ECONOMETRÍA EMPRESARIAL II ADE

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1 4 Bernardí Cabrer Economería Empresarial II Tema 8 ECONOMETRÍA EMPRESARIAL II ADE TEMA 8 MODELOS LINEALES SIN ESTACIONALIDAD I ( Modelos regulares

2 4 Bernardí Cabrer Economería Empresarial II Tema 8 8. MODELOS LINEALES SIN ESTACIONALIDAD (I. 8.. Modelos auorregresivos (AR: especificación, hipóesis y caracerización (normalidad, fac, facp, raíces del polinómio de reardos 8.. Modelos de medias moviles (MA: especificación, hipóesis y caracerización (normalidad, fac, facp, raíces del polinómio de reardos. 8.. Modelos mixos auorregresivos y de medias moviles (ARMA. especificación, hipóesis y caracerización (normalidad, fac, facp, raíces del polinómio de reardos.

3 4 Bernardí Cabrer Economería Empresarial II Tema 8 TEMA 9 MODELOS LINEALES SIN ESTACIONALIDAD (I Inroducción. Los modelos lineales de las series emporales se pueden considerar como un méodo sofisicado de exrapolación de series emporales. Dicha exrapolación es diferene de la exrapolación simple, ya que ese enfoque de modelización asume que dichas series emporales son una realización de un proceso esocásico esacionario. La descripción de la serie emporal así concebida no es una ecuación de comporamieno causa-efeco, sino mas bien una concepción esadísica en érminos probabilísicos para describir la forma de aleaoriedad que esá presene en la serie emporal. En efeco, cuando inenamos modelizar una serie emporal, lo que esamos infiriendo es la modelización de un proceso esocásico, y en definiiva, lo que se esa inenando es describir las caracerísicas aleaorias del proceso en cuesión. El objeivo de ese méodo de análisis es la especificación de modelos que expliquen los movimienos de una serie emporal. Pero así como en los modelos de regresión se uiliza una variable endógena o regresando y variables explicaivas o regresores, en ese ipo de enfoque se uilizan como variables explicaivas la propia variable endógena defasada y una suma ponderada de variables aleaorias acuales y defasadas. Los modelos propuesos suponen las siguienes hipóesis sobre la especificación de los modelos:. La serie o variable objeo de esudio es discrea y esacionaria (en media y en varianza, o bien ha sido ransformada de forma adecuada para lograr su esacionariedad.. La ecuación que relaciona el regresando con los regresores es lineal.. El modelo especificado es de esrucura fija, es decir, los parámeros (coeficienes no cambian en el ranscurso emporal. Es de resalar que en ese enfoque de modelización de las series emporales se requiere que la variable objeo del esudio sea esacionaria (en media y en varianza. En ese conexo, además, se eniende por inverir un proceso la ransformación de un modelo AR en su modelo MA equivalene. La generalización de ese concepo permie ransformar un modelo MA en su modelo AR equivalene. Con el fin de sisemaizar la exposición se va a esudiar en primer lugar los modelos auorregresivos (AR, en segundo lugar los modelos de medias móviles (MA y, por úlimo los modelos mixos auorregresivos y de medias móviles (ARMA. En odos los casos se van a esudiar los modelos más comunes y simples. En concreo, para el caso de los modelos AR se van a analizar el modelo AR( y el modelo AR(. Mienras que para los

4 4 Bernardí Cabrer Economería Empresarial II Tema 8 modelos MA se van a esudiar los modelos MA( y MA(. En el caso de los modelos mixos ARMA an sólo se esudiará el modelo ARMA(,. 8.. MODELOS AUTORREGRESIVOS (AR. Se dice que una serie emporal admie una represenación auoregresiva (AR de orden p, y se denoa por AR( p, si es suscepible de ser modelizada a ravés de la ecuación: µ p p + (8. donde:,,,... son variables aleaorias concebidas como realizaciones de un proceso esocásico en los momenos del iempo, -, -,..., que se caracerizan por... µ,,,,..., p juno con la varianza del proceso que definen el modelo (que deben ser esimados son los parámeros es un proceso consiuido por variables aleaorias independienes e igualmene disribuidas que cumplen: la esperanza de es nula; la varianza de es consane; + s s las auocovarianzas de son nulas; + s s además la variable se disribuye según una función normal y en ese caso N(, la variable aleaoria que reúne esas caracerísicas se denomina, en ese conexo, variable aleaoria ruido blanco. Dado que en la realidad los modelos más usuales son los más simples se va a proceder a esudiarlos. En concreo, se van a analizar el modelo AR( y el modelo AR(. Modelo auorregresivo de primer orden: Modelo AR (.

5 4 Bernardí Cabrer Economería Empresarial II Tema 8 Se dice que una serie emporal admie una represenación auoregresiva (AR de primer orden, y se denoa por AR(, si es suscepible de ser modelizada a ravés de la ecuación: donde:, µ + + (8., son variables aleaorias concebidas como realizaciones de un proceso esocásico en los momenos del iempo, -, -,..., que se caracerizan por...número finio µ,, juno con la varianza del proceso, son los parámeros que definen el modelo (que deben ser esimados es un proceso consiuido por variables aleaorias independienes e igualmene disribuidas que cumplen: la esperanza de es nula; la varianza de es consane; + s s las auocovarianzas de son nulas; + s s además la variable se disribuye según una normal la variable aleaoria que reúne esas caracerísicas se denomina, en ese conexo, variable aleaoria ruido blanco. Condición de esacionariedad. La modelización de una serie a ravés de un modelo AR exige que el modelo sea esacionario en media y varianza. La condición de esacionariedad en media exige que la no sea función del iempo y, además, la debe ser finia y deerminada. En el caso presene se iene: µ + o bien susiuyendo de forma reierada se obiene: µ + µ + µ + µ si se supone que es igual a cero se iene que la esperanza de es: µ + µ + µ + µ +... dado que Así pues la condición de esacionariedad en media exige que la no sea función del iempo y, además, la debe ser finia y deerminada. En ese caso 4

