Tema 4.- Espacios vectoriales. Transformaciones lineales.

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1 Ingeniería Civil Matemáticas I -3 Departamento de Matemática Aplicada II Escuela Superior de Ingenieros Universidad de Sevilla Tema 4- Espacios vectoriales Transformaciones lineales 4- Espacios y subespacios vectoriales 4- Espacios vectoriales de coordenadas Espacio nulo y espacio columna de una matriz Dependencia e independencia lineal Ecuaciones paramétricas y ecuaciones implícitas de un subespacio 43- Bases de un subespacio 44- Ejercicios Coordenadas Dimensión Rango de una matriz El teorema del rango Cambios de base Enunciados Soluciones 4- Espacios y subespacios vectoriales De forma genérica, un espacio vectorial es un conjunto donde hay definida una operación suma (la suma de dos elementos del conjunto es otro elemento del conjunto) y una operación producto por escalares (el producto de un escalar, real o complejo, por un elemento del conjunto es otro elemento del conjunto) con las propiedades que conocemos de la suma y producto por escalares para vectores de coordenadas (conmutatividad, asociatividad, existencia de elemento nulo, elemento opuesto, distributivas, etc) Se dice que el espacio vectorial es real o es complejo en función de que se consideren escalares reales o complejos respectivamente Además de los espacios de coordenadas, R n y C n, que manipulamos habitualmente, algunos ejemplos típicos de espacios vectoriales son, con las operaciones usuales de suma de matrices y funciones y de producto de una matriz o una función por un escalar: El conjunto de todas las matrices de dimensiones determinadas, m n El conjunto de todos los polinomios en una variable El conjunto de todos los polinomios en una variable de grado menor o igual cierto n N que un 93

2 94 Tema 4- Espacios vectoriales Transformaciones lineales El conjunto de todas las funciones continuas (en un punto, en un intervalo) El conjunto de todas las funciones derivables (en un punto, en un intervalo) El conjunto de todas las funciones integrables en un intervalo El conjunto de las funciones (continuas, derivables, integrables) que se anulan en un punto prefijado Y algunos ejemplos típicos de conjuntos que, con las operaciones usuales, no son espacios vectoriales: El conjunto de todas las matrices cuadradas de orden n que tienen inversa El conjunto de los polinomios de un grado prefijado n N El conjunto de las funciones continuas f (en un punto, en un intervalo) tales que f(x ) = siendo x un punto del intervalo dado El conjunto de los vectores de R cuya segunda coordenada es igual a uno El conjunto de los vectores de R cuyas coordenadas verifican una ecuación de segundo grado El tipo de subconjuntos más importantes dentro de un espacio vectorial son los llamados subespacios vectoriales En ellos se puede realizar las operaciones del espacio vectorial sin salirnos de dicho subconjunto Definición Se dice que un subconjunto (no vacio) S de un espacio vectorial es un subespacio vectorial si, con las operaciones que hay definidas en el espacio vectorial, es un espacio vectorial Es decir, si verifica que: (a) u S, α K = αu S (b) u, v S = u + v S De forma equivalente, S es un subespacio vectorial si u, v S y α, β K = αu + βv S Notemos que si S es un subespacio vectorial, el vector nulo tiene que pertenecer a S La propiedad (a) nos dice que si tenemos un vector no-nulo de un subespacio vectorial, la recta determinada por dicho vector está contenida en el subespacio La propiedad (b) nos dice que si tenemos dos vectores (que no sean uno múltiplo del otro) de un subespacio vectorial, el plano determinado { } por dichos vectores está contenido en el subespacio Obviamente S = y S = K n son subespacios vectoriales (a veces llamados subespacios triviales) En el espacio tridimensional, cualquier recta o plano que pase por el origen es un subespacio vectorial En el plano, los vectores de posición determinados por los puntos de una parábola NO forman un subespacio vectorial Matemáticas I Ingeniería Civil

3 4- Espacios y subespacios vectoriales 95 Proposición El conjunto de todas las combinaciones lineales de unos vectores dados es un subespacio vectorial Es decir, dados {v,, v n }, Gen {v,, v n } = {c v + + c n v n : c,, c n K} es un subespacio vectorial (del espacio vectorial que se esté considerando) Este subespacio vectorial se denomina subespacio generado por {v,, v n } Es fácil comprobar que se cumplen las siguientes propiedades Propiedades () Gen {v,, v n } Gen {v, v,, v n } () Gen {v, v,, v n } = Gen {cv, v,, v n } si c (3) Gen {v, v,, v n } = Gen {v + αv, v,, v n } (4) El subespacio generado por un conjunto de vectores no cambia al añadir combinaciones lineales de dichos vectores o quitar vectores que sean combinación lineal de los restantes Ejemplos Algunos ejemplos de subconjuntos que son o no son subespacios vectoriales En el espacio vectorial de las matrices m n, el subconjunto de las matrices que tienen una fila (prefijada) nula es un subespacio vectorial el subconjunto de las matrices que tienen una fila (prefijada) no nula no es un subespacio vectorial En el espacio vectorial de las matrices cuadradas n n, el subconjunto de las matrices simétricas es un subespacio vectorial el subconjunto de las matrices A cuadradas n n que verfican que A = no es un subespacio vectorial el subconjunto de las matrices cuadradas n n con determinante cero no es un subespacio vectorial En el espacio vectorial de todos los polinomios en una variable, el subconjunto de los polinomios de grado par no es un subespacio vectorial el subconjunto de los polinomios de grado impar no es un subespacio vectorial el subconjunto de todos los polinomios en una variable de grado menor o igual que un cierto n N Relacionados con los subespacios vectoriales están las llamadas variedades lineales (o afines) No son otra cosa que trasladados de subespacios vectoriales Es decir, una variedad es un conjunto de vectores que se puede expresar de la forma p + S siendo p un vector dado y S un subespacio vectorial Por ejemplo, en el plano o en el espacio, puesto que una recta que pase por el origen de coordenadas es un subespacio vectorial, cualquier recta Matemáticas I -3

