Tema 4.- Espacios vectoriales. Transformaciones lineales.

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1 Ingenierías: Aeroespacial, Civil y Química Matemáticas I - Departamento de Matemática Aplicada II Escuela Superior de Ingenieros Universidad de Sevilla Tema 4- Espacios vectoriales Transformaciones lineales 4- Espacios y subespacios vectoriales 4- Espacios vectoriales de coordenadas Espacio nulo y espacio columna de una matriz Dependencia e independencia lineal Ecuaciones paramétricas y ecuaciones implícitas de un subespacio 43-Transformaciones lineales Definición y propiedades Matriz asociada 44- Bases de un subespacio Coordenadas Dimensión Rango de una matriz El teorema del rango Cambios de base 45- Suma e intersección de subespacios 66- Ejercicios 67- Apéndice: MATLAB 4- Espacios y subespacios vectoriales De forma genérica, un espacio vectorial es un conjunto donde hay definida una operación suma (la suma de dos elementos del conjunto es otro elemento del conjunto) y una operación producto por escalares (el producto de un escalar, real o complejo, por un elemento del conjunto es otro elemento del conjunto) con las propiedades que conocemos de la suma y producto por escalares para vectores de coordenadas (conmutatividad, asociatividad, existencia de elemento nulo, elemento opuesto, distributivas, etc) Se dice que el espacio vectorial es real o es complejo en función de que se consideren escalares reales o complejos respectivamente Además de los espacios de coordenadas, R n y C n, que manipulamos habitualmente, algunos ejemplos típicos de espacios vectoriales son, con las operaciones usuales de suma de matrices y funciones y de producto de una matriz o una función por un escalar: El conjunto de todas las matrices de dimensiones determinadas, m n El conjunto de todos los polinomios en una variable 3

2 4 Tema 4- Espacios vectoriales Transformaciones lineales El conjunto de todos los polinomios en una variable de grado menor o igual que un cierto n N El conjunto de todas las funciones continuas (en un punto, en un intervalo) El conjunto de todas las funciones derivables (en un punto, en un intervalo) El conjunto de todas las funciones integrables en un intervalo El conjunto de las funciones (continuas, derivables, integrables) que se anulan en un punto prefijado El conjunto de las funciones integrables en un intervalo y cuya integral en dicho intervalo es cero El conjunto de las funciones derivables f que verifican que f (t) f (t) + tf(t) = para todo t (en un intervalo, en toda la recta real) El conjunto de las funciones derivables f que verifican que f (t) f (t) + tf(t) = para todo t (en un intervalo, en toda la recta real) y se anulan en un punto prefijado Y algunos ejemplos típicos de conjuntos que, con las operaciones usuales, no son espacios vectoriales: El conjunto de todas las matrices cuadradas de orden n que tienen inversa El conjunto de los polinomios de un grado prefijado n N El conjunto de las funciones continuas f (en un punto, en un intervalo) tales que f(x ) = siendo x un punto del intervalo dado El conjunto de los vectores de R cuya segunda coordenada es igual a uno El conjunto de los vectores de R cuyas coordenadas verifican una ecuación de segundo grado El conjunto de todas las funciones derivables f que verifican que f (t) f(t)f (t) = para todo t (en un intervalo, en toda la recta real) El tipo de subconjuntos más importantes dentro de un espacio vectorial son los llamados subespacios vectoriales En ellos se puede realizar las operaciones del espacio vectorial sin salirnos de dicho subconjunto Definición Se dice que un subconjunto (no vacio) S de un espacio vectorial es un subespacio vectorial si, con las operaciones que hay definidas en el espacio vectorial, es un espacio vectorial Es decir, si verifica que: (a) u, v S = u + v S (b) u S, α K = αu S Matemáticas I Ingenierías: Aeroespacial, Civil y Química

3 4- Espacios y subespacios vectoriales 5 De forma equivalente, S es un subespacio vectorial si u, v S y α, β K = αu + βv S Notemos que si S es un subespacio vectorial, el vector nulo tiene que pertenecer a S La propiedad (a) nos dice que si tenemos un vector no-nulo de un subespacio vectorial, la recta determinada por dicho vector está contenida en el subespacio La propiedad (b) nos dice que si tenemos dos vectores (que no sean uno múltiplo del otro) de un subespacio vectorial, el plano determinado por dichos vectores está contenido en el subespacio Obviamente S = y S = K n son subespacios vectoriales (a veces llamados subespacios triviales) En el espacio tridimensional, cualquier recta o plano que pase por el origen es un subespacio vectorial En el plano, los vectores de posición determinados por los puntos de una parábola NO forman un subespacio vectorial Proposición El conjunto de todas las combinaciones lineales de unos vectores dados es un subespacio vectorial Es decir, dados {v,,v n }, Gen {v,,v n } = {c v + + c n v n : c,,c n K} es un subespacio vectorial (del espacio vectorial que se esté considerando) Este subespacio vectorial se denomina subespacio generado por {v,,v n } Es fácil comprobar que se cumplen las siguientes propiedades Propiedades () Gen {v,, v n } Gen {v, v,,v n } () Gen {v, v,,v n } = Gen {cv, v,, v n } si c (3) Gen {v, v,,v n } = Gen {v + αv, v,,v n } (4) El subespacio generado por un conjunto de vectores no cambia al añadir combinaciones lineales de dichos vectores o quitar vectores que sean combinación lineal de los restantes Ejemplos Algunos ejemplos de subconjuntos que son o no son subespacios vectoriales En el espacio vectorial de las matrices m n, el subconjunto de las matrices que tienen una fila (prefijada) nula es un subespacio vectorial el subconjunto de las matrices que tienen una fila (prefijada) no nula no es un subespacio vectorial En el espacio vectorial de las matrices cuadradas n n, el subconjunto de las matrices simétricas es un subespacio vectorial el subconjunto de las matrices A cuadradas n n que verfican que A = no es un subespacio vectorial Matemáticas I -

