2. MATRICES Y DETERMINANTES

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1 Marices y Deermiaes 2. MTRICES Y DETERMINNTES SUMRIO: INTRODUCCIÓN OBJETIVOS INTRODUCCIÓN TEÓRIC 1.- Marices. 2.- Operacioes co Marices. 3.- Equivalecia de Marices. Trasformacioes Elemeales de Marices. 4.- Cálculo de la Mariz Iversa. 5.- Deermiaes. 6.- Desarrollo de u Deermiae. 7.- Propiedades de los Deermiaes. 8.- Expresió de la Mariz Iversa. PROBLEMS RESUELTOS. BIBLIOGRFÍ 35

2 Guerra, N.; López, B.; Quiaa, M.P.; Suárez,. INTRODUCCIÓN E ese puo del emario surge u dilema para el profesor. Si se persigue ua rigurosidad maemáica habría que comezar ese segudo bloque defiiedo la esrucura de Espacio Vecorial, para a coiuació y como ejemplo, defiir las Marices, pasado poseriormee a las aplicacioes lieales, los sisemas de ecuacioes y fialmee como ejemplo de aplicació mulilieal, dar los deermiaes. Si embargo e u curso de Álgebra lieal dero de la formació de u Igeiero Técico, creemos que se debe ser más flexible e el orde de los emas aediedo fudamealmee al crierio de que al alumo lo que le ieresa es el maejo prácico que de oda esa herramiea puede realizar. Es por eso que, siedo fieles a la evolució del Álgebra, comezamos el ema iceivádolos mediae u ejemplo e el que halla que resolver u sisema de ecuacioes y a coiuació les expoemos oda la maemáica ecesaria que les faciliará dicha resolució: las marices y los deermiaes, para fialmee aacar co esa herramiea cualquier sisema de ecuacioes que se les presee. Ese orde os permie mosrarles los espacios vecoriales doados de ua gra caidad de elemeos maemáicos que os eviará eorizar e demasía y avazar co fluidez e los siguiees emas. 36

3 Marices y Deermiaes OBJETIVOS Realizar co solura las disias operacioes co marices. Comprobar que las marices cuadradas de orde iee ua esrucura de aillo. Coocer las posibles operacioes elemeales, e ideificarlas co el produco por la correspodiee mariz elemeal. Compreder su sigificado y calcular co precisió el rago de ua mariz. Maejar el méodo de Gauss para hallar ua mariz escaloada equivalee. Deermiar subcojuos oables de marices cuadradas como diagoales, marices de raza ula, riagulares de cada ipo, siméricas, aisiméricas, hermíicas, aihermíicas, ec. Calcular, si es posible, como produco de marices elemeales, la iversa de ua mariz cuadrada. Compreder el seido de las propiedades de los deermiaes, cuyo fi es calcularlos co mayor comodidad que siguiedo la defiició. Coocer y pracicar co solura el cálculo de u deermiae por los diferees méodos y elegir la esraegia más adecuada e cada caso. Calcular co solura el rago de ua mariz empleado deermiaes. 37

4 Guerra, N.; López, B.; Quiaa, M.P.; Suárez,. Decidir si ua mariz iee iversa, o o, a ravés de su propio deermiae. Cuado exisa, calcular la iversa mediae deermiaes. 38

5 INTRODUCCION TEORIC Marices y Deermiaes 1. MTRICES Ua mariz de orde m es u cojuo de m elemeos pereeciees a u cuerpo K, ordeados e m filas y e columas. a a a a21 a22 a 2 a a 1 a 2 a dode i 1,... m, j 1,...,. Nosoros cosideraremos que K es el cuerpo o. Simbolizaremos ua mariz por ua lera mayúscula o por : a i 12,,..., m, j 12,,..., o de forma más secilla por a cual se ecuera el elemeo, el j la columa). (el subídice i os idica la fila e la 1.1. Tipos pariculares de Marices Si m 1 la mariz se llama mariz fila. Si 1 la mariz se llama mariz columa. Si m Si m la mariz se llama mariz recagular la mariz se llama mariz cuadrada y se dice de orde. NOTCIONES El cojuo de marices de orde m cuyos elemeos oma valores del cuerpo K se simboliza por M ( K) m. 39