4 96 Tema 4- Espacios vectoriales Transformaciones lineales será una variedad puesto que puede obtenerse trasladando, según un cierto vector, la recta paralela que pasa por el origen de coordenadas El estudio que haremos a continuación de la estructura de espacio vectorial se centrará en los subespacios vectoriales No consideraremos de forma explícita el estudio de las variedades lineales aunque aparezcan: la solución general de un sistema lineal es una variedad lineal porque la solucón general del sistema homogéneo asociado es un subespacio vectorial A partir de la sección siguientes no vamos a considerar espacios vectoriales genéricos Consideraremos, exclusivamente, los espacios vectoriales de coordenadas R n y C n Los espacios vectoriales de coordenadas R n y C n son los modelos para trabajar con espacios vectoriales de dimensión finita (reales y complejos, respectivamente) Así, R n, n =,,, es el modelo para el estudio de los espacios vectoriales reales de dimensión finita n Por ejemplo, en lo que se refiere exclusivamente a las operaciones suma y produco por un escalar, trabajar con el espacio de las matrices reales de dimensiones 3 o con el espacio vectorial de los polinomios reales (en una variable) de grado menor o igual que 5 (6 coeficientes reales arbitrarios) es equivalente a trabajar con el espacio R 6 Obviamente, todo lo que no se refiera exclusivamente a las operaciones suma y producto por un escalar en el espacio de las matrices o de los polinomios, se pierde al representar dichos espacios como R 6 (factorización de polinomios, producto de matrices,) 4- Espacios vectoriales de coordenadas 4- Espacio nulo y espacio columna de una matriz Definición Sea A una matriz m n con elementos en K Se llama espacio nulo de A a Nul (A) := {x K n : Ax = } Es decir, al conjunto solución del sistema homogéneo Ax = espacio columna de A al subespacio (de K m ) generado por las columnas de A, Col (A) := {y K m : y es combinación lineal de las columnas de A} Notemos que decir que un vector y K m es combinación lineal de las columnas de A es equivalente a decir que el sistema Ax = y, con término independiente y e incógnita x, tiene solución Si llamamos v,, v n a las columnas de A y se tiene que y = α v + + α n v n entonces α = (α,, α n ) T es solución de Ax = y puesto que y = Aα Y viceversa, cada solución de Ax = y (si existe) nos da los coeficientes de una combinación lineal de v,, v n que es igual a y Es decir, Col (A) = {y K m : Ax = y es un sistema compatible} No haremos especial referencia al espacio fila de A (subespacio vectorial generado por las filas de A) Cuando necesitemos referirnos a él lo haremos mediante Col (A T ) Proposición Sea A una matriz m n con elementos en K Nul (A) es un subespacio vectorial de K n Col (A) es un subespacio vectorial de K m Matemáticas I Ingeniería Civil

5 4- Espacios vectoriales de coordenadas 97 Puesto que Nul (A) es un subespacio vectorial, para cualquier vector p K n, el conjunto p + Nul (A) es una variedad lineal Para cualquier v p + Nul (A) tendremos un vector u Nul (A) tal que v = p + u y por tanto, Av = Ap + Au = Ap Es decir, v es solución del sistema Ax = b siendo b = Ap Reciprocamente, si tenemos un sistema Ax = b compatible y p es una solución, cualquier otra solución v puede expresarse mediante v = p + (v p) que es un vector de p + Nul (A) (puesto que A(v p) = Av Ap = b b = ) Por tanto, asociado a una matriz A, m n tenemos: () Nul (A), el conjunto solución del sistema homogéneo Ax = (es un subespacio vectorial de K n ) () Col (A), el conjunto de términos independientes y para los que el sistema Ax = y es compatible (es un subespacio vectorial de K m ) (3) Para cada y K m, el conjunto solución del sistema Ax = y, {x K n : Ax = y} Si y Col (A) (el sistema Ax = y es compatible) es una variedad lineal de K n Si y / Col (A) (el sistema Ax = y es incompatible) no hay ningún vector en dicho conjunto Ejercicio () Qué relación hay entre el espacio columna de una matriz y el de la matriz que se obtiene al hacer operaciones columna sobre la matriz? () Qué relación hay entre el espacio nulo de una matriz y el de la matriz que se obtiene al hacer operaciones fila sobre la matriz? 4- Dependencia e independencia lineal Definición Consideremos un conjunto finito de vectores {v,, v n } (a) Se dice que {v,, v n } es linealmente dependiente (LD) si existe alguna combinación lineal no trivial de dichos vectores igual al vector nulo Es decir, si existen coeficientes α, α,, α n K no todos nulos tales que α v + α v + + α n v n = (b) Se dice que {v,, v n } es linealmente independiente (LI) si no es linealmente dependiente Si {v,, v n } son vectores linealmente dependientes y tenemos una combinación lineal de estos vectores igual al vector nulo α v + α v + + α n v n = y el coeficiente α k, entonces de la igualdad anterior se puede despejar v k que quedará expresado como combinación lineal de los restantes vectores Reciprocamente si tenemos un vector que es combinación lineal de otros, el conjunto formado por estos y el vector combinación lineal es un conjunto linealmente dependiente Notemos además de que si una combinación lineal de vectores es igual al vector nulo, la combinación lineal que resulta de multiplicar por cualquier coeficiente también es el vector nulo Propiedades Consideremos un conjunto finito de vectores {v,, v n } Matemáticas I -3

6 98 Tema 4- Espacios vectoriales Transformaciones lineales () La dependencia o independencia lineal de {v,, v n } no depende del orden en el que estén dados los vectores () Si uno de los vectores es nulo o hay vectores repetidos, entonces es LD (3) La dependencia/independencia lineal de un conjunto no cambia al sustituir un vector por un múltiplo no-nulo Siendo c (c K), {v,, v n } es LD {u = cv, v,, v n } es LD (4) La dependencia/independencia lineal de un conjunto no cambia al sumar a un vector un múltiplo de otro (distinto) Siendo α K {v,, v n } es LD {v, u = v + αv,, v n } es LD (5) Al añadir vectores a un conjunto LD se obtiene un conjunto LD Al suprimir vectores de un conjunto LI se obtiene un conjunto LI Teorema Consideremos vectores {v,, v n } en K m y sea A la matriz cuyas columnas son los vectores dados A = v v v n Son equivalentes: () {v,, v n } es un conjunto linealmente dependiente () El sistema de ecuaciones Ax = tiene infinitas soluciones (3) Al reducir A a forma escalonada se obtienen r pivotes, r < n (4) Alguno de los vectores v k es combinación lineal de los restantes (5) Si el primer vector v es no-nulo, alguno de los vectores es combinación lineal de los anteriores Observación Interpretación de la reducción por filas de una matriz A en relación con la dependencia o independencia lineal de los vectores-columna de la matriz A Notemos que dar una cierta combinación lineal de vectores es lo mismo que multiplicar la matriz cuyas columnas son dichos vectores por el vector columna formado por los correspondientes coeficientes x v + v + + x n v n = v v vn x x x n Matemáticas I Ingeniería Civil

