MATRICES 1. CONCEPTO DE MATRIZ

Transcripción

1 MTRICES 1. CONCEPTO DE MTRIZ Ua mariz defiida sobre u cuero comuaivo K es ua ordeació recagular de elemeos a K e filas y columas, e la que cada elemeo a de la mariz esá siuado e la fila i y e la columa j. Siedo i, j dos eeros osiivos. Si ua mariz osee m filas y columas se dice que es de dimesió m x (si efecuar ese roduco) M ( K) sigifica que es ua mariz que m x ereece al cojuo de las marices de dimesió m x cuyos elemeos so escalares del cuero K Se dice ambié que es la alicació: ( i, j) a K : m x K, i m, j. a11 a1 a1 ja1 a1 a a ja ai1 ai a ai am1 amamj am La mariz se exresa a a K i 1... m j 1... m x Mariz rasuesa de ua dada es la que se obiee cambiado las filas or las columas. a a ji m x x m Si odos los elemeos de la mariz so ulos: a 0 la mariz es ula Si m 1 1 x es ua mariz fila (vecor fila) Si 1 mx1 es ua mariz columa (vecor columa) Si m la mariz es recagular Si m la mariz es cuadrada. La diagoal ricial esá formada or los elemeos ricial. a ii. Traza es Tr( ) a la suma de los elemeos de la diagoal i1 ii 1

2 . TIPOS DE MTRICES CUDRDS Mariz Diagoal a i j D a a a Mariz Escalar Es ua mariz diagoal e la que odos los elemeos de la diagoal ricial so iguales. Mariz Uidad Es ua mariz escalar e la que los elemeos de la diagoal ricial so uos 1 si i j I Dela de Kroecker 0 si i j Mariz simérica a a es decir ji Mariz aisimérica a a es decir ji Se verifica que si j i aii aii; aii 0 aii 0. Todos los elemeos de la diagoal ricial so ulos. Mariz riagular suerior Se verifica que a 0 si i j Esricamee suerior: a 0 si i j Mariz riagular iferior Se verifica que a 0 si i j Esricamee iferior: a 0 si i j Mariz bada So aquellas e las que los elemeos o ulos (auque alguo lo sea) se disoe a lo largo de la diagoal ricial así como e varias diagoales or ecima y or debajo de la diagoal ricial. U caso aricular es la Tridiagoal e la que los elemeos o ulos va siuados e la diagoal ricial y e las diagoales or ecima y or debajo de la misma

3 3. IGULDDD DE MTRICES Dadas las marices, B Mm x ( K) a B b Dos marices de la misma dimesió so iguales si iee los mismos elemeos: a b La igualdad de marices es ua relació de equivalecia 4. OPERCIONES SUM DE MTRICES Dadas las marices, B, S Mm x ( K) a B b S s odas las marices, B, S M ( K) so de la misma dimesió mx m x S B s a b La mariz suma se obiee sumado los elemeos aálogos. Es ua ley de comosició iera e M ( K ) ya que al sumar dos marices se obiee ora mariz de la misma dimesió. Posee la roiedad asociaiva ( B C) ( B) C Posee la roiedad comuaiva B B Posee elemeo euro 0: Mariz ula 0 0 m x Posee elemeo simérico ( ) 0 ( ) Coclusió: El cojuo Mm x ( K), es u Gruo beliao. PRODUCTO POR ESCLR Dados M ( K) K; M ( K) Es ua ley de comosició exera que m x m x al oerar ua mariz or u escalar se obiee ora mariz. a mulilicado odos los elemeos de la mariz or el escalar. Disribuiva reseco a la suma de marices ( B) B Disribuiva reseco a la suma de escalares ( ) sociaiva reseco al roduco de escalares ( ) ( ) Elemeo euro es el 1 de los escalares 1 Coclusió: El cojuo M m x ( K),, es u Esacio Vecorial sobre K de dimesió m x PRODUCTO DE MTRICES Dadas las marices Mm x ( K) B M x ( K) a B b Se defie el roduco de marices mx mx B C, C c c a b es decir cada ik kj k1 elemeo de la mariz roduco C se obiee mulilicado la fila i de la mariz or la columa j de la mariz B. Codició: Para que dos marices sea mulilicables es ecesario que el úmero de columas de la rimera mariz coicida co el úmero de filas de la seguda. 3