6 4 Bernardí Cabrer Economería Empresarial II Tema 8 como la esperanza de es igual a una progresión geomérica de razón La suma de la progresión será finia si se cumple la condición de que < y en ese caso se iene: Así, en el modelo de objeo de esudio, se iene ( - µ µ, pudiendo comprobar que el parámero µ esa relacionado con la esperanza de En el caso de que se suponga que µ sea igual a cero enonces. En lo sucesivo de la explicación se va suponer que µ. El requisio de esacionariedad en varianza para un modelo AR es que la varianza sea finia e independiene del iempo. Con el fin de comprobar que el modelo AR( es esacionario en varianza se pare: µ + µ + µ + µ además sabemos que: µ + µ + µ + µ +... aplicando la definición de la varianza se iene: Var( E ( E ( ( para que la suma de la progresión geomérica sea finia se debe cumplir que la razón debe ser inferior a la unidad hecho que an solo se cumple si < y en ese caso se iene: Var( Una forma alernaiva de comprobar que el modelo µ + + es esacionario en varianza es comprobando que las raíces del polinomio caracerísico, en módulo, sean menores que la unidad. Con el fin de comprobar si el modelo es esacionario en varianza se van a calcular las raíces del polinomio caracerísico del modelo, para ello se iguala a cero la pare auorregresiva del modelo: 5

7 4 Bernardí Cabrer Economería Empresarial II Tema 8 - si ahora, se susiuye por λ se obiene la ecuación: λ - λ dividiendo por λ se iene: λ - la solución de la ecuación o raíz del monomio es: λ Como la raíz del monomio es real, se debe cumplir que el valor absoluo de la raíz debe ser menor que la unidad: λ < o bien < Así pues, si el modelo especificado para represenar la serie cumple la condición <, el modelo es esacionario en media y varianza. + Condición de inveribilidad. Inverir un modelo AR consise en ransformarlo en su modelo MA equivalene. En el caso de un modelo AR( se iene: o bien uilizando el operador reardo L sacando facor común se iene: ( - L despejando se obiene: ( - L ( + L + + L + L L Así pues, el modelo AR( esacionario se ha ransformado en un modelo de medias móviles de orden infinio MA(. La condición de inveribilidad en los modelos auorregresivos de un número finio de érminos se cumple siempre de forma auomáica. 6

8 4 Bernardí Cabrer Economería Empresarial II Tema 8 Caracerización del modelo AR(. La caracerización de un modelo AR se efecua a ravés de la función de auocovarianza, la función de auocorrelación (AC y la función de auocorrelación parcial (PAC. En primer lugar se va a esudiar la función de auocovarianza, en segundo lugar la AC y por úlimo la PAC. Función de auocovarianza. Se eniende por función de auocovarianza a las sucesivas covarianzas de disinos órdenes de una variable con ella misma desfasada diferenes órdenes o períodos. La función de auocovarianza se define como: cov( E[( - En el caso presene, dado que expresar como: cov( ( - ], la función de auocovarianza se puede Para el valor, la auocovarianza de orden cero es realmene la varianza. Auocovarianza de orden cero (varianza: E ( Despejando la varianza se obiene: Auocovarianza de orden uno: ( + Auocovarianza de orden dos: ( + Auocovarianza de orden res: (

9 4 Bernardí Cabrer Economería Empresarial II Tema 8 Procediendo de forma análoga, se deduce la función de auocovarianza para un modelo AR(, que es: para odo > La limiación principal de la función de auocovarianza es que depende de las unidades de medida de las disinas series objeo del análisis. Con el fin de superar esa limiación se uiliza en su lugar la función de auocorrelación. Función de auocorrelación (AC. Se eniende por AC a los sucesivos coeficienes de correlación de disinos órdenes de una variable con ella misma desfasada diferenes órdenes o períodos. La AC se define como: cov( var( La AC proporciona información sobre la relación lineal enre la misma serie separadas por unidades emporales. La AC de orden uno: La AC de orden dos: La AC de orden res: Procediendo de forma análoga, se deduce la AC para un modelo AR(, que es: para odo > Función de auocorrelación parcial (PAC. Definición: se eniende por la PAC de una serie emporal a la sucesión formada por: En donde cada uno de los valores de la PAC por ejemplo el de orden, es decir, se define como la inerrelación 8

10 4 Bernardí Cabrer Economería Empresarial II Tema 8 enre las variables ; e ; ;... ; +, eliminando los efecos lineales de las variables : corr ( Así pues, se eniende por PAC a los sucesivos coeficienes de correlación parcial de los disinos órdenes de una variable con ella misma desfasada diferenes órdenes o períodos. En el caso paricular de un modelo AR( el único modelo auoregresivo que iene senido especificar es: + El concepo de auocorrelación parcial es análogo al concepo de coeficiene de regresión parcial. En el modelo de regresión (auorregresivo de orden múliple con variables, el coeficiene de regresión mide la asa de cambio en el valor medio de la variable regresada ane un cambio uniario en el -ésimo regresor, maneniendo consane la influencia de odos los demás regresores. De forma similar, el coeficiene mide la correlación enre observaciones separadas períodos, maneniendo de correlación parcial consanes las correlaciones en los defases inermedios, es decir, los defases menores de. β Una de las formas de calcular los coeficienes de la función de auocorrelación parcial es la que se describe a coninuación. El coeficiene de auocorrelación parcial del modelo + es: corr (. que coincide con el coeficiene de auocorrelación de primer orden. El coeficiene de auocorrelación parcial del modelo + + corr (. El coeficiene de auocorrelación parcial del modelo corr (. es: es: 9

11 4 Bernardí Cabrer Economería Empresarial II Tema 8 En ese caso, la función de auocorrelación parcial iene el primer valor disino de cero y el reso de valores son iguales a cero. Así se iene: para para > Correlograma. Es la represenación gráfica de la función de auocorrelación y de la función de auocorrelación parcial, que se acosumbra represenar por las iniciales en inglés AC y PAC respecivamene. En el Gráfico 8. se represena el correlograma (AC y PAC del modelo,7 + Gráfico 8. Correlograma del modelo,7 + Auocorrelaion Parial Correlaion AC PAC. *****. *****.7.7. **** ***..4.. ** * * Gráfico 8. -,7 + En el Gráfico 8. se represena el correlograma (AC y PAC del modelo Correlograma del modelo -,7 + Auocorrelaion Parial Correlaion AC PAC ***** ***** ****..49. *** ** * *

12 4 Bernardí Cabrer Economería Empresarial II Tema 8 En el Gráfico 8. se represena el correlograma (AC y PAC del modelo + ; se raa de un modelo no esacionario y la paricularidad es que odos los valores de la función de auocorrelación son iguales a la unidad.

