Tema 4 (Resultados).- Espacios vectoriales. Transformaciones lineales.

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1 Ingenierías: Aeroespacial, Civil y Química Matemáticas I - Departamento de Matemática Aplicada II Escuela Superior de Ingenieros Universidad de Sevilla Tema 4 (Resultados)- Espacios vectoriales Transformaciones lineales Ejercicio Determina cuáles de los siguientes conjuntos de vectores son subespacios vectoriales, cuáles son variadades y cuáles no son ni lo uno ni lo otro, del correspondiente espacio vectorial R n : (a) El conjunto de los vectores (x, x ) R cuyas coordenadas verifican, respectivamente, (a) cos (x ) + sen (x ) = Puesto que para cualquier x R se verifica que cos (x ) + sen (x ) =, el conjunto considerado es R y por tanto, se trata de un subespacio vectorial (a) x x = a (a R) Para a = el conjunto considerado está formado por los vectores (x, x ) que verifican que x = o que x = Es decir se trata de la recta x = y de la recta x = (los vectores determinados por puntos que están en una recta o en la otra) Al sumar un vector de una recta, por ejemplo (, ) con un vector de la otra, por ejemplo (, ) se obtiene el vector (, ) que no está en ninguna de las dos, no verifica la ecuación x x = Por tanto, el conjunto considerado no es subespacio vectorial y es inmediato comprobar que tampoco es una variedad Para a, los puntos (x, x ) R que verifican x x = a determinan una hiprbola equilátera con los ejes coordenados como asíntotas Obviamente un múltiplo de un vector que verifique x x = a no verifica dicha ecuación Por ejemplo (x = a, x = ) verifica dicha ecuación pero (x, x ) = (a, ) no la verifica Por tanto, no se trata de un subespacio vectorial y es fácil comprobar que tampoco se trata de una variedad (a3) x + x = ó x x = Se trata del conjunto de vectores que verifican una ecuación o la otra (o las dos simultáneamente) Cualquier múltiplo de cualesquiera de dichos vectores está en dicho conjunto y pertenece a la misma recta que el primero Sin embargo, al sumar un vector de una recta, por ejemplo (, ) con un vector de la otra, por ejemplo (, ) se obtiene un vector que no está en ninguna de las dos, con los vectores dados, (3, ) Por tanto, el conjunto considerado no es un subespacio 5

2 R-5 Tema 4- Espacios vectoriales Transformaciones lineales (Resultados) vectorial De forma análoga puede comprobarse que tampoco es una variedad (al desplazar dos rectas que pasan por el origen se obtienen otras dos rectas) (a4) x + x = a (a R), Para a = el único vector que verifica la ecuación es el vector nulo y por tanto, se trata de un subespacio vectorial Para a <, no hay ningún vector (x, x ) R que verifique la ecuación Por tanto, se trata del conjunto vacío que no es ni un subespacio vectorial ni una variedad Para a >, la ecuación dada determina una la circunferecia de centro el origen de coordenadas y radio a Por tanto, no es ni un subespacio vectorial ni una variedad (a5) x x = a (a R), Si a = se trata de un subespacio vectorial, la recta de ecuación x x = Si a se trata de una variedad, la variedad que pasa por el punto (a, ) y tiene como subespacio director al subespacio vectorial S de ecuación implícita x x = (a6) x + x = a y x x = b, (a, b R) Si a = b =, se trata de un subespacio vectorial puesto que el conjunto considerado está definido como el espacio nulo de una matriz, en concreto se trata de æ Nul Resolviendo el sistema que caracteriza al conjunto tenemos que el único vector que verifica las dos ecuaciones es el vector nulo (el punto de corte de las dos rectas) Si a o b, el conjunto de vectores considerado es una variedad (es un único punto) cuyo subespacio director viene dado por las ecuaciones implícitas x + x = y x x =, es decir el subespacio director es el subespacio nulo (b) El conjunto de los vectores (x, x, x 3 ) R 3 cuyas coordenadas verifican, respectivamente, (b) x + x + x 3 = y x x 3 = a (a R), Si a = es un subespacio vectorial (es una recta que pasa por origen) Matemáticas I Ingenierías: Aeroespacial, Civil y Química

3 Tema 4- Espacios vectoriales Transformaciones lineales (Resultados) R-53 Si a es una variedad (es una recta que no pasa por el origen) (b) x + x = a (a R), Si a =, los vectores que verifican la ecuación dada son los vectores de la forma (x, x, x 3 ) = (,, x 3 ), x 3 R Obviamente dicho conjunto de vectores es un subespacio vectorial de R 3 De hecho, dicho conjunto puede caracterizarse mediante el sistema de ecuaciones lineales homogneas, x =, x = Si a dicha ecuación determina un cilindro (a > ) o el conjunto vacio (a < ) y por tanto no es ni un subespacio ni una variedad (b3) (x + x )(x + x 3 ) =, Es el conjunto formado por dos planos (que no es lo mismo que la recta intersección) Obviamente dicho conjunto no es ni un subespacio ni una variedad, al igual que sucedía con el conjunto de vectores determinados por los puntos de dos rectas) (b4) x = y (x = ó x 3 = ), Se trata de las rectas r x =, x = y s x =, x 3 = Dicho conjunto no es ni un subespacio ni una variedad (b5) Se pueden expresar de la forma x = α, x = α + α, x 3 =, para algún α R Eliminando el parámetro α, el conjunto citado es el de los vectores cuyas coordenadas verifican x = x + x, x 3 = Es decir, se trata de una parábola (en R 3 ) que está contenida en uno de los planos coordenados Obviamente dicho conjunto no es ni un subespacio ni una variedad Matemáticas I -

