MATRICES. M(n) ó M nxn A =

Transcripción

1 MTRICES Definición de mari. Una mari de orden m n es un conjuno de m n elemenos perenecienes a un conjuno, que para nosoros endrá esrucura de cuerpo conmuaivo y lo denoaremos por K, dispuesos en m filas y n columnas a. a.... a.n a. a.... a.n a i.j ) i,,,...,m M M M j,,,...n a m. a m.... a m.n K puede ser el cuerpo R ó C y en caso de no decir nada en conra será el cuerpo de los reales. Cada elemeno de una mari lleva dos subíndices, el primero corresponde a la fila del elemeno y el segundo a la columna. Nomenclaura. Sí m, se llama mari fila. Sí n, se llama mari columna. Sí m n, se llama mari recangular. Sí mn, se llama mari cuadrada. Noaciones l conjuno de marices de orden m n, cuyos elemenos oman valores en cuerpo K se denoa por Mm,n,K). Sí KR, es usual la noación Mm,n) ó M m n en lugar de Mm,n,R). El conjuno de marices cuadradas de orden n se denoa por Mn,K). Sí KR, se suele denoar Mn) ó M nxn Mari nula ) es aquella mari en que a ij i,,...,m, j,,...,n. Hay una mari nula para cada orden de marices. Se define como diagonal principal de una mari cuadrada de orden n a los elemenos de la forma: a ii i,,...,m Se define como raa de una mari cuadrada, a la suma de los elemenos de la diagonal principal Traa Tr) a a...a nn Operaciones con marices. Propiedades y esrucura de las operaciones. a) Igualdad: Dos marices y del mismo orden m n son iguales sí a ij b ij, i,,...,m, y j,,...,n b) Suma: Dadas dos marices y del mismo orden m n se define la mari suma C como la mari de orden m n al que c ij a ij b ij i,,...,m, j,,...,n a. a. L a.n b. b. L b.n a. b. a. b. L a.n b.n a. a. L a.n b. b. L b.n a. b. a. b. L a.n b.n M M M M M M M M M a m. a m. L a m.n b m. b m. L b m.n a m. a m. a m. a m. L a m.n a m.n Propiedades de la suma: Commuaiva. sociaiva. ) C C) Elemeno neuro. Elemeno opueso. ) c) Produco por un número: Dada una mari de orden m n y un elemeno λ R la mari λ produco de la mari por el número λ) es una mari de orden m n cuyo elemeno genérico b ij λ a ij I,,...,m, j,,...,n

2 a. a. L a.n λ a. λ a. L λ a.n a. a. L a.n λ a. λ a. L λ a.n λ M M M M M M a m. a m. L a m.n λ a m. λ a m. L λ a m.n Propiedades de produco por escalares k ) k k k k ) k k k k ) k k ) I d) Produco de marices: Dadas dos marices, de orden m n y de orden n p, su mari produco C es una mari de orden m p. Para muliplicar marices se oman los elemeno de la ª mari como vecores fila y los elemenos de la ª mari como vecores columnas, de esá forma, la mari produco esará formada por los producos escalares de los vecores fila de la ª mari por los vecores columna de la ª mari. a. a.... a.n b. b.... b.p a. a.... a.n b. b.... b.p m n n p M M M M M M a m. a m.... a m.n b n. b n.... b n.p F. 7 C a.b. a.b.... a.n b n F. 7 C a.b. a.b.... a.n b n. M F.m7 C a m.b. a m.b.... a m.n b n F. 7 C a b a b... a b F. 7 C a b a b... a b. M F.m7 C a b a b... a b m m.....n.n m.n n. n. n F. C.p a.b.p a.b.p... a.n b n.p F.C.p a.b.p a.b.p... a.n b n.p M F.mC.p a m.b.p a m.b.p... a m.n b n.p La condición necesaria y suficiene para que dos marices se puedan muliplicar es que el número de columnas de la ª mari sea igual al número de filas de la segunda mari, ya que de esa forma el número de componenes de los vecores fila de la ª mari será igual al número de componenes de los vecores columna de la ª mari, pudiéndose en ese caso muliplicar escalarmene ambos vecores. El produco de marices no es conmuaivo, salvo en dos excepciones: i) El produco de una mari por su inversa. I ii) El produco de una mari por la mari idenidad. I I. Propiedades del produco de marices sociaiva. C) ) C Disribuiva por la iquierda. C) C Disribuiva por la derecha. C) C k ) k ) k ) Las principales esrucuras del conjuno de las marices Mm,n,K) son: - Para la ley suma: Grupo conmuaivo. Para las leyes suma y produco por un número: Espacio vecorial. La dimensión de ese espacio vecorial es m n. La base canónica de ese espacio vecorial, son las marices de orden mxn con odos los elemenos, salvo un elemeno de valor. - Sí mn, el conjuno Mn,K iene, respeco a las operaciones de suma y produco de marices, esrucura de anillo uniario no conmuaivo con divisores de cero. El elemeno unidad es la mari unidad I, al que odos sus elemenos son salvo los de la diagonal principal que valen ).