13 4 Bernardí Cabrer Economería Empresarial II Tema 8 Gráfico 8. Correlograma del modelo + Auocorrelaion Parial Correlaion AC PAC *******. *******... *******... *******.... *******. 4.. ******* ******* ******* ******* ******* *******... En el Gráfico 8.4 se represena el correlograma (AC y PAC del modelo. Se raa de un modelo puramene aleaorio. En ese caso odos los coeficienes de auocorrelación ienen un valor próximo a cero. Gráfico 8.4 Correlograma del modelo Auocorrelaion Parial Correlaion AC PAC Sínesis. La caracerísica más imporane de una serie emporal esacionaria suscepible de ser modelizada a ravés de un modelo AR( es que la función de auocorrelación decrece exponencialmene, mienras que la función de auocorrelación parcial an sólo presena el primer valor disino de cero. El reso de valores de la función de auocorrelación parcial son nulos. El caso en que odos los valores de la función de auocorrelación esén próximos a la unidad es indicaivo de que la serie es no esacionaria, mienras que el caso en que odos los valores de la función de auocorrelación esén próximos a cero es indicaivo de que la serie es puramene aleaoria. PROBLEMAS PROPUESTOS SOBRE EL MODELO AR( PROBLEMA. Dada la serie emporal suscepible de ser represenada a ravés del modelo

14 4 Bernardí Cabrer Economería Empresarial II Tema 8,4 +. Comprobar si el modelo es esacionario.. En el caso de que el modelo sea esacionario calcule la función de auocorrelación y la función de auocorrelación parcial. PROBLEMA. Dada la serie emporal suscepible de ser represenada a ravés del modelo -,5 +. Comprobar si el modelo es esacionario.. En el caso de que el modelo sea esacionario calcule la función de auocorrelación y la función de auocorrelación parcial. PROBLEMA. Dada la función de auocorrelación (AC y la función de auocorrelación parcial (PAC siguiene: , proponga el modelo de la serie emporal que ha generado esos esadísicos (idenifique el modelo. PROBLEMA 4. Dada la función de auocorrelación (AC y la función de auocorrelación parcial (PAC siguiene: proponga el modelo de la serie emporal que ha generado esos esadísicos (idenifique el modelo. PROBLEMA 5. Dada la función de auocorrelación (AC y la función de auocorrelación parcial (PAC siguiene:,,, 4,5 5,5 6,, proponga el modelo de la serie emporal que ha generado esos esadísicos (idenifique el modelo.

15 4 Bernardí Cabrer Economería Empresarial II Tema 8 Modelo auorregresivo de segundo orden: Modelo AR (. Se dice que una serie emporal admie una represenación auoregresiva (AR de segundo orden, y se denoa por AR(, si es suscepible de ser modelizada a ravés de la ecuación: donde: µ (8.,, son variables aleaorias concebidas como realizaciones de un proceso esocásico en los momenos del iempo, -, -,..., que se caracerizan por...número finio µ,, juno con la varianza del proceso son los parámeros que definen el modelo (que deben ser esimados. es un proceso consiuido por variables aleaorias independienes e igualmene disribuidas que cumplen: la esperanza de es nula; la varianza de es consane; + s s las auocovarianzas de son nulas; + s s además la variable se disribuye según una función normal la variable aleaoria que reúne esas caracerísicas se denomina, en ese conexo, variable aleaoria ruido blanco. Condición de esacionariedad. La modelización de una serie a ravés de un modelo AR exige que el modelo sea esacionario en media y varianza. La condición de esacionariedad en media exige que la no sea función del iempo y, además, la debe ser finia y deerminada. En el caso presene se iene: o bien µ µ + uilizando el operador reardo - L - L µ + sacando facor común se iene: ( - L - L µ + despejando se obiene: ( - L - L ( µ + 4

16 4 Bernardí Cabrer Economería Empresarial II Tema 8 la esperanza de es: E ( - L - L ( µ + ( - - µ + ( - L - L Dado que, la condición de esacionariedad en media exige que la no sea función del iempo y, además, la debe ser finia y deerminada. Para ello se debe cumplir que (- - debe ser disino de cero. En el presene caso se cumple la condición de esacionario en media siempre y cuando que +. Así, en el modelo de objeo de esudio se iene ( - - µ, pudiendo comprobar que el parámero µ esa relacionado con la esperanza de. En el caso de que se suponga que µ sea igual a cero, enonces. En lo sucesivo de la explicación se va suponer que µ. El requisio de esacionariedad en varianza para un modelo AR es que las raices del polinomio caracerísico, en módulo, sean menores que la unidad. Con el fin de comprobar si el modelo es esacionario en varianza se van a calcular las raíces del polinomio caracerísico del modelo, para ello se iguala a cero la pare auorregresiva del modelo: - - si ahora, se susiuye por dividiendo por λ se iene: λ se obiene la ecuación: λ - λ - λ - λ - λ la solución de la ecuacuón o raíces del polinomio de segundo grado son: λ ; λ + ± 4 Si el módulo de las raíces del polinomio caracerísico es menor que, el modelo será esacionario en varianza. Así pues, si el modelo especificado para represenar la serie cumple las condiciones: + λ < λ < el modelo será esacionario en media y varianza

17 4 Bernardí Cabrer Economería Empresarial II Tema 8 Condición de inveribilidad. Inverir un modelo AR consise en ransformarlo en su modelo MA equivalene. En el caso de un modelo AR( se iene: o bien uilizando el operador reardo - L - L sacando facor común se iene: ( - L - L despejando se obiene: ( - L - L ( + ψ L + ψ L + ψ L + ψ 4 4 L ψ ψ + + ψ + ψ Así pues, el modelo AR( esacionario se ha ransformado en un modelo de medias móviles de orden infinio MA(. La condición de inveribilidad en los modelos auorregresivos de un número finio de érminos se cumple siempre de forma auomáica. Caracerización del modelo AR(. La caracerización de un modelo AR se efecua a ravés de la función de auocovarianza, la función de auocorrelación (AC y la función de auocorrelación parcial (PAC. En primer lugar se va a esudiar la función de auocovarianza, en segundo lugar la AC y por úlimo la PAC. Función de auocovarianza. Se eniende por función de auocovarianza a las sucesivas covarianzas de disinos órdenes de una variable con ella misma, desfasada diferenes órdenes o períodos. La función de auocovarianza se define como: cov( En el caso presene, dado que expresar como: cov( E[( - ( - ], la función de auocovarianza se puede Para el valor, la auocovarianza de orden cero es realmene la varianza. Auocovarianza de orden cero (varianza: 6