4 6 Tema 4- Espacios vectoriales Transformaciones lineales el subconjunto de las matrices cuadradas n n con determinante cero no es un subespacio vectorial En el espacio vectorial de todos los polinomios en una variable, el subconjunto de los polinomios de grado par no es un subespacio vectorial el subconjunto de los polinomios de grado impar no es un subespacio vectorial el subconjunto de todos los polinomios en una variable de grado menor o igual que un cierto n N En el espacio vectorial de las funciones continuas, el subconjunto de todas las funciones de la forma α sen(t) + β cos(t)(α, β R) es un subespacio vectorial el subconjunto de las funciones periódicas con un periodo T > prefijado es un subespacio vectorial el subconjunto de las funciones f cuya gráfica no pasa por el origen de coordenadas, no es un subespacio vectorial En el espacio vectorial de las funciones derivables f que verifican que f (t) f (t) + tf(t) = para todo t, el subconjunto de las funciones f que, además, verifican que f(t ) = (en un punto t ) es un subespacio vectorial el subconjunto de las funciones f que, además, verifican que f(t ) = (en un punto t ) no es un subespacio vectorial Relacionados con los subespacios vectoriales están las llamadas variedades lineales (o afines) No son otra cosa que trasladados de subespacios vectoriales Es decir, una variedad es un conjunto de vectores que se puede expresar de la forma p + S siendo p un vector dado y S un subespacio vectorial Por ejemplo, en el plano o en el espacio, puesto que una recta que pase por el origen de coordenadas es un subespacio vectorial, cualquier recta será una variedad puesto que puede obtenerse trasladando, según un cierto vector, la recta paralela que pasa por el origen de coordenadas El estudio que haremos a continuación de la estructura de espacio vectorial se centrará en los subespacios vectoriales No consideraremos de forma explícita el estudio de las variedades lineales aunque aparezcan, y las consideremos, de manera natural puesto que el conjunto solución de un sistema compatible de ecuaciones lineales, homogéneo o no, es una variedad lineal (ya que el conjunto solución del sistema homogéneo asociado es un subespacio vectorial) A partir de la sección siguientes no vamos a considerar espacios vectoriales genéricos Consideraremos, exclusivamente, los espacios vectoriales de coordenadas R n y C n No obstante, los conceptos y resultados que consideremos son trasladables, unos a espacios vectoriales genéricos (dependencia lineal, transformaciones lineales, etc) y otros a espacios vectoriales de dimensión finita (bases, dimensión, ecuaciones, matriz de una transformaci on lineal respecto de bases prefijadas, etc) Los espacios vectoriales de coordenadas R n y C n son los modelos para trabajar con espacios vectoriales de dimensión finita (reales y complejos, Matemáticas I Ingenierías: Aeroespacial, Civil y Química

5 4- Espacios vectoriales de coordenadas 7 respectivamente) Así, R n, n =,,, es el modelo para el estudio de los espacios vectoriales reales de dimensión finita n Por ejemplo, en lo que se refiere exclusivamente a las operaciones suma y produco por un escalar, trabajar con el espacio de las matrices reales de dimensiones 3 o con el espacio vectorial de los polinomios reales (en una variable) de grado menor o igual que 5 (6 coeficientes reales arbitrarios) es equivalente a trabajar con el espacio R 6 Obviamente, todo lo que no se refiera exclusivamente a las operaciones suma y producto por un escalar en el espacio de las matrices o de los polinomios, se pierde al representar dichos espacios como R 6 (factorización de polinomios, producto de matrices,) 4- Espacios vectoriales de coordenadas 4- Espacio nulo y espacio columna de una matriz Definición Sea A una matriz m n con elementos en K Se llama espacio nulo de A a Nul (A) := {x K n : Ax = } Es decir, al conjunto solución del sistema homogéneo Ax = espacio columna de A al subespacio (de K m ) generado por las columnas de A, Col (A) := {y K m : y es combinación lineal de las columnas de A} Notemos que decir que un vector y K m es combinación lineal de las columnas de A es equivalente a decir que el sistema Ax = y, con término independiente y e incógnita x, tiene solución Si llamamos v,,v n a las columnas de A y se tiene que y = α v + + α n v n entonces α = (α,, α n ) T es solución de Ax = y puesto que y = Aα Y viceversa, cada solución de Ax = y (si existe) nos da los coeficientes de una combinación lineal de v,,v n que es igual a y Es decir, Col (A) = {y K m : Ax = y es un sistema compatible} No haremos especial referencia al espacio fila de A (subespacio vectorial generado por las filas de A) Cuando necesitemos referirnos a él lo haremos mediante Col (A T ) Proposición Sea A una matriz m n con elementos en K Nul (A) es un subespacio vectorial de K n Col (A) es un subespacio vectorial de K m Puesto que Nul (A) es un subespacio vectorial, para cualquier vector p K n, el conjunto p + Nul (A) es una variedad lineal Para cualquier v p + Nul (A) tendremos un vector u Nul (A) tal que v = p + u y por tanto, Av = Ap + Au = Ap Es decir, v es solución del sistema Ax = b siendo b = Ap Reciprocamente, si tenemos un sistema Ax = b compatible y p es una solución, cualquier otra solución v puede expresarse mediante v = p + (v p) que es un vector de p + Nul (A) (puesto que A(v p) = Av Ap = b b = ) Por tanto, asociado a una matriz A, m n tenemos: () Nul (A), el conjunto solución del sistema homogéneo Ax = (es un subespacio vectorial de K n ) Matemáticas I -

6 8 Tema 4- Espacios vectoriales Transformaciones lineales () Col (A), el conjunto de términos independientes y para los que el sistema Ax = y es compatible (es un subespacio vectorial de K m ) (3) Para cada y K m, el conjunto solución del sistema Ax = y, {x K n : Ax = y} Si y Col (A) (el sistema Ax = y es compatible) es una variedad lineal de K n Si y / Col (A) (el sistema Ax = y es incompatible) no hay ningún vector en dicho conjunto Ejercicio () Qué relación hay entre el espacio columna de una matriz y el de la matriz que se obtiene al hacer operaciones columna sobre la matriz? () Qué relación hay entre el espacio nulo de una matriz y el de la matriz que se obtiene al hacer operaciones fila sobre la matriz? 4- Dependencia e independencia lineal Definición Consideremos un conjunto finito de vectores {v,,v n } (a) Se dice que {v,,v n } es linealmente dependiente (LD) si existe alguna combinación lineal no trivial de dichos vectores igual al vector nulo Es decir, si existen coeficientes α, α,,α n K no todos nulos tales que α v + α v + + α n v n = (b) Se dice que {v,,v n } es linealmente independiente (LI) si no es linealmente dependiente Si {v,,v n } son vectores linealmente dependientes y tenemos una combinación lineal de estos vectores igual al vector nulo α v + α v + + α n v n = y el coeficiente α k, entonces de la igualdad anterior se puede despejar v k que quedará expresado como combinación lineal de los restantes vectores Reciprocamente si tenemos un vector que es combinación lineal de otros, el conjunto formado por estos y el vector combinación lineal es un conjunto linealmente dependiente Notemos además de que si una combinación lineal de vectores es igual al vector nulo, la combinación lineal que resulta de multiplicar por cualquier coeficiente también es el vector nulo Propiedades Consideremos un conjunto finito de vectores {v,,v n } () La dependencia o independencia lineal de {v,,v n } no depende del orden en el que estén dados los vectores () Si uno de los vectores es nulo o hay vectores repetidos, entonces es LD (3) La dependencia/independencia lineal de un conjunto no cambia al sustituir un vector por un múltiplo no-nulo Siendo c (c K), {v,,v n } es LD {u = cv, v,,v n } es LD Matemáticas I Ingenierías: Aeroespacial, Civil y Química