7 4- Espacios vectoriales de coordenadas 99 Si al reducir A a forma escalonada obtenemos U A = v v v n operaciones fila U = * * * tenemos que: Cada columna de U en la aparece un pivote es linealmente independiente con las anteriores columnas de U Por tanto, esto mismo es cierto para las correspondientes columnas de A Cada columna de la matriz U en la que no hay pivote es combinación lineal de las anteriores columnas de U Por tanto, esto mismo es cierto para las correspondientes columnas de A Si tenemos una cierta fila nula en la matriz U esto quiere decir que una cierta combinación lineal de las filas de la matriz A es igual a la fila nula Las filas pivote (de U y las correspondientes de A dependiendo de los intercambios de fila que se hayan hecho) son linealmente independientes Es decir, en la situación del esquema anterior, se verifica que la columna 3 de U es combinación lineal de las columnas y (y lo mismo es cierto para las correspondientes columnas de A), las columnas {columna, columna, columna4} de U son linealmente independientes (y lo mismo es cierto para las correspondientes columnas de A 43- Ecuaciones paramétricas y ecuaciones implícitas Asociados a una matriz A, m n, A = v v v n = a a a n a a a n a m a m a mn hemos considerado; El espacio nulo de la matriz A, esto es el conjunto de vectores x K n caracterizados por las ecuaciones implícitas homogéneas a x + a x + + a n x n = a x + a x + + a n x n = Ax = a m x + a m x + + a mn x n = Matemáticas I -3

8 Tema 4- Espacios vectoriales Transformaciones lineales El espacio columna de la matriz A (y el subespacio generado por unos ciertos vectores), esto es, el conjunto de vectores y y = α v + α v + + α n v n caracterizado por las ecuaciones paramétricas homogéneas y = α a + α a + + α n a n y = α a + α a + + α n a n, α, α,, α n K y m = α a m + α a m + + α n a mn Resolviendo el sistema homogéneo Ax = podemos obtener los vectores del espacio nulo de A como el conjunto de vectores que se pueden expresar como combinación lineal (arbitraria) de determinados vectores, es decir, como el subespacio generado por ciertos vectores o como el espacio columna de la matriz que tiene a dichos vectores como vectores columna Por otra parte, puesto que el espacio columna de una matriz A está formado por los vectores, y, tales que el sistema de ecuaciones Ax = y es compatible, obteniendo las condiciones de compatibilidad de este sistema (en función del término independiente y), tendremos unas ecuaciones lineales homogéneas que permiten expresar el citado espacio columna como espacio nulo de otra matriz Por tanto, hablar de espacio nulo o espacio columna de una matriz (o subespacio generado por ciertos vectores) no es hablar de conjuntos de vectores con características distintas, sino que es hablar de un mismo tipo de conjunto de vectores, los subespacios vectoriales, pero expresados en forma distinta: (a) Cuando un subespacio vectorial viene dado como espacio nulo de una matriz tenemos una descripción implícita (ecuaciones implícitas) de dicho conjunto (un vector está en el conjunto considerado si, y sólo si, sus coordenadas verifican el sistema homogéneo asociado a la matriz) (b) Cuando uno de dichos conjuntos de vectores viene dado como espacio columna de una matriz tenemos una descripción paramétrica (ecuaciones paramétricas) de dicho conjunto (un vector está en el conjunto considerado si, y sólo si, puede expresarse como combinación lineal de determinados vectores) Entre las descripciones implícitas de un subespacio vectorial habrá unas mejores que otras, en el sentido de que una puede tener ecuaciones redundantes y otra no De unas ecuaciones implícitas dadas Ax = se podrán suprimir las que sean redundantes, es decir las ecuaciones que sean combinación lineal de las restantes Dichas ecuaciones las podemos localizar sin más que reducir a forma escalonada por filas la matriz A dada Las filas (tanto de la matriz original A como de la matriz escalonada final U) que contengan algún pivote nos darán unas ecuaciones implícitas, no redundantes, de dicho subespacio Si resolvemos el sistema tendremos una descripcion paramétrica del conjunto solución, es decir del subespacio dado, el espacio nulo de la matriz A original Si en la descripción paramétrica eliminamos los parámetros, llegaremos a unas ecuaciones homogéneas que darán una descripción implícita del subespacio considerado De la misma Matemáticas I Ingeniería Civil

9 4- Espacios vectoriales de coordenadas forma que en el caso de ecuaciones implícitas, entre las descripciones paramétricas de un subespacio vectorial, unas serán mejores que otras en el sentido de que unas involucren menos vectores que otras Es decir, si tenemos el espacio columna de una cierta matriz A, m n, y los vectores columna de A son linealmente dependientes, suprimiendo vectores que sean combinación lineal de los que quedan, tendremos que el espacio columna de la matriz original también es el espacio columna de la matriz que resulta de la matriz anterior suprimiendo algunas columnas Si nos quedamos con un conjunto de vectores linealmente independiente, tendremos que dichos vectores generan el espacio columna de la matriz original y cada vector de dicho espacio se puede expresar de forma única como combinación lineal de los vectores linealmente independientes obtenidos Dichos vectores constituyen lo que se denomina una base (es decir, un conjunto de vectores linealmente independiente que genera el subespacio) del subespacio vectorial considerado, el espacio columna de la matriz original De la misma forma que un subespacio vectorial, S, puede caracterizarse mediante ecuaciones implícitas o ecuaciones paramétricas homogéneas, una variedad lineal, p + S, puede caracterizarse mediante ecuaciones implícitas, en general no homogéneas, y mediante ecuaciones paramétricas, en general no homogéneas, puesto que el vector nulo puede no pertenecer a la variedad Una vez que se tienen unas ecuaciones paramétricas/implícitas de un subespacio S, puesto que la variedad p + S esta formada por los vectores v tales que u = v p está en S, esto será equivalente a decir que u = v p verifica las citadas ecuaciones de S Ejemplo- (Ecuaciones implícitas Ecuaciones implícitas no redundantes, Ecuaciones paramétricas y una base) Consideremos el espacio nulo de la matriz 3 A = Es decir, estamos considerando el conjunto S de los vectores x R 4 cuyas coordenadas (x, x, x 3, x 4 ) verifican las ecuaciones (implícitas) x + x + 3x 4 = 3x + x 3 x 4 = x + 4x + x 3 + 5x 4 = Haciendo operaciones fila sobre la matriz A (que se corresponden con operaciones sobre las ecuaciones del sistema) tenemos 3 F + 3F 3 F 3 F 3 A = U = F 3 + F 6 8 De hecho, refiriéndonos a la matriz original tenemos que F 3 (A) = F (A)+F (A) Equivalentemente, la tercera ecuación del sistema original es combinación lineal de las dos primeras con lo cual si un vector es solución de las dos primeras también lo es de la tercera Resumiendo, tenemos que S = Nul (A) = Nul [ 3 3 ] = Nul (U) = Nul [ Matemáticas I -3 ]

