EJERCICIOS PROPUESTOS

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1 8 Deerminanes. Ejercicio resuelo. EJERCICIOS PROPUESTOS. Calcula el valor de los siguienes deerminanes c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). Dada la mariz 0 M 0 halla, y. 0 ( ) ( ) ( ) Calcula el valor de los siguienes deerminanes, uilizando sucesivamene la definición por recurrencia ( ) ( ) ( ) 0 ( ) Unidad 8 Deerminanes

2 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 + ( ) 0 ( + ) ( ) ( ) 0 + ( ) 0 ( 4 54) Ejercicio resuelo. a d 6. Sabiendo que b d 5, halla el valor de los siguienes deerminanes. c d a+ d d b+ d 4 d c+ d 6 d a d a b d b c d c c) 6 a+ b+ c b c d d d a+ d d a d d d a d b+ d 4 d b 4 d + d 4 d b d c + d 6 d c 6 d d 6 d c d Hemos usado la propiedad de la suma para descomponer el deerminane en suma de dos deerminanes. En el primero hemos sacado facor común en la segunda columna, el segundo es nulo por ser la primera y ercera columnas proporcionales. a d a a d + a a d a d a c d c c d + c c d c d c b d b b d b b d b d b ( ) En primer lugar, hemos sacado facor en las columnas segunda y ercera y, a coninuación, hemos usado la propiedad de la suma para descomponer el deerminane en suma de dos deerminanes. En el primero hemos usado la propiedad 7, el segundo es nulo por ser la primera y ercera columnas proporcionales. c) a b c a+ b+ c b c a+ b+ c b c a b c + b b c + c b c 5 d d d d + d + d d d d d d d d d d d d d d d Hemos usado la propiedad de la suma para descomponer el deerminane en suma de res deerminanes. En el primero hemos usado la propiedad 7 y la 9, el segundo y el ercero son nulos por ener dos columnas iguales. Deerminanes Unidad 8 5

3 7. Si a, b y c son números eneros, comprueba que a b c es múliplo de 5. a b c a b c a b c , por ano, el deerminane es múliplo de Si y son dos marices cuadradas de orden ales que de ( ) 4 y ( ) ( ) de, halla, razonadamene: de ( ) ( de ) c) ( de ) d) de ( ) de ( ) de( ) de( ) 8. ( ) ( ) de. ( ) ( de de ) de( ) de( ) de( ) 8 c) ( ) ( ) ( de de de ) [ de( ) ] [ de( )] 56. d) Sacando facor común a en las res filas de obenemos ( ) de de( ). 9. Ejercicio resuelo. 0. Uilizando el méodo de Gauss, calcula los siguienes deerminanes c) F F4 F C C F FF F F+ F F F F F F F F+ F F4 F4+ F F F F F4 F4+ F c) F F+ F 0 4 F FF F4 F4F F F+ F F4 F4+ F F4 F4+ 4F Unidad 8 Deerminanes

4 . Calcula los siguienes deerminanes desarrollando por los elemenos de una fila o columna c) F F+ F Desarrollando por F4 F4F la primera columna ( ) F FF 0 Desarrollando por F4 F4F la ercera columna 0 0 ( ) F F+ F Desarrollando por F F+ F la primera columna 0 0 c) ( ) y. Ejercicios resuelos. 4. Halla el rango de cada una de las siguienes marices C D Rango de : Como el menor 0 Rango de :, rg( ). El único menor de orden es 0 F F F rg( ) rg 0. Como Rango de C: C C+ C, C4 CC rg( C) rg 5. Como 0 Rango de D: Como ( ), rg( ) 5 6 0, rg( C ) 0 5 0, por ano, rg( ) , rg( D ) 4 4 C CC 6 Desarrollando por la primera columna 0 0 Deerminanes Unidad 8 7

5 k + 0 k 5. Halla el valor de k para que rg. 0 k + Como el menor 0 6 0, el rango es al menos. Para que el rango sea, los dos menores de orden que se obienen ampliando el anerior se deben anular, es decir: k k + ( k + ) ( k + ) ( k + ) 0 ( k + )( k 4) 0 k 4 ( k + ) + 6k 6( k + ) 4 0 k 8 0 k + k 0 0 α α 6. Esudia el rango de P α α α en función de α. El único menor de orden se anula si: α α α α α α+ α + α α+ α α α α( α ) α α α α ,, Por ano, si α, α 0 y α, enemos rg( P ). Si α enemos P y rg( P ), ya que 6 0. Si α 0 enemos Si α enemos 0 0 P P y rg( P ), ya que y rg( P ), ya que 6 0. En resumen, si α, α 0 o α enemos rg( P ), en oro caso rg( P ). 7. Ejercicio ineracivo. 8 y 9. Ejercicios resuelos. 8 Unidad 8 Deerminanes

6 0. En cada caso, deermina si la mariz iene inversa C D es inverible. 5 C C 0 no es inverible. 0 4 no es inverible. D D es inverible. 0. Halla la mariz inversa de cada una de las marices. 0 M N P 0 0 Inversa de M: M 4 0 M es inverible. 5 dj ( M ) 5 4 y ( dj ( )) M M M Inversa de N: N N es inverible dj( N ) dj N 6 y N ( ( N) ) Inversa de N: P 6 0 P es inverible. 0 dj( P ) dj 0 0 P y P ( ( P) ) Deerminanes Unidad 8 9

7 . En cada caso, deermina para qué valores del parámero λ iene inversa la mariz. 0 λ λ 0 λ λ λ 0 c) λ+ C 0 0 d) 0 λ D iene inversa si 0 : Por ano, si λ la mariz iene inversa. iene inversa si 0 : 0 0 λ λ 0 λ+ 0 λ 0 λ λ λ + λ λ λ 4 λ , Por ano, si c) C iene inversa si C 0 : λ y λ la mariz iene inversa. 4 C λ No hay solución 0 Por ano, la mariz C iene inversa para cualquier valor de λ. d) D iene inversa si D 0 : D 0 λ 0 0 ( λ ) 0 λ Por ano, si λ la mariz D iene inversa.. Ejercicio resuelo. 4. Idenifica las expresiones que sean iguales de enre las siguienes. + d) ( I) ( + C) e) ( I) c) f) g) + C + h) i) ( + ) I ( ) + + I, es decir, las expresiones a y e son iguales. ( + C) + C, es decir, las expresiones b y g son iguales , es decir, las expresiones f y h son iguales. 0 Unidad 8 Deerminanes