6 Guerra, N.; López, B.; Quiaa, M.P.; Suárez,. Si K, se simplifica la oació por M ( m, ) o M m. El cojuo de marices cuadradas de orde se simboliza por M ( K ). Si K, uiliza la oació M o M Defiició de Mariz Nula Mariz ula O es aquella e que odos sus elemeos so 0, es decir, a 0, i 12,,..., m, j 12,,...,. Cualquiera que sea el orde de las marices co las que se rabaje, siempre es posible defiir su mariz ula Defiició de Diagoal Pricipal Si es ua mariz cuadrada de orde la diagoal pricipal de es los elemeos de la forma a ii, i 12,, Defiició de Traza Traza de ua mariz cuadrada es la suma de los elemeos de la diagoal pricipal: Traza Tr a a a. ( ) ( ) OPERCIONES CON MTRICES 2.1. Igualdad Dos marices y B del mismo orde m so iguales si y sólo los elemeos siuados e las mismas posicioes e ambas marices coicide, es decir, si: a b, 40

7 i 12,,..., m, j 12,,.... Marices y Deermiaes 2.2. Suma de marices Dadas dos marices y B del mismo orde m se defie la mariz suma C + B, como la mariz de orde m que resula de sumar ere sí los elemeos que ocupa las mismas posicioes e ambas marices, es decir: c a+ b, i 12,,... m, j 12,,..., Produco de ua mariz por u úmero Dada ua mariz de orde m y dado u elemeo λ K, la mariz B λ (produco de la mariz por el elemeo del cuerpo λ ) es la mariz de orde m que resula de muliplicar odos los elemeos de por λ, eso es: b a λ, i 12,,..., m, j 12,,..., Produco de marices Dadas dos marices de orde m y B, de orde p, su mariz produco C B es ua mariz de orde m p al que: c a b a b + a b + + a b, i 12,,..., m, i j ik k j i1 1j i2 2 j i j k 1 j 12,,..., p. IMPORTNTE: Para que se pueda muliplicar dos marices, el úmero de columas de la primera debe ser igual al úmero de filas de la seguda. El produco de marices o es comuaivo. 41

8 Guerra, N.; López, B.; Quiaa, M.P.; Suárez, Trasposició de marices Dada ua mariz de orde m se defie su mariz raspuesa, que se simboliza por como la mariz que resula de iercambiar e sus filas por sus columas, eso es: ( a ), dode i 1,... m, j 1,..., y co a a. ji El orde de la mariz raspuesa es m. Las pricipales propiedades de la rasposició de marices so: ( ) + B + B ( ) B B Tipos de Marices Cuadradas Ua mariz, cuadrada de orde se dice que es: Diagoal, si a 0, si i j. Escalar, si es diagoal y aii a, i 12,,...,. Ideidad, si es escalar y a ii 1, i 12,,...,. Se deoa por I. Triagular superior, si a 0, i> j. Triagular iferior, si a 0, i< j. Regular o iverible, si exise su iversa (rabajado co el produco de marices). la mariz iversa se la deoa por 1 y verifica: 1 1 I. Sigular, si o iee iversa. Simérica, si. 42