18 4 Bernardí Cabrer Economería Empresarial II Tema 8 ( Auocovarianza de orden uno: + + ( + Auocovarianza de orden dos: ( + Auocovarianza de orden res: ( Procediendo análogamene se deduce la función de auocovarianza para un modelo AR(: + para odo > La limiación principal de la función de auocovarianza es que depende de las unidades de medida de las disinas series objeo del análisis. Con el fin de superar esa limiación se uiliza en su lugar la función de auocorrelación. Función de auocorrelación (AC. Se eniende por AC a los sucesivos coeficienes de correlación de disinos órdenes de una variable con ella misma desfasada diferenes órdenes o períodos. La AC se define como: cov( var( La AC proporciona información sobre la relación lineal enre dos observaciones de la misma serie separadas por unidades emporales. 7

19 4 Bernardí Cabrer Economería Empresarial II Tema 8 La AC de orden uno: + + La AC de orden dos: + + La AC de orden res: + + Procediendo de forma análoga se concluye que la AC para un modelo AR( es: + Función de auocorrelación parcial (PAC. para odo > Recordemos que la PAC describe las inerrelaciones enre las variables e eliminando los efecos lineales de las variables: ; ; ;... ; + corr (.... +, Asi pues, se eniende por PAC a los sucesivos coeficienes de correlación parcial de los disinos órdenes de una variable con ella misma desfasada diferenes órdenes o períodos. En el caso de un modelo AR( los modelos auoregresivos que iene senido son: + + En ese caso, la función de auocorrelación parcial iene los dos primeros valores disinos de cero y el reso de valores son iguales a cero. Así se iene: para, para > + Correlograma. Es la represenación gráfica de la función de auocorrelación y de la función de auocorrelación parcial, que se acosumbran a represenar por las iniciales en inglés AC y PAC respecivamene. En el Gráfico 8.5 se represena el correlograma (AC y PAC del modelo -,6 +, + 8

20 4 Bernardí Cabrer Economería Empresarial II Tema 8 Gráfico 8.5 Correlograma del modelo -,6 +, + Auocorrelaion Parial Correlaion AC PAC ****** ****** ******. **.84. ***** **** **** **** *** *** *** ***..4. En el Gráfico 8.6 se represena el correlograma (AC y PAC del modelo +, +,6 Gráfico 8.6 Correlograma del modelo,6 +, + Auocorrelaion Parial Correlaion AC PAC ******. ****** ******. **.84. ***** **** **** **** *** *** *** ***..4. Sínesis. La caracerísica más imporane de una serie emporal esacionaria suscepible de ser modelizada a ravés de un modelo AR( es que la función de auocorrelación decrece a parir del segundo valor, mienras que la función de auocorrelación parcial an sólo presena los dos primeros valores disinos de cero. El reso de valores de la función de auocorrelación parcial son nulos. PROBLEMAS PROPUESTOS SOBRE EL MODELO AR( PROBLEMA 6. Dado el modelo auorregresivo,4 -, + represenaivo de una serie emporal comprobar:. Si es esacionario. 9

21 4 Bernardí Cabrer Economería Empresarial II Tema 8. Calcular el modelo de medias móviles (MA equivalene si iene senido. PROBLEMA 7. Dada la serie emporal suscepible de ser represenada a ravés del modelo -,6 +, +. Comprobar si el modelo es esacionario.. En el caso de que el modelo sea esacionario calcule la función de auocorrelación y la función de auocorrelación parcial. PROBLEMA 8. Dada la función de auocorrelación (AC y la función de auocorrelación parcial (PAC siguiene:,65,5,8 4,9 5, 6,7,65, proponga el modelo de la serie emporal que ha generado esos esadísicos (idenifique el modelo. PROBLEMA 8. Dada la función de auocorrelación (AC y la función de auocorrelación parcial (PAC siguiene: -,46 -, -,4 4 -,56 5 -,49 6 -,6 -,46 -, proponga el modelo de la serie emporal que ha generado esos esadísicos (idenifique el modelo.

22 4 Bernardí Cabrer Economería Empresarial II Tema MODELO DE MEDIAS MOVILES (MA. Se dice que una serie emporal admie una represenación de medias móviles (MA de orden q, y se denoa por MA( q, si es suscepible de ser modelizada a ravés de la ecuación: donde: µ θ -θ θ q θ q (8.4 es una variable aleaoria concebida como realizaciones de un proceso esocásico en los momenos del iempo, que se caracerizan por... número finio µ, θ, θ, θ,..., θ juno con la varianza del proceso q que definen el modelo (que deben ser esimados,, son los parámeros es un proceso consiuido por variables aleaorias independienes e igualmene disribuidas que cumplen: la esperanza de es nula; la varianza de es consane; + s s las auocovarianzas de son nulas; + s s además la variable se disribuye según una función normal la variable aleaoria que reúne esas caracerísicas se denomina, en ese conexo, variable aleaoria ruido blanco. Dado que en la realidad los modelos más usuales son los más simples se va a proceder a esudiarlos. En concreo, se van a analizar el modelo MA( y el modelo MA(. Modelo de medias móviles de primer orden: Modelo MA(. Se dice que una serie emporal admie una represenación a ravés de medias móviles (MA de primer orden, y se denoa por MA(, si es suscepible de ser modelizada a ravés de la ecuación: donde: µ + - (8.5 θ es una variable aleaoria concebida como una realización de un proceso esocásico en los momenos del iempo ; - ; -;...

23 4 Bernardí Cabrer Economería Empresarial II Tema 8 µ, θ, juno con la varianza del proceso modelo (que deben ser esimados,, son los parámeros que definen el es un proceso consiuido por variables aleaorias independienes e igualmene disribuidas que cumplen: la esperanza de es nula; la varianza de es consane; + s s las auocovarianzas de son nulas; + s s además la variable se disribuye según una función normal la variable aleaoria que reúne esas caracerísicas se denomina, en ese conexo, variable aleaoria ruido blanco. Condición de esacionariedad. La modelización de una serie a ravés de un modelo MA exige que el modelo sea esacionario en media y varianza. La condición de esacionariedad en media exige que la no sea función del iempo y, además, la debe ser finia y deerminada. En el caso presene se iene: mienras que la esperanza de es: µ + - θ E ( µ + - θ µ + ( - θ L µ + ( - θ. Dado que, la condición de esacionariedad en media exige que la no sea función del iempo y, además, la debe ser finia y deerminada. En el presene caso se cumple la condición de esacionario en media siempre y cuando µ sea finio y ( - θ sea disino de cero. Es decir, que θ. Así, en el modelo de objeo de esudio se iene µ, pudiendo comprobar que el parámero µ esa relacionado con la esperanza de. En el caso de que se suponga que µ sea igual a cero, enonces. En lo sucesivo sin perdida de la generalidad se va suponer que µ. El requisio de esacionariedad en varianza para un modelo MA finio se cumple auomáicamene ya que la varianza de un MA finio será siempre finia. Así pues, el modelo especificado para represenar la serie -θ cumple la condición de esacionario en media y varianza si el valor de µ es finio y θ.