10 Tema 4- Espacios vectoriales Transformaciones lineales con lo cual nuestro conjunto S de vectores está caracterizado por las ecuaciones (no redundantes) } ( }) o por x + x + 3x 4 = 6x + x 3 + 8x 4 = Resolviendo el sistema Ux = tenemos = Por tanto, Nul (A) = Gen = Col v = Variables libres x 3 y x 4 Variables fijas x y x x = 6 ( x 3 8x 4 ) x + x + 3x 4 = 3x + x 3 + x 4 = = x = x + 3x 4 = 6 ( x 3 8x 4 ) + 3x 4 = 3 x x 4 x x x 3 x 4 = x 3, v = = Col x 4 = Gen v = 6, 3v = Los vectores {v, v } forman una base de S = Nul (A) Los vectores de Nul (A) son los que pueden expresarse como combinación lineal de v y v y, como consecuencia de la independencia lineal, cada vector de S sólo puede expresarse de una forma como combinación lineal de v y v Los coeficientes que aparezcan en dicha combinación lineal son las coordenadas del vector de S respecto a la base {v, v } (de S) El vector v = [ ] está en S y sus coordenadas respecto a {v, v } son la solución de v = λv + µv v = v es decir, λ = 8, µ = 6 (v = 8v 6v ) [ v λ µ ] Ejemplo- (Ecuaciones paramétricas Ecuaciones paramétricas y Ecuaciones implícitas no redundantes y una base) Vamos a utilizar la misma matriz A del ejemplo anterior El espacio columna de dicha matriz es, por definición de espacio columna, el conjunto de, 4 3 Matemáticas I Ingeniería Civil

11 4- Espacios vectoriales de coordenadas 3 vectores y que se pueden expresar como combinación lineal de las columnas de A, es decir los vectores y (con 3 coordenadas!) que se pueden expresar mediante y 3 y = y = α 3 + β + γ + δ y para ciertos α, β, γ, δ R Esto es lo mismo que decir que el espacio columna está formado por los vectores y R 3 para los que el sistema de ecuaciones Ax = y tiene solución En dicho caso, cada solución del sistema Ax = y nos daría una forma de expresar y como combinación lineal de las columnas de A Obtengamos, para un vector genérico y R 3 las condiciones de compatibilidad del sistema Ax = y, reduciendo la matriz ampliada del sistema [A y] a forma escalonada Haciendo las mismas operaciones fila que hemos hecho cuando hemos obtenido el espacio nulo tenemos [A y] = 3 y 3 y 4 5 y 3 F 3 F U = F + 3F F 3 + F - 3 y 6 8 y + 3y y 3 y y 3 y 6 8 y + 3y 6 8 y 3 + y Por tanto, el sistema Ax = y es compatible (determinado o indeterminado) la tercera ecuación tiene solución y 3 y y = Es decir, el espacio columna de A está formado por los vectores y R 3 cuyas coordenadas verifican la ecuación (lineal homogénea) y 3 y y = Se trata, por tanto, de un plano (en R 3 ) que pasa por el origen de coordenadas Además, teniendo la forma escalonada U que hemos obtenido, tenemos que: las columnas y de U son linealmente independientes y las columnas 3 y 4 son combinación lineal de las columnas y Por tanto, lo mismo sucede con las columnas correspondientes de la matriz A Es decir, el espacio columna de A (generado por las 4 columnas) coincide con el espacio generado por las columnas y de A (no de U!) Los vectores dados por las columnas y de A forman una base de Col (A) puesto que son linealmente independientes y generan dicho espacio Si denotamos por v, v, v 3 y v 4 a los vectores columna de A, cada vector y Col (A) se puede expresar de infinitas formas distintas como combinación lineal de v, v, v 3 y v 4 puesto que el sistema de ecuaciones Ax = y es compatible (puesto que y Col (A)) indeterminado (puesto que hay variables libres) Sin embargo, dicho vector y Col (A) sólo puede exprearse de una forma como combinación lineal de v y v puesto que el sistema de ecuaciones v [ v λ µ ] = tiene solución única Para discutir, y resolver, este sistema basta con suprimir las columnas 3 y 4 de la reducción que hemos hecho del sistema Ax = y con lo cual tenemos y - y 3 y 6 y + 3y 4 y 3 y 3 y y Matemáticas I -3 y y y 3

12 4 Tema 4- Espacios vectoriales Transformaciones lineales La solución única (λ, µ) de este sistema (compatible cuando y Col (A)) nos dará los coeficientes para los cuales se verifica y = λv + µv Estos coeficientes (λ, µ) (únicos para cada vector y Col (A)) se denominan coordenadas de y respecto de la base {v, v } Por ejemplo, las coordenadas del vector y = ( Col (A) puesto que y 3 y y = 3 = ) 3 respecto a la base {v, v } de Col (A) vienen dadas por la solución del sistema [ ] - [ ] [ v v λ = 6 4 λ ] = = 3 4 µ µ 3 6 Ejemplo Consideremos la matriz A = Con el mismo proceso de reducción a forma escalonada vamos a obtener: S = Nul (A) K 5, unas ecuaciones paramétricas de S, S = Col (A) K 4, unas ecuaciones implícitas de S, Reducimos a forma escalonada un sistema de ecuaciones Ax = y siendo y un vector genérico de K 4, [A y] Por tanto, tenemos: F F F 3 + F F 4 F F 3 + F F 4 F - y y y 4 4 y 3 + y y 4 y - y y y 3y + y + y 3 y y + y 4 (a) El espacio columna de A: El sistema Ax = y es compatible si, y sólo si, el vector y K 4 verifica y y +y 4 = Es decir Col (A) = {y K 4 : y y + y 4 = } Por otra parte, teniendo en cuenta la reducción que hemos hecho, los dos últimos vectores columna de A son combinación lineal de los tres primeros y estos tres primeros vectores columna son linealmente independientes Si denotamos por {v, v, v 3, v 4, v 5 } los vectores columna de A, tenemos Col (A) = Col v v v 3 Matemáticas I Ingeniería Civil

13 43- Bases de un subespacio 5 y cada vector y Col (A) se puede expresar de infinitas formas distintas (cada una de las soluuciones del sistema Ax = y) como combinación lineal de los vectores columna de A, pero de una única forma como combinación lineal de {v, v, v 3 } (b) El espacio nulo de A, las soluciones del sistema Ax = : Puesto que al reducir hemos obtenido variables libres, la solución general del sistema homogéneo se podrá expresar en función de parámetros arbitrarios, [A ] - x = x 4 + x 5 x = x 4 + x 5 = x 3 = x 4 F F 3 x x x 3 x 4 x 5 = - α + β α + β α α β = α + β Por tanto, el espacio nulo de A está generado por los vectores, linealmente independientes, u =, u = Notemos por último que, puesto que al hacer la reducción del sistema Ax = hemos obtenido una fila de ceros, dicha ecuación es redundante en el sistema homogéneo y por tanto tenemos que Nul (A) = Nul - = Nul Bases de un subespacio Ya hemos citado lo que es una base de un subespacio vectorial Definición Dado un subespacio S de K n distinto del subespacio trivial nulo S {}, se dice que un conjunto de vectores {v, v,, v r } de S es una base de S si: (a) {v, v,, v r } es Linealmente Independiente, (b) {v, v,, v r } genera S, S = Gen {v, v,, v r } Matemáticas I -3