4 Proiedades: El roduco de marices o es ley de comosició iera salvo e marices cuadradas Es asociaivo ( BC ) ( B ) C D mx x xq mx x xq mxq xq mx Es disribuivo a la izquierda reseco a la suma de marices ( B C) B C D álogo a la derecha mx x mx x mx x mx mx mx mx Immx mx or la izquierda Elemeo uidad mx I mx or la derecha 0mxx 0mx La mariz ula es absorbee mx0x 0mx E geeral el roduco de marices NO ES CONMUTTIVO B B CSO DE MTRICES CUDRDS M ( K,, ) es u aillo uiario, e geeral o comuaivo. Si y B comua B B y si aicomua B B El roduco de marices uede eer DIVISORES DE CERO es decir B 0 o imlica que o B sea 0. No se verifica la simlificació: B C o imlica B C Coclusió: M( K,,, ) El cojuo de las marices cuadradas co las ciadas oeracioes iee esrucura de LGEBR o comuaiva isomorfa co el álgebra de los edomorfismos LE ( ) del K-esacio vecorial E de dimesió. El roduco de dos marices diagoales (ó riagulares) es ora mariz diagoal (ó riagular). 5. MTRIZ TRSPUEST Mariz rasuesa de ua dada es la que se obiee cambiado las filas or las columas. a a ji m x L TRNSPOSICIÓN VERIFIC LS SIGUIENTES PROPIEDDES a a mx xm ji ( B) B x m ; c aik bkj c c ji ( B) B c a b a b b a ji jk ki kj ik ik kj 4

5 6. RNGO Rago de ua mariz es el úmero de filas ó columas liealmee ideediees. Para calcular el rago de ua mariz es igual hacerlo or filas ó or columas. OPERCIONES ELEMENTLES So rasformacioes de las líeas (filas ó columas) de ua mariz que o varía su rago: a) Cambiar dos líeas b) Mulilicar ua líea or u úmero o ulo c) Susiuir ua líea or ua combiació lieal de ésa y oras aralelas, siedo o ulo el coeficiee de la líea susiuida. d) Surimir Líeas ulas Líeas combiació lieal de oras Uilizado el méodo de Gauss se uede obeer el rago de ua mariz rasformádola, mediae oeracioes elemeales, e ua FORM ESCLOND POR FILS: El rimer elemeo de la rimera fila es o ulo E cada fila el rimer elemeo o ulo aarece e ua columa siuada a la derecha del rimer elemeo o ulo de la fila aerior Las filas co ceros figura debajo de las filas co elemeos o ulos EJEMPLO : Calcular el rago de la mariz F 3F1 F4 F F3 F1 F46 F1 Se ha coseguido ua mariz escaloada or filas de rg( ) 3 álogamee se uede lograr la FORM ESCLOND POR COLUMNS. Tambié se uede calcular el Rago de ua mariz mediae DETERMINNTES º Méodo : basado e el cálculo de meores. Comezado or el orde k=, se realiza el roceso siguiee Para ua eaa k cualquiera Se busca u meor o ulo de orde k, eoces el rago será rg( ) k Se añade a dicho meor ua fila i, y cada ua de las columas que e él o figura, obeiédose así meores de orde k+1. Si odos esos meores so ulos, sigifica que la fila i es combiació lieal de las k filas del meor aerior, or lo que odemos elimiar esa fila. 5

6 Seguimos robado co las resaes filas, si odos los meores así formados so ulos, eoces la mariz iee sólo k filas liealmee ideediees, que so las que aarece e el meor, y or ao su rago es rg( ) k. Si alguo de los meores k+1 es disio de cero, el rago es rg( ) k 1 y reeimos el roceso ara oro orde k suerior. EJEMPLO : Si al elegir u meor de orde os da 0, elegimos oro, y así sucesivamee hasa elegir odos, si odos so 0, el rago es 1. De la misma forma, cuado elegimos meores de orde MTRIZ INVERS MTRIZ DJUNT Mariz adjua de ua mariz cuadrada de los elemeos a de la mariz. a es la mariz formada or los adjuos a11 a1 a a1 a a 1 dj( ) a 1 a a 1 Siedo el adjuo del elemeo a djuo es el meor comlemeario afecado or el sigo ( 1) i j Meor comlemeario de a es el deermiae que se obiee al surimir la fila i y la columa j del ciado elemeo. dj( ) de( ) I 6