8 5. Despeja la mariz X en cada una de las siguienes ecuaciones mariciales, suponiendo que odas las marices son cuadradas de orden y que las marices que lo requieran ienen inversa. X C d) X + C g) + X C + X C e) X + X h) X + + X c) X f) X C i) ( ) + X C X C X C + X C X C X ( C ) c) ( ) ( X X ) [ ] ( ) ( + ) ( )( X C X C X C X C C C ) d) ( ) ( ) e) ( ) ( ) [( ) ] X + X X X X X I ( I ) f) X C X C g) + X C X C X ( C ) h) X + + X X X ( I) X X ( I) ( ) i) ( + X) C + X C X C X ( C) 6. Resuelve la ecuación maricial X siendo las marices y : Tenemos X X +, por ano, si exise enemos ( ) X + +. Como exise 0 dj 0 : ( ) dj 0 0 y ( ( ) ) Por ano: X 7. Resuelve la ecuación maricial: X + en la que y son las marices: 4 6, 5 X + X X Como ( ) 4 0 exise : dj( ) 4 y ( ( )) 4 dj Por ano: X ( ) 5 4 Deerminanes Unidad 8

9 8. Ejercicio ineracivo. 9 a 8. Ejercicios resuelos. EJERCICIOS Cálculo de deerminanes 9. Calcula el deerminane de cada una de las marices siguienes C 0 5, 4 y C Calcula el deerminane de cada una de las marices siguienes. M N 0 P 0 4 M 5, N 4 y P 0 4. Calcula el deerminane de cada una de las marices siguienes S T La mariz S es riangular, por ano, su deerminane es el produco de los elemenos de la diagonal principal, es decir, S 4. Desarrollando por la primera fila, enemos T ( ) Calcula, en función de a, el deerminane de cada una de las marices siguienes. a a a a 0 + a a a+ a + a a + a a a+ 0 ( a+ )( ( a ) + ( a+ ) a a + 0 Unidad 8 Deerminanes

10 4. Dadas las marices: 0 0 Calcula los deerminanes de las marices: c) ( ) + + d) c) ( ) ( ) d) Calcula el valor de m que hace que el deerminane de las marices M y N sea el mismo, siendo: 0 0 M m N m 0 m m+ 0 + y N ( m ) ( m ) M m m m m , por ano: M N m m m m m m , 45. Deermina los valores de a que cumplen la ecuación: a a 0 4 a a a 0 a a a a 0 a 7a+ 6 0 a, a, a 4 a 46. Resuelve las siguienes ecuaciones. x x 0 0 x x + x + x x x x 0 x + x + x 0 x + x 0 x 0, x 0 x ( ) x+ x+ x x+ + x + x+ x x x x 0 x , ( ) ( ) Deerminanes Unidad 8

11 47. Dada la mariz, se define para cada número real k, la mariz ki, donde I denoa la mariz idenidad de orden. Halla los valores de k que hacen que el deerminane de sea nulo. k ki 0 0 ( k )( k ) + 0 k 0 k, k k 48. Dada la mariz 0, halla el valor de λ que hace nulo el deerminane de la mariz λ λ λ λ λ λ λ λ, por ano, ( )( ) λ 0 4 λ λ 0 λ, λ. 49. parir de la mariz x x M, se consruye el polinomio Px ( ) de( M). Halla las raíces de P(x). x + 0 ( ) ( ) ( ) Px ( ) 0 x x+ 4 + x x+ 0 x x 4 0 x, x 4. Propiedades de los deerminanes a b c 50. Si d e f, halla los siguienes deerminanes indicando, en cada caso, las propiedades que uilizas. g h i a b c d e f g h i a d a g + a b e b h+ b c f c i + c a b c a b c 9 d e f d e f Propiedad g h i g h i a d a g + a a d a g a d a a a d a g a d g a a g b e b h+ b b e b h + b e b b b e b h b e h b b h c f c i + c c f c i c f c c c f c i c f i c c i Propiedad Propiedad 4 Propiedad Propiedad 4 a d g a b c b e h d e f c f i Propiedad 9 g h i 4 Unidad 8 Deerminanes

12 5. Se sabe que a b c a b c a b c, calcula razonadamene: a b c aa bb c c a b c a b c + a a 6b c + a a b c + a a b c a b c a b c a b c aa bb c c a b c a b c 6 a b c Propiedad Propiedad 4 a b c a b c a b c Propiedad a b c a b c + a a b c a b a a b c a b c a 6b c+ a a 6b c + a 6b a a b c 6 a b c a b c + a a b c a b a Propiedad 4 a b c a b c Propiedad Propiedad Propiedad Propiedad 7 a b c 6 a ( )( ) b c 6 a b c 5. Sabiendo que x y z 4, calcula, sin uilizar la regla de Sarrus, los siguienes deerminanes, indicando 0 4 en cada paso qué propiedad de los deerminanes se esá uilizando. x y z 0 x y z x y + z+ 4 x + y + z+ x y z x y z x y z 6 Propiedad Propiedad x y z x y z x y z x y z x y + z+ 4 x y z x+ y + z+ x+ y + z+ x + y + z+ x + y + z+ Propiedad Propiedad 5 Propiedad x y z x y z x y z x y z x y z 8 Propiedad 4 Propiedad Propiedad 7 Propiedad 7 x y z x y z Dada la mariz M. M 0, uilizando una sola vez la regla de Sarrus, calcula: M, M, M, 4M y M 0+ 0, M M, M M 8, 4M 4 M 8 y M. M Deerminanes Unidad 8 5