9 isimérica, si Idempoee, si Ivoluiva, si 2 2 I. Marices y Deermiaes, (ambié se deomia hemisimérica).. Orogoal, si EQUIVLENCI DE MTRICES. TRNSFORMCIONES ELEMENTLES DE MTRICES Las rasformacioes elemeales de fila más imporaes so: La permuació de las filas i y j, que deoaremos por F. El produco de la fila i por ua cosae 0 k, deoada por ( ) Sumar a la fila i la j muliplicada por k, deoada por F( k ). F k. i álogamee las rasformacioes elemeales de columas so i ( ) C k, y C ( k ). C, 3.1. Mariz Elemeal Mariz elemeal es oda mariz que resula de aplicar ua rasformació elemeal a la mariz ideidad. de ipo fila y F i deoará ua mariz elemeal geeral C j deoará ua mariz elemeal geeral de ipo columa. Las disias marices elemeales so: 1.- F y C que resula de iercambiar e la mariz ideidad filas i y j, e el caso de F, o las columas i y j, e el caso de lo ao, I las C. Por 43

10 Guerra, N.; López, B.; Quiaa, M.P.; Suárez, si I se iee que al iercambiar las filas (o las columas) i y j resula: i j F 1 i 0 1 C j Fi ( k ) y Ci ( k ) que resula de muliplicar e la mariz ideidad I la fila i por el escalar k, e el caso de Fi ( k ), o la columa i por el escalar k, e el caso de Ci ( k ). 1 1 Fi( k) Ci( k) k i 1 1 i 44

11 Marices y Deermiaes 3.- F( k ) y C( k ) que resula de sumar e la mariz ideidad I a la fila i la j muliplicada por el escalar k, e el caso de F ( k ), o a la columa i la j muliplicada por el escalar k, e el caso de F 1 i 1 k ( k) j 1 1 C. C i 1 1 ( k) k 1 1 j NOT: La mariz que se obiee al realizar ua rasformació elemeal e la mariz de orde m por filas (columas) coicide co la mariz obeida al muliplicar por la izquerda (derecha) la mariz por la mariz elemeal correspodiee. E la mariz a i 12,,..., se puede obeer las siguiees rasformacioes, siedo i j 12,,..., m < j. 45

12 Guerra, N.; López, B.; Quiaa, M.P.; Suárez,. F a a a a 11 1i 1 j 1m j1 ji j j jm i1 ii i j im 1 i j m a a a a a a a a a a a a C a a a a 11 1 j 1i 1m i1 i j ii im j1 j j ji jm 1 j i m a a a a a a a a a a a a F( k) a a a a 11 1i 1 j 1m i1+ j1 ii + ji i j + j j im + jm aj1 aji aj j ajm a1 ai a j a m a ka a ka a ka a ka C a a + ka a a 11 1i 1 j 1 j 1m i1 ii + i j i j im j1 ji + j j j j jm 1 i + j j m a a ka a a a a ka a a a a ka a a 46

13 F i ( k) a a a a 11 1i 1 j 1m i1 ii i j im j1 ji j j jm 1 i j m ka ka ka ka a a a a a a a a Marices y Deermiaes C ( k) i a ka a a 11 1i 1 j 1m i1 ii i j im j1 ji j j jm 1 i j m a k a a a a ka a a a ka a a 3.2. Marices equivalees Dos las marices y B, se dice que so equivalees si ua se puede obeer de la ora a ravés de rasformacioes elemeales. Por ao, si y B F F FCC C r siedo F 1, F 2,, B M mso equivalees, se iee que: s F r marices elemeales que represea las rasformacioes aplicadas a las filas de y C 1, C 2,, C s las rasformacioes aplicadas a las columas de, para obeer la mariz B. Eoces si P Fr F2F1 y Q CC 1 2 Cs se iee y B so equivalees si y sólo si exise P y Q regulares ales que B Q se deomia marices de paso. PQ ; P y 47

14 Guerra, N.; López, B.; Quiaa, M.P.; Suárez,. 4. CÁLCULO DE L MTRIZ INVERS La mariz (cuadrada) iee iversa si y sólo si mediae rasformacioes elemeales sólo e sus filas o sólo e sus columas, se llega a la mariz ideidad. Si f E y c E so las operacioes elemeales que aplicadas, respecivamee, a las filas o a las columas de coduce a la ideidad, f c es decir: E ( ) F r F1 I y E ( ) C s C1 I, eoces se iee que: E () 1 f I (las operacioes elemeales se ha realizado e las filas e ), o E () 1 c I (las operacioes elemeales se ha realizado e las columas de ) 4.1. Marices Semejaes Dos marices y B cuadradas de orde so semejaes si exise ua mariz P regular al que B PP DETERMINNTES Si llamamos M ( K ) al aillo de odas las marices cuadradas sobre el cuerpo K, podemos defiir el deermiae como ua aplicació de M ( K ) e K : de : M ( K)----K ----de( ) 48