7 MTRIZ INVERS Iversa or la izquierda de M ( K) Siedo S co de( ) X S ( ) ( ) I Iversa or la derecha de M ( K) Siedo R co de( ) Y R ( )( ) I m mx X I mx xm mx S La mariz X xm se uede obeer X S Y I mx mx xm m R La mariz Y xm se uede obeer Y 1 1 R Teorema: M ( K) iee iversa or la izquierda si rg( ). Tiee iversa or la derecha si rg( ) m INVERS DE UN MTRIZ CUDRD Ua mariz cuadrada es regular si rg( ) de( ) 0 y iee iversa. Caso corario es sigular. es iverible si verifica I 1 1 dj( ) de( ) I I de( ) Como se verifica que de( ) 0 mulilicado or 1 a la izquierda resula 1 1 ( ) dj( ) I de( ) dj( ) I dj( ) de( ) dj( ) de( ) de( ) 9 EJEMPLO Halla la iversa de la mariz de( ) 1 ; 9 4 ; dj( ) 1 ; 1 Proiedades de la mariz iversa 1. La mariz iversa es úica B I B; C I C B C B BI B( C) ( B) C I C C de( ) de( ) I I ; de( ) de( ) 1 ; ( ) ( ) I ( ) ( ) ( ) ( ) I ( B) B Sea ( B) 1 C se verifica ( ) de( ) de( ) 1 de( ) de( ) C B I Posmulilicado or B C( B) ( B ) I( B ) ( C ) B) ( B ) ( B ); ( C ) ( B B ) B ( C) ( I ) B ; ( C) B ; C( ) B ( CI) B ( B) B

8 5. Si es ua mariz regular, la rasuesa de la iversa es la iversa de la 1 1 rasuesa ( ) ( ) I; ( ) I; ( ) I Luego so iversas MTRIZ ELEMENTL Es la que se obiee a arir de la mariz uidad e la que se realiza ua oeració elemeal. Si e la mariz uidad se cambia la fila or la fila 3 se obiee E I E ; F F3 F ' : Modificar ua fila ' F F3 F Tambié se realiza oeracioes elemeales e las columas osmulilicado la mariz or marices elemeales. Toda mariz elemeal es iverible. CÁLCULO DE L INVERS POR GUSS-JORDN I 1. Se forma la mariz. Se rasforma la mariz e I mediae oeracioes elemeales. 3. Se hace las mismas oeracioes e I obeiedo 1 9 EJEMPLO Halla la iversa de la mariz ; 1 F ' '' ' 1F F F F1 ; F1 F1 4F Esas oeracioes elemeales e las filas equivale a remulilicar or marices elemeales E1 ; E ; E E3E E1 I E3E E1 8. POTENCI DE MTRICES Proiedades: 1.. ( ) q q 3. q q ( ) ( ) 1 1 a a b ; b c c 8

9 9. MTRICES ESPECILES Mariz Cuadrada MTRIZ PERIÓDIC: ; eriódica de orde. MTRIZ IDEMPOTENTE: ; MTRIZ NILPOTENTE: 0; ídice de la mariz. Nigua mariz de( ) de( ) 0 de( ) 0 regular es iloee ya que MTRIZ INVOLUTIV: I La iversa es ella misma. Las oecias de ua mariz idemoee verifica 3 ara, ; 1 1 Las oecias de ua mariz ivoluiva verifica 1 ( ) I I I; ya que 1 ( ) I MTRIZ ORTOGONL: 1 ; I Se verifica que las columas so uiarias y orogoales dos a dos a1 a 1 a1 a a1 b1 1 0 b1 b 1 b1 b a b 0 1 a1 b1 a b 0 MTRICES EQUIVLENTES Se uede asar de ua a ora mediae oeracioes elemeales. La codició ecesaria y suficiee ara que dos marices sea equivalees es que sea de la misma dimesió y co el mismo rago Exise dos marices cuadradas regulares PM ( K), Q M ( K) ales que B Bmx Pmxm mx Qx MTRICES SEMEJNTES:, B M ( K) so semejaes si exise ua mariz regular P M ( K) al que 1 B P P a la mariz P se deomia mariz de cambio de base. MTRICES CONGRUENTES:, B M ( K) so cogruees si exise ua mariz regular P M ( K) al que P P B a la mariz P se deomia mariz de cambio de base. Tao las marices semejaes como las cogruees so equivalees y cuadradas. 1 Si ua mariz P es orogoal como P P coicide las fórmulas aeriores y or ao las marices y B so semejaes y cogruees mxm x 9