7 4- Espacios vectoriales de coordenadas 9 (4) La dependencia/independencia lineal de un conjunto no cambia al sumar a un vector un múltiplo de otro (distinto) Siendo α K {v,, v n } es LD {v, u = v + αv,,v n } es LD (5) Al añadir vectores a un conjunto LD se obtiene un conjunto LD Al suprimir vectores de un conjunto LI se obtiene un conjunto LI Teorema Consideremos vectores {v,,v n } en K m y sea A la matriz cuyas columnas son los vectores dados A = v v v n Son equivalentes: () {v,,v n } es un conjunto linealmente dependiente () El sistema de ecuaciones Ax = tiene infinitas soluciones (3) Al reducir A a forma escalonada se obtienen r pivotes, r < n (4) Alguno de los vectores v k es combinación lineal de los restantes (5) Si el primer vector v es no-nulo, alguno de los vectores es combinación lineal de los anteriores Observación Interpretación de la reducción por filas de una matriz A en relación con la dependencia o independencia lineal de los vectores-columna de la matriz A Notemos que dar una cierta combinación lineal de vectores es lo mismo que multiplicar la matriz cuyas columnas son dichos vectores por el vector columna formado por los correspondientes coeficientes x v + v + + x n v n = v v vn x x x n Si al reducir A a forma escalonada obtenemos U A = v v vn operaciones fila U = * * * tenemos que: Matemáticas I -

8 Tema 4- Espacios vectoriales Transformaciones lineales Cada columna de U en la aparece un pivote es linealmente independiente con las anteriores columnas de U Por tanto, esto mismo es cierto para las correspondientes columnas de A Cada columna de la matriz U en la que no hay pivote es combinación lineal de las anteriores columnas de U Por tanto, esto mismo es cierto para las correspondientes columnas de A Si tenemos una cierta fila nula en la matriz U esto quiere decir que una cierta combinación lineal de las filas de la matriz A es igual a la fila nula Las filas pivote (de U y las correspondientes de A dependiendo de los intercambios de fila que se hayan hecho) son linealmente independientes Es decir, en la situación del esquema anterior, se verifica que la columna 3 de U es combinación lineal de las columnas y (y lo mismo es cierto para las correspondientes columnas de A), las columnas {columna, columna, columna4} de U son linealmente independientes (y lo mismo es cierto para las correspondientes columnas de A 43- Ecuaciones paramétricas y ecuaciones implícitas Asociados a una matriz A, m n, hemos considerado; A = v v v n = a a a n a a a n a m a m a mn El espacio nulo de la matriz A, esto es el conjunto de vectores x K n caracterizados por las ecuaciones implícitas homogéneas Ax = a x + a x + + a n x n = a x + a x + + a n x n = a m x + a m x + + a mn x n = El espacio columna de la matriz A (y el subespacio generado por unos ciertos vectores), esto es, el conjunto de vectores y y = α v + α v + + α n v n caracterizado por las ecuaciones paramétricas homogéneas y = α a + α a + + α n a n y = α a + α a + + α n a n y m = α a m + α a m + + α n a mn, α, α,,α n K Matemáticas I Ingenierías: Aeroespacial, Civil y Química

9 4- Espacios vectoriales de coordenadas Resolviendo el sistema homogéneo Ax = podemos obtener los vectores del espacio nulo de A como el conjunto de vectores que se pueden expresar como combinación lineal (arbitraria) de determinados vectores, es decir, como el subespacio generado por ciertos vectores o como el espacio columna de la matriz que tiene a dichos vectores como vectores columna Por otra parte, puesto que el espacio columna de una matriz A está formado por los vectores, y, tales que el sistema de ecuaciones Ax = y es compatible, obteniendo las condiciones de compatibilidad de este sistema (en función del término independiente y), tendremos unas ecuaciones lineales homogéneas que permiten expresar el citado espacio columna como espacio nulo de otra matriz Por tanto, hablar de espacio nulo o espacio columna de una matriz (o subespacio generado por ciertos vectores) no es hablar de conjuntos de vectores con características distintas, sino que es hablar de un mismo tipo de conjunto de vectores, los subespacios vectoriales, pero expresados en forma distinta: (a) Cuando un subespacio vectorial viene dado como espacio nulo de una matriz tenemos una descripción implícita (ecuaciones implícitas) de dicho conjunto (un vector está en el conjunto considerado si, y sólo si, sus coordenadas verifican el sistema homogéneo asociado a la matriz) (b) Cuando uno de dichos conjuntos de vectores viene dado como espacio columna de una matriz tenemos una descripción paramétrica (ecuaciones paramétricas) de dicho conjunto (un vector está en el conjunto considerado si, y sólo si, puede expresarse como combinación lineal de determinados vectores) Entre las descripciones implícitas de un subespacio vectorial habrá unas mejores que otras, en el sentido de que una puede tener ecuaciones redundantes y otra no De unas ecuaciones implícitas dadas Ax = se podrán suprimir las que sean redundantes, es decir las ecuaciones que sean combinación lineal de las restantes Dichas ecuaciones las podemos localizar sin más que reducir a forma escalonada por filas la matriz A dada Las filas (tanto de la matriz original A como de la matriz escalonada final U) que contengan algún pivote nos darán unas ecuaciones implícitas, no redundantes, de dicho subespacio Si resolvemos el sistema tendremos una descripcion paramétrica del conjunto solución, es decir del subespacio dado, el espacio nulo de la matriz A original Si en la descripción paramétrica eliminamos los parámetros, llegaremos a unas ecuaciones homogéneas que darán una descripción implícita del subespacio considerado De la misma forma que en el caso de ecuaciones implícitas, entre las descripciones paramétricas de un subespacio vectorial, unas serán mejores que otras en el sentido de que unas involucren menos vectores que otras Es decir, si tenemos el espacio columna de una cierta matriz A, m n, y los vectores columna de A son linealmente dependientes, suprimiendo vectores que sean combinación lineal de los que quedan, tendremos que el espacio columna de la matriz original también es el espacio columna de la matriz que resulta de la matriz anterior suprimiendo algunas columnas Si nos quedamos con un conjunto de vectores linealmente independiente, tendremos que dichos vectores generan el espacio columna de la matriz original y cada vector de dicho espacio se puede expresar de forma única como combinación lineal de los vectores linealmente independientes obtenidos Dichos vectores constituyen lo que se denomina una base (es decir, un conjunto de vectores linealmente independiente que genera el subespacio) del subespacio vectorial considerado, el espacio columna de la matriz original Matemáticas I -