14 6 Tema 4- Espacios vectoriales Transformaciones lineales Las anteriores condiciones se pueden expresar de forma matricial: Si denotamos por A a la matriz cuyas columnas son los vectores dados A = v v v r las columnas de A forman una base de un subespacio vectorial S si: (a) El sistema homogéneo Ax = tiene solución única (condición equivalente a que los vectores sean linealmente independientes) y (b) S = Col (A), es decir S está formado por los vectores y K m para los que el sistema de ecuaciones Ax = y es compatible Ejemplos () Los vectores canónicos de K n, e =, e =,, e n = forman una base de K n () Los vectores {e, e + e,, e + e + + e n } también forman una base de K n (3) Si tenemos una matriz A, m n, y al reducir a forma escalonada obtenemos n pivotes, entonces los vectores columna de A forman una base del espacio columna de dicha matriz En general, si al reducir a forma escalonada obtenemos r pivotes, las r columnas pivote de A (no de la forma escalonada U) forman una base de Col (A) (4) Si una matriz cuadrada A, n n, tiene inversa, sus n columnas formam una base del espacio total K n 43- Coordenadas Dimensión Teorema/Definición (Coordenadas respecto de una base) Sea S un subespacio vectorial (S {}) y sea {v, v,, v r } una base de S () Teorema cada vector v de S se puede expresar de forma única como combinación lineal de los vectores de la base dada, v = c v + c v + + c r v r () Definición Los coeficientes que aparecen en dicha expresión (c,, c r ) se denominan coordenadas de v respecto a la base dada B = {v, v,, v r } y se suele denotar [v] B = c c r Matemáticas I Ingeniería Civil

15 43- Bases de un subespacio 7 Teorema/Definición Consideremos un subespacio vectorial S {} de K m () Teorema Se verifica: (a) S tiene base (b) Todas las bases de S tienen el mismo número de elementos () Definición Al número de elementos de una base de S se le denomina dimensión de S Por definición, la dimensión del subespacio nulo es cero Si, al igual que antes, denotamos por A a la matriz cuyas columnas son los vectores dados A = v v v r, para cada vector v (vector columna) de S se verifica que v = Ac para algún vector de coeficientes c De esta forma, todo subespacio se puede expresar como espacio columna de una matriz cuyas columnas sean los vectores de una base Por tanto, se puede expresar mediante ecuaciones paramétricas, y elminando los paramétros se podrán obtener unas ecuaciones implícitas que caractericen al subespacio dado Teorema (El Teorema de la Base) Consideremos un subespacio vectorial S de K m de dimensión p y un conjunto de vectores {u,, u q } S: (a) Si {u,, u q } generan S, entonces q p Además, q = p {u,, u q } es una base de S (b) Si {u,, u q } es linealmente independiente, entonces q p Además, q = p {u,, u q } es una base de S En particular, si tenemos un conjunto de n vectores de K m : Si n > m, los n vectores no pueden ser linealmente independientes, Si n < m, los n vectores no pueden generar K m 43- Rango de una matriz El teorema del rango Definición Dada una matriz A, m n, se llama rango de A a la dimensión de su espacio columna, es decir, a la dimensión del subespacio vectorial (de K m ) Col (A) = {combinaciones lineales de las columnas de A} = {Ax : x K n } = {y K m : Ax = y es un SC} Teniendo en cuenta la relación entre la dimensión del espacio columna de A y la reducción de A a forma escalonada tenemos que rango(a) = número de pivotes de A Para una matriz cuadrada A de orden n, teniendo en cuenta los resultados sobre la existencia de la inversa obtenemos que: A tiene inversa rango(a) = n Teorema Consideremos una matriz A, m n Se verifican: Matemáticas I -3

16 8 Tema 4- Espacios vectoriales Transformaciones lineales (a) rango(a) = rango(a T ) Es decir, la dimensión del subespacio vectorial (de K n ) generado por las m filas de A coincide con la dimensión del espacio columna de A (subespacio vectorial de K m generado por las n columnas de A): dim (Col (A)) = dim ( Col (A T ) ) Es decir, si por un lado reducimos la matriz A a forma escalonada por filas (mediante operaciones fila) y por otro reducimos a forma escalonada por columnas (mediante operaciones columna), el número de pivotes que se tienen en ambas reducciones es el mismo (b) Teorema del rango: dim (Col (A)) + dim (Nul (A)) = n (c) En términos de la reducción por filas de A a forma escalonada, el Teorema del rango se puede expresar mediante: (número de pivotes) + (número de variables libres) = n La propiedad (a) anterior no es otra cosa que la expresión de que al reducir a forma escalonada el número de filas-pivote coincide con el número de columnas-pivote Si consideramos la transformación lineal T : K n K m, asociada a una matriz A, m n, el espacio imagen de la transformación es el espacio columna de la matriz de la matriz A, Imagen(T ) = T (K n ) = {T (x) K m : x K n } = = {y K m : y = T (x) para algún x K n } = Col (A) Se trata, por tanto, de un subespacio vectorial de K m cuya dimensión es rango(a) Dada una matriz Am n, la imagen, mediante la transformación lineal T (x) = Ax, de cualquier subespacio vectorial S de K n será un subespacio vectorial T (S) de K m contenido en el espacio imagen (columna) y por tanto la dimensión de dicho subespacio T (S) será menor o igual que el rango (y menor o igual que la dimensión del subespacio S original) Además, si el subespacio S puede generarse con ciertos vectores {u,, u p } (en particular si {u,, u p } es una base de S) entonces T (S) puede generarse con {T (u ),, T (u p )}, S = Gen ({u,, u p }) = T (S) = Gen ({T (u ),, T (u p )}) No obstante, el que {u,, u p } sea una base de S no implica que {T (u ),, T (u p )} sea una base de T (S) Por otra parte, si consideramos un subespacio vectorial H de K m, el conjunto de los vectores x K n cuyos transformados T (x) = Ax pertenecen a H forman un subespacio vectorial de K n Ejercicio Sea A una matriz m n y B una matriz n p, prueba que rango(ab) mín {rango(a), rango(b)} Matemáticas I Ingeniería Civil