4 R-54 Tema 4- Espacios vectoriales Transformaciones lineales (Resultados) (b6) x + x + x 3 El vector (,, ) verifica la inecuación dada, sin embargo, (,, ) = (,, ) no la verifica Por tanto, no es un subespacio vectorial De la misma forma, tampoco se trata de una variedad (c) El conjunto de los vectores (a, a,,a n ) R n cuyas coordenadas verifican, respectivamente, (c) Cada una de las coordenadas a 3,,a n es la media (aritmtica) de las coordenadas anteriores Las condiciones que caracterizan a los vectores del conjunto considerado vienen dadas por las siguientes ecuaciones, a 3 = (a + a ), a + a a 3 =, a 4 = (a 3 + a + a 3 ), a + a + a 3 4a 4 =, a n = (a n + + a n ), a + + a n (n )a n = Es decir, el conjunto considerado puede caracterizarse como el espacio nulo de una matriz por tanto, es un subespacio vectorial (c) Cada una de las coordenadas a 3,,a n es la media geomtrica de las dos coordenadas anteriores, La media geomtrica de dos números (reales positivos) α y β es γ = αβ Obviamente el conjunto considerado no es un subespacio vectorial puesto que un múltiplo con coeficiente negativo de un elemento del conjunto no está en el conjunto Tampoco es una variedad (c3) La derivada segunda del polinomio se anula para t = a + a t + a 3 t + + a n t n La derivada segunda del polinomio dado es a a 4 t + 4 3a 5 t + + (n )(n )a n t n 3 Matemáticas I Ingenierías: Aeroespacial, Civil y Química

5 Tema 4- Espacios vectoriales Transformaciones lineales (Resultados) R-55 Por tanto, el conjunto de vectores considerado está caracterizado por la ecuación a a a (n )(n )a n = Por tratarse de una ecuación lineal homognea, el conjunto considerado es un subespacio vectorial (c4) La derivada segunda del polinomio vale 3 para t = a + a t + a 3 t + + a n t n Se trata del conjunto de vectores caracterizados por la ecuación implícita no-homognea a a a (n )(n )a n = 3 Por tanto, es una variedad cuyo subespacio dirección es el subespacio dado por la ecuación homognea asociada, a a a (n )(n )a n = Ejercicio Siendo v, v,,v k vectores de R n, demuestra o da un contraejemplo de (cada una) de las siguientes afirmaciones: a) Si v, v,,v k son linealmente independientes, entonces al menos uno de ellos es combinación lineal de los restantes b) Si v, v,,v k son linealmente independientes, entonces cualquiera de ellos es combinación lineal de los restantes Las dos afirmaciones son falsas Ejercicio 3 Determina dos bases distintas de cada uno de los subespacios siguientes así como ecuaciones implícitas independientes para cada uno de ellos: (a) Vectores de R 3 que pueden expresarse como combinación lineal de v = y v = y cuyas coordenadas verifican la ecuación x x + x 3 = Matemáticas I -

6 R-56 Tema 4- Espacios vectoriales Transformaciones lineales (Resultados) (b) Subespacio de R 4 generado por los vectores v =, v = 4 v 3 = (c) Subespacio de R 4 definido por las ecuaciones implícitas x x + x 3 x 4 =, x + x + x 3 =, 3x x x 4 = (d) Subespacio de R n definido por las ecuaciones implícitas x + x + + x n =, x + x + + x n =, x + 5x + + 5x n = y v 4 = 3 (a) Vectores de R 3 que pueden expresarse como combinación lineal de v = y v = y cuyas coordenadas verifican, además, la ecuación x x + x 3 = Los vectores x R 3 que se pueden expresar como combinación lineal de los vectores dados son los vectores de la forma x α + β x = α + β = β x 3 α + β Si además sus coordenadas tienen que verificar la ecuación dada tenemos x x + x 3 = α + β β + α + β = β = α Por tanto el subespacio considerado es el formado por los vectores x α x = α α = α = α x 3 α es decir, se trata del subespacio generado por el vector v = [,, ] T (la recta que pasa por el origen de coordenadas y tiene a dicho vector como vector dirección) Matemáticas I Ingenierías: Aeroespacial, Civil y Química

