IV.1. DEFINICIÓN DE APLICACION LINEAL. PROPIEDADES. f : E F. La condición I) indica que la imagen de la suma de dos vectores es la suma de las

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1 Tema IV APLIICACIIONES LIINEALES Objeivos Conocer el concepo de aplicación lineal enre dos espacios vecoriales. Saber comprobar si una deerminada ransformación es lineal. Saber calcular las imágenes mediane una ransformación lineal de un vecor o de un subespacio compleo. Saber buscar qué vecores se ransforman en el vecor nulo y qué vecores son la imagen de algún vecor. Enender que cada aplicación lineal puede ser represenada por una mariz. Saber realizar odo lo anerior rabajando con dicha mariz. IV.. DEFINICIÓN DE APLICACION LINEAL. PROPIEDADES. Definición. Sean E y F dos espacios vecoriales sobre el cuerpo K, de dimensiones n y m respecivamene. Una aplicación f de E en F que asigna a cada vecor x de E un vecor f(x) de F f : E F x f ( x) es una aplicación lineal si verifica las condiciones I ) x, y E f ( x + y) f ( x) + f ( y) II) x E y α K f ( αx) α f ( x) La condición I) indica que la imagen de la suma de dos vecores es la suma de las imágenes. A veces nos referimos a las aplicaciones lineales como ransformaciones lineales. Página 5

2 Ejemplo Se define la aplicación x f : R x x f ( x) x x R x + x Probar que f es lineal. Solución. Sean x ( x x x ) e ( y y y ) y dos vecores de. Comprobemos las condiciones I) y II) de la definición de aplicación lineal. I) x + y ( x x x ) + ( y y y ) ( x + y x + y x + y ) ( ) ( ) ( ) f ( x + y) x + y + x + y x + y x + x x + y + y y f ( x) + f ( y ) II) x R y α K se iene que como αx α ( x x x ) ( α x α x α x ), ( ) ( ) f ( αx) α x + α x α x α x + x x α f ( x ) Ejemplo Se define la aplicación x f : R x x f ( x) x + x R x + x Veamos si f es una aplicación lineal. Solución. Sean x ( x x x ) e y ( y y y ) condiciones I) y II) aneriores. dos vecores de. Comprobemos las dos Página 6

3 Dado que + ( x x x ) + ( y y y ) ( x + y x + y x + y ) x y se iene que f x + y ( x + y + x + y x + y + ) ( ) Por oro lado, ( ) ( ) ( ) f ( x) + f ( y) x + x x + + y + y y + x + y + x + y x + y +. De donde f ( x) + f ( y) f ( x + y ), luego f no es lineal. Ejemplo Sea A una mariz real de amaño m x n. Probar que la aplicación siguiene es lineal. f : R n R x f ( x) A x m Solución. Sean x e y dos vecores de n y α un número real. La comprobación de las dos condiciones de linealidad es direca, uilizando las propiedades de las marices f ( x + y) A( x + y) Ax + Ay f ( x) + f ( y) f ( αx) A( αx) α Ax α f ( x) Por lo ano, f es lineal. Ejemplo Sea E un espacio vecorial real y B { u,u,,u n} una base de E. Probar que la aplicación coordenada es lineal f : E R x f ( x) x B n Solución. Supóngase que Página 7

4 x x x B y x n y B y y y n Enonces ( x x x ) ( y y y ) x + y u + u + + u + u + u + + u n n n n ( x + y ) u + ( x + y ) u + + ( x + y ) u n n n con lo que x + y x y x + y x y x + y + x B B + y xn + yn xn yn ( ) Es decir f ( x + y) f ( x) + f ( y ) B Por oro lado ( ) αx α x u + x u + + x u α x u + α x u + + α x u n n n n luego y así f ( αx) α f ( x ) α x x α x x α α αx B α x x ( x) n n B En consecuencia, f es una aplicación lineal. Esa propiedad se sigue verificando si se cambia n por n. Son muchos los ejemplos de aplicaciones lineales definidas enre espacios vecoriales. Así la proyección y la simería respeco de cualquier eje coordenado son ambién Página 8