13 54. Se considera una mariz G de orden x, cuyas columnas se represenan por C, C, C y cuyo deerminane vale. Considera la mariz H cuyas columnas son C, C + C, C. Cuál es el deerminane de esa nueva mariz H? ( H) ( C C C C ) ( C C C ) ( C C C ) ( C C C ) de de, +, de,, + de,, de,, Propiedad Propiedad 4 Propiedad ( C C C ) ( C C C ) ( G) de,, de,, de 6. Propiedad Sabiendo que a, b, c y d son números disinos de cero, sin aplicar la regla de Sarrus, jusifica que: a b c 0 bc ac ab d d d bc ac ab a b c bc ac ab 0. bc ac ab Propiedad abc Propiedad 4 d d d d d d 56. Sea C una mariz cuadrada de orden de columnas C y C y de( C ) 5, y sea una mariz cuadrada de orden y con deerminane. Si D es la mariz cuadrada de orden de columnas 4C y C C, calcula el deerminane de la mariz D. ( D) ( C C C ) ( C C ) ( C C ) ( C C ) ( C C ) de de 4, de 4, de 4, de 4, 4 de, Propiedad Propiedad 5 Propiedad Propiedad 7 ( C C ) ( C) 4 de, 4 de 0. Por ano, D D Calcula, por ransformaciones elemenales (sin emplear la regla de Sarrus) y jusificando los pasos, el deerminane: + a b c a + b c a b + c + a b c + a b + a+ b+ c + a b a + b c a + b + a+ b+ c ( + a+ b+ c) a + b a b c a b a b c a b Propiedad 8: Propiedad Propiedad + C C+ C+ C b a b b ( + a+ b+ c) 0 + b + a + b ( + a+ b+ c) 0 + b 0 b a b 0 b Propiedad 5 Propiedad 0 b Propiedad b 0 0 ( a b c) 0 0 b ( a b c) 0 4( a b c) 6 Unidad 8 Deerminanes

14 58. Sin desarrollar el deerminane prueba que las raíces del polinomio Px ( ) son, 4 y 7, siendo: 4 4 x Px ( ) x 4 x 4 4 P () 4 0, ya que C C P (4) 4 4 0, ya que C C P( 7) 7 4 0, ya que C C C Resuelve la ecuación ( x ) x + ( x + ) x x + x + 0. ( ) x x x Observemos que ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) x x + x+ x + x x+ x+ x x + x x + x + x x + x + ( x + )( x ) x x + x + x x x x x x + x x x + ( x + ) ( x ) x + ( x + ) ( x ) x Por ano, la ecuación se reduce a ( ) ( ) x+ x x 0, cuyas soluciones son x, x, x 0. Méodo de Gauss y deerminanes 60. Calcula los siguienes deerminanes uilizando el méodo de Gauss F FF F F+ 4F F4 F4F F4 F4+ F F4 F4+ F F F+ F F F F 0 0 F4 F4+ F 0 0 F F F F4 F4+ F F4 F4 F Deerminanes Unidad 8 7

15 6. Calcula los siguienes deerminanes C CC 0 Desarrollando por C4 C4C la primera fila ( ) C CC Desarrollando por la ercera fila ( ) 6. Calcula el deerminane: F5 F5F F4 F4F F5 F5+ F4 0 F4 F4F Halla dos raíces del polinomio de cuaro grado: Px ( ) x x x x Una raíz es x, ya que P () 0 por ser las dos primeras filas iguales. Ora raíz es x, ya que P () 0 por ser las dos úlimas filas iguales. 64. Obén, en función de a, b y c, el deerminane de la mariz: + a + b + c a a a ( ) 0 b 0 abc + b F FF4 0 b 0 Desarrollando por F FF4 la primera fila 0 0 c F FF4 + c 0 0 c 8 Unidad 8 Deerminanes

16 Rango y deerminanes 65. Deermina el rango de cada una de las siguienes marices C 0 D Rango de : Como el menor 0, rg( ). Rango de : Como el menor 0 0 Rango de C:, rg( ). El único menor de orden es 0 0, por ano, rg( ). 5 Como el menor 6 0 0, rg( C). El único menor de orden es 0 4 0, por ano, rg( C ). Rango de D: C CC 0 0 Desarrollando por la primera fila Como ( ), rg( D ) Halla el rango de las siguienes marices C D Rango de : Como el menor 0 0, rg( ). Rango de : Como el menor , rg( ). Rango de C: Observemos que C C y C C, así, rg( C) rg 0 0 Rango de D:, ya que el menor 0 0. Como el menor , rg( D ). Deerminanes Unidad 8 9

17 67. Deermina, razonadamene si la ercera columna de la mariz siguiene es combinación lineal de las dos primeras. Calcula el rango de la mariz Como 0 0, las res columnas son linealmene dependienes. 0 demás, las dos primeras columnas de son independienes, ya que no son proporcionales, por ano, la ercera columna debe ser combinación lineal de las dos primeras. 0 rg( ) rg 0, ya que Dada la mariz: 0 k k k k 4 Halla, en cada caso, los valores del parámero k para que: La ercera columna sea combinación lineal de las dos primeras. La cuara columna sea combinación lineal de las dos primeras. c) El rango de la mariz sea. Observemos que las dos primeras columnas son linealmene independienes, ya que no son proporcionales. Para que la ercera columna sea combinación lineal de las dos primeras debe ser: 0 k k + + k k k k k k 0 ( ) 9 ( ) 0 0, Para que la cuara columna sea combinación lineal de las dos primeras debe ser: k k k k + k k k k k + k + k k k 4 0 4( ) 4 ( ) , c) Según los aparados aneriores, si k, la ercera y la cuara columna son combinación lineal de las dos primeras columnas, por lo que el rango de la mariz será. En cambio, si k bien C, C, C bien C, C, C 4 serán linealmene independienes, con lo que el rango de la mariz sería. 0 Unidad 8 Deerminanes

18 69. Deermina el rango de cada una de las siguienes marices según el valor del parámero k. 0 4 k 4 k k k 0 0 k k k 0 k k k kk ( ) C k k k k D 0 k k Rango de : k k k k , 4, por ano: Si k 0 y k 4, enemos rg( ). Si k 0 enemos Si k 4 enemos y rg( ), ya que y rg( ), ya que Rango de : 0 k k + k 0 k 0, k, k,por ano: Si k 0, k y k, enemos rg( ). Si k 0 enemos Si k enemos Si k enemos Rango de C: C k k k k y rg( ), ya que y rg( ), ya que y rg( ), ya que ,, por ano: Si k 0 y k, enemos rg( C ) Si k 0 enemos C 0 0 y rg( C ), ya que Si k enemos Rango de D: C D k k + k k y rg( C ), ya que , 7 Por ano, si k y k 7, enemos rg( D ). Si k enemos Si k 7 enemos D 0 D y rg( D ), ya que 0 0. y rg( D ), ya que Deerminanes Unidad 8