7 Tema 4- Espacios vectoriales Transformaciones lineales (Resultados) R-57 Una base, {v } Otra base, { 3v } Ecuaciones impícitas El sistema x F + F 3 x + x 3 x x + x 3 x 3 F + F 3 x 3 es compatible x + x 3 =, x + x 3 = Observación- El subespacio estaba originalmente definido como la intersección de un plano que venía dado en forma paramtrica con un plano que venía dado en forma implícita Lo único que hemos hecho ha sido expresar la recta intersección en forma paramtrica y en forma implícita (b) Subespacio de R 4 generado por los vectores v =, v = 4, v 3 = y v 4 = 3 x x 4 x 3 x 4 F 3 + F F 3 3F F 4 F 3 3 x x 3 6 x 3 + x x 4-3 x x x 3 + x 3x x 4 x x + x 4 = x 3x Ecuaciones implícitas no redundantes + x 3 = Una base v = Otra base {v, v 3 + v }, v 3 = (c) Subespacio de R 4 definido por las ecuaciones implícitas x x + x 3 x 4 =, x + x + x 3 =, 3x x x 4 = Matemáticas I -

8 R-58 Tema 4- Espacios vectoriales Transformaciones lineales (Resultados) 3 F 3 + F = F + F F 3 3F - 3 x = x 3 x 4 x = 3x 3 x F F x x x 3 x 4 = x x 4 Por tanto: El subespacio considerado puede caracterizarse mediante cualesquiera de las siguientes parejas de ecuaciones implícitas no redundantes (y otras muchas), x x + x 3 x 4 = x + 3x 3 x 4 =, y x x 3 + x 4 =, x + 3x 3 x 4 = Una base es v = 3, v = Otra base es {v, v 3v } (d) Subespacio de R n definido por las ecuaciones implícitas x + x + + x n =, x + x + + x n =, x + 5x + + 5x n = Matemáticas I Ingenierías: Aeroespacial, Civil y Química

9 Tema 4- Espacios vectoriales Transformaciones lineales (Resultados) R F 3 /3 F F = F + F F 3 F x x x n = x 3 x n x 3 x n F 3 F x = x + + x n = = x x n Por tanto, Unas ecuaciones implícitas no redundantes del subespacio dado son x =, x = x 3 x n Una base es v =, v =,,v n = Y otra base es, por ejemplo, {v, v v, v 3 v,, v n v n } Ejercicio 4 Sea V la variedad de R 4 dada por las ecuaciones paramtricas x = + α β + γ, x = + α + β, x 3 = + α 7γ, x 4 = β + γ Determina una base (del subespacio director) y la dimensión de V y halla unas ecuaciones implícitas Matemáticas I -

10 R-6 Tema 4- Espacios vectoriales Transformaciones lineales (Resultados) Obtengamos las condiciones para que un vector x R 4 est en V Para que un vector x est en V el sistema anterior, con incóngitas α, β, γ y trmino independiente x, tiene que ser compatible Obtengamos dichas condiciones de compatibilidad x x + 7 x 3 x 4 Por tanto: operaciones fila = x x 4-3 x 3 x x 4 x + 3x 7x 3 5x æ el sistema es compatible x + 3x 7x 3 5x = El subespacio director de V es el subespacio S generado por los tres primeros vectores columna de la matriz ampliada anterior y dicho subespacio está caracterizado por la ecuación implícita (homognea) x + 3x 7x 3 5x 4 = Una base de S viene dada por los tres vectores columna que generan S (que son Linealmente Independientes), v =, v =, v 3 = 7 Ecuación implícita de V : x + 3x 7x 3 5x 4 = 39 dim (V ) = dim (S) = 3 Ejercicio 5 () Determina el rango de las siguientes matrices: A =, B = () Sabiendo que el rango de una matriz A, 3 3, es 3, determina el rango de la matriz æ A A I A (3) Sea A una matriz 5 cuyo rango es rango(a) = Determina la dimensión de los siguientes subespacios vectoriales, Col (A), Nul (A), Col(A T ) y Nul (A T ) Matemáticas I Ingenierías: Aeroespacial, Civil y Química

11 Tema 4- Espacios vectoriales Transformaciones lineales (Resultados) R-6 (4) Sabiendo que una matriz A de orden 4 verifica que A =, (4a) demuestra que Col (A) Nul (A), (4b) demuestra que el rango de A tiene que ser menor o igual y (4c) da ejemplos de matrices A que verifiquen que A = y cuyos rangos respectivos sean, y (a) Determina el rango de las siguientes matrices: A = 3, B = 3 3 Reduciendo a forma escalonada se obtiene rango(a) = rango(b) = 3 (b) Sabiendo que el rango de una matriz A, 3 3, es 3, determina el rango de la matriz æ A A I A Puesto que A es una matriz cuadrada que tiene rango máximo, A tiene inversa y, por tanto, mediante ciertas operaciones elementales (por filas) sobre la matriz A podemos obtener la matriz identidad Al hacer dichas operaciones elementales sobre la matriz [A A ] obtendremos la matriz [I A] puesto que hacer dichas operaciones fila sobre una matriz M es lo mismo que multiplicar dicha matriz, por la izquierda, por la inversa de A dando como resultado A M Por tanto, al hacer las operaciones fila citadas sobre nuestra matriz obtnemos æ A A I A æ A I æ I I I æ æ æ A A I A = A I A = I A I A I A æ I A = I A Por tanto el rango de la matriz dada es 6 æ I A A Trabajando con matrices por bloques es fácil comprobar que la inversa de la matriz de orden 6 dada es æ æ X Y A = I Z T (A ) A Matemáticas I -

