ALGEBRA II EXAMEN A TITULO DE SUFICIENCIA Ejemplo 1

Transcripción

1 1. Sea V ALGEBRA II Ejemplo 1 a) Probar que W a, b,0 a, b y U aaa,, a son subespacios de V, b) Deerminar una base de W y una base de U, c) Probar que cada vecor en V se puede expresar de manera única como la suma de un vecor en W y un vecor U, Jusifique sus respuesas. y 1,,, V : 1,1, 0,1. Considere los siguienes conjunos de. a) Verifique que son bases de V, b) Calcule los vecores de coordenadas ab, y ab,, c) Calcule la mariz P de cambio de base de a, d) Calcule la mariz Q de cambio de base de a, e) Verifique que PQ I, y QP I. Jusifique sus respuesas.. Sea T :. a) Verificar que T es una ransformación lineal. b) Sea abc,, bajo qué condiciones para abc,, se iene abc,, Ker T. Calcular dim Ker T. c) Sea e, f bajo qué condiciones para e, f se iene e, f Im T. Calcular dim Im T. d) Verificar dimv dim KerT dim Im T. la función al que T x, y, z x y z,x y z e) Calcule la mariz de T con respeco a las bases 1, 0, 0, 1,1, 0, 1,1,1 1,1, 1, 1 de. de y. Sea V y W 0,1,, 1,,1,18,11, 1.., L subespacio de V, calcular W. Verifique que dimv dimw dim W. Jusifique su respuesa.

2 1. Se definen sobre Con esas operaciones ALGEBRA II Ejemplo operaciones como sigue: para ab,, cd,, r a, b c, d ac, b d r a, b ra, b Suma: Muliplicación por un escalar: es un espacio vecorial? Explique su respuesa.. Sea V espacio vecorial reale, y considere a W V el subespacio de V generado por los vecores v,1,0,, v 1,0,,7 y v 5,,,15. a) Calcular una base y la dimensión de W, b) Complear la base de W a una base de V, c) Calcular las coordenadas del vecor,5,6,7 con respeco a la bases deerminada en el inciso 1 anerior.. Sea T : T x, y, z xy z, x y i) Demosrar que T es una ransformación lineal, ii) Sea abc,, bajo qué condiciones para abc,, se iene abc,, Ker( T). Calcular la dimensión de Ker( T ). iii) Sea ab, bajo qué condiciones para ab, se iene ab, Im( T). Calcular la dimensión de Im( T ). iv) Verificar que: dim V dim Im( T) dim Ker( T) la función al que v) Calcule la mariz T de T relaiva a las bases 1, 0, 0, 1,1, 0, 1,1,1 C 1,1, 1, 1 de. B de y vi) Usando las marices de cambio de base, calcule la mariz de T relaiva a las bases 1, 0,1, 0,1,1, 1,1, 0 de,0, 1,1 de.. Sea y V espacio vecorial real de dimensión finia, sea W 1,,,, 1,,, 6, 1,, 1,8 0 subespacio de V, calcular 0 W. Verifique que dimv dimw dimw.

3 Ejemplo 1. Sea V el espacio vecorial de marices de orden n con enradas en los números reales, y sean S AV A A y T AV A A. Probar: a) S y T son subespacios de V; b) V es la suma direca de S y T: V S T.. Sea V el espacio vecorial de polinomios de grado a lo más con coeficienes reales, Sea B 1, xx,, x la base canónica de V, y considere el subconjuno C 1, x 1, x 1, x 1 a) Probar que C es una base de V. b) Calcular la mariz P de cambio de base de B a C. c) Sea D: V V D P 1 D P. de V. el operador derivar. Calcular las marices D B y C d) Verificar C B. Sean V y U espacios vecoriales de dimensión finia sobre el campo K, con dim U dimv. Si T : V y S: U V son ransformaciones lineales, mosrar que S T : V V no es inverible.. Sea V espacio vecorial real de dimensión finia, W y U subespacios de V. Probar W U WU. D. U

4 Ejemplo 1. Considere el siguiene sisema de ecuaciones lineales: ax y z 1 x ay z 1 x yaz 1 Deermine para que valores de a el sisema es a) inconsisene, b) iene infinidad de soluciones, o c) iene solución única.. Sea V, considere los subespacios W L 1,, 1,, 1, 5, 0, 5,,10, 5, 5 U L 1,,0,6, 1,, 1,5,,,,9 a) Deerminar una base y la dimensión de W y de U. b) Deerminar una base y la dimensión de W U. c) Deerminar la dimensión de W U.. Sea T : el operador lineal al que 1,0,0 1,1,1 T 0,0,1,,. a) Calcular Tx, y, z?, b) Calcular la mariz de T respeco a la base canónica de c) Calcular una base y la dimensión de Ker T, d) Calcular una base y la dimensión de Im T, e) Verificar que dimv dim ImT dim Ker T, f) T es inverible? T, 0,1, 0 1,,5, T y. Sea V un espacio vecorial de dimensión finia sobre un campo K y W, U subespacios de V. Probar que W U WU.