19 70. Deermina para qué valores de a son linealmene independienes los vecores: u (,, ), v (, a, ) y w ( a,, Formemos una mariz cuyas columnas sean los vecores dados, si el deerminane de esa mariz no es nulo los vecores serán linealmene independienes. a a a + a+ a a a , 5 Por ano, los vecores son linealmene independienes si a y a Esudia el rango de 5 a 6 4 a en función de los valores de a. El menor 6 0, por lo que rg( ). mpliando ese menor con la ercera fila y la ercera columna enemos 9 0, por lo que rg( ). El único menor de orden 4 es: a 0 a + ( ) 0 a a+ 6 C CC Desarrollando por C CC la ercera fila 7 a 8 C4 C46C 4 a 7 a8 Por ano, si a 6 el rango de es 4 y si a 6 el rango es. 7. Halla el rango de cada una de las siguienes marices según el valor del parámero. k k 9 6 k k k k a C a m m D m m m k 9 Rango de : El menor 6k 8 se anula si k, por ano: 6 Si k, enemos rg( ). Si k enemos rg( ) rg 9, ya que C C. 6 Rango de : El menor k k k k + se anula si k o k, por ano: k Si k y k, enemos rg( ). Si k enemos rg( ) rg 4, ya que el menor Unidad 8 Deerminanes

20 Si k enemos rg( ) rg, ya que odas las filas coinciden. Rango de C: El menor a a se anula si a, por ano: 0 5 Si a, enemos rg( C ). Si a enemos se pueden conseguir ampliándolo, rg( ) rg, ya que el menor 0 5 y 0, se anulan. 0 5 y los dos menores de orden que Rango de D: El menor m m m m + 4 m se anula si m o m, por ano: Si m y m, enemos rg( D ). Si m enemos rg( D) rg rg C C+ C, ya que el menor C4 CC 0. Si m enemos rg( D) rg, ya que odas las filas son proporcionales. 7. Halla el valor de k para que la siguiene mariz enga rango. 0 M k 0 k k + k Para que el rango sea dos, los menores de orden se deben anular, en paricular: 0 k k k k k k k o Si k 0 enemos 0 rg( M) rg 0 0 0, ya que el menor Si k enemos 0 rg( M) rg 0 rg, ya que el menor Por ano, el rango de M es para cualquier valor de k. Deerminanes Unidad 8

21 Inversa y deerminanes 74. Deermina cuáles de las siguienes marices ienen inversa C es inverible. 0 no es inverible. C 0 C no es inverible. 75. Calcula, si exise, la mariz inversa de cada una de las marices siguienes C 0 Inversa de : 0 es inverible dj( ) 6 5 y ( ( ) dj ) Inversa de : 0 es inverible. dj( ) 0 dj 0 0 y ( ( ) ) Inversa de C: C 0 C es inverible. 7 7 dj( C ) 0 y ( ( ) C dj C ) C Deermina si las siguienes marices ienen inversa y, en caso afirmaivo, calcúlala. Inversa de : C es inverible dj( ) 5 y ( ( ) ) dj Inversa de : 5 0 es inverible dj( ) 4 y ( ( ) ) dj Inversa de C: C 0 C es inverible. dj ( C) y ( ( ) C dj C ) C Unidad 8 Deerminanes

22 77. Se iene la mariz: Halla y ( ). Comprueba que ( ). c) Comprueba que dj( dj( ) ). 0 0 Inversa de : 6 0 dj( ) 0 5 Inversa de dj ( ) es inverible. y ( ( ) ) : dj 0 es inverible dj y ( ) ( ( )) Queda comprobado en el aparado anerior. 6 6 dj 0 dj dj( ) c) ( ) ( ) 78. Deermina para qué valores del parámero a no iene inversa cada una de las marices siguienes. 0 M a 0 a a N a a a a a P 0 a a + a Q a a a a a a M no iene inversa si M 0 a a+ 0 a, a. N no iene inversa si N 0 0 0, es decir, para cualquier valor de a N no iene inversa. P no iene inversa si P 0 a a 0 a, a. 4 Q no iene inversa si Q 0 a a + a 0 a 0, a. 79. Deermina para qué valores de los parámeros a y b ienen inversa las marices siguienes. 0 a b a b a+ b b 0 0 a C 0 a a a b Las marices dadas endrán inversa si su deerminane no es nulo, por ano: ( + ) a b ab a + b iene inversa si a 0 o b 0. 0 no iene inversa para ningún valor de a y b. C C iene inversa para cualquier valor de a y b. Deerminanes Unidad 8 5

23 80. Deermina para qué valores de los parámeros a, b y c ninguna de las res marices siguienes iene inversa: donde a, b y c son parámeros reales. 0 c a b c a C a b 0 Para que las marices dadas no engan inversa, sus deerminanes deben ser nulos, es decir: 0 b+ 4c 0 b c 0 a+ c 5 0 a+ c 5 a, b, c + C 0 4a 7b 0 4a+ 7b 0 8. Demuesra que la mariz a b a Calcula cuando a b. iene inversa si, y solo si, los parámeros a y b no son nulos. iene inversa 0 ab 0 a 0 y b 0. si a b enemos dj y ( ( ) ) Ecuaciones mariciales 8. Resuelve la ecuación maricial X + C, siendo: X + C X C X ( C ) C Si exise Como 0 exise : ( ) 0 dj y ( ) 0 ( dj ) 4 4 Por ano, ( ) 0 4 X C Calcula la mariz X que verifica la ecuación X + I, donde I represena la mariz idenidad y las marices y son: X + I X I X ( I ) Como Si exise 0 exise : dj( ) 4 y ( ( ) dj ) Por ano, X ( I ) Unidad 8 Deerminanes