12 R-6 Tema 4- Espacios vectoriales Transformaciones lineales (Resultados) (c) Sea A una matriz 5 cuyo rango es rango(a) = Determina la dimensión de los siguientes subespacios vectoriales, Col (A), Nul (A), Col (A T ) y Nul (A T ) dim (Col (A)) = dim (Nul (A)) = 5 = 3 dim Col (A T ) = rango(a T ) = rango(a) = dim Nul (A T ) = = 8 (d) Sabiendo que una matriz A de orden 4 verifica que A =, (d) demuestra que Col (A) Nul (A), (d) demuestra que el rango de A tiene que ser menor o igual y (d3) da ejemplos de matrices A que verifiquen que A = y cuyos rangos respectivos sean, y (d) Si un vector y R 4 está en Col(A), se puede expresar como combinación lineal de las columnas de A o lo que es equivalente, existe algún vector x R 4 de forma que Ax = y Por tanto, Es decir, Col (A) Nul (A) Ay = A (Ax) = A x = = y Nul (A) (d) Si llamamos r al rango de A, por el teorema del rango se verifica que dim (Nul (A)) = n r = 4 r Puesto que Col(A) Nul (A), se verifica que dim (Col (A)) = rango(a) = r dim (Nul (A)) = 4 r = r 4 = r (d3) la matriz nula A = (cuadrada de orden 4) tiene rango cero y A =, la matriz A = tiene rango y su cuadrado es la matriz nula la matriz A = tiene rango y su cuadrado es la matriz nula Matemáticas I Ingenierías: Aeroespacial, Civil y Química

13 Tema 4- Espacios vectoriales Transformaciones lineales (Resultados) R-63 Ejercicio 6 Consideremos una transformación lineal T : K n K m y su matriz asociada A, T(x) = Ax, x K n Demuestra que (a) T transforma subespacios vectoriales (de K n ) en subespacios vectoriales (de K m ) Es decir, si S K n es un subespacio vectorial, T(S) = {T(x) : x S} {Ax : x S} es un subespacio vectorial Qu puede afirmarse sobre las dimensiones de S y de T(S)? (b) T transforma variedades de K n en variedades, es decir, si V K n es una variedad, es una variedad T(V ) = {T(x) : x V } {Ax : x V } En qu se puede transformar un plano mediante una transformación lineal? (a) Para comprobar que T(S) = {T(x) : x S} {Ax : x S} es un subespacio vectorial (de K m ) basta con verificar que una combinación lineal arbitraria αy + βy, α, β R de dos vectores y, y de T(S) pertenece a T(S) Puesto que y e y están en T(S), existen x y x en S de forma que y = T(x ), y = T(x ) y, por tanto, αy + βy = αt(x ) + βt(x ) = æ Puesto que Tes lineal = T(αx + βx ) es un vector de T(S) puesto que αx + βx pertenece a S por ser S un subespacio vectorial Qu puede afirmarse sobre las dimensiones de S y de T(S)? Notemos que si tenemos una base {v,,v r } de S, los vectores {T(v ),,T(v r )} = {Av,,Av r } generan el subespacio T(S) puesto que todo vector de T(S) es de la forma T(α v + + α r v r ) = α T(v ) + + α r T(v r ) Suprimiendo vectores que sean combinación lineal de los restantes, del conjunto de vectores {T(v ),, T(v r )} podremos extraer una base que estará formada por a lo sumo r vectores (en caso de que todos los vectores anteriores sean linealmente independientes) Por tanto, se verifica que dim (T(S)) dim (S) Matemáticas I -

14 R-64 Tema 4- Espacios vectoriales Transformaciones lineales (Resultados) (b) De forma análoga a lo hecho en el apartado anterior, puede probarse que una transformación lineal transforma una variedad en una variedad Es decir, si V K n es una variedad con subespacio director S y p V, entonces V = p + S y T(V ) = {T(x) : x V } {Ax : x V } = T(p) + T(S) K m es una variedad que pasa por q = T(p) y tiene subespacio director T(S) En este caso hay la posibilidad de que esta última variedad sea de hecho un subespacio vectorial Un ejemplo de sto último viene dado al considerar la proyección ortogonal sobre un plano (que pase por el origen de coordenadas) Por ejemplo, la proyección ortogonal sobre el plano π x 3 = proyecta la recta r x = x + x 3 = sobre el eje OX En qu se puede transformar un plano mediante una transformación lineal? Tanto si se trata de un plano que pasa por el origen de coordenadas (subespacio vectorial de dimensión dos) como si no pasa por el origen de coordenadas (variedad lineal de dimensión dos), mediante una transformación lineal, su transformado será un subespacio o una variedad de dimensión dos (plano) o de dimensión uno (recta) o de dimensión cero (punto) Ejercicio 7 Determina la matriz de una aplicación lineal T : R 4 R 4 sabiendo que T =, T =, T =, T = Sea A la matriz asociada a la transformación lineal T dada Es decir, A es la (única) matriz que verifica que Ax = T(x), x R 4 Siendo A = a a a 3 a 4 sus vectores columna a, a, a 3 y a 4 vienen dados por a = Ae, a = Ae, a 3 = Ae 3, a 4 = Ae 4 donde los vectores e, e, e 3 y e 4 son los vectores canónicos de R 4 Una forma directa de determinar A consiste en expresar las condiciones dadas, A =, A =, A =, A = en forma matricial, A = = A = Matemáticas I Ingenierías: Aeroespacial, Civil y Química