5 aplicaciones lineales en el espacio vecorial V. Propiedades de las aplicaciones lineales. Sea f una aplicación lineal definida enre los espacios vecoriales E y F sobre. Enonces: ) x, y E y λ, µ K se iene que f ( λ x + µ y) λ f ( x) + µ f ( y ) Por exensión, la propiedad se puede generalizar a cualquier número de sumandos. ) Si se denoa por 0 E el elemeno neuro para la suma en E y por 0 F el elemeno neuro para la suma en F se iene que f ( 0 ) 0 pueso que f ( 0 ) f (0 x) 0 f ( x) 0 E F E F Sin embargo puede haber más elemenos de E que engan por imagen el 0 F. Todos ellos consiuirán un subespacio, que esudiaremos más adelane y se denominará núcleo de f. ) Si el conjuno S { e,e,,e p} es linealmene dependiene, enonces el conjuno f ( S) { f ( e), f ( e),, f ( ep) } es ambién linealmene dependiene. Demosración. Si el conjuno S { e,e,,e p} es linealmene dependiene enonces la combinación nula α e + α e + + α p e 0 se cumple con algún α i 0. Sea ( p ) p E f α e + α e + + α e f ( 0 ) 0 α f ( e ) + α f ( e ) + + α f ( e ) p E F p p Eso es una relación nula de los f ( e ) con algún α i 0. Luego, { e e e } f ( S) f ( ), f ( ),, f ( ) es linealmene dependiene. p 4) Si f ( S) { f ( e), f ( e),, f ( ep) } S { e,e,,e p} es ambién linealmene independiene. i es linealmene independiene, enonces Página 9

6 Demosración. Es evidene por la propiedad anerior, ya que si S es ligado, enonces f ( S ) ambién es ligado. 5) Si el conjuno S { e,e,,e p} es linealmene independiene, enonces el conjuno f ( S) { f ( e), f ( e),, f ( ep) } puede ser o no linealmene dependiene. Ejemplo Sea la aplicación lineal x f : R x x f ( x) x x Consideremos el conjuno de vecores ( 0 0 ),( 0 0 ),( 0 0 ) que es libre. Calculemos f ( B ) : {( ) ( ) ( ) } R x + x { } B de f ( B ) 0, 0, 0 que es un conjuno linealmene dependiene en. { } Si ahora se considera el conjuno ( 0 0 ),( 0 0 ) {( ) ( ) } U de, se iene que f ( U ) 0, 0 es un conjuno linealmene independiene en. IV.. IMAGEN Y NUCLEO DE UNA APLICACION LINEA Sea f una aplicación lineal definida enre los espacios vecoriales E y F, f : E F Definición. Se llama núcleo de f al subconjuno de E Ker f { E / f ( ) } x x 0 F, es decir, Ker f es el conjuno de vecores de E, que ienen como imagen por f el vecor nulo de F. También se le suele denoar por Nuc f ó N( f ). el núcleo de una aplicación lineal es un subespacio vecorial de E. Teorema. El núcleo (Ker f ) de una aplicación lineal f es un subespacio vecorial de E. Página 0

7 Demosración: Hay que comprobar las res condiciones de subespacio. El vecor 0 Ker f ya que f ( 0 ) 0. E E F I) x, y Ker f x + y Ker f. Sean x, y Ker f : De donde: f ( x + y) f ( x) + f ( y) f lineal x Ker f, y Ker f F F F luego, x + y Ker f II) x Ker f α K αx Ker f. Sean x Ker f α K, luego f ( αx) α f ( x) α0 0 f lineal x Ker f F F por lo ano αx Ker f. Queda así demosrado que Ker f es un subespacio vecorial de E. Definición. Se llama imagen de la aplicación lineal f al subconjuno de F { f } Im f ( x) F / x E. Es decir, Im f es el subconjuno de F, formado por las imágenes, mediane f, de los vecores de E. Teorema. La imagen (Im f) de una aplicación lineal f : E F es un subespacio vecorial de F. Demosración: Hay que comprobar las res condiciones de subespacio vecorial. Pueso que f ( 0 ) 0, se iene que Im f coniene al vecor nulo. E F I) y, y Im f y + y Im f Sean y, y Im f Enonces exisen dos vecores x, x E ales que Página