24 84. Calcula la mariz cuadrada X sabiendo que verifica X +, siendo y : ( ) ( ) X + X X Si exise Como 0 exise y, por ano, 0 0 X Halla, si exise, una mariz X que verifique la ecuación X X + X siendo. 0 ( + + ) ( X X X I X X + I) ( Si exise + I) 4 5 Tenemos 0 9 y 4 + I 0 7, como + I 0 exise ( + ) I : 4 ( ) 7 0 dj + I y ( ) ( ( ) I dj + I ) 4 + I Por ano, ( ) 4 5 X + I Dadas las marices: Resuelve la ecuación: I X X I X X + X X I X( I) I X ( I)( I ) Si exise ( I) Como I 0 0 exise ( ) I : 0 4 dj( I ) y ( ) ( ( ) I dj I ) I Por ano, ( )( ) X I I Deerminanes Unidad 8 7

25 87. Dadas las marices y 0 encuenra la mariz X al que X 0. Si exisen las inversas de las marices y, endremos X X 0 0. Como 0 exise Como 0 exise : dj( ) : dj( ) dj y ( ( )) y ( dj ( )) Por ano, X Halla odas las marices X ales que X X. La mariz X debe ser de orden, pongamos a b X c d, enonces: a+ b a+ c a b a b a c b d a+ b b+ d b c X X c d c d a c b d c + d a+ c a d c + d b+ d Por ano, las soluciones de la ecuación maricial son de la forma 89. Resuelve la ecuación maricial ( ) + I X +, siendo: 0 I 0 0 a b X b a con a, b. ( ) ( ) ( ) + I X + X + I + X Como 0 exise : 0 Por ano, X 0 Si exise ( ) 0 dj y ( ) ( dj ) Despeja la mariz X en la ecuación ( + ) X M XM I + X en la que M es una mariz regular de orden e I es la idenidad del mismo orden. Resuelve la ecuación cuando la mariz M es: M 0 0 ( ) ( ) X + M XM I + X X + XM + MX + M XM I + X MX I M X M I M M M Como M 0 exise M : Por ano, dj( M ) X M M dj 0 0 M y M ( ( M) ) 8 Unidad 8 Deerminanes

26 9. Dadas las marices 0 y encuenra la mariz X que verifica X. ( ) X X Como 0 0 exise : 6 dj( ) dj y ( ( ) ) X Por ano, ( ) Sínesis 9. Esudia para qué valores de α la mariz 0 α+ α α+ iene rango máximo. Siendo la inversa de la mariz, calcula ( ) para α. La mariz endrá rango máximo, es decir, rango, si su deerminane no es nulo. 0 α +α 0 α 0, α Por ano, la mariz endrá rango máximo si α 0 y α. Según el aparado anerior, si α el deerminane de no se anula ( ) y, por ano, exise : Por ano, ( ) 0 0, ( ) dj y ( dj ( ) ) Deerminanes Unidad 8 9

27 9. Dadas las marices: se pide: Hallar el rango de en función de. Calcular para que de( I ) I Tenemos , 7, por ano: Si y 7, rg( ) Si, Si 7, rg( ) rg 0 rg( ) rg ya que el menor 0 0. ya que el menor I k k 94. Dadas las marices y 0. Deermina para qué valores de k las marices y ienen inversa. Resuelve la ecuación X I para k 0, donde 0 I 0. Tenemos: k + 6 k k 0 k Por ano, iene inversa si k. 0 k k 0 k 0 No depende de k. k 8 Por ano, no iene inversa. Según el aparado anerior, si k 0, 6 4 iene inversa ( ): dj( ) 4 6 y ( ) ( ( ) 4 ) dj 6 Por ano, ( ) ( ) 6 X I X I 9 0 Unidad 8 Deerminanes

28 95. Dadas las marices: Esudia el rango de la mariz en función de a. Para a 0, calcula la mariz X que verifica X a a + a Como el menor el rango de es al menos. Si los dos menores de orden que se pueden formar ampliando ese menor de orden se anulan, el rango de será, en caso conrario el rango será. Esudiemos, por ano, cuando se anulan esos dos menores de orden : a a a + a a+ 6 0 a a Por ano, si a enemos rg( ), y si a enemos rg( ). Si iene inversa endremos X. Como 0 0 4, exise : 0 dj( ) dj y ( ( ) ) Por ano, X Deerminanes Unidad 8

29 96. Dada la ecuación maricial: a 7 donde es una mariz cuadrada de dimensión x, se pide: Calcular el valor o valores de a para los que esa ecuación iene solución. Calcular en el caso a. a Si la mariz 7 iene inversa, es decir, si su deerminane no es nulo, la ecuación endrá solución. Si la mariz no iene inversa (su deerminane es nulo), la ecuación odavía puede ener solución, por lo que habrá que comprobar ese hecho. Tenemos a 6 0 7a 6 0 a, por ano, si a la ecuación iene solución 7 a 7. nalicemos que sucede si enemos: 6 a. En ese caso no se puede despejar, con lo que pongamos x+ x x + x4 x+ x x + x y x + 7x x 7x4 x 7x x + 7x4 pero ninguno de esos dos sisemas iene solución, por ano, si Según el aparado anerior, si a la ecuación iene solución: a la ecuación no iene solución. 7 x x, x x 4 CUESTIONES 97. Si M es un mariz cuadrada de orden al que M 7, razona cuál es el valor de los deerminanes M y M. Usando la propiedad 0 enemos M M 49. Usando la propiedad, aplicada a cada una de las filas de M, enemos M M Sea M una mariz cuadrada de orden al que su deerminane es de( M ). Calcula: El rango de M. El deerminane de M. c) El deerminane de ( M ). d) El deerminane de N, donde N es la mariz resulane de inercambiar la primera y la segunda filas de M. Tenemos M M 4 0, por lo que el rango de M es. Usando la propiedad, aplicada a cada una de las filas de M, y la propiedad 9, enemos: M M 8 M 6. c) Usando las propiedades 0 y enemos ( M ) d) Usando la propiedad 7 enemos N M.. M 4 M Unidad 8 Deerminanes