3 e) Trasposición de marices: Dada una mari de orden m n se define su mari raspuesa, que se denoa,, ó como la mari que se obiene al inercambiar en la mari las filas con las columnas de al forma que los érminos de la mari raspuesa se relacionan con los de la mari inicial mediane la siguiene relación: a ij a ji i,,...,n, j,,...,m. Si el el orden la mari en m n, el su raspuesa será n m. Ejemplo: : 4 4 Las principales propiedades de la rasposición de marices son ) ) ) k ) k f) Inversa de una mari: Sea una mari de orden n. Si exise una mari M n n al que I n Se dice que es inverible o no singular regular). En al caso la mari se denomina inversa de y se denoa por. No odas las marices de orden n ienen inversa. La condición necesaria y suficiene para que una mari de orden n enga inversa es que su deerminane sea disino de cero. Propiedades: - La inversa de la mari inversa es la propia mari. ) - Si dos marices admien inversa, la inversa del produco es el produco de las inversas cambiado de orden. ) - La inversa de la raspuesa es igual a la raspuesa de la inversa. ) ) El cálculo de la mari inversa se puede hacer por res méodos diferenes: - Méodo de Gauss. - Méodo de Gauss-Jordan. - Por deerminanes GUSS: a. a. a. Sea a. a. a. a. a. a. a. a. a. M TRNSFORMCIONES M b. b. b. EQUIVLENTES a. a. a. M M b. b. b. a. a. a. M M b. b. b. se obiene como inversa de : b. b. b. b. b. b. b. b. b. GUSSJORDN Se planea como una ecuación donde la inversa de ) es una mari genérica con n n incógnias que se denomina X: X I la ecuación se resuelve muliplicando las dos marices del primer érmino e igualando la mari produco obenida con la mari idenidad del segundo miembro érmino a érmino, obeniendo n sisemas de n ecuaciones con n incógnias. La resolución de los n sisema permie calcular los n n elemenos de la mari inversa.

4 4 Ejemplo: Sea, su mari inversa será de la forma y x X, y deberá cumplir la ecuación: y x operando el primer miembro: y x y x igualando las dos marices érmino a érmino: y. : x.: y. : x.: a parir de esas igualdades se pueden planear dos sisemas de : x x y y y las soluciones respecivas de cada sisema son,),,) por lo que la mari inversa es: POR DETERMINNTES ) adj Se realia por pasos:. Se calcula el deerminane de : No. Se calcula la adj. Se raspone la adjuna de. ) adj 4. Se divide cada elemeno de la raspuesa de la adjuna por el deerminane de g) Divisores de cero Un produco de marices pueda dar la mari nula sin ser nula ninguna de las marices facores, a esas marices se las denomina divisores de cero. Ejemplo: ) ) ) ) h) Cancelaiva No siempre de una igualdad enre marices del ipo C se puede deducir que C Solamene se podrá deducir en el caso de que

5 Principales ipos de marices cuadradas. Una mari cuadrada de orden n es: a. a. a - Triangular superior sí a ij i>j. a. a a a. - Triangular inferior sí a ij i<j. a. a. a. a. a. a. - Diagonal sí a ij sí i j. a. a. a - Escalar sí es diagonal y a ii a i,,...,n. a a - Unidad sí es escalar y a ii i,,...,n. - Regular sí iene elemeno inverso para la operación produco de marices. la mari inversa se la denoa por. I. NOT ) - Singular sí no es regular. - Simérica sí - nisimérica sí. También se denomina hemisimérica). - Periódica si p N / p. Sí p es el menor número que verifica la igualdad, p es el período. - Idempoene sí ². - Nilpoene sí n N / n. - Involuiva Si ² I - Orogonal sí. - Hermíica si coincide con la mari raspuesa conjugada. Para obener la mari conjugada de una dada, se halla el conjugado de cada elemeno. Tiene inerés al rabajar con números complejos. - nihermíica sí es opuesa con la mari raspuesa conjugada. Tiene inerés al rabajar con números complejos. Rango de una mari. El rango de una mari de orden m n es el número de vecores fila o vecores columna linealmene independienes. Se denoará rang, Rg ó rg. El rango de una mari como máximo será menor o igual a la menor de sus dimensiones. Para calcular el rango de una mari hay dos méodos: i) Méodo de Gauss. Se riangularia la mari, una ve riangulariada, el rango es el número de érminos disinos de cero de la diagonal principal ii) Por menores. El rango de una mari es igual al orden del mayor menor disino de cero que exisa en la mari. Sea una mari de dimensión m n. Se llama menor de orden p de al deerminane de cada submari cuadrada formada por los elemenos siuados en las inersecciones de p filas y p columnas de, es decir, obenida suprimiendo las m p filas y las n p columnas resanes. Se dice que el rango de una mari es r, y se escribe rg r, si: Hay algún menor de orden r no nulo. Cualquier menor de orden mayor r es nulo. En él calculo del rango de una mari ahorra mucho rabajo la écnica de orlar menores. De esá forma, si se quiere esudiar el rango n en una mari, se busca un menor de orden n disino de cero. Para saber si la mari puede ener rango n, basará esudiar los menores orlados del menor disino de cero de un orden menor, es decir solo los menores de orden n que conengan al menor de orden n.... 5

6 Ejemplo La mari más ípica de ese curso es la 4, que corresponde a la mari ampliada de un sisema de, normalmene se verá de la siguiene forma: a. a. a. b a. a. a. b a. a. a. b en la mari exisen cuaro menores de orden a. a. a. a. a. b a. b a. b a. a. a. a. a. ; a. a. b ; a. b a. ; b a. a. a. a. a. a. a. b a. b a. b a. a. omando como referencia el menor de orden dos: a. a. a. a. sus menores orlados son: a. a. a. a. a. b a. a. a. ; a. a. b a. a. a. a. a. b si alguno de ellos es disino de cero, el rango de será. Sí los dos son nulos, el rango de será, no siendo necesario esudiar los oros dos menores de orden. El Rg ) mín Rg, Rg)

7 7 Subdivisión de una mari en cajas. Una mari puede subdividirse en cajas o submarices considerando como una mari de menor orden cuyos elemenos son marices. veces puede faciliar los cálculos. EJEMPLO Muliplicar las marices efecuando subdivisión por cajas. SOLUCIÓN : ) : ) )