8 f ( x ) y f ( x ) y Como y + y f ( x ) + f ( x ) f ( x + x ) f lineal se iene que y + y Im f, ya que es imagen por f del vecor x + x de E. II) y Im f α K αy Im f. Sean y Im f α K, luego αy α f ( x) f ( αx ) f lineal por lo ano αy Im f. Queda así demosrado que Im f es un subespacio vecorial de F. Observación: La imagen de un subespacio vecorial S de E f (S) { f ( ) F / S} un subespacio vecorial de F. x x es El subespacio imagen más imporane es el f (E), es decir la imagen de odo el espacio vecorial de E, que se denoa, al y como hemos viso, como Im f Ejemplo Sea la aplicación lineal x f : R x x +x x f ( x) x-x x R x x x x Siendo ( ) T. Se pide: Hallar Ker f. Enconrar los vecores linealmene independienes de R con la misma imagen. Calcular Im f. Página

9 Solución: x + x 0 x x x x Ker f x x 0 x - x 0 (i) ( ) T { } { } Así pues Ker f ( 0 0 x ) / x R, siendo ( ) ano dim Ker f 0 0 una base de Ker f, y por (ii) De la definición de f se deduce que los vecores u ( ) y v ( ) f ( u) f ( v ) 0 cumplen ( ) (iii) Sea f ( x ) un vecor de Im f siendo x ( x x x ), enonces ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f ( x ) x + x x - x x x + x -x x + x { } Luego Im f Span ( ) ( -) { } Pueso que ( ) ( ) - es un conjuno linealmene independiene, es una base de Im f, con lo que dim Im f, Obsérvese que se cumple la siguiene relación de dimensiones + dimr dim Ker f dim Im f. Eso será así en general (ver el Teorema fundamenal de las aplicaciones lineales en IV.). Definición: Se llama rango de una aplicación lineal a la dimensión del subespacio imagen Im f: rango f dim f (E) dim Im f Teorema: Sea f : E F una aplicación lineal. Si B { e, e,, en} es una base de E, enonces f (B) { f ( e ) f ( e ) f ( e )} (E) (es decir, de Im f). n es un sisema generador de f Demosración: Página

10 B n Sea x un vecor arbirario de E y { e, e,, e } x x e + x e + + x e n n una base de E. Enonces: f ( x) f ( x e + x e + + x e ) x f ( e ) + x f ( e ) + + x f ( e ) Y n n n n Luego Im f Span{ f ( e ), f ( e ),, f ( e )} n { e e e } y por ano f (B) f ( ), f ( ),, f ( ) es un sisema generador de la Im f n Como consecuencia de ese eorema se iene que dim Im f dim E n. Observación. Si B es una base de E enonces f (B) genera Im f, por lo que quedándonos con los vecores linealmene independienes de f (B) endremos una base de Im f. IV.. TEOREMA FUNDAMENTAL DE LAS APLICACIONES LINEALES Teorema. Sean E y F espacios vecoriales sobre K, siendo E de dimensión finia. Si f : E F es una aplicación lineal enonces dim E dim Ker f + dim Im f Demosración (opcional): Sea E un espacio vecorial de dimensión n, y { e, e,, ep} f, luego dim Ker f p. Se probará que dim (Im f) n - p una base del Ker Por el Teorema de la Base Incomplea (ya esudiado en el Tema ), se puede enconrar una base de E de la forma { e,e,,e p,e p+,e p+,,e n} Ahora bien, se iene que { e e e e e } Im f Span f ( ), f ( ),, f ( ), f ( ),, f ( ) p p+ n Y como f ( e ) 0 i,,, p i F Enonces: Página 4