30 99. Todos los elemenos de la mariz M son números naurales, razona si son cieras o falsas las siguienes afirmaciones: El deerminane es un número naural. El deerminane puede ser fraccionario. c) El deerminane es un número enero. Si la mariz M no es cuadrada no exise su deerminane y las res afirmaciones son falsas. Si la mariz M es cuadrada, como el cálculo del deerminane solo involucra sumas, resas y producos de los elemenos de M, la afirmación c es verdadera. También la afirmación b es verdadera, ya que odos los números eneros son fraccionarios, pero el deerminane nunca podría ser un número fraccionario no enero. La afirmación a es falsa, como prueba la mariz 0 0, cuyo deerminane es. 00. Razona cuál es el valor del deerminane de una mariz escalar. Toda mariz escalar de orden n es de la forma λ I n, por ano, aplicando la propiedad a cada una de las filas de la n n mariz, obenemos de su deerminane es λ I λ I λ. n n 0. En una mariz D de dimensión x 4 odos los menores de orden formados con las dos primeras filas son nulos. Razona si son cieras las afirmaciones siguienes. El rango de D no puede ser. El rango de D no puede ser. c) El rango de D no puede ser 4. Observemos en primer lugar que como D iene filas, su rango no pude ser superior a. Por oro lado, las dos primeras filas de D deben ser linealmene dependienes, por lo que el rango ampoco puede ser. Por ano, las afirmaciones b y c son verdaderas. La afirmación a es falsa, como prueba la siguiene mariz, cuyo rango es y verifica las condiciones del enunciado: D Se sabe que el deerminane del produco de las marices cuadradas y de orden es de( ). Halla el rango de. Pueso que de( ) de( )de( ), el deerminane de no puede ser nulo, con lo que el rango de será. 0. Prueba que si es una mariz cuadrada de orden n y λ es un número real cualquiera, enonces: de ( λ ) λ n de ( ) asa aplicar la propiedad a cada una de las n filas de λ para obener que de ( ) n de ( ) λ λ. Deerminanes Unidad 8

31 04. Sea M una mariz de dimensión x 4 y de columnas C, C, C y C 4. Si se sabe que de ( C, C, C ) 0, de ( C, C, C4) 0 y de ( C, C, C 4) 0, deermina qué columnas son combinación lineal de oras y qué columnas son linealmene independienes. Cuál es el rango de M? Como M iene filas, su rango no puede ser superior a, por ano, al ser ( ) C, C y C 4 son linealmene independienes. En paricular, C y de C, C, C 0 el rango de M es y 4 C ambién son linealmene independienes, por lo que, al ser ( ) que C es combinación lineal de C y C, pongamos C λ C +λ C. De manera análoga, como ( ) CC C 4, de,, 0 de C, C, C 0 deducimos C es combinación lineal de C y C 4, pongamos C α C +α C4. Por ano, obenemos λ C +λ C α C +α C 4, de donde se deduce que λ 0 podríamos escribir C α λ α C + C λ λ ( ) 4 4 de C, C, C 0 (de igual manera, enemos α 0 ). Es decir, hemos obenido que C λ C es proporcional a C., ya que en caso conrario como combinación lineal de C y C 4 en conradicción con que 05. Sea M una mariz cuadrada al que M y M 8. Calcula el orden de la mariz M. Si M es de orden n enemos 8 M ( ) n M ( ), por ano, n. n 06. Qué condición se debe cumplir para que el deerminane de una mariz riangular de orden sea negaivo? El deerminane de una mariz riangular es el produco de los elemenos de la diagonal principal, por ano, para que el deerminane sea negaivo, exacamene uno o los res elemenos de la diagonal principal deben ser negaivos. 07. El deerminane de la mariz M es 5. La mariz N se consruye de modo que su primera columna es la ercera de M, su segunda columna es la primera de M y su ercera columna es la segunda de M. Halla el valor del deerminane de N. Sea N ' la mariz que se obiene inercambiando la primera y la segunda columna de M, con lo que N se obiene inercambiando la primera y la ercera columna de N ', con lo que N N' M. N' M. 08. Prueba que si y son marices cuadradas de orden, el deerminane de su produco es el produco de sus deerminanes, es decir. a a Sean a a 4 y b b b b 4, enemos ( )( ) aa aa bb bb aa bb aa bb aa bb + aa bb ab + ab ab + ab ( )( ) ( )( ) 4 ab + ab ab + ab 4 4 ab + ab 4 ab + ab 4 aabb ab + ab 4 ab + ab aa bb + aa bb aabb aabb aabb aa 4bb 4 aa 4bb + aa bb aa bb 4 + aabb 4 4 aa bb Por ano, obenemos que. 4 Unidad 8 Deerminanes

32 09. Una mariz es idempoene si verifica que una mariz idempoene.. Deermina qué valor puede omar el deerminane de Observemos que si., la mariz debe ser cuadrada y, es decir,, por lo que 0 o PROLEMS 0. Sea la mariz a ab ab ab a b. ab a a Sin uilizar la regla de Sarrus, calcula el deerminane de. Esudia el rango de en el caso b a. a ab ab a b b a b 0 + a b ( )( ) Propiedad C CC Desarrollando por b a la ercera columna ab a b a ab a b a ab a b a a b a ab a a b a a b a 0 ( )( ) ( ) a b a a b a a b a a a Si b a enemos a a a, por ano, odas las filas son proporcionales, con lo que el rango de a a a es si a 0 y 0 si a Sea 0 0. a 0 b Cuándo el deerminane de es el seno de un número real? Calcula la inversa de, cuando exisa. c) Deermina odos los pares (a, para los que coincide con su inversa. El deerminane de será el seno de un número real si, es decir, b. Exise si 0, es decir, si b 0. En ese caso enemos: b 0 a dj( ) 0 b b dj 0 b 0 b a a 0 0 b b y ( ( )) c) a 0 0 a a( b ) 0 a 0 o b 0 0 b + a b b o b a 0 b 0 b b b b Por ano, coincide con su inversa si ( a, b ) ( 0, ) o ( a, ( a, ) para algún a. Deerminanes Unidad 8 5

33 . Sea una mariz cuadrada de orden. Se sabe que el deerminane de la mariz es 8. Cuáno vale el deerminane de? Razona la respuesa indicando las propiedades que has uilizado. Calcula para qué valores de x se cumple que 8, siendo la mariz: x x + x x Usando la propiedad aplicada a cada una de las filas de enemos 8, por ano,. Según el aparado anerior enemos: 8 x x+ x x 0 x 0, x. Sea a b c d. Calcula las marices que verifican la relación + I. (I es la mariz idenidad y represena el deerminane de ). Calcula odas las marices diagonales, que no poseen inversa, y que verifican la relación anerior. c) Se verifica para cualquier par de marices y C la relación + C + C? Si no es ciero pon un conraejemplo. Jusifica odas las respuesas. Tenemos: a b a+ b + I ad bc ( a + )( d + ) bc ad ad + a + d + a + d + 0 c d c d + Por ano, las marices que verifican + I son de la forma Ya sabemos que la mariz debe ser de la forma diagonal debe ser b c 0 a b c a con abc,,. a b c a con abc,,, además, para que sea, y para que no enga inversa debe ser ( ) 0 a a 0 a 0 o a. Por ano, las marices que cumplen las condiciones son y c) La relación + C + C no se verifica para odas las marices, por ejemplo, las marices del ipo a b c a con abc,, no verifican + I + I, ya que según el aparado a, + I, pero + I +. 6 Unidad 8 Deerminanes

