Tema 3. Circuitos capacitivos

Transcripción

1 Inroducción a la Teoría de ircuios Tema 3. ircuios capaciivos. Inroducción Inerrupores ondensadores Asociación de capacidades ondensadores en paralelo... 5 ondensadores en serie ircuio R sin fuene ondiciones iniciales en los circuios conmuados Respuesa al escalón de un circuio R.... Inroducción Hasa ahora hemos viso cómo analizar circuios resisivos, es decir, compuesos por resisencias y fuenes. En ese ema presenaremos un nuevo elemeno de circuio llamado condensador. La aplicación de los circuios resisivos es basane limiada, sin embargo, con la inroducción de los condensadores seremos capaces de analizar circuios más imporanes y prácicos. No debe de perderse de visa que las écnicas de resolución de circuios esudiadas en los emas y 2 siguen siendo válidas para los circuios con condensadores. 2. Inerrupores Anes de pasar a explicar los condensadores presenaremos un nuevo elemeno: el inerrupor. Un inerrupor iene dos esados diferenes: abiero y cerrado. En el caso ideal, un inerrupor es un corocircuio cuando esá cerrado y un circuio abiero cuando esá abiero. En la figura a se muesra el símbolo de un inerrupor. Se puede ver que se indica el insane de iempo en el que inerrupor cambia de esado (= ), y el senido de la flecha indica a que esado pasa en el insane. De forma que el inerrupor de la figura a esá abiero para < y cerrado para >.

2 Inroducción a la Teoría de ircuios Exisen oras posibilidades. Por ejemplo, el inerrupor de la figura b esá cerrado para < y abiero para >. El inerrupor c maniene los nodos A y conecados para < y coneca los nodos y B para >. A B = = = (a) (b) (c) Figura. Símbolo de un inerrupor. 3. ondensadores Después de las resisencias, los condensadores suelen ser los elemenos más comunes en un circuio. Un condensador es un elemeno de dos erminales diseñado para almacenar energía por medio de su campo elécrico. Un condensador esá compueso por dos placas conducoras separadas enre sí por un aislane (figura 2). En la figura 3 se puede ver el símbolo de un condensador. V I I Figura 2. ondensador. 2

3 Inroducción a la Teoría de ircuios i v Figura 3. Símbolo de un condensador. Si exise una ciera inensidad I en un condensador, esa inensidad provoca que se cargue posiivamene una de las placas y la ora negaivamene. La carga q de una placa será siempre idénica a la q de la ora. En un condensador, la ensión v exisene enre sus placas será siempre proporcional a la carga almacenada en ellas, de forma que: q = v [] q: arga almacenada en las placas. v: Tensión enre las placas. : Valor del condensador medido en F (F=/V). El valor de un condensador depende exclusivamene de las caracerísicas geoméricas del mismo. Para obener la caracerísica IV del condensador sólo enemos que derivar a ambos lados de la ecuación [], obeniéndose: dq d = dv d i = dv d [2] i: Inensidad a ravés del condensador. v: Tensión enre las placas. : Valor del condensador medio en F (F=/V). v: Tensión enre las placas. : Valor del condensador. Esa ecuación es válida para las referencias de ensión e inensidad indicadas en la figura 3. De acuerdo con la ecuación anerior, cuando un condensador conduzca corriene, su ensión debe variar, ya que su derivada es disina de cero. Sin embargo, cuando la ensión es consane, la inensidad a ravés del condensador siempre es nula. Si inegramos a ambos lados de la ecuación [2], obenemos la siguiene relación: 3

4 Inroducción a la Teoría de ircuios o bien, v = i d v = i d v( Se puede ver, que la ensión en un condensador en un insane depende de la inensidad que ha pasado por el condensador aneriormene al insane. Por ano, un condensador iene memoria. Esa propiedad es muy uilizada en algunos circuios. omo conclusiones imporanes ciaremos dos:. uando la ensión de un condensador se maniene consane, su inensidad es nula. 2. La ensión de un condensador nunca cambia de forma insanánea, ya que eso implicaría una corriene infinia. Por ano, una ensión como la de la figura 4 es imposible en un condensador. V c ) Figura 4. Variación insanánea de la ensión de un condensador. Ejemplo. La ensión de un condensador de valor µf esá represenada en la figura 5. ómo será su inensidad y su carga en función del iempo?. V c 5 2 Figura 5. Tensión del condensador del ejemplo. La carga de un condensador es proporcional a su ensión (q=v), por ano, la carga en función del iempo esará represenada en la figura 6a. 4

5 Inroducción a la Teoría de ircuios La inensidad es igual a: dv i = i = ( µ F) d dv d La inensidad se represena en la figura 6b. q c I c 5µ 5µ 2 5µ 2 (a) (b) Figura 6. Solución del ejemplo. 3.. Asociación de capacidades. Vimos en el ema anerior que la asociación en serie y paralelo es una herramiena muy poderosa para simplificar circuios. Veremos cómo se realizan esas asociaciones con condensadores. ondensadores en paralelo El valor del condensador equivalene ( eq ) de N condensadores conecados en paralelo (,,... N ) es la suma de los valores individuales (figura 7). Reso del circuio 2 N Reso del circuio eq eq= 2... N Figura 7. ondensadores en paralelo. 5