17 43- Bases de un subespacio Cambios de Base Todas las bases de K n están formadas por n vectores Puesto que en ese caso tendremos n vectores linealmente independientes con n coordenadas cada uno, la matriz cuadrada formada por dichos vectores como vectores columna tiene inversa (y los vectores columna de dicha matriz inversa formarán otra base de K n ) Por otra parte, también los vectores fila de cada una de las dos matrices citadas serán una base de K n Para comprobar si n vectores forman una base de K n bastará con reducir a forma escalonada la matriz formada por dichos vectores como vectores columna y comprobar si se obtienen n pivotes o menos Notemos que, puesto que el orden de los vectores no influye en si éstos forman base o no, en la matriz citada podemos intercambiar las columnas De hecho, podríamos hacer operaciones columna Ejemplo Sean e, e,, e n los vectores canónicos de K n Los vectores e, e + e, e + e + e 3,, e + e + + e n forman una base de K n Para calcular las coordenadas de un vector genérico x K n respecto de esta base basta con resolver el sistema (con término independiente x) α x α = x α n x n Resolvemos el sistema x x x n x x x x 3 x n x n x n Por tanto, las coordenadas de x respecto a la base dada son α x x α x x 3 = α n α n x n x n x n Dada una base V = {v, v,, v n } de K n, las coordenadas de un vector x K n respecto a dicha base son los coeficientes (únicos) α, α,, α n para los cuales se verifica α x α v + α v + + α n v n = x v v vn α = x = x α n x n Matemáticas I -3

18 Tema 4- Espacios vectoriales Transformaciones lineales Sólo vamos a considerar cambios de bases entre bases del espacio total K n No consideraremos el problema de cambio de base entre bases de un subespacio Dadas dos bases U = {u, u,, u n } y V = {v, v,, v n } de K n se trata de hallar la relación entre las coordenadas de un vector x K n respecto de ambas bases Las coordenadas de un vector x K n respecto a U vienen dadas por un vector [x] U que verifica que x = La matriz x x x n, [x] U = α α α n x = α u + α u + + α n u n x x x n = u u u n u u u n que relaciona las coordenadas de un mismo vector x respecto a la base canónica con las coordenadas del mismo vector x respecto a la base U se denomina matriz del cambio de base U C de U a la base canónica C = {e, e,, e n } y se denota por P C U = u u u n, x = [x] C = P C U α α α n [x] U ( ) Puesto que la igualdad ( ) es equivalente a α α α n = u u u n x x x n [x] U = ( P C U ) [x] C la matriz ( P C U ) es la matriz del cambio de base C U con lo cual ( P P U C = C U ) Matemáticas I Ingeniería Civil

19 43- Bases de un subespacio De forma análoga, si tenemos dos bases distintas de K n, B = {v, v,, v n } y U = {u, u,, u n } podríamos obtener las matrices de cambio de base B U y U B de la misma forma que lo que acabamos de hacer si conociéramos las coordenadas de los vectores de una base respecto a la otra Si conocemos las coordenadas de los vectores de ambas bases respecto, por ejemplo, a la base canónica, podemos considerar un planteamiento similar Denotemos las coordenadas de un vector genérico, x K n, respecto de ambas bases B y U mediante [x] B = α α n, [x] U = Tenemos entonces que x = α v + +α n v n = β u + +β n u n y expresando estas igualdades en forma matricial tenemos que x = x x 3 = v v v n α α n = β β n u u u n es decir, siendo B la matriz cuyas columnas son los vectores de la base B y siendo U la matriz cuyas columnas son los vectores de la base U se verifica que x = B [x] B = U [x] U De estas expresiones podemos obtener las matrices de cambio de base, β β n [x] B = B U [x] U = P B U = B U, [x] U = U B [x] B = P U B = U B Ejemplos () Vamos a calcular las matrices de cambio de base entre la base canónica de R 3 y la base B = { v = [ ] T, v = [ 3] T, v 3 = [ ] T } Siendo las coordenadas de un vector genérico x R 3 respecto a B y respecto a la base canónica respectivamente, [x] B = α α α 3, x = Matemáticas I -3 x x x 3

20 Tema 4- Espacios vectoriales Transformaciones lineales se verifica que x = α v + α v + α 3 v 3 x x x 3 = v v v 3 α α α 3 Por tanto, la matriz P = v v v 3 = 3 (cuyas columnas son las coordenadas de los vectores B respecto a la base C) es la matriz P del cambio de base B C, puesto que C B x = [x] C = P [x] B, x R 3 Puesto que la inversa P verifica [x] B = P [x] C, x R 3 dicha matriz es la del cambio de base C B Resumiendo, P = P =, P = P = 6 C B 3 B C () Calculemos las matrices de cambio de base entre las bases B = v =, v =, v 3 = 3 U = u =, u =, u 3 = 3 Denotemos las coordenadas de un vector genérico x R 3 respecto de ambas bases B y U mediante α [x] B = α α 3, β [x] U = β β 3 Tenemos entonces que x = α v + α v + α 3 v 3 = β u + β u + β 3 u 3 Escribiendo estas igualdades en forma matricial x α β x = α = 3 β x 3 3 α 3 β 3 y obtenemos α α α 3 = 3 3 β β β 3 Matemáticas I Ingeniería Civil

21 43- Bases de un subespacio 3 Por tanto, P B U = = = Análogamente podríamos obtener P U B = P B U = Matemáticas I -3

22 4 Tema 4- Espacios vectoriales Transformaciones lineales 44- Ejercicios 44- Enunciados Ejercicio Determina cuáles de los siguientes conjuntos de vectores son subespacios vectoriales, cuáles son variadades y cuáles no son ni lo uno ni lo otro: (a) El conjunto de los vectores (x, x ) R cuyas coordenadas verifican, respectivamente, (a) x x = a (a R), (a) x + x = ó x x =, (a3) x + x = a (a R), (a4) x + x = a y x x = b, (a, b R) (b) El conjunto de los vectores (x, x, x 3 ) R 3 cuyas coordenadas verifican, respectivamente, (b) (x + x )(x + x 3 ) =, (b) x = y (x = ó x 3 = ), (b3) Se pueden expresar de la forma (b4) x + x + x 3 x = α, x = α + α, x 3 =, para algún α R (c) El conjunto de los vectores (a, a,, a n ) R n cuyas coordenadas verifican, respectivamente, (c) Cada una de las coordenadas a 3,, a n es la media (aritmética) de las coordenadas anteriores, (c) Cada una de las coordenadas a 3,, a n es la media geométrica de las dos coordenadas anteriores, a + a t + a 3 t + + a n t n vale 3 para t = Ejercicio Determina dos bases distintas de cada uno de los subespacios siguientes así como ecuaciones implícitas independientes para cada uno de ellos: (a) Vectores de R 3 que pueden expresarse como combinación lineal de v = y v = y cuyas coordenadas verifican la ecuación x x + x 3 = (b) Subespacio de R 4 generado por los vectores v =, v = 4 v 3 = y v 4 = 3 Matemáticas I Ingeniería Civil