15 Tema 4- Espacios vectoriales Transformaciones lineales (Resultados) R-65 Calculemos la matriz inversa involucrada F 4 F 3 F F 4 F 4 F F 3 F F 3 + F 4 F F 4 F F Por tanto la matriz A es A = = 3 La determinación de la matriz A puede plantearse, a partir de las condiciones dadas, como la resolución de un sistema de ecuaciones en el que las incógnitas son los vectores Matemáticas I -

16 R-66 Tema 4- Espacios vectoriales Transformaciones lineales (Resultados) columna de A Tenemos las siguientes igualdades: T = T(e ) + T(e 4 ) = v = a + a 4 = v, T = T(e ) + T(e 3 ) + T(e 4 ) = v = a + a 3 + a 4 = v, T = T(e ) + T(e 3 ) = v 3 = a + a 3 = v 3, T = T(e 4) = v 4 = a 4 = v 4 = e 4 Es decir, tenemos que resolver el sistema a + a 4 = v a + a 3 + a 4 = v a + a 3 = v 3 a 4 = e 4 donde las incógnitas a, a, a 3 y a 4 y los trminos independientes v, v, v 3 y v 4 = e 4 son vectores Resolviendo, directamente, el sistema anterior, tenemos a 4 = e 4 =, a = v a 4 = v e 4 =, a 3 = v a a 4 = v (v e 4 ) e 4 = v v e 4 =, a = v 3 a 3 = v 3 v + v + e 4 = 3 Por tanto, ya tenemos las cuatro columnas de la matriz A pedida Matemáticas I Ingenierías: Aeroespacial, Civil y Química

17 Tema 4- Espacios vectoriales Transformaciones lineales (Resultados) R-67 Ejercicio 8 Determina la matriz A de una transformación lineal T : R 3 R sabiendo que el espacio nulo de A viene dado por la ecuación implícita x x x 3 = y que Ǒ æ T = Teniendo en cuenta las condiciones dadas, tenemos que determinar la única matriz A, 3, que verifica que Av = para cualquier vector v Nul (A) y que A = æ Tomamos vectores linealmente independientes que generen Nul (A), por ejemplo v = y v = Por tanto, A debe verificar A = æ, A = Expresando estas igualdades en forma matricial tenemos A Despejando A, A = æ F + F + F 3 = æ æ y A = = = æ æ æ F F F 3 F Ejercicio 9 Se considera la transformación lineal T cuya matriz asociada es æ A = 4 3 Matemáticas I -

18 R-68 Tema 4- Espacios vectoriales Transformaciones lineales (Resultados) (a) Determina el espacio columna de A, Col (A) (b) Calcular los vectores del núcleo de T que, a su vez, verifican el sistema de ecuaciones x + 4x x 3 + x 4 =, x + 6x 4x 3 + x 4 = 4 (c) Sea V el conjunto de los vectores encontrados en el apartado anterior Es V un subespacio vectorial de R 4? Justifica la respuesta (a) Vamos a obtener vectores linealmente independientes que generen Col (A) Si reducimos A a forma escalonada y seleccionamos todas las columnas pivote, de A, tendremos un conjunto de vectores que verifica las dos condiciones anteriores Al reducir A a forma escalonada obtenemos, A = De esto se deduce que: æ el segundo vector-columna de A es un múltiplo del primero, el primer y el tercer vector-columna de A son linealmente independientes, el cuarto vector-columna de A se puede expresar como combinación lineal de la primera y la tercera columnas, cualquier vector y R puede expresarse como combinación lineal de las columnas de A Además, se podrá expresar de infinitas formas distintas puesto que el sistema Ax = y es compatible indeterminado Puesto que las columnas a (primera) y a 3 (tercera) de A son linealmente independientes, el sistema a a 3 æ α β = y es compatible determinado Por tanto cada vector y se podrá expresar de forma única como combinación lineal de a y a 3 Por tanto, el espacio columna de A es Col (A) = R y æ a = æ, a 3 = æ, e = æ, e = son conjuntos de vectores linealmente independientes que generan Col (A) Matemáticas I Ingenierías: Aeroespacial, Civil y Química