34 4. Sabiendo que a b c a b c donde a, b, c son números reales, calcula los deerminanes: a b c a b c y ( a+ ) ( b+ ) ( c + ) a b c a b c indicando las propiedades que usas en cada caso para jusificar u respuesa. Razona que, pueso que, los parámeros a, b y c deben ser disinos enre sí. a b c a b c a b c a b c 5 a b c 5 a b c 5 a b c Propiedad Propiedad 8 Propiedad 7 Propiedad F F+ F a b c F F+ F 5 a b c 0 a b c ( ) ( ) ( ) a+ b+ c+ a + a+ b + b+ c + c + a b c a b c a b c a b c a b c + a b c + Propiedad a b c a b c a b c a b c + a b c a b c a b Propiedad 4 c a b c Deerminanes Unidad 8 7

35 PROFUNDIZCIÓN 5. Dada una mariz cuadrada de orden n, se llama polinomio caracerísico de al polinomio p( x) xin Halla las raíces del polinomio caracerísico de la mariz: Si es la mariz a b c d : i) Comprueba que su polinomio caracerísico es: px ( ) x ( a+ d) x+ ii) Encuenra los valores de a, b, c y d para que enga como polinomio caracerísico px ( ) x + x+. Cuánas marices hay con el mismo polinomio caracerísico? iii) Si iene inversa, demuesra que el polinomio caracerísico de la inversa,, es a+ d px ( ) x x+. El polinomio caracerísico de es: x p( x) xi + + ( )( ) 4 x x 9x 4x 0 x 5 x 0 4 x cuyas raíces son x (raíz doble) y x 5. i) El polinomio caracerísico de es: a x b ( )( ) ( + ) + ( ) p( x) xi ( + ) a x d x bc x a d x ad bc x a d x + c d x ii) Tenemos: a+ d a+ d d a ad bc ad bc Susiuyendo el valor de d en la segunda ecuación obenemos bc ad a( a ) ( a + a + ). Como a + a+ no se anula nunca, deducimos que b y c no pueden ser nulos y, por ano, las soluciones del sisema no lineal son a + a+ a, b, c y d a b En paricular, obenemos que exisen infinias marices con el mismo polinomio caracerísico. iii) Si es inverible será: d b ( ( ) d c dj ) b a c a Por ano, según el aparaado a, el polinomio caracerísico de es: d a a+ d px ( ) x + x+ x x+ 8 Unidad 8 Deerminanes

36 6. Se consideran las marices de orden n de la forma: Calcula de ( ), de ( ) y ( 4 ) de. n Formula una hipóesis razonada sobre el valor de de ( ) c) Formula una hipóesis razonada sobre el valor del deerminane de la mariz similar a n en cuya diagonal principal los elemenos disinos del primero valen 7.. n de 5 4 ( ) de de 5 5. F F+ F Desarrollando por la úlima fila + y ( ) ( ) ( ) de de ( ) ( ) ( ) ( ) de F F+ F 4 Desarrollando por la úlima fila n , se podría demosrar por inducción usando la écnica anerior. 5 n c) En ese caso ( ) de n, se podría demosrar por inducción de manera compleamene análoga a como se 8 n demosraría la expresión anerior. 7. Dada la mariz M cos sen + α α : + senα + cos α Deermina para qué valores de α la mariz M iene inversa. Halla la mariz inversa de M, cuando exisa. M iene inversa si su deerminane no es nulo. Tenemos: M + α α α α ( ) + cos α sen α cos sen 0 cos sen sen α+ cos α senα cosα + senα + cosα 0 senα cosα Por ano, la mariz M iene inversa para cualquier valor de α. Según el aparado anerior la mariz M iene inversa para cualquier valor de α. Tenemos: + cos α senαcos α senαcos α dj( M ) sen cos cos sen α α α α senαcos α senα cos α M + cos α senαcos α senαcos α ( dj ( M) ) sen cos cos sen M α α α α senαcos α senα cos α Deerminanes Unidad 8 9

37 cos a sena 8. Sean las marices sena cos a y sea ciera la igualdad: cos a 0 sena 0 b 0, esudia qué valores de a y b hacen que sena 0 cos a Tenemos de( ) sen + cos ( ) de( ) de( )de( ) + 0 a a y de( ) sen cos ( sen cos ) sí, obenemos a, b. ( ) b a+ b a b a+ a b, por ano: de( ) de( )de( ) + 0 b+ 0 b 9. Resuelve la ecuación 4 6 x x x + 4 x x + x + 5 x + 4 x x x x+ 6 x x+ 4+ ( x)( ) 6 x x+ 6 x + 4 x x+ 6 x+ 4 x x+ x+ 4 x x+ x + 5 x + 4 x x+ x F4 F4F Desarrollando por F FF la úlima fila 4 ( x 4 ) 6 x x ( x )( x + + )( ) ( )( )( 4 ) Desarrollando por x x x x x + x + x 0 0 la úlima fila ( x )( x )( x ) Por ano, las soluciones de la ecuación son x, x y x. 0. verigua, según el valor de a, el número de soluciones de x a a a a x a a a a x a a a a x 0. x a a a x + a x + a x + a x + a a x a a a x a a ( ) a x a a x + a a a x a a a x a a a x a a a a x a a a x a a a x F F+ F+ F+ F 4 Propiedad C CC C CC C4 C4C a x a 0 0 a 0 x a 0 a 0 0 x a ( x ( x ( x + +, por ano, si a > 0 la ecuación iene dos soluciones (riples), x a y x a. si a < 0 la ecuación iene dos soluciones, x a y x a. si a 0 la ecuación iene una solución (con muliplicidad 8), x Unidad 8 Deerminanes