15 Si Marices y Deermiaes a eoces su deermiae se puede simbolizar de las siguiees maeras: de( ) de a1, a2,, a, mariz ) ( por a i se simboliza a la columa de lugar i de la a a a a a a a a a Esa aplicació iee que verificar las siguiees propiedades: de a1 a2 ai ai a de a1 a2 ai a,,, +,,,,,,, + + de a1 a2 ai a,,,,, de a1, a2,, λai,, a λde a1, a2,, ai,, a, (λ K) de a1 a2 u u a,,,,,, 0 de I 1. E esa defiició se puede susiuir las columas a i de por sus filas; más adelae se verá que de ambos modos se llega a u mismo resulado. Se llama deermiae de orde al deermiae de ua mariz de amaño Meor Complemeario Sea ua mariz cuadrada, M ( K). Llamamos meor complemeario del elemeo a al deermiae de la mariz que resula 49

16 Guerra, N.; López, B.; Quiaa, M.P.; Suárez,. de suprimir la fila i y la columa j de la mariz. Lo deoamos por α djuo de u Meor Complemeario El adjuo del meor complemeario α se deoa por y viee dado por: ( ) 1 i+ j α. 6. DESRROLLO DE UN DETERMINNTE El deermiae de ua mariz cuadrada de orde, a se puede obeer como suma de los producos de los elemeos de ua de sus filas (o de ua de sus columas) por sus correspodiees adjuos. 7. PROPIEDDES DE LOS DETERMINNTES Sea M ( K), se cumple que: Si odos los elemeos de ua fila (o ua columa) de so 0 eoces 0. Si muliplicamos por k K odos los elemeos de ua fila (o ua columa) de, eoces el deermiae de queda muliplicado por k. Si se permua dos filas (o dos columas) de ere sí, eoces el deermiae de cambia de sigo. Si iee dos filas (o dos columas) iguales, eoces 0. Si iee ua fila (o ua columa) proporcioal a ora, eoces 0. 50

17 Marices y Deermiaes Si a ua de las filas ( o a ua de las columas ) de le sumamos ua combiació lieal de las resaes, el deermiae de la mariz o varía. B B,, B M Si es ua mariz iverible, eoces Meor de orde p Sea a ua mariz de orde m cualquiera, y elegidas las p filas i1, i 2,, ip de, (co p m y p ), se llama meor de orde p de, que deermia las p filas y las p columas elegidas, al deermiae de la submariz de de amaño p p, que forma los elemeos siuados e los cruces de las filas y columas elegidas; eso es, al deermiae: M a a a i1 j1 i1 jp a ip j1 ip jp 7.2. Rago de ua mariz Se dice que p es el rago de ua mariz M ( K), si iee algú meor de orde p o ulo y odos los meores de de orde mayor que p so ulos; o sea, p es el mayor de los órdees de los meores o ulos de. Se deoa por Rag( ) p. m 51

18 Guerra, N.; López, B.; Quiaa, M.P.; Suárez,. 8. EXPRESIÓN DE L MTRIZ INVERS Sea a ua mariz cuadrada, de amaño. Se llama mariz adjua de, a la mariz a, co a ( 1 ) i+ j α de amaño. Se verifica que si es ua mariz regular, es decir si 0, eoces: 1 a11 a21 a1 a 12 a a 22 2 ( ) a1 a2 a 52