11 { e e e } Im f Span f ( ), f ( ),, f ( ) p+ p+ n Veamos que { f ( ep+ ), f( ep+ ),, f ( en) } es un conjuno linealmene independiene. Para ello se consruye la combinación lineal nula b f ( e ) + b f ( e ) + + b f ( e ) 0 p+ p+ p+ p+ n n F Enonces: f ( b e + b e + + b e ) 0 p+ p+ p+ p+ n n F Luego el vecor bp+e + bp+e + + bne esá en Ker f, y por ano es p+ p+ n combinación lineal de los vecores de la base de Ker f, es decir b e + b e + + b e a e + a e + + a e p+ p+ p+ p+ n n p p O equivalenemene a e a e a e + b e + b e + + b e 0 p p p+ p+ p+ p+ n n E y como { e,e,,e p,e p+,e p+,,e n} es una base de E, odos los coeficienes aneriores son nulos. En paricular b b b p+ p+ n 0 Luego, { f ( ep+ ), f ( ep+ ),, f ( en) } es un conjuno linealmene independiene y en consecuencia una base de Im f. Claramene dim (Im f) n - p Por ano, dim Ker f + dim Im f p + (n - p) n. Si Ker f {0 E }, la demosración del eorema no se empezaría consruyendo una base de Ker f por no exisir, sino que se pariría de una base B arbiraria de E y odo el razonamieno del eorema sería el mismo. Si Ker f E, enonces Im f {0 F } y se cumple rivialmene que Página 5

12 dim Ker f + dim Im f n + 0 n. IV.4. CLASIFICACION DE LAS APLICACIONES LINEALES Sean E y F espacios vecoriales sobre, y f : E F una aplicación lineal. Definición. Se dice que: (i) f es inyeciva si x, y / f ( x) f ( y) x y. (ii) f es sobreyeciva si para cualquier vecor y de F, se puede enconrar un vecor x de E al que f (x) y. y F x E / f ( x) y. (iii) f es biyeciva si f es inyeciva y sobreyeciva. Si f es biyeciva se llama isomorfismo. De acuerdo con las propiedades visas al comienzo del ema, las aplicaciones lineales conservan la dependencia lineal. Sin embargo, en general, las aplicaciones lineales no conservan la independencia lineal. Ahora bien, cabría pregunarse si algún ipo deerminado de aplicaciones la conserva. La clase de aplicaciones que pueden ener esa propiedad, son sin duda las aplicaciones inyecivas, ya que si un vecor iene animagen, ésa es única. Los siguienes resulados prueban ese comenario. Teorema (Caracerización de las aplicaciones lineales inyecivas). La condición necesaria y suficiene para que f sea inyeciva es que Ker f {0 E }. Demosración (opcional): ) Supóngase que f : E F es una aplicación lineal inyeciva. Sea x Ker f f ( x) 0 F. Además, por ser f lineal se iene que f (0 E ) 0 F. f ( x) 0F f ( x) f ( 0E) x 0 f ( 0 ) f inyeciva E 0F E Como f es inyeciva x 0 E. Por ano Ker f {0 E }. Página 6