23 44- Ejercicios 5 (c) Subespacio de R 4 definido por las ecuaciones implícitas x x + x 3 x 4 =, x + x + x 3 =, 3x x x 4 = Ejercicio 3 Sea V la variedad de R 4 dada por las ecuaciones paramétricas x = + α β + γ, x = + α + β, x 3 = + α 7γ, x 4 = β + γ Determina una base (del subespacio director) y la dimensión de V y halla unas ecuaciones implícitas Ejercicio 4 () Determina el rango de las siguientes matrices: A = 3, B = 3 3 () Sea A una matriz 5 cuyo rango es rango(a) = Determina la dimensión de los siguientes subespacios vectoriales, Col (A), Nul (A), Col (A T ) y Nul (A T ) Ejercicio 5 Determina la matriz de una aplicación lineal T : R 4 R 4 sabiendo que T =, T =, T =, T = Ejercicio 6 Sea T : R 3 R 4 la transformación lineal que verifica T =, T = 3, T = 3 (a) Calclula la matriz A de dicha transformación Matemáticas I

24 6 Tema 4- Espacios vectoriales Transformaciones lineales (b) Encuentra un sistema generador linealmente independiente y unas ecuaciones implícitas de Col (A) (c) Obtén un conjunto linealmente independiente de vectores que genere el subespacio Nul (A) Ejercicio 7 Determina la matriz A de una transformación lineal T : R 3 R sabiendo que el espacio nulo de A viene dado por la ecuación implícita x x x 3 = y que [ ] T = Ejercicio 8 Se considera la transformación lineal T cuya matriz asociada es [ ] A = 4 3 (a) Determina el espacio columna de A, Col (A) (b) Calcular los vectores del núcleo de T que, a su vez, verifican el sistema de ecuaciones { x + 4x x 3 + x 4 =, x + 6x 4x 3 + x 4 = 4 (c) Sea V el conjunto de los vectores encontrados en el apartado anterior Es V un subespacio vectorial de R 4? Justifica la respuesta Ejercicio 9 Siendo e, e, e 3 los vectores de la base canónica de R 3 y sabiendo que los vectores {u, u, u 3 } e = u + u + u 3, e = u u + u 3, e 3 = u + u + u 3, señala la relación correcta: (a) [e e e 3 ] = (b) [u u u 3 ] = (c) [u u u 3 ] = [u u u 3 ] = 9 = 9 Ejercicio Consideremos los siguientes vectores de R 5, v = 3, v =, v 5 3 = 4 y v 4 = Matemáticas I Ingeniería Civil

25 44- Ejercicios 7 (a) Son v, v, v 3 y v 4 linealmente independientes? (b) Es v 4 combinación lineal de v, v y v 3? (c) Es v combinación lineal de v, v 3 y v 4? (d) Es v 4 combinación lineal de v y v? (e) Es v 4 combinación lineal de v y v 3? (f) Son v, v y v 3 linealmente independientes? Ejercicio Sea f : R 3 R 4 la aplicación lineal dada por 3 f(x) = 4 x 3 a x x b 4 b 3 Determinar las condiciones a satisfacer por a y b para que el vector v = (, 3,, b 4) verifique respectivamente: (a) No pertenezca a la imagen de f (b) Sea la imagen de un único vector de R 3 (c) Sea la imagen de infinitos vectores de R 3 Ejercicio Sea T : R R la transformación que hace corresponder al punto P = (x, x ) el punto Q = ( x, x ) Señala la única opción que es correcta es una transformación que no está bien definida es una aplicación lineal que se representa, respecto de las bases canónicas, por la matriz A = [ ] es una transformación, pero no es lineal porque tiene por ecuaciones y = x cos π + x sen π, y = x sen π + x cos π Ejercicio 3 (a) Demuestra que para una matriz cuadrada A se verifica que Nul (A) Nul (A ) y Col (A) Col (A ) Matemáticas I -3

26 8 Tema 4- Espacios vectoriales Transformaciones lineales (b) Demuestra que para dos matrices A y B con las dimensiones adecuadas se verifica que Nul (B) Nul (AB) y Col (A) Col (AB) Ejercicio 4 Extender a una base de R n el conjunto linealmente independiente que se da: (a) {v = (,, )} en R 3 (b) {v = (, 3, 4), v = (,, )} en R 3 (c) {v = (,, ), v = (, 3, )} en R 3 (d) {v = (,,, ), v = (,,, 3)} en R 4 Ejercicio 5 Dadas las bases de R [ ] [ 5 B = {u =, u = se pide: ] [ 3 } y B = {v = (a) Hallar las matrices de cambio de base entre B y B ] [ 4, v = (b) Obtener las coordenadas, [ ] en la base B, del vector v cuyas coordenadas respecto de la base B son [v] B = ] }, Ejercicio 6 Consideremos la base B = {(, ), ( 3, )} de R (a) Obtener, en dicha base, las ecuaciones implícitas y las paramétricas de los subespacios que en la base canónica vienen definidos mediante: E x + x =, F x x =, G = Gen {(3, )} (b) Obtener, en la base canónica, las ecuaciones implícitas y las paramétricas de los subespacios que en la base B vienen definidos mediante: E y + 5y =, F y =, G = Gen {(, ) B } Ejercicio 7 Halla las ecuaciones paramétricas de Nul (A), siendo A la matriz 3 3 A = 4 3 Matemáticas I Ingeniería Civil

27 44- Ejercicios Soluciones Ejercicio (a) (a) El conjunto considerado no es subespacio vectorial y es inmediato comprobar que tampoco es una variedad (a) x + x = ó x x = El conjunto considerado no es un subespacio vectorial Puede comprobarse que tampoco es una variedad (al desplazar dos rectas que pasan por el origen se obtienen otras dos rectas) (a3) x + x = a (a R), Para a = el único vector que verifica la ecuación es el vector nulo y por tanto, se trata de un subespacio vectorial Para a <, no hay ningún vector (x, x ) R que verifique la ecuación Por tanto, se trata del conjunto vacío que no es ni un subespacio vectorial ni una variedad Para a >, la ecuación dada determina la circunferecia de centro el origen de coordenadas y radio a Por tanto, no es ni un subespacio vectorial ni una variedad (a4) Si a = b =, se trata de un subespacio vectorial puesto que el conjunto considerado está definido como el espacio nulo de una matriz, adems resolviendo el sistema que caracteriza al conjunto tenemos que el único vector que verifica las dos ecuaciones es el vector nulo Si a o b, el conjunto de vectores considerado es una variedad (es un único punto) cuyo subespacio director viene dado por las ecuaciones implícitas x + x = y x x =, es decir el subespacio director es el subespacio nulo (b) (b) Es el conjunto formado por dos planos (que no es lo mismo que la recta intersección) Obviamente dicho conjunto no es ni un subespacio ni una variedad (b) Dicho conjunto no es ni un subespacio ni una variedad (b3) Eliminando el parámetro α, el conjunto citado es el de los vectores cuyas coordenadas verifican { x = x + x, x 3 = Es decir, se trata de una parábola (en R 3 ) que está contenida en uno de los planos coordenados Obviamente dicho conjunto no es ni un subespacio ni una variedad (b4) El vector (,, ) verifica la inecuación dada, sin embargo, (,, ) = (,, ) no la verifica Por tanto, no es un subespacio vectorial De la misma forma, tampoco se trata de una variedad (c) (c) Las condiciones que caracterizan a los vectores del conjunto considerado vienen Matemáticas I -3