24 4 Bernardí Cabrer Economería Empresarial II Tema 8 Condición de inveribilidad. Inverir un modelo MA consise en ransformarlo en su modelo AR equivalene. El requisio para que se pueda inverir un modelo MA es que las raíces del polinomio caracerísico, en módulo, sean menores que la unidad. Con el fin de comprobar si el modelo es inverible se van a calcular las raíces del polinomio caracerísico del modelo. Para ello se iguala a cero la pare de medias móviles del modelo: si ahora, se susiuye por - θ λ se obiene la ecuación: λ - θ λ dividiendo por λ se iene: λ - θ la solución de la ecuación o raíz del monomio es: λ θ Como la raíz del monomio es real, se debe cumplir que el valor absoluo de la raíz debe ser menor que la unidad: λ < o bien θ < θ Así pues, si θ, en valor absoluo, es menor que la unidad el modelo será inverible. En el caso de un modelo MA(, la inversión del modelo, eso es, su conversión en el modelo AR equivalene, da como resulado: uilizando el operador reardo - θ - θ L - sacando facor común se iene: despejando se obiene: ( - θ L ( - θ L ( + θ L + θ + θ L + θ L + θ 4 L θ + θ + θ Así pues, el modelo MA( inverible se ha ransformado en un modelo auorregresivo de orden infinio AR(. La condición de inveribilidad en los modelos de medias móviles requiere que las raíces del polinomio caracerísico, en módulo, sean menores que la unidad. Caracerización del modelo MA(. La caracerización de un modelo MA se efecúa a ravés de la función de auocovarianza, la función de auocorrelación (AC y la función de auocorrelación parcial

25 4 Bernardí Cabrer Economería Empresarial II Tema 8 (PAC. En primer lugar se va a esudiar la función de auocovarianza, en segundo lugar la AC y por úlimo la PAC. Función de auocovarianza. Se eniende por función de auocovarianza a las sucesivas covarianzas de disinos órdenes de una variable con ella misma desfasada diferenes órdenes o períodos. La función de auocovarianza se define como: cov( En el caso presene, dado que expresar como: cov( E[( - ( - ], la función de auocovarianza se puede Para el valor, la auocovarianza de orden cero es realmene la varianza. Auocovarianza de orden cero (varianza: E ( - + θ - θ θ + θ - θ + θ Despejando la varianza se obiene: ( + θ Auocovarianza de orden uno: ( - ( -θ θ -θ -θ + θ - - θ Auocovarianza de orden dos: ( - + -θ θ ( -θ -θ -θ + θ Auocovarianza de orden res: ( - ( -θ 4 θ -θ 4 -θ + θ 4 Procediendo análogamene, se deduce que la función de auocovarianza para un modelo MA( es: 4

26 4 Bernardí Cabrer Economería Empresarial II Tema 8 para odo > La limiación principal de la función de auocovarianza es que depende de las unidades de medida de las disinas series objeo del análisis. Con el fin de superar esa limiación se uiliza en su lugar la función de auocorrelación. Función de auocorrelación (AC. Se eniende por AC a los sucesivos coeficienes de correlación de disinos órdenes de una variable con ella misma desfasada diferenes órdenes o períodos. La AC se define como: cov( var( La AC proporciona información sobre la relación lineal enre dos observaciones de la misma serie separadas por unidades emporales. La AC de orden uno: La AC de orden dos: θ ( + θ θ ( + θ +θ ( La AC de orden res: +θ ( Procediendo de forma análoga, se deduce la AC de un modelo MA(, que es : θ ( + θ para Función de auocorrelación parcial (PAC. para odo > Recordemos que la PAC describe las inerrelaciones enre las variables e eliminando los efecos lineales de las variables: ; ; ;... ; + corr (.... +, Se eniende por PAC a los sucesivos coeficienes de correlación parcial de los disinos órdenes de una variable con ella misma desfasada diferenes órdenes o períodos. 5

27 4 Bernardí Cabrer Economería Empresarial II Tema 8 En el caso de un modelo MA( inverible (se puede obener el modelo AR( equivalene se pueden planear infinios modelos auoregresivos: En ese caso, la función de auocorrelación parcial iene infinios valores disinos de cero y van decreciendo exponencialmene a parir del primer valor. Correlograma. θ ( + θ + para para odo > Es la represenación gráfica de la función de auocorrelación y de la función de auocorrelación parcial, que se acosumbra a represenar por las iniciales en inglés AC y PAC respecivamene. En el Gráfico 8.7 se represena el correlograma (AC y PAC del modelo -,8 Gráfico 8.7 Correlograma del modelo -,8 Auocorrelaion Parial Correlaion AC PAC **** ***** **** **. -.. ** * * * * ,8 Gráfico 8.8 En el Gráfico 8.8 se represena el correlograma (AC y PAC del modelo + Correlograma del modelo +,8 Auocorrelaion Parial Correlaion AC PAC **** **** *** **... *

28 4 Bernardí Cabrer Economería Empresarial II Tema 8. * * Sínesis. La caracerísica más imporane de una serie emporal esacionaria suscepible de ser modelizada a ravés de un modelo MA( es que la función de auocorrelación an sólo presena el primer valor disino de cero (y en valor absoluo menor que,5, mienras que la función de auocorrelación parcial decrece exponencialmene. PROBLEMAS PROPUESTOS SOBRE EL MODELO MA( PROBLEMA. Dado el modelo de medias móviles (MA -,6 Se pide:. Comprobar si el modelo es esacionario. 4. En el caso de que el modelo sea esacionario calcule la función de auocorrelación y la función de auocorrelación parcial. PROBLEMA 9. Dado el modelo de medias móviles (MA +,9 Se pide:. Comprobar si el modelo es esacionario.. En el caso de que el modelo sea esacionario calcule la función de auocorrelación y la función de auocorrelación parcial. PROBLEMA. Dadas la función de auocorrelación y la función de auocorrelación parcial siguienes: -, ,488 -, -, 44 -,65 55,7 66 -,99 proponga el modelo de la serie emporal que ha generado los esadísicos (idenifique el modelo. PROBLEMA. Demosrar que el valor máximo que puede alcanzar el primer valor da la función de auocorrelación ( de un modelo MA( esacionario es,5. Modelo de medias móviles de segundo orden: Modelo MA(. 7