6 Inroducción a la Teoría de ircuios ondensadores en serie La capacidad equivalene ( eq ) de N condensadores conecados en serie (,,... N ) sigue la siguiene expresión (figura 8): =... eq 2 N Reso del circuio 2 Reso del circuio eq N eq = 2... N Figura 8. ondensadores en serie. Ejercicio : alcular la capacidad equivalene del circuio de la figura 9. 5µF 6µF 2µF 6µF 2µF Figura 9. ircuio del ejercicio. Solución: 2µF 4. ircuio R sin fuene Esudiaremos el circuio de la figura, es decir, un condensador de valor conecado a una resisencia de valor R. La ensión inicial del condensador vale V, eso significa que: 6

7 Inroducción a la Teoría de ircuios V ) = V () = = ( V i i R V R Figura. ircuio R. Veremos cómo es la ensión del condensador V en función del iempo. Aplicando la ley de Kirchhoff: i i R dv ( ) V ( ) = = d R Inegrando: V ( ) = V e R Se puede ver que la ensión en el condensador va disminuyendo de forma exponencial hasa llegar a cero. En la figura se puede ver la represenación gráfica de la ensión del condensador. V c V V e R Figura. Tensión en el condensador. Se define τ = R como la consane de iempo, e indica la rapidez con la que disminuye la ensión del condensador. Para resolver un circuio con un condensador y resisencias se siguen los siguienes pasos: a. Deerminar la ensión inicial en el condensador. (V ) 7

8 Inroducción a la Teoría de ircuios En el próximo aparado se explicará cómo deerminar la ensión inicial en un condensador en condiciones esáicas. b. alcular la consane de iempo ( τ = R ), de forma que τ V ( ) V e. = Para deerminar la consane de iempo obendremos el equivalene Thévenin enre los erminales de la capacidad. Es decir, eliminaremos la capacidad y enconraremos la resisencia equivalene enre sus erminales. Ejemplo 2. Deerminar la ensión en el condensador (V ) y la inensidad (I ) a los cinco segundos en el circuio de la figura. La ensión inicial del condensador es de V =V. V i =F 5Ω 7Ω 3Ω Figura 2. ircuio del ejemplo 2. Anes de comenzar ransformaremos el circuio de la figura 2 en el de la figura 3(b). Para ello calcularemos el equivalene Thévenin del circuio de la figura 3(a). La resisencia Thévenin vale: R eq =R h =4Ω Por ano, la ensión en el condensador es: R V ( ) = Ve = e 4 La ensión a los cinco segundos vale 5 4 V (5) = e V. dv ( ) La inensidad: I ( ) = = e I (5) = e d

9 Inroducción a la Teoría de ircuios A 7Ω i R eq 5Ω 3Ω V R eq B (a) (b) Figura 3. Resolución del ejemplo ondiciones iniciales en los circuios conmuados En ese aparado nos cenraremos en deerminar la ensión inicial de un condensador, cuando en el circuio hay uno o más inerrupores. Se considera que el insane de accionar el inerrupor es =, y se desea deerminar el valor de la ensión del condensador en =. Se supondrá que los inerrupores del circuio se han manenido en la posición inicial durane largo iempo anes de = (momeno de la conmuación). Si en el circuio sólo exisen fuenes independienes de valor consane, ras ese largo iempo se habrá llegado a condiciones esáicas, es decir, odas las ensiones e inensidades del circuio son consanes. Ya hemos viso que cuando la ensión en un condensador es consane, la corriene que circula por ése es nula, comporándose como un circuio abiero. Por ano, para calcular la ensión en = susiuiremos el condensador por un circuio abiero. Pueso que la ensión en un condensador no puede cambiar de forma insanánea, se iene que la ensión inicial del condensador vale: V = V ( ) = V ( ) Ejemplo 3. Deerminar la ensión del condensador V en función del iempo para el circuio de la figura 4. 9

10 Inroducción a la Teoría de ircuios 3KΩ = 3KΩ 2V 6KΩ V =.µf 3KΩ Figura 4. ircuio del ejemplo Respuesa al escalón de un circuio R Esudiaremos el circuio de la figura 5a, compueso por un condensador con ensión inicial V, una resisencia de valor R. En el insane = el inerrupor coneca la fuene independiene de ensión a la resisencia, pasando a circuio de la figura 5b. = R R V S V V S V (a) (b) Figura 5. ircuio para calcular la respuesa al escalón. La inensidad en la resisencia vendrá dada por: VS i ( ) = R V R ( ) Por ano: VS V ( ) dv ( ) ir ( ) = i ( ) = = R d Resolviendo esa ecuación diferencial de primer orden obenemos la siguiene expresión para la ensión del condensador: V ( ) VS ( V = V ) e S R

11 Inroducción a la Teoría de ircuios Por ano, el valor final de la ensión del condensador (= ) es V S, como puede verse en la figura 6. V c V S τ = V Figura 6. Respuesa al escalón de un circuio R. Si llamamos V a la ensión V S, y definimos la consane de iempo como R, podemos escribir la ecuación de la ensión del condensador como: V ( ) V ( V = V ) e τ Para resolver un circuio con condensadores, inerrupores y fuenes se siguen los siguienes pasos: i. Se calcula la ensión inicial del condensador. Normalmene se impondrán condiciones esáicas. ii. Se deermina el equivalene Thévenin enre los erminales del condensador, siendo: V = Vh τ = R h Ejemplo 4. alcular la ensión en el condensador V en el circuio de la figura 7 para: (a) =. (b). 3KΩ = 2V V KΩ Figura 7. ircuio para el ejemplo 4.

12 Inroducción a la Teoría de ircuios Ejercicio 2. Enconrar i para = y en el circuio de la figura 9. 4Ω = 3Ω i 8V 2F 4mA 5Ω Figura 9. ircuio para el ejercicio 2. Solución: = i=.8 A 6 i () =.4.4e A 2