19 Marices y Deermiaes PROBLEMS RESUELTOS 1.- Sea las marices B, M4x3 y C M3 x 4 y la mariz D M co D regular (deermiae disio de 0). De las 4x4 siguiees operacioes hay ua que o es posible realizar, cuál es? a) ( ) DC( + B) SOLUCIÓN: 1 + B CD b) D 1 ( + B) C c) 3 BCD d) Las operacioes del aparado a) sí se puede realizar porque las marices y B iee la misma dimesió 4x 3, por lo ao + B M4x3, además el úmero de columas de esa mariz coicide co el de filas de C, por lo que ambié se puede realizar ( + B) C M4x4, por úlimo, como D es regular, podemos asegurar que exise D M 1 4x4, y de uevo, por coicidir las dimesioes, podemos efecuar el siguiee 1 produco:[ ( + B) C ] D. Las operacioes del aparado b) ambié se puede realizar. Como D es regular, podemos asegurar que exise D M 1 4x4, y ya hemos viso ambié que exise la mariz + B M4 3, como el úmero de columas de 1 D que es 4, coicide co el úmero de filas de produco 1 D B M4 3 x + B, podemos realizar el ( + ) x, de uevo el úmero de columas de esa ueva mariz, que es 3, coicide co el úmero de filas de C, por lo que podemos realizar el siguiee produco si igú problema D 1 ( + B) C. 53

20 Guerra, N.; López, B.; Quiaa, M.P.; Suárez,. Las operacioes del aparado c) so perfecamee viables. La mariz B iee 3 columas y la mariz C 3 filas, por lo que podemos realizar BC M 4x4, por oro lado 3 D es ua mariz 4x 4, por lo que es posible realizar BCD 3 M. 4x4 La operació de ese aparado o es facible, pues la mariz D iee 4 columas que o coicide co el úmero de filas de la mariz C, que es 3, por lo ao, o es posible realizar DC. 2.- Sea las marices M4 3( ) ; B M4 3( ) ; C M3 4( ); D M4 4( ) x ; x x x Cual de las siguiees operacioes o se puede realizar? a) ( + B). C. D b) D. ( + B). C c) SOLUCIÓN: a) Falso, si se puede realizar... d) DC..( + B). 3 B CD ( 4x3 + 4x3 )(3x4)(4x4) ( 4x3)(3x4)(4x4) ( 4x4)(4x4) (4x4) b) Falso, si se puede realizar. (4x4)( 4x3 + 4x3 )(3x4) ( 4x4)(4x3)(3x4) ( 4x3)(3x4) (4x4) c) Falso, si se puede realizar. (4x3)(3x4)(4x4)(4x4)(4x4) ( 4x4)(4x4)(4x4)(4x4) ( 4x4) d) Verdadera. (4x4)(3x4)( 4x3 + 4x3 ), los ordees, (4x4) y (3x4) o so compaibles para la muliplicació. 3.- Dada ua mariz cualquiera, razoar la veracidad o falsedad de los siguiees euciados: 54

21 a) El produco. Marices y Deermiaes esá defiido cualquiera que sea el amaño de b) El produco ( ) esá defiido cualquiera que sea el amaño de. c) El produco ( ) esá defiido cualquiera que sea el amaño de. d) Para que el produco cuadrada. SOLUCIÓN: a) Verdadero. esé defiido es ecesario que sea Mxm Mmx, por lo ao sí es posible realizar M x. b) Verdadero. Mxm Mmx, por lo ao, podemos hacer M xm eoces podemos realizar ( ) M xm. c) Verdadero. Mxm Mmx, por lo ao, podemos hacer M ( ) M eoces podemos realizar mxm ( ) M xm. d) Falso. mxm M mxm y como Para que cuadrada. esé defiido o es ecesario que sea ua mariz 55

22 Guerra, N.; López, B.; Quiaa, M.P.; Suárez, Sea M2x3 (o es cuadrada) M 4 1 3x2 y Calcular el valor de los siguiees deermiaes: a) b) x y z 3 4 c) d) x y x+ y y z x+ y z x+ y x x+ y SOLUCIÓN: a) a ( des por 1 F ) b) 56