29 4 Bernardí Cabrer Economería Empresarial II Tema 8 Se dice que una serie emporal admie una represenación auoregresiva (MA de segundo orden, y se denoa por MA(, si es suscepible de ser modelizada a ravés de la ecuación: µ θ (8.6 θ donde: es una variable aleaoria concebida como una realización de un proceso esocásico en los momenos del iempo, -, -,... µ, θ, θ, juno con la varianza del proceso, son los parámeros que definen el modelo (que deben ser esimados, es un proceso consiuido por variables aleaorias independienes e igualmene disribuidas que cumplen: la esperanza de es nula; la varianza de es consane; + s s las auocovarianzas de son nulas; + s s además la variable se disribuye según una función normal la variable aleaoria que reúne esas caracerísicas se denomina, en ese conexo, variable aleaoria ruido blanco. Condición de esacionariedad. La modelización de una serie a ravés de un modelo MA exige que el modelo sea esacionario en media y varianza. La condición de esacionariedad en media exige que la no sea función del iempo y, además, la debe ser finia y deerminada. En el caso presene se iene: mienras que la esperanza de es: µ θ θ E ( µ θ θ µ + -θ L -θ µ + (-θ L -θ µ + (-θ -θ L L Dado que, la condición de esacionariedad en media exige que la no sea función del iempo y, además, la debe ser finia y deerminada. En el presene caso se cumple la condición de esacionariedad en media siempre y cuando µ sea finio y (-θ -θ. Es decir que θ + θ. Así, en el modelo de objeo de esudio se iene µ, pudiendo comprobar que el parámero µ esa relacionado con la esperanza de. En el caso de que se suponga 8

30 4 Bernardí Cabrer Economería Empresarial II Tema 8 que µ sea igual a cero, enonces. En lo sucesivo, sin perdida de la generalidad, se va suponer que µ. El requisio de esacionariedad en varianza para un modelo MA finio se cumple auomáicamene ya que la varianza de un MA finio será siempre finia. Así pues, el modelo especificado para represenar la serie -θ -θ cumple la condición de esacionario en media y varianza si el valor de µ es finio o deerminado y θ + θ. Condición de inveribilidad. Inverir un modelo MA consise en ransformarlo en su modelo AR equivalene. El requisio para que se pueda inverir un modelo MA es que las raíces del polinomio caracerísico, en módulo, sean menores que la unidad. Con el fin de comprobar si el modelo es inverible se van a calcular las raíces del polinomio caracerísico del modelo. Para ello se iguala a cero la pare de medias móviles del modelo: Si ahora, se susiuye por - -θ θ λ se obiene la ecuación: λ - θ λ - θ λ dividiendo por λ se iene: λ -θ λ - θ las raíces del polinomio de segundo grado son: λ ; λ θ + ± θ 4 θ Si el módulo de las raíces del polinomio caracerísico es menor que la unidad, el modelo MA ( será inverible. En el caso de un modelo MA(, la inversión del modelo, eso es, su conversión en el modelo AR equivalene, da como resulado: uilizando el operador reardo - - θ θ - θ L -θ L sacando facor común se iene: despejando se obiene: ( - θ L - θ ( - θ L - θ L L ( + ψ L + ψ L + ψ L + ψ 4 4 L ψ ψ ψ ψ Así pues, el modelo MA( inverible se ha ransformado en un modelo auorregresivo de orden infinio AR(. La condición de inveribilidad en los modelos de 9

31 4 Bernardí Cabrer Economería Empresarial II Tema 8 medias móviles requiere que las raíces del polinomio caracerísico, en módulo, sean menores que la unidad. Caracerización del modelo MA(. La caracerización de un modelo MA se efecúa a ravés de la función de auocovarianza, la función de auocorrelación (AC y la función de auocorrelación parcial (PAC. En primer lugar se va a esudiar la función de auocovarianza, en segundo lugar la AC y por úlimo la PAC. Función de auocovarianza. Se eniende por función de auocovarianza a las sucesivas covarianzas de disinos órdenes de una variable con ella misma desfasada diferenes órdenes o periodos. La función de auocovarianza se define como: cov( En el caso presene, dado que expresar como: cov( E[( - ( - ], la función de auocovarianza se puede Para el valor, la auocovarianza de orden cero es realmene la varianza. Auocovarianza de orden cero (varianza: E ( - - θ θ + θ + θ - θ - θ + θ θ + θ + θ - θ -θ +θ θ + + θ En definiiva: θ Auocovarianza de orden uno: ( - - θ θ ( + θ + θ ( -θ - θ -θ -θ -θ + θ + θ θ - - θ + θ θ + θ - θ - θ - θ + θ + θ θ - θ + θ θ + θ -θ + θ θ (-θ + θ θ

32 4 Bernardí Cabrer Economería Empresarial II Tema 8 Auocovarianza de orden dos: ( - - θ θ ( -θ - θ 4 -θ -θ 4 -θ + θ θ θ Auocovarianza de orden res: ( - -θ + θ θ + θ 4 -θ - θ θ ( -θ 4 - θ 5 -θ 4 -θ 5 -θ + θ θ θ -θ + θ θ 4 + θ 5 Procediendo análogamene, se deduce que la función de auocovarianza para un modelo MA( es: para odo > La limiación principal de la función de auocovarianza es que depende de las unidades de medida de las disinas series objeo del análisis. Con el fin de superar esa limiación se uiliza en su lugar la función de auocorrelación. Función de auocorrelación (AC. Se eniende por AC a los sucesivos coeficienes de correlación de disinos órdenes de una variable con ella misma desfasada diferenes órdenes o periodos. La AC se define como: cov( var( La AC proporciona información sobre la relación lineal enre dos observaciones de la misma serie separadas por unidades emporales. La AC de orden uno: ( θ + θ θ ( + θ + θ ( θ + θ θ ( + θ + θ La AC de orden dos: θ ( + θ + θ θ ( + θ + θ La AC de orden res: ( +θ +θ Procediendo de forma análoga, se deduce la AC para un modelo MA(:

33 4 Bernardí Cabrer Economería Empresarial II Tema 8 θ + θ θ ( + θ θ ( + θ + θ + θ para para para odo > Función de auocorrelación parcial (PAC. Recordemos que la PAC describe las inerrelaciones enre las variables e eliminando los efecos lineales de las variables: ; ; ;... ; + corr (.... +, Se eniende por PAC a los sucesivos coeficienes de correlación parcial de los disinos órdenes de una variable con ella misma desfasadas diferenes órdenes o periodos. En el caso de un modelo MA( inverible (se puede obener el modelo AR( equivalene se pueden planear infinios modelos auoregresivos: En ese caso, la función de auocorrelación parcial iene infinios valores disinos de cero y van decreciendo exponencialmene a parir del segundo valor. + Correlograma. para odo > Es la represenación gráfica de la función de auocorrelación y de la función de auocorrelación parcial, que se acosumbran a represenar por las iniciales en inglés AC y PAC respecivamene. En el Gráfico 8.9 se represena el correlograma (AC y PAC del modelo -, -,4 Gráfico 8.9 Correlograma del modelo -, -,4

34 4 Bernardí Cabrer Economería Empresarial II Tema 8 Auocorrelaion Parial Correlaion AC PAC ** ** *** *** **. -. ** * * * * , En el Gráfico 8. se represena el correlograma (AC y PAC del modelo -,4 Gráfico 8. Correlograma del modelo +, -,4 Auocorrelaion Parial Correlaion AC PAC ** ** *** *** **.. ** * * * *

35 4 Bernardí Cabrer Economería Empresarial II Tema 8 Sínesis. La caracerísica más imporane de una serie emporal esacionaria suscepible de ser modelizada a ravés de un modelo MA( es que la función de auocorrelación an sólo presena los dos primeros valores disinos de cero, mienras que la función de auocorrelación parcial decrece exponencialmene a parir del segundo valor. PROBLEMAS PROPUESTOS SOBRE EL MODELO MA( PROBLEMA 4. Dado el modelo de medias móviles -,4 +, comprobar:. Si es esacionario.. Calcular el modelo auorregresivo (AR equivalene si es posible. PROBLEMA 5. Dado el modelo de medias móviles -, -,4 comprobar:. Si es esacionario.. Calcular la función de auocorrelación y auocorrelaciónparcial si es posible. PROBLEMA 6. Dada la función de auocorrelación (AC y la función de auocorrelación parcial (PAC siguiene: -,44 -, ,44 -,47 -, 44 -,6 55, ,76 proponga el modelo de la serie emporal que ha generado esos esadísicos (idenifique el modelo. PROBLEMA 7. Dada la función de auocorrelación (AC y la función de auocorrelación parcial (PAC siguiene: -,44 -, ,44 -,47 -, 44 -,6 55, ,76 proponga el modelo de la serie emporal que ha generado esos esadísicos (idenifique el modelo. 4

36 4 Bernardí Cabrer Economería Empresarial II Tema 8 8. MODELOS MIXTOS AUTORREGRESIVOS MEDIAS MÓVILES (ARMA. Se dice que una serie emporal admie una represenación auorregresiva y de medias móviles de orden p, q respecivamene, y se denoa por ARMA( p, q, si es suscepible de ser modelizada a ravés de la ecuación: µ + donde:, p p θ θ θ q q (8.7,..., p son una variables aleaorias concebidas como realizaciones de un proceso esocásico en disinos momenos del iempo, -, -,..., que se caracerizan por... µ,,,..., p, θ, θ, θ,..., θ juno con la varianza del proceso q los parámeros que definen el modelo (que deben ser esimados, son es un proceso consiuido por variables aleaorias independienes e igualmene disribuidas que cumplen: la esperanza de es nula; la varianza de es consane; + s s las auocovarianzas de son nulas; + s s además, la variable se disribuye según una función normal la variable aleaoria que reúne esas caracerísicas se denomina, en ese conexo, variable aleaoria ruido blanco. Una forma alernaiva de expresar la ecuación (8.7 es uilizando el operador reardo obeniendo: eso es: o bien: L (- L - - L L p p p p - p L - θ θ -θ L -θ p L (-θ L -θ L θ q θ q L q θ q p L Además, los polinomios de reardos se pueden descomponer, si las raíces son reales, en producos de monomios: (- λ L (- λ L... (- λ p L p L * (- λ L (- λ L... (- λ p L y en la mayoría de los casos los polinomios ienen raíces comunes pudiendo simplificarse la ecuación quedando, en definiiva, un modelo mucho más simple. * * 5

37 4 Bernardí Cabrer Economería Empresarial II Tema 8 Por ejemplo el modelo:,8 -,8 + -,6 +,6 que se puede escribir como -,8 +,8 -,6 +,6 o bien: (-,8 L +,8 L (-,6 L +,6 L descomponiendo los polinomios en produco de monomios: (-, L (-,8 L (-, L (-,6 L y simplificando: que es en definiiva un modelo ARMA(,. (-,8 L (-,6 L Dado que en la realidad los modelos más usuales son los más simples se va a proceder a esudiarlos. En concreo, se va a analizar el modelo ARMA(,. Modelo auorregresivo y de medias móviles de primer orden: Modelo ARMA(,. Se dice que una serie emporal admie una represenación auoregresiva y de medias móviles de primer orden, y se denoa por ARMA(,, si es suscepible de ser modelizada a ravés de la ecuación: donde:,, θ + -θ (8.8, son variables aleaorias concebidas como realizaciones de un proceso esocásico en los momenos del iempo, -, -,..., que se caracerizan por... juno con la varianza del proceso son los parámeros que definen el modelo (que deben ser esimados, es un proceso consiuido por variables aleaorias independienes e igualmene disribuidos que cumplen: la esperanza de es nula; la varianza de es consane; + s s las auocovarianzas de son nulas; + s s además la variable se disribuye según normal 6

38 4 Bernardí Cabrer Economería Empresarial II Tema 8 la variable aleaoria que reúne esas caracerísicas se denomina, en ese conexo, variable aleaoria ruido blanco. Condición de esacionariedad. La modelización de una serie a ravés de un modelo ARMA exige que el modelo sea esacionario en media y varianza. La condición de esacionariedad viene impuesa por la pare AR, ya que la pare MA es esacionaria siempre y cuando sea finia. La esacionariedad en media exige que la no sea función del iempo y, además, la debe ser finia y deerminada. En el caso presene se iene: o bien uilizando el operador reardo + - θ - - θ - L - θ L sacando facor común y se iene: ( - L ( - θ L despejando se obiene: ( - L ( - θ L la esperanza de es: E ( - L (-θ L ( - L (-θ ( - (-θ L Dado que, la condición de esacionariedad en media exige que la no sea función del iempo y, además, la debe ser finia y deerminada. Para ello se debe cumplir que ( - y que (-θ sean disinos de cero. En el presene caso, se cumple la condición de esacionariedad en media siempre y cuando y que θ. El requisio de esacionariedad en varianza para un modelo ARMA depende únicamene de la pare AR, ya que la pare MA, si es finia, cumple auomáicamene la condición de esacionariedad en varianza. Así pues, el requisio de esacionariedad en varianza para la pare AR de un modelo es que las raíces del polinomio caracerísico, en módulo, sean menores que la unidad. Con el fin de comprobar si el modelo es esacionario en varianza se van a calcular las raíces del polinomio caracerísico del modelo de la pare AR. Para ello, se iguala a cero la pare auorregresiva del modelo: - si ahora, se susiuye por λ se obiene la ecuación: λ - λ 7