38 UTOEVLUCIÓN Comprueba qué has aprendido. Dadas las marices a y : a Halla el valor de a que hace que. a ( a )( a 4) 6 4a a 0 a 0, a. a 4 a 0. Sabiendo que b c, calcula el valor de los siguienes deerminanes. 0 a a 6 b b 6 4 c c 6 0 a b c 0 a a 6 0 a a 0 a 6 0 a 6 0 a a 0 b b 6 b b b 6 b 6 4 b 4 b Propiedad Propiedad 4 Propiedad Propiedad 7 4 c c 6 4 c c 4 c 6 4 c 6 c c a b c a b c 0 a b c a b c Propiedad Propiedad 4 Propiedad Propiedad 9 0 a a 0 b b Propiedad 7 c c. Deermina para qué valores del parámero k iene inversa la mariz y halla su inversa cuando k. 0 k k 0 iene inversa si su deerminane no es nulo. Tenemos: Por ano, iene inversa si k y k. En paricular, para k enemos ( )( ) 0 k k 0 k k 0 k, k 0 0, y 4 ( ( ) ) dj 4 Deerminanes Unidad 8 4

39 4. Halla el rango de la mariz Tenemos: m m+ m para los disinos valores posibles del parámero m. ( ) ( ) 0 m+ m+ m+ m+ 9 m 0 m + 6m 8 0 m, m 4 Por ano: si m y m 4 enemos rg( ). si m enemos si m 4 enemos rg( ) rg 4 5 rg( ) rg 4, ya que el menor 0., ya que el menor Dada la ecuación maricial X X. Despeja la mariz X, cuando sea posible. Halla la mariz X si las marices y son: ( ) X X X + X X + I Por ano, si I + es inverible, endremos ( ) X + I. + I 0 y + I 0, por lo que + I iene inversa: 0 0 dj( + I) 0 + dj I y ( I) ( ( I) ) Por ano, según el aparado anerior: ( ) 0 X I Unidad 8 Deerminanes

40 a a b 6. Calcula el valor del deerminane a b c a b c d. a a b 0 0 a b 0 b 0 0 a b c a b c d a b c F FF 0 b c 0 Desarrollando por F FF la primera columna b c d F4 F4F a b c d 0 b c d + ( ) 0 ( )( )( ) 7. y son dos marices cuadradas de orden 4 cuyos deerminanes son: de( ) 5, de( ). Halla: ( de ) de ( 4 ) c) ( 5 de ) d) de( ( ) ) ( ) de de ( ) 5 ( ) 4 de 4 4 de( ) 80 c) ( 5 ) ( 5 5 de de ) de( ) ( de( ) ) de( ) 60 ( ) ( ) ( ) ( ) d) de ( ) de de de 0 Relaciona y conesa Elige la única respuesa correca en cada caso. es una mariz riangular cuyos elemenos son números naurales y cuyo deerminane es 5.. lgún elemeno de vale. C. iene exacamene res elemenos nulos.. lgún elemeno de vale. D. puede ener siee elemenos nulos. y C son falsas, basa considerar la mariz 5 0. ambién es falsa, basa considerar la mariz La respuesa correca es D, basa considerar la mariz El deerminane de la mariz es de( ).. es la mariz idenidad. C. de( ). coincide con su inversa. D. de( I) 0 La respuesa correca es C, ya que ( ) de( ) de( ). El reso de respuesas son falsas, basa considerar la mariz 0 de( I) 0. con de( ), y Deerminanes Unidad 8 4

41 . En la mariz, cuadrada de orden, se sabe que: a 0, a, 0 y m.. de( ) 0. de( ) m C. Las filas y son linealmene independienes. D. No hay información suficiene para saber el valor de de( ). La respuesa correca es, desarrollando por la segunda fila de enemos D obviamene es falsa. solo es ciera si m 0. de( ) a + a + a 0 + a 0 + m m C es verdadera si m 0 (las res filas serán linealmene independienes), pero puede ser verdadera, , o falsa, 0, si m Señala, en cada caso, las respuesas correcas 4. En la mariz adjuna de la mariz cuadrada, de orden, odos los elemenos de la úlima fila son nulos. Enonces:. rg( ) <. Una de las dos primeras filas esá formada por ceros. C. La úlima fila de es combinación lineal de las dos primeras. D. La mariz no iene inversa. a a a a a a a a a dj( ) Si 0 las dos primeras filas de son dependienes la una de la ora, luego rg() <. y D son verdaderas. 5. El deerminane de una mariz cuadrada de orden 4 es un número múliplo de, enonces:. Todos sus elemenos son múliplos de.. Hay una fila en la que odos los elemenos son múliplos de. C. El rango de la mariz es. D. La mariz iene inversa., y C son falsas, basa considerar la mariz M con deerminane, por ano, de rango 4. D ambién es falsa salvo que añadamos que el deerminane de la mariz es un múliplo de no nulo, en cuyo caso D sería correca. 44 Unidad 8 Deerminanes

42 Elige la relación correca enre las dos afirmaciones dadas 6. Se iene una mariz de orden 5 de la que se consideran las afirmaciones:. Todos los menores de orden 4 son nulos.. rg( ) < 4. pero C.. pero D. Nada de lo anerior. Recordemos que si odos los menores de orden p de una mariz son nulos, el rango de la mariz es menor que p, por ano. Recíprocamene, si rg( ) < 4 no podemos enconrar ningún menor de orden 4 no nulo, ya que en ese caso endríamos rg( ) 4, por ano, ambién. Es decir, la relación correca es C. Señala el dao innecesario para conesar 7. Se quiere calcular el deerminane de una mariz y para ello se ienen los siguienes daos:. Es una mariz riangular.. Todos los elemenos de la úlima columna son nulos.. Hay un menor de orden disino de cero.. El dao es innecesario. C. El dao es innecesario.. El dao es innecesario. D. asa con dos daos cualesquiera de los res. Con solo el dao podemos saber que el deerminane de la mariz debe ser nulo. No nos basa con el dao y, por ejemplo, las marices deerminanes no coinciden. Por ano, las respuesas correcas son y C. 0 y 0 verifican y pero sus Deerminanes Unidad 8 45