19 Tema 4- Espacios vectoriales Transformaciones lineales (Resultados) R-69 (b) Se trata de obtener las soluciones del sistema, no-homogneo, cuya matriz ampliada es Resolvamos el sistema, F 3 F F 4 + F 3 = x x x 3 x 4 F F F 3 F F 4 F = + x 4 x 4 x 4 x = F 4 F 3 x 3 = x 4 x = + 3x 3 + x 4 = x 4 x = x x 3 x 4 = + x 4 + x 4 x 4 = + x 4 + λ, λ R = (c) Obviamente V no es un subespacio vectorial, el vector nulo no está en V Ejercicio Siendo e, e, e 3 los vectores de la base canónica de R 3 y sabiendo que los vectores {u, u, u 3 } verifican e = u +u +u 3, e = u u +u 3, e 3 = u +u +u 3, señala la relación correcta: (a) [e e e 3 ] = (b) [u u u 3 ] = (c) [u u u 3 ] = [u u u 3 ] Ǒ = 9 Ǒ = 9 Matemáticas I -

20 R-7 Tema 4- Espacios vectoriales Transformaciones lineales (Resultados) Las relaciones dadas entre los vectores de la base canónica {e, e, e 3 } y los vectores de la base B = {u, u, u 3 } pueden expresarse en forma matricial e e e 3 = u u u 3 = (c) Ejercicio Consideremos los siguientes vectores de R 5, 5 v =, v =, v 3 = 4 3 y v 4 = (a) Son v, v, v 3 y v 4 linealmente independientes? (b) Es v 4 combinación lineal de v, v y v 3? (c) Es v combinación lineal de v, v 3 y v 4? (d) Es v 4 combinación lineal de v y v? (e) Es v 4 combinación lineal de v y v 3? (f) Son v, v y v 3 linealmente independientes? Estudiar si un conjunto de vectores {u,,u p } es linealmente dependiente o independiente es equivalente a estudiar si el sistema homogneo Ax = (siendo A la matriz cuyas columnas son las coordenadas de los vectores dados) es (compatible) indeterminado o determinado En el caso de que el sistema tenga infinitas soluciones, cada una de las soluciones no nulas nos dará una relación de dependencia lineal entre los vectores considerados y podremos determinar qu vectores pueden expresarse como combinación lineal de los demás Todas las preguntas planteadas en el ejercicio pueden responderse reduciendo a forma escalonada la matriz cuyas columnas son los vectores dados, con lo cual podremos discutir el sistema homogneo Ax = operaciones fila Puesto que este sistema homogneo tiene infinitas soluciones (hay una variable libre), los cuatro vectores dados (los cuatro vectores columna de la matriz de los coeficientes de las incógnitas) son Linealmente Dependientes Es decir, Matemáticas I Ingenierías: Aeroespacial, Civil y Química

21 Tema 4- Espacios vectoriales Transformaciones lineales (Resultados) R-7 (a) v, v, v 3 y v 4 no son linealmente independientes Además, todas las posibles relaciones de dependencia lineal de estos vectores vienen dadas por x v + x v + x 3 v 3 + x 4 v 4 = siendo (x, x, x 3, x 4 ) T cualquier solución del sistema homogneo considerado Resolviendo el sistema tenemos operaciones fila x x x 3 x 4 = λ λ λ = λ, λ R Puesto que de las igualdades v + ( λ)v + ( λ)v 3 + λv 4 = (λ R) podemos despejar v 4 para λ, v 4 = v + v 3 = v + v + v 3 tenemos que (b) v 4 es combinación lineal de v y v 3, (e) y de v, v y v 3 Puesto que en todas las relaciones de dependencia lineal obtenidas el coeficiente de v es cero, no podemos despejar v y por tanto (c) v no es combinación lineal de v, v 3 y v 4 Si pudiramos expresar v 4 como combinación lineal de v y v tendríamos v 4 = αv +βv para ciertos valores α, β R y, por tanto, tendríamos αv + βv + v 3 v 4 = Puesto que el sistema homogneo no tiene ningna solución del tipo (x = α, x = β, x 3 =, x 4 =, tenemos que (d) v 4 no es combinación lineal de v y v Si en la matriz ampliada del sistema homogneo suprimimos (antes o despus de hacer las operaciones fila) la columna correspondiente al vector v 4, el sistema correspondiente (equivalente a la ecuación vectorial x v +x v +x 3 v 3 = ) tiene únicamente la solución nula y, por tanto, (f) los vectores {v, v, v 3 } son Linealmente Independientes Ejercicio (Comparar con los resultados obtenidos en el Ejercicio 9 del Tema 3) Sea f : R 3 R 4 la aplicación lineal dada por 3 4 x f(x) = x 3 a x b 4 b 3 Matemáticas I -

22 R-7 Tema 4- Espacios vectoriales Transformaciones lineales (Resultados) Determinar las condiciones a satisfacer por a y b para que el vector v = (, 3,, b 4) verifique respectivamente: (a) No pertenezca a la imagen de f (b) Sea la imagen de un único vector de R 3 (c) Sea la imagen de infinitos vectores de R 3 (a) Para un vector v R 3, v / Im (f) f(r 3 ) Ax = v es un sistema incompatible (ver Ejercicio??) (b) Un vector v R 3 es imagen de un único vector de R 3 Ax = v es un sistema compatible determinado (ver Ejercicio??) (c) Un vector v R 3 es imagen de infinitos vectores de R 3 Ax = v es un sistema compatible indeterminado (ver Ejercicio??) Ejercicio 3 Sea T : R R la transformación que hace corresponder al punto P = (x, x ) el punto Q = ( x, x ) Señala la única opción que es correcta es una transformación que no está bien definida X es una aplicación lineal que se representa, respecto de las bases canónicas, por la matriz A = æ es una transformación, pero no es lineal porque tiene por ecuaciones y = x cos π + x sen π, y = x sen π + x cos π Ejercicio 4 (a) Demuestra que para una matriz cuadrada A se verifica que Nul (A) Nul (A ) y Col (A) Col (A ) Matemáticas I Ingenierías: Aeroespacial, Civil y Química