28 Tema 4- Espacios vectoriales Transformaciones lineales dadas por las siguientes ecuaciones, a 3 = (a + a ), a + a a 3 =, a 4 = (a 3 + a + a 3 ), a + a + a 3 4a 4 =, a n = (a n + + a n ), a + + a n (n )a n = Es decir, el conjunto considerado puede caracterizarse como el espacio nulo de una matriz por tanto, es un subespacio vectorial (c) La media geométrica de dos números (reales positivos) α y β es γ = αβ Obviamente el conjunto considerado no es un subespacio vectorial puesto que un múltiplo con coeficiente negativo de un elemento del conjunto no está en el conjunto Tampoco es una variedad Ejercicio (a) Se trata del subespacio generado por el vector v = [,, ] T (la recta que pasa por el origen de coordenadas y tiene a dicho vector como vector dirección) Una base, {v } Otra base, { v } (b) (c) Ecuaciones impícitas: { x + x 3 =, x + x 3 = Observación- El subespacio estaba originalmente definido como la intersección de un plano que venía dado en forma paramétrica con un plano que venía dado en forma implícita Lo único que hemos hecho ha sido expresar la recta intersección en forma paramétrica y en forma implícita { } x 3x Ecuaciones implícitas no redundantes + x 3 = Una base v = Otra base {v, v 3 + v }, v 3 = x + x 4 = El subespacio considerado puede caracterizarse mediante cualesquiera de las siguientes parejas de ecuaciones implícitas no redundantes (y otras muchas), { } { } x x + x 3 x 4 = x, y x 3 + x 4 =, x + 3x 3 x 4 = x + 3x 3 x 4 = Una base es v = 3, v = Matemáticas I Ingeniería Civil

29 44- Ejercicios Otra base es {v, v 3v } Ejercicio 3 La ecuación implícita de V viene dada por: x + 3x 7x 3 5x 4 = 39 Una base de S, el subespacio director de V, es v =, v =, v 3 = Ecuación implícita de S : x + 3x 7x 3 5x 4 = dim (V ) = dim (S) = 3 7 Ejercicio 4 (a) Reduciendo a forma escalonada se obtiene rango(a) = rango(b) = 3 (b) dim (Col (A)) = dim (Nul (A)) = 5 = 3 dim ( Col (A T ) ) = rango(a T ) = rango(a) = dim ( Nul (A T ) ) = = 8 Ejercicio 5 La matriz A es A = = 3 Ejercicio 6 (a) La matriz A asociada a la transformación T es A = 5 4 Matemáticas I -3

30 Tema 4- Espacios vectoriales Transformaciones lineales (b) Un sistema generador linealmente independiente de Col (A) es v = 5, v = 4 Unas ecuaciones implícitas vienen dadas por { x x x 4 =, x + x 3 = (c) Un conjunto generador linealmente independiente de Nul (A) es 5 u = 3 Ejercicio 7 A = [ ] Ejercicio 8 (a) El espacio columna de A es Col (A) = R (b) x x x 3 x 4 = + λ, λ R (c) Obviamente V no es un subespacio vectorial, el vector nulo no está en V Ejercicio 9 Las relaciones dadas entre los vectores de la base canónica {e, e, e 3 } y los vectores de la base B = {u, u, u 3 } pueden expresarse en forma matricial e e e 3 = u u u 3 = (c) Ejercicio (a) v, v, v 3 y v 4 no son linealmente independientes (b) v 4 es combinación lineal de v y v 3, Matemáticas I Ingeniería Civil

31 44- Ejercicios 3 (e) y, por tanto, de v, v y v 3 (c) v no es combinación lineal de v, v 3 y v 4 (d) v 4 no es combinación lineal de v y v (f) los vectores {v, v, v 3 } son Linealmente Independientes Ejercicio (Comparar con los resultados obtenidos en el Ejercicio 9 del Tema 3) (a) Para un vector v R 3, v / Im (f) f(r 3 ) Ax = v es un sistema incompatible (ver Ejercicio 9) (b) Un vector v R 3 es imagen de un único vector de R 3 Ax = v es un sistema compatible determinado (ver Ejercicio 9) (c) Un vector v R 3 es imagen de infinitos vectores de R 3 Ax = v es un sistema compatible indeterminado (ver Ejercicio 9) Ejercicio X es una aplicación lineal que se representa, respecto de las bases canónicas, por la matriz [ ] A = Ejercicio 3 (a) Comprobemos que Nul (A) Nul (A ), las otras inclusiones se pueden obtener de forma análoga, Si x Nul (A) = Ax = = AAx = = x Nul (A ) Comprobemos que Col (A ) Col (A), las otras inclusiones se pueden obtener de forma análoga: y Col (A ) = x tal que A x = y = A(Ax) = y = y Col (A) (b) Si x Nul (B) = Bx = = ABx = = x Nul (AB) y Col (AB) = x tal que ABx = y = A(Bx) = y = y Col (A)puesto que z = Bx tal que Az = y Matemáticas I -3

32 4 Tema 4- Espacios vectoriales Transformaciones lineales Ejercicio 4 (a) Primero tomamos un vector que no esté en la recta generada por v, por ejemplo v = e A continuación tomamos un vector que no esté en el plano generado por v y v, por ejemplo v 3 = (,, ) Y ya está (b) Basta tomar un vector que no esté en el plano determinado por v y v Puesto que la ecuación del plano es 6x + x 3x 3 =, podemos tomar v 3 = e, por ejemplo (c) Basta tomar v 3 = e 3 (d) Para obtener una base de R 4 hacen falta dos vectores linealmente independientes que sean linealmente independientes con v y v Si obtenemos unas ecuaciones implítas del subespacio que generan v y v tendremos dos ecuaciones implítas Si tomamos un vector v 3 que verifique una de dichas ecuaciones y no la otra y un vector v 4 que verifique la otra pero no la primera, ya estará Ejercicio 5 (a) [ (b) [v] B = 4 ] [ A B B = 3 ] A B B = [ 3 ] Ejercicio 6 (a) Llamemos y e y las coordenadas en la base B, tenemos para E x + x =, ecuaciones implítas: 3y 4y = y las ecuaciones paramétricas: { y = 4α 3 α R y = α para F x x =, ecuaciones implítas: y = y ecuaciones paramétricas: y = α, y = para G, ecuacions implítas: y = y ecuaciones paramétricas: y =, y = α (b) Expresando, en cada caso, y e y en función de x y x tenemos E 6x + 3x =, F x + x = G x x = Ejercicio 7 Una base de Nul (A) es e 4, por lo tanto Nul (A) = Gen {e 4 } Matemáticas I Ingeniería Civil