10 Tema 4- Espacios vectoriales Transformaciones lineales De la misma forma que un subespacio vectorial, S, puede caracterizarse mediante ecuaciones implícitas o ecuaciones paramétricas homogéneas, una variedad lineal, p + S, puede caracterizarse mediante ecuaciones implícitas, en general no homogéneas, y mediante ecuaciones paramétricas, en general no homogéneas, puesto que el vector nulo puede no pertenecer a la variedad Una vez que se tienen unas ecuaciones paramétricas/implícitas de un subespacio S, puesto que la variedad p + S esta formada por los vectores v tales que u = v p está en S, esto será equivalente a decir que u = v p verifica las citadas ecuaciones de S Ejemplo- (Ecuaciones implícitas Ecuaciones implícitas no redundantes, Ecuaciones paramétricas y una base) Consideremos el espacio nulo de la matriz A = Es decir, estamos considerando el conjunto S de los vectores x R 4 cuyas coordenadas (x, x, x 3, x 4 ) verifican las ecuaciones (implícitas) x + x + 3x 4 = 3x + x 3 x 4 = x + 4x + x 3 + 5x 4 = Haciendo operaciones fila sobre la matriz A (que se corresponden con operaciones sobre las ecuaciones del sistema) tenemos A = F + 3F F 3 + F F 3 F U = De hecho, refiriéndonos a la matriz original tenemos que F 3 (A) = F (A)+F (A) Equivalentemente, la tercera ecuación del sistema original es combinación lineal de las dos primeras con lo cual si un vector es solución de las dos primeras también lo es de la tercera Resumiendo, tenemos que S = Nul (A) = Nul æ 3 3 é = Nul (U) = Nul æ é con lo cual nuestro conjunto S de vectores está caracterizado por las ecuaciones (no redundantes) x + x + 3x 4 = 6x + x 3 + 8x 4 = o por x + x + 3x 4 = 3x + x 3 + x 4 = Matemáticas I Ingenierías: Aeroespacial, Civil y Química

11 4- Espacios vectoriales de coordenadas 3 Resolviendo el sistema Ux = tenemos = Variables libres x 3 y x 4 Variables fijas x y x x = 6 ( x 3 8x 4 ) á = x = x + 3x 4 = 6 ( x 3 8x 4 ) + 3x 4 = 3 x x 4 x x x 3 x 4 = x x Por tanto, Nul (A) = Gen = Col v = , v = = Col = Gen 6v = 6, 3v = 4 3 Los vectores {v, v } forman una base de S = Nul (A) Los vectores de Nul (A) son los que pueden expresarse como combinación lineal de v y v y, como consecuencia de la independencia lineal, cada vector de S sólo puede expresarse de una forma como combinación lineal de v y v Los coeficientes que aparezcan en dicha combinación lineal son las coordenadas del vector de S respecto a la base {v, v } (de S) El vector v = [ ] está en S y sus coordenadas respecto a {v, v } son la solución de v = λv + µv v = es decir, λ = 8, µ = 6 (v = 8v 6v ) v v æ λ µ é Ejemplo- (Ecuaciones paramétricas Ecuaciones paramétricas y Ecuaciones implícitas no redundantes y una base) Vamos a utilizar la misma matriz A del ejemplo anterior El espacio columna de dicha matriz es, por definición de espacio columna, el conjunto de vectores y que se pueden expresar como combinación lineal de las columnas de A, es decir los vectores y (con 3 coordenadas!) que se pueden expresar mediante y = y y y 3 = α 3 + β 4 + γ + δ Matemáticas I - 3 5,

12 4 Tema 4- Espacios vectoriales Transformaciones lineales para ciertos α, β, γ, δ R Esto es lo mismo que decir que el espacio columna está formado por los vectores y R 3 para los que el sistema de ecuaciones Ax = y tiene solución En dicho caso, cada solución del sistema Ax = y nos daría una forma de expresar y como combinación lineal de las columnas de A Obtengamos, para un vector genérico y R 3 las condiciones de compatibilidad del sistema Ax = y, reduciendo la matriz ampliada del sistema [A y] a forma escalonada Haciendo las mismas operaciones fila que hemos hecho cuando hemos obtenido el espacio nulo tenemos [A y] = 3 y 3 y 4 5 y 3 F 3 F U = F + 3F F 3 + F - 3 y 6 8 y + 3y y 3 y y 3 y 6 8 y + 3y 6 8 y 3 + y Por tanto, el sistema Ax = y es compatible (determinado o indeterminado) la tercera ecuación tiene solución y 3 y y = Es decir, el espacio columna de A está formado por los vectores y R 3 cuyas coordenadas verifican la ecuación (lineal homogénea) y 3 y y = Se trata, por tanto, de un plano (en R 3 ) que pasa por el origen de coordenadas Además, teniendo la forma escalonada U que hemos obtenido, tenemos que: las columnas y de U son linealmente independientes y las columnas 3 y 4 son combinación lineal de las columnas y Por tanto, lo mismo sucede con las columnas correspondientes de la matriz A Es decir, el espacio columna de A (generado por las 4 columnas) coincide con el espacio generado por las columnas y de A (no de U!) Los vectores dados por las columnas y de A forman una base de Col (A) puesto que son linealmente independientes y generan dicho espacio Si denotamos por v, v, v 3 y v 4 a los vectores columna de A, cada vector y Col (A) se puede expresar de infinitas formas distintas como combinación lineal de v, v, v 3 y v 4 puesto que el sistema de ecuaciones Ax = y es compatible (puesto que y Col (A)) indeterminado (puesto que hay variables libres) Sin embargo, dicho vector y Col (A) sólo puede exprearse de una forma como combinación lineal de v y v puesto que el sistema de ecuaciones v v æ λ µ tiene solución única Para discutir, y resolver, este sistema basta con suprimir las columnas 3 y 4 de la reducción que hemos hecho del sistema Ax = y con lo cual tenemos y 3 y 4 y 3 é = y y y 3 - y 6 y + 3y y 3 y y La solución única (λ, µ) de este sistema (compatible cuando y Col (A)) nos dará los coeficientes para los cuales se verifica y = λv + µv Matemáticas I Ingenierías: Aeroespacial, Civil y Química