23 Tema 4- Espacios vectoriales Transformaciones lineales (Resultados) R-73 (b) Demuestra que para dos matrices A y B con las dimensiones adecuadas se verifica que Nul (B) Nul (AB) y Col (A) Col (AB) (a) Comprobemos que Nul (A) Nul (A ), las otras inclusiones se pueden obtener de forma análoga, Si x Nul (A) = Ax = = AAx = = x Nul (A ) Comprobemos que Col (A ) Col (A), las otras inclusiones se pueden obtener de forma análoga Puesto que cada columna de A es una combinación lineal de las columnas de A, cualquier cobinación lineal de las columnas de A es combinación lineal de las columnas de A Dicho de otra forma, y Col (A ) = x tal que A x = y = A(Ax) = y = y Col (A) (b) Comprobemos, Si x Nul (B) = Bx = = ABx = = x Nul (AB) Puesto que cada columna de AB es una combinación lineal de las columnas de A, cualquier combinación lineal de las columnas de AB es combinación lineal de las columnas de A Dicho de otra forma, y Col (AB) = x tal que ABx = y = A(Bx) = y = y Col (A)puesto que z = Bx tal que Az = y Ejercicio 5 Dados dos subespacios E y F de R n, hallar las ecuaciones implícitas, las paramtricas y una base del subespacio intersección, E F: (a) E x + x =, F x + x =, en R (b) E x + x =, F x + x =, en R (c) E x + x =, F x + x =, en R 3 (d) E x + x + x 3 =, F x x + x 3 =, en R 3 (e) E = Gen {(,, ), (,, )}, F = Gen {(,, )}, en R 3 (f) E = Gen {(,, ), (,, )}, F = Gen {(,, ), (,, )}, en R 3 Matemáticas I -

24 R-74 Tema 4- Espacios vectoriales Transformaciones lineales (Resultados) (g) E = Gen {(,, ), (,, )}, F = Gen {(,, 3), (,, )}, en R 3 (h) E = Gen {(,,, ), (,,, 3)}, F = Gen {(,,, ), (,,, )}, en R 4 (a) E x + x =, F x + x =, en R Intersección de dos rectas distintas que pasan por el origen de coordenadas æ x + x E F = x = = E F = x + x = x = (b) E x + x =, F x + x =, en R Intersección de dos rectas coincidentes que pasan por el origen de coordenadas æ x + x E F = α x x + x = + x = = E F = E = F =, α R α (c) E x + x =, F x + x =, en R 3 E F es la recta intersección de dos planos que pasan por el origen de coordenadas, x + x E F = x = = E F = x + x = x = : α R = Gen α (d) E x + x + x 3 =, F x x + x 3 =, en R 3 E F es la recta intersección de dos planos que pasan por el origen de coordenadas (e) E = Gen {(,, ), (,, )}, F = Gen {(,, )}, en R 3 E F es la intersección de un plano, E, y una recta, F que pasan por el origen de coordenadas Puesto que la recta F está contenida en el plano E, E F = F Matemáticas I Ingenierías: Aeroespacial, Civil y Química

25 Tema 4- Espacios vectoriales Transformaciones lineales (Resultados) R-75 (f) E = Gen {(,, ), (,, )}, F = Gen {(,, ), (,, )}, en R 3 E F es la intersección de dos planos que pasan por el origen de coordenadas (g) E = Gen {(,, ), (,, )}, F = Gen {(,, 3), (,, )}, en R 3 E F es la intersección de dos planos que pasan por el origen de coordenadas E x 3 x = F 3x x 3 = = E F x = x 3 = Es decir, E F es la recta de R 3 dada por E F = Gen x x x 3 = α, α R (h) E = Gen {(,,, ), (,,, 3)}, F = Gen {(,,, ), (,,, )}, en R 4 Pasamos E a forma implícita, E : x x x 3 3 x 4 operaciones fila E x x x x 3 x + x + x 4 x 3 = x + x + x 4 = Pasamos F a forma implícita, F : x x x 3 x 4 operaciones fila F x x x 3 x x x 4 x x x + x x 3 = x + x x 4 = Matemáticas I -