10 La semejaza se uiliza ara diagoalizar o riagularizar marices, uilizado como mariz P de cambio de base la formada or los vecores roios colocados e columas. La cogruecia se uiliza ara diagoalizar formas cuadráicas. MTRIZ NORML Es ua mariz cuadrada que comua co su rasuesa Eso lo verifica las marices simérica, aisimérica y orogoal MTRIZ DEFINID POSITIV Sea x M ( ) 1 K mariz columa y M ( K) si se verifica x x x 0 Defiida osiiva x x 0 Defiida o egaiva Las marices 1.. Q y R x so defiidas osiivas. E efeco x Qx x x llamado y x siedo y x Qx y y y 0 i1 x Rx x x llamado y i1 i x Rx y y y PLICCIONES i x siedo x se verifica y x se verifica PLICCION LOS SISTEMS DE ECUCIONES LINELES a11x1 a1 x a1x b1 a1x1 ax ax b Sisema de m ecuacioes co icógias am 1x1 amx amx bm que se exresa e forma maricial a11 a1 a1 x1 b1 a1 a a x b a a a x b m1 m m m ; x b mx x1 mx1 dode es la mariz de los coeficiees. x es el vecor columa de las icógias y b es el vecor columa de los érmios ideediees. 10

11 CSO DE LS PLICCIONES LINELES Dada la alicació lieal de los esacios vecoriales U y V Sea B e, e,..., e U 1 : m f U V f ( u) v; u U, v V ua base del esacio vecorial U e la que las comoees del vecor u U se exresa maricialmee ( x1, x,..., x ) B,,..., ua base del esacio vecorial V e la que las comoees del Sea V 1 m vecor v V se exresa maricialmee ( y1, y,..., y ) m La alicació lieal f ( u) v se exresa maricialmee a11 a1 a1 x1 y1 a1 a a x y am1 am am x ym u v u v Eso sigifica que si al vecor u se le alica la mariz se obiee como image el vecor v. Las columas c ( 1,,..., ) i a i a i ami 1 i de la mariz so las imágees de los vecores de la base de U y or ao so vecores de V que ereece al subesacio image. Las columas de la mariz egedra el subesacio image y aquellas columas que sea liealmee ideediees cosiuye ua base del subesacio image. La resolució de u sisema de ecuacioes lieales cosise e lo siguiee: Dado u vecor bv de comoees ( b1, b,..., b ) m ecorar aquel o aquellos vecores xu de comoees ( x1, x,..., x ) cuya image es f ( x) b. Para que el roblema ega solució: b Im f. Los vecores columa de la mariz egedra el subesacio Iage de V, es decir b debe ser combiació lieal de las columas de la mariz : b x1c 1 xc xc siedo ( x1, x,..., x ) los coeficiees de la combiació lieal que hay que deermiar y c1, c,..., clos vecores columa. Eso sigifica que al añadir a las columas de la mariz la columa de érmios ideediees el rago de la mariz y el rago de la mariz amliada coicide, el sisema es or ao comaible. Caso corario si b Im f, al o ereecer al subesacio image, o es combiació lieal de los vecores columa y ambos ragos so diferees y como resula que b o iee aecedee el sisema es icomaible. 11

12 DESCOMPOSICION EN BLOQUES Dada ua mariz Mmx( K) se uede agruar los elemeos de la mariz mediae el razado de recas horizoales y vericales, e marices más equeñas llamadas submarices siedo or ao ua hiermariz cuyos elemeos so las submarices La arició o es úica 1 ; 3 4 ; 5 ; ; ; a) Coserva el roduco or escalar b) Para sumar hiermarices exige sumados equidimesioales c) Para el roduco B se exige que el úmero de columas de aricioada debe ser igual al úmero de filas de B aricioada. demás el úmero de columas de los bloques de la columa k de la mariz aricioada debe ser igual al úmero de filas de los bloques de la fila k de la mariz B aricioada 1