5 1. En el espacio vecorial ALGEBRA II Ejemplo 5 5, Considere el subespacio U generado por los vecores 1, 1, 1,, 0, y 1, 1,,,1, y W el subespacio generado por los vecores 1,,, 0, y 1, 1,,, 5. Calcular 1,,, 0, 1, 1,,, a) Una base y la dimensión de U b) Una base y la dimensión de W c) Una base y la dimensión de U W d) Deerminar U W dim.,. Sea T : V W un isomorfismo de espacios vecoriales y sean v1, v,, vn V. Probar que si Tv1, Tv,, Tvn W es una base de W, enonces v1, v,, vn V es una base de V. Explique su respuesa.. Calcule una ransformación lineal 1,,0, 0,, 1 T : al que Ker( ) por. Cuál es la mariz T B. Sea W el subespacio de una base para el aniquilador T esé generado por 1, 0,1 e Im( T ) de T con respeco a la base canónica B de 5 generado por v1 1,,1,0,0, v 0,1,,,1 y v 1,,6,,1 5 0?. Calcula dim dimw dimw. 0 W. Verifique que cumple la idenidad

6 Ejemplo 6 1. Deermine k para que los elemenos 1,, k, 0,1, k1 y,, sean una base para L y U L 1, 6,, 1,,,8, 1, 6, 5, 1,, 1, 5, 6. Sea 5 V espacio vecorial real y los subespacios W 1,,, 1,, 1,, 1,,,,9, 0, 5,. Sea T :. Calcular: a) Una base y la dimensión de W y U, b) Calcular una base y la dimensión de W U, c) Calcular la dimensión de W U.. el operador lineal cuya mariz T con respeco a la base 1, 0, 0, 1,1, 0, 1,1,1 T a) Calcule la fórmula T x, y, z? es b) Calcular una base y la dimensión de KerT, c) Calcular una base y la dimensión de Im T, d) Verificar: dimv dim ImT dim Ker T. e) Pruebe que T es inverible, 1 f) Calcule T x, y, z?. Sea V un espacio vecorial sobre el campo de los números reales, f V * y W Ker f. Si v0 V es un y c únicos ales que: v cv0 w. vecor al que f v0 0, probar que para cada v V exisen w W

7 Ejemplo 7 1. Deermine para que valores a a y b el siguiene sisema de ecuaciones lineales es consisene y si iene solución única: x yaz 1 x ayz ax y z b. Sea V un espacio vecorial sobre el campo de los reales, W1 y W subespacios de V y sean 1 W1 y W. a) Si V W1 W enonces 1 y 1 es una base de V; b) Recíprocamene, si 1 y 1 es una base de V enonces V W1 W.. Sea V un espacio vecorial con una base v v v ransformación lineal T : V 1,,, n. Definimos 0 V al que Tvi vi vi 1 para i 1,,, n v o. Mosrar que exise una única. Deermine. Sea W el subespacio de un espacio vecorial V de dimensión finia. Si dimw k, mosrar que W es la inersección de n k hiperespacios. T.

8 Ejemplo 8 1. Sea V un espacio vecorial sobre el campo de los números reales. Probar: i) vv :0vo, donde 0 ; ii) r : ro, donde V; o vv : 1 v- v, donde 1 ; iii) iv) Si para vv, r se iene: rv o, enonces v o r 0. V y el subespacio. Sean W 1,,,1, 1, 1,,,1, 7, 7. Calcular: a) Una base y la dimensión de W. b) Sea U un subespacio de V al que V W U (suma direca). Qué dimensión debe ener U? c) Proporcione una base para U.. Sea T : T x, y x5 y,x y. a) Verificar que T es una ransformación lineal;. Sea la función definida por b) Deerminar la mariz T de T con respeco a la base canónica e, e o ; c) Deerminar la mariz T de T con respeco a la base v 1 1,, v, 9 d) Verifique para v x, y Tv T v ; que 1 e) Calcular la mariz P de cambio de base y verifique V, sean f1, f, f V. Probar que,, f xyz,, y z * definidos por f f f es una base de 1 1 ; T P T P. f1 xyz,, x y, f xyz,, x y z y * V y deerminar su base dual en V.

9 Ejemplo 9 1. Considere a como espacio vecorial sobre el campo con las operaciones usuales. Diga si los siguienes subconjunos de son o no subespacios: W x, y, z, w xy 0 ; a) b) U x y z w x y z w Explique su respuesa.. Sea T :,,,. el operador lineal definido por T x, y 5 x y,x y 1,,, y y las siguienes bases de 1,, 1,. a) Deerminar la mariz A que represena a T con respeco a la base β ; b) Deerminar la mariz B que represena a T con respeco a la base δ ; c) Calcular la mariz P de cambio de base. d) Cómo esán relacionadas A y B? :. Sea T : definida por Tx, y, z, x y z,x y 7z 5, x y 6z 5. a) Deerminar una base y la dimensión de KerT ; b) Deerminar una base y la dimensión de Im T ; c) Verifique la idenidad: dim dim ImT dim Ker T.. Sean V y W espacios vecoriales de dimensión finia sobre el campo K, T : V W una ransformación lineal y T : W V * su ransformación ranspuesa. Mosrar que T T Ker( ) Im( ).

10 1. Sea V ALGEBRA II Ejemplo 7 M el espacio vecorial de las marices de orden y sean a b 0 a W V a, b, c y U V a, b. c a a b Probar que W y U son subespacios de V, y calcular una base y la dimensión de W, U y W dimensión de W U. U. Deerminar la. Sea V un espacio vecorial sobre un campo F de dimensión n, T : V V una ransformación lineal, W subespacio de V al que TW W y de dimensión r. Mosrar que exise una base de V al que la mariz de A B bloques represena al operador lineal T, donde A es una mariz cuadrada de orden r. 0 C. Sea T : V V el operador lineal al que T T T T. Probar: Im T vv Tv v ; a) b) V ImT Ker T.. Sean V y W espacios vecoriales de dimensión finia sobre el campo K, T : V W una ransformación lineal y * su ransformación ranspuesa. Mosrar que T T T : W V Im ( ) Ker ( ).