13 4- Espacios vectoriales de coordenadas 5 Estos coeficientes (λ, µ) (únicos para cada vector y Col (A)) se denominan coordenadas de y respecto de la base {v, v } Por ejemplo, las coordenadas del vector y = 3 ( Col (A) puesto que y 3 y y = 3 = ) respecto a la base {v, v } de Col (A) vienen dadas por la solución del sistema v v æ λ µ é = æ λ = µ é = æ é Ejemplo Consideremos la matriz A = Con el mismo proceso de reducción a forma escalonada vamos a obtener: S = Nul (A) K 5, unas ecuaciones paramétricas de S, S = Col (A) K 4, unas ecuaciones implícitas de S, Reducimos a forma escalonada un sistema de ecuaciones Ax = y siendo y un vector genérico de K 4, [A y] F F F 3 + F F 4 F F 3 + F F 4 F - y y y 4 4 y 3 + y y 4 y - y y y 3y + y + y 3 y y + y 4 Por tanto, tenemos: (a) El espacio columna de A: El sistema Ax = y es compatible si, y sólo si, el vector y K 4 verifica y y +y 4 = Es decir Col (A) = {y K 4 : y y + y 4 = } Por otra parte, teniendo en cuenta la reducción que hemos hecho, los dos últimos vectores columna de A son combinación lineal de los tres primeros y estos tres primeros vectores columna son linealmente independientes Si denotamos por {v, v, v 3, v 4, v 5 } los vectores columna de A, tenemos Col(A) = Col v v v 3 y cada vector y Col (A) se puede expresar de infinitas formas distintas (cada una de las soluuciones del sistema Ax = y) como combinación lineal de los vectores columna de A, pero de una única forma como combinación lineal de {v, v, v 3 } Matemáticas I -

14 6 Tema 4- Espacios vectoriales Transformaciones lineales (b) El espacio nulo de A, las soluciones del sistema Ax = : Puesto que al reducir hemos obtenido variables libres, la solución general del sistema homogéneo see podrá expresar en función de parámetros arbitrarios, [A ] - x = x 4 + x 5 x = x 4 + x 5 x 3 = x 4 = x x x 3 x 4 x 5 F F 3 = - α + β α + β α α β Por tanto, el espacio nulo de A está generado por los vectores, linealmente independientes, u =, u = Notemos por último que, puesto que al hacer la reducción del sistema Ax = hemos obtenido una fila de ceros, dicha ecuación es redundante en el sistema homogéneo y por tanto tenemos que Nul (A) = Nul - = Nul = α + β Transformaciones lineales Ya hemos citado en los temas anteriores el concepto de transformación lineal al considerar la transformación de vectores definida por una matriz Ahora veremos algunas propiedades y que toda transformación lineal queda definida por una matriz De esta forma, en el contexto de los espacios de coordenadas, hablar de transformación lineal y de transformación matricial es lo mismo 43- Definición y propiedades Definición Se dice que una aplicación T : K n K m es una transformación lineal si verifica que: (a) T(αx) = αt(x) α K y x K n ; (b) T(x + x ) = T(x) + T(x ), x, x K n Equivalentemente T(αx + βx ) = αt(x) + βt(x ), α, β K y x, x K n Matemáticas I Ingenierías: Aeroespacial, Civil y Química

15 43- Transformaciones lineales 7 Es decir, T transforma un múltiplo de un vector en el múltiplo del transformado y una suma de vectores en la suma de los trasnformados En particular, T tiene que transformar el vector nulo en el vector nulo Usaremos de forma indistinta los términos transformación lineal y aplicación lineal Aunque en la definición anterior hayamos considerado los espacios vectoriales de coordenadas, el concepto de transformación lineal se aplica a transformaciones sobre espacios vectoriales genéricos Por citar algún ejemplo, cabe destacar la aplicación derivación ó la aplicación integración (indefinida) entre espacios vectoriales apropiados También es lineal la transformación que a una función y = f(t) (suficientemente derivable) le hace corresponder la función f (t) + e t f (t) 3f(t) Una diferencia importante, entre considerar aplicaciones lineales para espacios vectoriales genéricos y para espacios de coordenadas, es que en este último caso, la aplicación queda determinada por una matriz Antes de describir la matriz asociada a una transformación lineal veamos algunas propiedades Propiedades Sea T : K n K m una transformación lineal () T transforma subespacios vectoriales en subespacios vectoriales Es decir, si S K n es un subespacio vectorial (de K n ) y, entonces la imagen de S mediante T, es un subespacio vectorial (de K m ) T(S) = {y K m : y = T(x) para algún x S}, () La anti-imagen, mediante T, de un subespacio vectorial es otro subespacio vectorial Es decir, si si S K m es un subespacio vectorial (de K m ), entonces la anti-imagen de S mediante T, es un subespacio vectorial (de K n ) T (S ) = {x K n : T(x) S }, Como casos especiales tenemos S = K n y S = {} Definición Sea T : K n K m una aplicación lineal () Se denomina núcleo de T, y se suele denotar por ker(t), al subespacio vectorial formado por los vectores de K n que se transforman en el vector nulo Es decir, ker(t) = {x K n : T(x) = } () Se denomina conjunto o espacio imagen de T al subespacio vectorial formado por los vectores de K m que tienen anti-imagen Es decir, Imagen(T) = T(K n ) = {T(x) : x K n } = {y K m : x K n tal que y = T(x)} Ejercicio Demuestra que ker(t) e Imagen(T) son subespacios vectoriales Matemáticas I -