23 x y z 3 4 Marices y Deermiaes , al raarse de ua mariz riagular, su deermiae es el produco de los elemeos de la diagoal pricipal. c) d) a ( des. por 3 C ) x y x+ y 1 x y 1 1 y z x+ y 1 y z 1 ( x+ y) 1 z x+ y 1 z 1 ( hay doscolum iguales) 1 x x+ y 1 x 1 ( x+ y) Dada ua mariz cuadrada de orde 11 y λ, calcular el valor del deermiae: λ SOLUCIÓN: l muliplicar la mariz por λ lo que se esá haciedo es muliplicar cada uo de los elemeos de la mariz por λ. l calcular el deermiae de ua mariz, si oda ua fila (o ua columa) de la mariz esá muliplicada por el mismo úmero, ése se puede sacar fuera del deermiae (propiedad 2 de las umeradas como propiedades de los deermiaes). E uesro caso eemos las 11 filas de la mariz 57

24 Guerra, N.; López, B.; Quiaa, M.P.; Suárez,. muliplicadas por λ, por lo ao al calcular λ podemos sacar 11 veces el λ fuera de la mariz, co lo que os queda lo siguiee: λa λa λa λa λa λa λ λa λa λa a λa λa a λa λa a λa λa λ λ ( ) a a λa λa a a λa λa a a λa λa a a a a a a a a ( λ) ( λ). a a a Calcular los valores de x que hace cero el deermiae de la mariz 58

25 x a b c x x d e x x x f x x x x SOLUCIÓN: co abcde,,,,. Marices y Deermiaes F21( 1) F31( 1) F41( 1) 0 x a b c x a b c x x d e x a d b e c x x x f 0 x a x b f c x x x x 0 x a x b x c F32 ( 1) F42 ( 1) 0 x a b c x a d b e c F43 ( 1) x d f e 0 0 x d x e x a b c x a d b e c 0 0 x d f e x f xx ( a)( x d)( x f) 0 x 0 ox a o x d o x f 7.- Dada ua mariz diagoal se iee que es iverible: a) Siempre b) Nuca c) Si la raza es o ula. d) Si odos los elemeos de la diagoal pricipal so o ulos. SOLUCIÓN: a) Falsa. 59

26 Guerra, N.; López, B.; Quiaa, M.P.; Suárez,. Como coraejemplo, sea la siguiee mariz se raa de ua mariz diagoal, si embargo o es iverible porque 0. b) Falsa Como coraejemplo, sea la siguiee mariz ua mariz diagoal y es iverible, su iversa es ella misma se raa de c) Falsa Nos vale el mismo coraejemplo del aparado a). Sea su raza será la suma de los elemeos de la diagoal pricipal, por lo que Traza( ) , si embargo hemos viso que o es iverible. d) Verdadera. Sabemos que el deermiae de ua mariz diagoal es el produco de odos los elemeos de la diagoal pricipal, por lo que si iguo de ellos es ulo, el deermiae será disio de cero por lo que la mariz es iverible. 60

27 a a a. a a 0, a Marices y Deermiaes ya que aii 0 i Si M es idempoee 2 ( ) y además es orogoal 1 ( ), calcular cuál es el valor de su deermiae. SOLUCIÓN: Por ser 1 I, eemos que 1 I 1. Luego, eemos que: 1 ( ) 2 ( ) ( ) Sea M ( C) ua mariz cuadrada aisimérica de orde x impar y co eradas complejas, cuáo vale su deermiae? SOLUCIÓN: Coocemos dos propiedades de los deermiaes que se verifica para cualquier mariz M ( C) : x 1) 2) λ λ Ua mariz se dice que es aisimérica si ua ercera propiedad para uesra mariz:, lo cual os garaiza 3) y ademas es impar: 61

