecial que describe la diámica del sisema es: mz () = F kz() bz () J.C. Gómez SyS-I 5 Dode se asumió que el resore iee ua caracerísica lieal y que el rozamieo es de ipo viscoso, es decir, la fuerza de roce es proporcioal a la velocidad. E ese caso podemos defiir como variables de esado la posició y la velocidad de la masa m, es decir: x1 () = z() x () = z () Las Ecuacioes de Esado resula eoces: EE x 1 () = x() 1 k b x () = F x1() x() m m m J.C. Gómez SyS-I 6

4 E ese caso (sisema lieal), las EE puede escribirse e forma maricial EE x 1 () x1() = k b 1 F() x () () x + u () m m m X() X () A B Es decir, so de la forma EE X () = AX() + Bu() dode: A es la mariz de rasició X() es el vecor de esado B es la mariz de erada u() es el vecor de erada J.C. Gómez SyS-I 7 Supoiedo que os ieresa como salidas del sisema la posició de la masa m y la fuerza de rozamieo, la ecuació de salida resula: ES y1() = x1() y() = bx() que e ese caso (sisema lieal) puede escribirse e forma maricial ES y1() 1 0 x1() 0 F () y() = 0 b + x () 0 u () Y() C X() J.C. Gómez SyS-I 8 D

5 Es decir, la Ecuació de Salida es de la forma ES Y () = CX () + Du () dode: C es la mariz de salida D es la mariz de rasferecia direca Y() es el vecor de salida X() es el vecor de esado u() es el vecor de erada J.C. Gómez SyS-I 9 Represeació e Espacio de Esados de u Sisema Lieal Esacioario Para u sisema lieal esacioario la represeació e espacio de esados oma la forma dode X () = AX() + Bu() Y () = CX () + Du () X, u, Y m p m p p m A, B, C, D Es decir, el sisema queda represeado por la cuadrupla ( ABCD,,, ) J.C. Gómez SyS-I 10

6 La represeació e Espacio de Esados o es úica. E efeco, basa co realizar u cambio de coordeadas e el espacio de esados, de la forma X ( ) = TX ( ), T mariz o sigular para obeer ua represeació equivalee. Exise por lo ao ifiias represeacioes (realizacioes) e Espacio de Esados equivalees. Hallemos la represeació equivalee. X () = TX () = TAX () + TBu() = TAT X ( ) + TBu ( ) A B J.C. Gómez SyS-I 11 Y () = CX () + Du () 1 = CT X ( ) + Du ( ) C La represeació e espacio de esados equivalee esá dada eoces por la cuadrupla: D ( 1 TAT, TB, CT 1, D) Defiició: Ua realizació e Espacio de Esado se dice míima, si el vecor de esados iee la míima dimesió posible. J.C. Gómez SyS-I 1

7 Relació ere la represeació e Espacio de Esados y la represeació co Fució Tras- ferecia de u Sisema Lieal Esacioario Sea u sisema LE represeado por su EE y ES: Trasformado Laplace resula: X () = AX() + Bu() Y () = CX () + Du () sx () s = AX () s + BU () s Y() s = CX() s + DU() s (1) () J.C. Gómez SyS-I 13 De la ecuació (1) resula ( si A) X () s = BU () s X s si A BU s () = ( ) () (3) Reemplazado (3) e () resula Y s C si A BU s DU s () = ( ) () + () Y() s = C( si A) B+ D U() s (4) dode H () s = C( si A) B + D Mariz Trasferecia J.C. Gómez SyS-I 14

8 Ejemplo: Cosideremos u sisema de do. orde represeado por su Fució Trasferecia de la forma Y() s Gs () = ω s s = U( s) + ξω + ω (5) de dode puede obeerse la Ecuació Diferecial Ordiaria (EDO) que describe el comporamieo diámico del sisema y + y + y = u () ξω () ω () ω () (6) Defiiedo como variables de esado: x1 () = y() x() = y () J.C. Gómez SyS-I 15 las Ecuacioes de Esado resula x 1 () = x() x () = ωx1() ξωx() + ωu() Que puede escribirse e forma maricial como x 1 () 0 1 x1() 0 = + u () x () () ω ξω x ω u () X () A X() B (7) J.C. Gómez SyS-I 16

9 Calculemos los auovalores de la mariz A. Debemos hallar las raíces de la ecuació caracerísica Es decir: ( I A) de λ = 0 λ de 0 0 λ ω ξω = λ de 0 ω λ ξω = + λ λ+ ξω + ω = ( ) = 0 λ ξω λ ω J.C. Gómez SyS-I 17 (8) (9) Puede verse que las raíces de la ec. (9) (es decir, los auovalores de la mariz A) coicide co la raíces del poliomio deomiador de la Fució Trasferecia del sisema e ec. (5) (es decir, los polos de la FT). auovalores de A = polos de G(s) J.C. Gómez SyS-I 18