16 8 Tema 4- Espacios vectoriales Transformaciones lineales 43- Matriz asociada Definición/Proposición (Matriz asociada a una transformación lineal) Sea T : K n K m una transformación lineal (a) Definición Se llama matriz asociada a T (respecto a las bases canónicas, {e,,e n } de K n y {e,,e m} de K m ) a la matriz M de dimensiones m n cuyas columnas son las coordenadas de los vectores {T(e ),,T(e n )}, M = T(e ) T(e ) T(e n ) (b) Proposición La matriz M anterior es la única matriz que verifica que T(x) = Mx x K n Es decir, es la única matriz que al multiplicarla por un vector x K n,arbitrario, da el vector transformado de x mediante T Por tanto, hablar de transformación lineal, entre espacios de coordenadas, es lo mismo que hablar de transformación matricial D Puesto que todo vector x = [x k ] K n es combinación lineal de los vectores canónicos y T es una aplicación lineal, tenemos que x = x e + x e + + x n e n y = T(x) = T (x e + x e + + x n e n ) = = x T(e ) + x T(e ) + + x n T(e n ) y = y y y m = T(e ) T(e ) T(e n ) x x x n Si consideramos la matriz A asociada a una transformaciónlineal T, tenemos ker(t) = T ({}) = {x K n : Ax = } = Nul (A) Imagen(T) = T(K n ) = {Ax : x K m } = {y K m : x K n, y = Ax} = = {y K m : Ax = y es un SC} = Col (A) A la hora de determinar la matriz A de una transformación lineal T : K n K m no hay una única opción (para los cálculos, no para el resultado) Como hemos visto, las columnas de la matriz A son los transformados, mediante T, de los vectores de la base canónica de K n La matriz A también se puede determinar conociendo los transformados de los vectores de cualquier Matemáticas I Ingenierías: Aeroespacial, Civil y Química

17 43- Transformaciones lineales 9 otra base de K n (conjunto de n vectores linealmente independientes) Si {v, v,,v n } es una base de K n y sabemos calcular los transformados {T(v ), T(v ),,T(v n )} podemos calcular la matriz A sin más que tener en cuenta que A v v v n = T(v ) T(v ) T(v n ) = A = Notemos que de la igualdad matricial anterior podemos despejar A, puesto que la matriz P cuyas columnas son los vectores de una base de K n tiene inversa De esta forma es como hemos calculado, en el tema anterior, la matriz de una transformaciń matricial (proyecciones, simetrías, etc) A pesar de que pueda utilizarse cualquier base de K n para determinar la matriz de T, la matriz es única, no depende de la base utilizada Ejemplos () Consideremos un giro de centro el origen de coordenadas y ángulo ϕ (en el sentido positivo) Tenemos entonces una transformación lineal y para determinar la matriz asociada basta con obtener los transformados de los vectores canónicos æ e = é T(e ) = æ cos(ϕ) sen(ϕ) é, e = æ Por tanto la matriz del giro es, como ya sabíamos, æ cos(ϕ) sen(ϕ) G ϕ = sen(ϕ) cos(ϕ) é T(e ) = é æ sen(ϕ) cos(ϕ) () La transformación que asigna a cada vector de R 3 su proyección ortogonal sobre un plano que pasa por el origen de coordenadas, por ejemplo π x + y + z =, es una transformación lineal Por tanto, para determinar la matriz asociada basta con obtener la proyección ortogonal sobre dicho plano de cada uno de los vectores canónicos Quiénes son el espacio nulo y el espacio columna de la matriz asociada a la proyección ortogonal dada? (3) Para la misma transformación anterior (proyección ortogonal sobre un plano que pasa por el origen de coordenadas), podemos obtener la matriz asociada M teniendo en cuenta cuál es el resultado de multiplicar esta matriz por determinados vectores (de R 3 ) Consideremos un vector n ortogonal al plano dado, en el caso anterior podemos tomar n = [,, ] t, y dos vectores {v, v } que generen el plano, por ejemplo, v = [,, ] t, v = [,, ] t Puesto que el transformado de n es el vector nulo y los transformados de v y v son ellos mismos, la matriz M debe verificar M = Basta despejar M multiplicando a la derecha, en ambos miembros de la igualdad anterior, por la inversa de la matriz P, P =, P = 3 Matemáticas I - é

18 Tema 4- Espacios vectoriales Transformaciones lineales Tenemos M = 3 = 3 En lugar de utilizar los vectores v, v y n podríamos haber considerado tres vectores {u, u, u 3 } linealmente independientes Calculando sus transformados T(u ), T(u ) y T(u 3 ) podrímos obtener M de forma análoga a la que hemos descrito Las expresiones y cálculos intermedios serían distintos pero la matriz final coincidiría con la calculada (4) Consiseremos la proyección ortogonal sobre la recta x 3y = (ya la hemos considerado en el ejercicio del Tema 3) Se trata de una transformación lineal T : R R Para determinar la matriz asociada A,, basta determinar los transformados de los vectores canónicos e y e (Ae y Ae son los dos vectores columna de A) Es decir, sólo tenemos que calcular la proyección ortogonal de e y de e sobre la recta dada Proyección ortogonal de e = (, ) T(e ) {x 3y = } æ 3 T(e ) = α é, e T(e ) = æ 3α α é æ 3 é 3( 3α) + ( α) = 3 3α = α = 3 3 = Ae = T(e ) = 3 æ 3 3 Es decir, ya tenemos la primera columna de la matriz A que tenemos que determinar Anaálogamente, la proyección ortogonal de e es Ae = T(e ) = æ é Por tanto, A = 3 æ (5) La matriz de cada una de las transformaciones lineales/matriciales del ejercicio del tema anterior puede obtenerse calculando los transformados de los vectores canónicos é é Ejercicio- Sea T : R R la transformación lineal definida por la matriz æ é A = Calcula: (a) La imagen, mediante T, de la recta r x + y = (b) La anti-imagen, mediante T, de la recta s x y = 3 Matemáticas I Ingenierías: Aeroespacial, Civil y Química

19 44- Bases de un subespacio 44- Bases de un subespacio Ya hemos citado lo que es una base de un subespacio vectorial Definición Dado un subespacio S de K n distinto del subespacio trivial nulo S {}, se dice que un conjunto de vectores {v, v,,v r } de S es una base de S si: (a) {v, v,,v r } es Linealmente Independiente, (b) {v, v,,v r } genera S, S = Gen {v, v,,v r } Las anteriores condiciones se pueden expresar de forma matricial: Si denotamos por A a la matriz cuyas columnas son los vectores dados A = v v vr las columnas de A forman una base de un subespacio vectorial S si: (a) El sistema homogéneo Ax = tiene solución única (condición equivalente a que los vectores sean linealmente independientes) y (b) S = Col (A), es decir S está formado por los vectores y K m para los que el sistema de ecuaciones Ax = y es compatible Ejemplos () Los vectores canónicos de K n, forman una base de K n e =, e =,,e n = () Los vectores {e, e + e,, e + e + + e n } también forman una base de K n (3) Si tenemos una matriz A, m n, y al reducir a forma escalonada obtenemos n pivotes, entonces los vectores columna de A forman una base del espacio columna de dicha matriz En general, si al reducir a forma escalonada obtenemos r pivotes, las r columnas pivote de A (no de la forma escalonada U) forman una base de Col (A) (4) Si una matriz cuadrada A, n n, tiene inversa, sus n columnas formam una base del espacio total K n Matemáticas I -