39 4 Bernardí Cabrer Economería Empresarial II Tema 8 dividiendo por λ se iene: λ - la solución de la ecuación o raíz del monomio es: λ Como la raíz del monomio es real, se debe cumplir que el valor absoluo de la raíz sea menor que la unidad: λ < o bien < Así pues, si el modelo especificado para represenar la serie: + - θ cumple las condiciones: < y θ Por ano, el modelo es esacionario en media y varianza. Condición de inveribilidad. Inverir un modelo ARMA consise en ransformarlo en su modelo AR equivalene. El requisio para que se pueda inverir un modelo ARMA es que las raíces del polinomio caracerísico de la pare MA, en módulo, sean menores que la unidad. Con el fin de comprobar si el modelo es inverible se van a calcular las raíces del polinomio caracerísico de la pare MA del modelo. Para ello se iguala a cero la pare de medias móviles del modelo: si ahora, se susiuye por - θ λ se obiene la ecuación: λ - θ λ dividiendo por λ se iene: λ - θ la solución de la ecuación o raíz del monomio es: λ θ Como la raíz del monomio es real, se debe cumplir que el valor absoluo de la raíz debe ser menor que la unidad: λ < o bien θ < - Así pues, si θ, en valor absoluo, es menor de la unidad, el modelo será inverible. θ + En el caso de un modelo ARMA(,, la inversión del modelo, eso es su conversión en el modelo AR equivalene, se obiene: + - θ uilizando el operador reardo y sacando facor común y se iene: 8

40 4 Bernardí Cabrer Economería Empresarial II Tema 8 ( - L ( - θ L despejando se obiene: ( - θ L ( - L ( + θ L + θ + ψ L + θ L + θ 4 L +... ( - L + ψ + ψ + ψ Así pues, el modelo ARMA(, esacionario e inverible se ha ransformado en un modelo auorregresivo de orden infinio AR(. La condición de inveribilidad en los modelos ARMA requiere que las raíces del polinomio caracerísico de la pare MA, en módulo, sean menores que la unidad. Caracerización del modelo ARMA(,. La caracerización de un modelo ARMA se efecúa a ravés de la función de auocovarianza, la función de auocorrelación (AC y la función de auocorrelación parcial (PAC. En primer lugar se va a esudiar la función de auocovarianza, en segundo lugar la AC y por úlimo la PAC. Función de auocovarianza. Se eniende por función de auocovarianza a las sucesivas covarianzas de disinos órdenes de una variable con ella misma desfasada diferenes órdenes o períodos. La función de auocovarianza se define como: cov( E[( - ( - ] En el caso presene, dado que, la función de auocovarianza se puede expresar como: cov( Para el valor, la auocovarianza de orden cero es realmene la varianza. Auocovarianza de orden cero (varianza: E ( θ θ - θ - θ + + θ + - θ - θ θ + - θ Despejando la varianza se iene: - θ 9

41 4 Bernardí Cabrer Economería Empresarial II Tema 8 Auocovarianza de orden uno: ( θ θ + θ + - θ - θ Auocovarianza de orden dos: ( θ Auocovarianza de orden res: ( + -θ θ -θ θ Susiuyendo por su valor se obiene: -θ Procediendo de forma análoga, se deduce la función de auocovarianza para un modelo ARMA(,, que cumple: para odo > La limiación principal de la función de auocovarianza es que depende de las unidades de medida de las disinas series objeo del análisis. Con el fin de superar esa limiación, se uiliza en su lugar la función de auocorrelación. Función de auocorrelación (AC. Se eniende por AC a los sucesivos coeficienes de correlaciones de disinos órdenes de una variable con ella misma desfasada diferenes órdenes o períodos. La AC se define como: cov( var( 4

42 4 Bernardí Cabrer Economería Empresarial II Tema 8 La AC proporciona información sobre la relación lineal enre dos observaciones de la misma serie separadas por unidades emporales. θ La AC de orden uno: ( θ ( θ + θ θ La AC de orden dos: La AC de orden res: Procediendo de forma análoga, se deduce la AC para un modelo ARMA(,, que es: para odo > Función de auocorrelación parcial (PAC. La PAC describe las inerelaciones enre las variables efecos lineales de las variables: ; ; ;... ; + corr ( e eliminando los Se eniende por PAC a los sucesivos coeficienes de correlación parcial de los disinos órdenes de una variable con ella misma desfasada diferenes órdenes o períodos. En el caso de un modelo ARMA( esacionario e inverible. se puede obener el modelo AR( equivalene. En ese caso, se pueden planear infinios modelos auoregresivos: En ese caso, la función de auocorrelación parcial iene infinios valores disinos de cero y van decreciendo exponencialmene a parir del primer valor. + θ para 4

43 4 Bernardí Cabrer Economería Empresarial II Tema 8 y en general para odo > Correlograma. Es la represenación gráfica de la función de auocorrelación y de la función de auocorrelación parcial que se acosumbra represenar por las iniciales en inglés AC y PAC respecivamene. En el Gráfico 8. se represena el correlograma (AC y PAC del modelo,7 + -, Gráfico 8. Correlograma del modelo,7 + -, Auocorrelaion Parial Correlaion AC PAC ***** ***** ***. **..8 **...4 ** * * En el Gráfico 8. se represena el correlograma (AC y PAC del modelo,7 + +, Gráfico 8. Correlograma del modelo,7 +, + Auocorrelaion Parial Correlaion AC PAC ********* *********,8,8 ****** **, **** *,9.67 *** ** 4,75 -. **. 5,9.5 *. 6, , , ,46..., -. Sínesis. La caracerísica más imporane de una serie emporal esacionaria suscepible de ser modelizada a ravés de un modelo ARMA(, es que la función de auocorrelación presena infinios valores disinos de cero que decrecen de forma 4