28 Guerra, N.; López, B.; Quiaa, M.P.; Suárez,. 4) ( 1) 1 Uilizado odo eso eemos e uesra mariz: (3) (1) ( 1) (2) ( 1) (4) Si λ 1, λ R, 0 λ demosrar que λ λ. 0 λ 1 SOLUCIÓN: Lo comprobaremos por iducció sobre. Veamos que es ciero para λ 2λ λ 2λ ,, λ 0 λ supogamoslo ciero para 1 y veamos que que ocurre para. λ ( 1) λ λ 1 0 λ λ λ λ + ( 1) λ λ λ λ λ 0 λ 11.- Si M ( R) iee exacamee 1 filas (o columas) o x ulas, razoa la veracidad o falsedad de: a) Rag( ) 1; b) Rag( ) 1; c) De( ) 1; d) De( ) 0 SOLUCIÓN: a) Falsa. Si iee exacamee ( 1) filas o columas o ulas, eso o me idica que sea liealmee idepediees, podría suceder que las ( 1) 62

29 Marices y Deermiaes líeas que o so ulas sea odas iguales co lo que se edría que el rago de es como máximo 1, o que sólo dos sea liealmee idepediees, co lo que Rag( ) 2... Como ejemplo valga el siguiee: M x3, esa mariz iee exacamee columas o ulas, si embargo su rago o es 2, ya que Rag( ) Rag Rag O sea ambié la siguiee mariz: B M x4, esa mariz iee exacamee ( 1) columas o ulas, si embargo su rago o es 3, ya que Rag( B) Rag Rag b) Falso. Como coraejemplo os vale la mariz B del caso a). c) Falso. Como coraejemplo eemos las marices y B del caso a): 63

30 Guerra, N.; López, B.; Quiaa, M.P.; Suárez,. B 0 d) Verdadero. Si ua mariz iee ua de sus columas o ua de sus filas idéicamee ula, su deermiae vale Sea y B M ( R) co B.. De los res aparados siguiees demosrar el que sea verdadero y dar coraejemplos para los aparados falsos. a) 0 B 1. b) B 0 1 c) 0 1 SOLUCIÓN: a) Verdadera. B B.. B 0 B 1 b) Falsa. Como coraejemplo valdría el siguiee: y B e ese caso eemos que B. y además B 1 0, si embargo eemos que 2 1 c) Falsa. Como coraejemplo os vale el mismo que el del aparado b). 64

31 Marices y Deermiaes BIBLIOGRFI NZOL, M.; CRUNCHO, J.; PÉREZ-CNLES, G. (1981). Problemas de Álgebra (Tomos 1-7). Madrid. SSG. BURGOS, J. (1999). Álgebra Lieal y Geomería Caresiaa. Madrid. McGraw-Hill. CRBO, R.; DOMINGO, LL. (1987). Álgebra Maricial y Lieal. España. McGraw-Hill. DE L VILL,. (1994). Problemas de Álgebra. Madrid. Clagsa. ESPD BROS, E. (1984). Problemas resuelos de Álgebra. Barceloa. EUNIBR. FLQUER, J; OLIZOL, J; OLIZOL, J. (1996). Curso de Álgebra Lieal. Navarra EUNS. FRLEIGH, J.B.; BEUREGRD, R.. (1989). Álgebra Lieal. U.S.. ddiso-wesley Iberoamericaa. GRCÍ, J.; LÓPEZ, M. (1990). Álgebra Lieal y Geomería. lcoy. Marfil. GRNERO, F. (1994). Álgebra y Geomería alíica. Madrid. McGraw-Hill. GROSSMNN, S.I. (1996). Álgebra Lieal co aplicacioes. México. McGraw-Hill. GUERR, N.; LÓPEZ, B. (1999). Problemas resuelos ipo es de Álgebra Lieal (Co esquemas eóricos). Las Palmas de G.C. El Libro Técico. 65

32 Guerra, N.; López, B.; Quiaa, M.P.; Suárez,. 66