20 Tema 4- Espacios vectoriales Transformaciones lineales 44- Coordenadas Dimensión Teorema/Definición (Coordenadas respecto de una base) Sea S un subespacio vectorial (S {}) y sea {v, v,, v r } una base de S () Teorema cada vector v de S se puede expresar de forma única como combinación lineal de los vectores de la base dada, v = c v + c v + + c r v r () Definición Los coeficientes que aparecen en dicha expresión (c,,c r ) se denominan coordenadas de v respecto a la base dada B = {v, v,, v r } y se suele denotar [v] B = Teorema/Definición Consideremos un subespacio vectorial S {} de K m () Teorema Se verifica: (a) S tiene base c c r (b) Todas las bases de S tienen el mismo número de elementos () Definición Al número de elementos de una base de S se le denomina dimensión de S Por definición, la dimensión del subespacio nulo es cero Si, al igual que antes, denotamos por A a la matriz cuyas columnas son los vectores dados A = v v vr para cada vector v (vector columna) de S se verifica que v = Ac para algún vector de coeficientes c De esta forma, todo subespacio se puede expresar como espacio columna de una matriz cuyas columnas sean los vectores de una base Por tanto, se puede expresar mediante ecuaciones paramétricas, y elminando los paramétros se podrán obtener unas ecuaciones implícitas que caractericen al subespacio dado Teorema (El Teorema de la Base) Consideremos un subespacio vectorial S de K m de dimensión p y un conjunto de vectores {u,,u q } S: (a) Si {u,,u q } generan S, entonces q p Además, q = p {u,, u q } es una base de S (b) Si {u,, u q } es linealmente independiente, entonces q p Además, q = p {u,, u q } es una base de S En particular, si tenemos un conjunto de n vectores de K m : Si n > m, los n vectores no pueden ser linealmente independientes, Si n < m, los n vectores no pueden generar K m, Matemáticas I Ingenierías: Aeroespacial, Civil y Química

21 44- Bases de un subespacio Rango de una matriz El teorema del rango Definición Dada una matriz A, m n, se llama rango de A a la dimensión de su espacio columna, es decir, a la dimensión del subespacio vectorial (de K m ) Col (A) = {combinaciones lineales de las columnas de A} = {Ax : x K n } = {y K m : Ax = y es un SC} Teniendo en cuenta la relación entre la dimensión del espacio columna de A y la reducción de A a forma escalonada tenemos que rango(a) = número de pivotes de A Para una matriz cuadrada A de orden n, teniendo en cuenta los resultados sobre la existencia de la inversa obtenemos que: A tiene inversa rango(a) = n Teorema Consideremos una matriz A, m n Se verifican: (a) rango(a) = rango(a T ) Es decir, la dimensión del subespacio vectorial (de K n ) generado por las m filas de A coincide con la dimensión del espacio columna de A (subespacio vectorial de K m generado por las n columnas de A): dim (Col (A)) = dim Col (A T ) Es decir, si por un lado reducimos la matriz A a forma escalonada por filas (mediante operaciones fila) y por otro reducimos a forma escalonada por columnas (mediante operaciones columna), el número de pivotes que se tienen en ambas reducciones es el mismo (b) Teorema del rango: dim (Col (A)) + dim (Nul (A)) = n (c) En términos de la reducción por filas de A a forma escalonada, el Teorema del rango se puede expresar mediante: (número de pivotes) + (número de variables libres) = n La propiedad (a) anterior no es otra cosa que la expresión de que al reducir a forma escalonada el número de filas-pivote coincide con el número de columnas-pivote Si consideramos la transformación lineal T : K n K m, asociada a una matriz A, m n, el espacio imagen de la transformación es el espacio columna de la matriz de la matriz A, Imagen(T) = T(K n ) = {T(x) K m : x K n } = = {y K m : y = T(x) para algún x K n } = Col(A) Se trata, por tanto, de un subespacio vectorial de K m cuya dimensión es rango(a) Dada una matriz Am n, la imagen, mediante la transformación lineal T(x) = Ax, de cualquier subespacio vectorial S de K n será un subespacio vectorial T(S) de K m contenido en el espacio imagen (columna) y por tanto la dimensión de dicho subespacio T(S) será menor o igual que el rango (y menor o igual que la dimensión del subespacio S original) Además, si el Matemáticas I -

22 4 Tema 4- Espacios vectoriales Transformaciones lineales subespacio S puede generarse con ciertos vectores {u,,u p } (en particular si {u,,u p } es una base de S) entonces T(S) puede generarse con {T(u ),, T(u p )}, S = Gen({u,,u p }) = T(S) = Gen ({T(u ),,T(u p )}) No obstante, el que {u,,u p } sea una base de S no implica que {T(u ),, T(u p )} sea una base de T(S) Por otra parte, si consideramos un subespacio vectorial H de K m, el conjunto de los vectores x K n cuyos transformados T(x) = Ax pertenecen a H forman un subespacio vectorial de K n Ejercicio Sea A una matriz m n y B una matriz n p, prueba que rango(ab) mín {rango(a), rango(b)} 443- Cambios de Base Todas las bases de K n están formadas por n vectores Puesto que en ese caso tendremos n vectores linealmente independientes con n coordenadas cada uno, la matriz cuadrada formada por dichos vectores como vectores columna tiene inversa (y los vectores columna de dicha matriz inversa formarán otra base de K n ) Por otra parte, también los vectores fila de cada una de las dos matrices citadas serán una base de K n Para comprobar si n vectores forman una base de K n bastará con reducir a forma escalonada la matriz formada por dichos vectores como vectores columna y comprobar si se obtienen n pivotes o menos Notemos que, puesto que el orden de los vectores no influye en si éstos forman base o no, en la matriz citada podemos intercambiar las columnas De hecho, podríamos hacer operaciones columna Ejemplo Sean e, e,,e n los vectores canónicos de K n Los vectores e, e + e, e + e + e 3,,e + e + + e n forman una base de K n Para calcular las coordenadas de un vector genérico x K n respecto de esta base basta con resolver el sistema (con término independiente x) α α α n = x x x n Resolvemos el sistema x x x n x x x x 3 x n x n x n Matemáticas I Ingenierías: Aeroespacial, Civil y Química