26 R-76 Tema 4- Espacios vectoriales Transformaciones lineales (Resultados) Ya tenemos una expresión implíta de E F, x 3 = x E F + x + x 4 = x + x x 3 = x + x x 4 = operaciones fila E F = {} x x x 3 x 4 = Ejercicio 6 Hallar las ecuaciones implícitas, las paramtricas y una base del subespacio suma, E + F, para los siguientes subespacios: (a) E x + x =, F x + x =, en R (b) E x + x =, F x + x =, en R (c) E x + x =, F x + x =, en R 3 (d) E x + x + x 3 =, F x x + x 3 =, en R 3 (e) E = Gen {(,, ), (,, )}, F = Gen {(,, )}, en R 3 (f) E = Gen {(,, ), (,, )}, F = Gen {(,, ), (,, )}, en R 3 (g) E = Gen {(,, ), (,, )}, F = Gen {(,, 3), (,, )}, en R 3 (h) E = Gen {(,,, ), (,,, 3)}, F = Gen {(,,, ), (,,, )}, en R 4 (i) E = Gen {(,, ), (,, )}, F = Gen {(,, )}, en R 3 La relación entre las dimensiones de los subespacios E, F, E F y E + F, dim (E + F) + dim (E F) = dim (E) + dim (F), permite en algunos casos obtener, sin realizar el cálculo directo, el subespacio suma si conocemos el subespacio intersección o viceversa (h) Tenemos dos subespacios E y F de R 4 y según hemos obtenido en el ejercicio anterior Por tanto, E + F R 4, y dim (E) =, dim (F) = y E F = {} dim (E + F) = dim (E) + dim (F) dim (E F) = 4 = E + F = R 4 Matemáticas I Ingenierías: Aeroespacial, Civil y Química

27 Tema 4- Espacios vectoriales Transformaciones lineales (Resultados) R-77 Ejercicio 7 Extender a una base de R n el conjunto linealmente independiente que se da: (a) {v = (,, )} en R 3 (b) {v = (, 3, 4), v = (,, )} en R 3 (c) {v = (,, ), v = (, 3, )} en R 3 (d) {v = (,,, ), v = (,,, 3)} en R 4 (a) Bastará obtener dos vectores lineamente independientes de forma que junto con v formen un conjunto linelamente independiente Esto se puede hacer paso a paso Primero tomamos un vector que no est en la recta generada por v, por ejemplo v = e A continuación tomamos un vector que no est en el plano generado por v y v, por ejemplo v 3 = (,, ) Y ya está x = α + β x = α x 3 = α, α, β R, (b) Basta tomar un vector que no est en el plano determinado por v y v Puesto que la ecuación del plano es 6x + x 3x 3 =, podemos tomar v 3 = e, por ejemplo (c) Basta tomar v 3 = e 3 (d) Para obtener una base de R 4 hacen falta dos vectores linealmente independientes que sean linealmente independientes con v y v Si obtenemos unas ecuaciones implítas del subespacio que generan v y v tendremos dos ecuaciones implítas Si tomamos un vector v 3 que verifique una de dichas ecuaciones y no la otra y un vector v 4 que verifique la otra pero no la primera, ya estará Ejercicio 8 Consideremos la base B = {(, ), ( 3, )} de R (a) Obtener, en dicha base, las ecuaciones implícitas y las paramtricas de los subespacios que en la base canónica vienen definidos mediante: E x + x =, F x x =, G = Gen {(, )}, H = Gen {(3, )} (b) Obtener, en la base canónica, las ecuaciones implícitas y las paramtricas de los subespacios que en la base B vienen definidos mediante: E y + 5y =, F y =, G = Gen {(, ) B }, H = Gen {(, 4) B } Matemáticas I -

28 R-78 Tema 4- Espacios vectoriales Transformaciones lineales (Resultados) Denotamos por C la base canónica de R Dado un vector v R consideremos æ x x = [v] C, Tenemos, por tanto, la siguiente relación æ y y = [v] B v = x e + x e = y u + y u que en forma matricial queda æ x x = æ 3 æ y y æ x = y 3y y x = y y y = æ 3 æ x x æ y y = æ 3 æ x x y = x + 3x, y = x + x (a) Expresando, en cada caso, x y x en función de y e y tenemos E x + x =, æ x [ ] x æ 3 = [ ] æ y y = 3y 4y = y = 4 3 α y = α α R F x x =, æ x [ ] x æ 3 = [ ] æ y y = y = H : æ x x æ 3 = æ y y = æ H y = y = α α R (b) Expresando, en cada caso, y e y en función de x y x tenemos æ y E [ 5 ] y æ 3 = [ 5 ] æ x x = 6x + 3x =, æ y F [ ] y æ 3 = [ ] æ x x = x + x = Matemáticas I Ingenierías: Aeroespacial, Civil y Química

29 Tema 4- Espacios vectoriales Transformaciones lineales (Resultados) R-79 G = Gen {u}, u = u + u = u æ x = α G = Gen G x = α α R G x x = Ejercicio 9 Halla las ecuaciones paramtricas de un subespacio F (de R 4 ) complementario de Nul (A), siendo A la matriz 3 3 A = 4 3 Obtengamos una base de Nul (A) :] 3 3 operaciones x fila 3 x 4 x 3 = x 3 4 x 4 = Nul (A) = Gen {e 4 } Tenemos que obtener un subespacio vectorial F que verifique que Nul (A) + F = R 4 y Nul (A) F = {} Obviamente, F = Gen {e, e, e 3 } es un subespacio complementario de Nul (A), F x = α, x = β, x 3 = γ, x 4 = x 4 = Matemáticas I -