23 44- Bases de un subespacio 5 Por tanto, las coordenadas de x respecto a la base dada son α α α n α n = x x x x 3 x n x n x n Dada una base V = {v, v,,v n } de K n, las coordenadas de un vector x K n respecto a dicha base son los coeficientes (únicos) α, α,,α n para los cuales se verifica α v + α v + + α n v n = x v v vn α α α n = x = Sólo vamos a considerar cambios de bases entre bases del espacio total K n No consideraremos el problema de cambio de base entre bases de un subespacio Dadas dos bases U = {u, u,, u n } y V = {v, v,,v n } de K n se trata de hallar la relación entre las coordenadas de un vector x K n respecto de ambas bases Las coordenadas de un vector x K n respecto a U vienen dadas por un vector [x] U que verifica que x = La matriz x x x n, [x] U = α α α n x = α u + α u + + α n u n x x x n = u u un u u un que relaciona las coordenadas de un mismo vector x respecto a la base canónica con las coordenadas del mismo vector x respecto a la base U se denomina matriz del cambio de base U C de U a la base canónica C = {e, e,, e n } y se denota por P C U = u u un, x = [x] C = P C U Matemáticas I - α α α n [x] U x x x n ( )

24 6 Tema 4- Espacios vectoriales Transformaciones lineales Puesto que la igualdad ( ) es equivalente a la matriz α α α n = P C U u u un x x x n [x] U = P C U es la matriz del cambio de base C U con lo cual P U C = P C U De forma análoga, si tenemos dos bases distintas de K n, B = {v, v,, v n } y U = {u, u,,u n } [x] C podríamos obtener las matrices de cambio de base B U y U B de la misma forma que lo que acabamos de hacer si conociéramos las coordenadas de los vectores de una base respecto a la otra Si conocemos las coordenadas de los vectores de ambas bases respecto, por ejemplo, a la base canónica, podemos considerar un planteamiento similar Denotemos las coordenadas de un vector genérico, x K n, respecto de ambas bases B y U mediante [x] B = α α n, [x] U = Tenemos entonces que x = α v + +α n v n = β u + +β n u n y expresando estas igualdades en forma matricial tenemos que x = x x 3 = v v v n α α n = β β n u u u n es decir, siendo B la matriz cuyas columnas son los vectores de la base B y siendo U la matriz cuyas columnas son los vectores de la base U se verifica que x = B [x] B = U [x] U De estas expresiones podemos obtener las matrices de cambio de base, β β n [x] B = B U [x] U = P B U = B U, [x] U = U B [x] B = P U B = U B Ejemplos Matemáticas I Ingenierías: Aeroespacial, Civil y Química

25 44- Bases de un subespacio 7 () Vamos a calcular las matrices de cambio de base entre la base canónica de R 3 y la base B = v = [ ] T, v = [ 3] T, v 3 = [ ] T Siendo las coordenadas de un vector genérico x R 3 respecto a B y respecto a la base canónica respectivamente, [x] B = α α α 3, x = x x x 3 se verifica que x = α v + α v + α 3 v 3 x x x 3 = v v v 3 α α α 3 Por tanto, la matriz P = v v v 3 = 3 (cuyas columnas son las coordenadas de los vectores B respecto a la base C) es la matriz P del cambio de base B C, puesto que C B x = [x] C = P [x] B, x R 3 Puesto que la inversa P verifica [x] B = P [x] C, cambio de base C B Resumiendo, P C B = P = 3, P B C () Calculemos las matrices de cambio de base entre las bases B = v = U = u =, v =, u = 3 x R 3 dicha matriz es la del = P = 6,v 3 =,u 3 = Denotemos las coordenadas de un vector genérico x R 3 respecto de ambas bases B y U mediante α β [x] B = α, [x] U = β α 3 β 3 Matemáticas I - y

26 8 Tema 4- Espacios vectoriales Transformaciones lineales Tenemos entonces que x = α v + α v + α 3 v 3 = β u + β u + β 3 u 3 Escribiendo estas igualdades en forma matricial obtenemos Por tanto, P B U = x x x 3 = 6 = α α α 3 = α α α 3 = = 6 β β β 3 β β β Análogamente podríamos obtener P U B = P B U Ǒ = Suma e intersección de subespacios Definición Consideremos dos subespacios vectoriales E y F de K m Se define: la suma, E + F, como el conjunto de vectores w K m que pueden expresarse como suma w = u + v de un vector u E y otro vector v F, E + F = {w K m : existen u E y v F tales que w = u + v}, la intersección, E F, como el conjunto de vectores que pertenecen simultáneamente a ambos subespacios, E F = {w K m : w E y w F } Es decir, E F es el corte de los subespacios E y F y E + F es el menor subespacio que contiene a E y a F (de la misma forma que el subespacio generado por ciertos vectores es el menor subespacio que contiene a dichos vectores) Cuando los dos subespacios E y F tienen en común únicamente al vector nulo E F = {}, la suma de dichos subespacios se suele llamar suma directa y se denota E F, E F = E + F si E F = {} Matemáticas I Ingenierías: Aeroespacial, Civil y Química

27 45- Suma e intersección de subespacios 9 Cuando dos subespacios E y F verifican E F = K n se dice que son complementarios Por ejemplo, cualquier pareja de rectas (no coincidentes, que pasen por el origen de coordenadas) en el plano es una pareja de subespacios complementarios En el espacio, un plano (que pase por el origen de coordenadas) y una recta que no esté contenida en el plano (y pase por el origen de coordenadas) también forman una pareja de subespacios complementarios Propiedades () E + F y E F son subespacios vectoriales () E F E, F E + F æ é A (3) Si E = Nul (A) y F = Nul (B), entonces E F = Nul Es decir, si los subespacios B E y F vienen dados en forma implícita mediante Ax = y Bx = respectivamente, es inmediato tener una descripcion implícita de E F, basta considerar todas las ecuaciones implícitas simultáneamente (4) Si E = Col (A) y F = Col (B), entonces E + F = Col ä A B ç (4 ) Si E = Gen {u, u,, u p } y F = Gen {v, v,, v q }, entonces Ejercicio Prueba las siguientes propiedades: () E = E + F F E () E + F = E F E = F E + F = Gen {u, u,, u p, v, v,, v q } Teorema Sean E y F dos subespacios de K m Se verifica: (a) dim (E F) dim (E), dim (F) dim (E + F) dim (E) + dim (F) (b) dim (E + F) = dim (E) + dim (F) dim (E F) (b ) dim (E F) = dim (E) + dim (F) Matemáticas I -