13 ) Sea Ker f (0 E ). Se va a demosrar que enonces f es inyeciva. Sean x, y E / f ( x) f ( y ) o equivalenemene f ( x) f ( y) 0 F, y por ser f lineal x y 0. Luego Ker f { } f ( ) F x y 0 E,de donde x - y {0 E }, y por ano x y. Luego, f es inyeciva. Nóese que como consecuencia del eorema anerior, si E y F son dos espacios vecoriales de dimensión finia y f : E F es una aplicación lineal inyeciva, enonces dim E dim F. Teorema. Si : E F f es una aplicación lineal inyeciva y { e, e,, ep} es un conjuno de vecores de E linealmene independienes, enonces { f ( e), f ( e), f ( ep) } son ambién linealmene independienes en F. Demosración: Sea { e, e,, ep} un conjuno de vecores de E. La combinación lineal nula α f ( e ) + α f ( e ) + + αp f ( e ) 0 puede escribirse p F como f ( αe + αe + + αpe ) 0. Luego αe + αe + + αpep Ker f p F y por ser f inyeciva, Ker f (0 E ), de donde α e + α e + + α e 0 p p E Como los vecores { e, e,, ep} p 0 α α α son linealmene independienes, enonces Por ano { f ( e), f ( e), f ( ep) } son linealmene independienes. Teorema (Caracerización de las aplicaciones lineales sobreyecivas). Sea f : E F una aplicación lineal. La condición necesaria y suficiene para que f sea sobreyeciva es que Im f F. Página 7

14 Demosración (opcional): ) Supóngase que f : E F es una aplicación lineal sobreyeciva, es decir, para cualquier vecor y de F se puede enconrar un vecor x de E al que f (x) y. Luego Im f F. ) Sea y un vecor de F Im f, enonces exise un vecor x E al que f (x) y Si f : E F es una aplicación lineal sobreyeciva, y E y F son dos espacios vecoriales de dimensión finia, se sigue, del eorema anerior, que dim E dim F. Corolario: Sea f : E F una aplicación lineal. La condición necesaria y suficiene para que f sea biyeciva es que Ker f { } 0 e Im f F. E Como consecuencia de ese corolario, se deduce que, si E y F son dos espacios vecoriales de dimensión finia y f : E F es una aplicación lineal biyeciva, enonces dim E dim F. Recíprocamene, si dim E dim F, enonces la aplicación lineal f : E F, cumple: a) f es biyeciva es inyeciva ( Ker f { } 0 ) E b) f es biyeciva es sobreyeciva (Im f F). Definición: Si la aplicación lineal esá definida de un espacio vecorial E en sí mismo, f : E E, recibe el nombre de endomorfismo. Corolario: Según lo aneriormene expueso, si f : E E endomorfismo y la dim E es finia, enonces se cumple que a) f es biyeciva es inyeciva ( Ker f { } 0 ) E b) f es biyeciva es sobreyeciva (Im f E). Página 8

15 IV.5. EXPRESION MATRICIAL DE UNA APLICACION LINEAL. CAMBIO DE BASE. IV.5.. Expresión maricial de una aplicación lineal En ese aparado se va a calcular la imagen de un vecor x de E en función de las coordenadas de dicho vecor respeco a una base de E. Sean E y F dos espacios vecoriales de dimensión finia sobre el mismo cuerpo K. Sea f una aplicación lineal definida enre E y F. Sean { u, u,, u } { v, v,, v } V m bases de E y F, respecivamene. U n y Si x es un vecor de E, enonces x x u + x u + + x u n n con lo que x U x x x n Enonces, la imagen de x puede expresarse de la forma siguiene por ser f lineal f ( x) f ( x u + x u + + x u ) x f ( u ) + x f ( u ) + + x f ( u ) () n n n n Es decir, la imagen del vecor x es combinación lineal de las imágenes de los vecores de la base U de E. Los vecores f ( x), f ( u ), f ( u ),, f ( u ) perenecen al espacio vecorial V. Si la n relación () se cumple, ambién se cumplirá la misma relación enre las coordenadas de esos vecores en cualquier base de F, en nuesro caso la base V. Por ano: ( f ( x) ) x ( f ( u )) + x ( f ( u )) + + x ( f ( u )) V V V n n V Y escribiendo la relación anerior como un produco maricial Página 9

16 x u u u x ( ) x ( f ( x) ) ( f ( )) ( f ( )) ( f ( n )) V V V V n O ( ) f ( x) M ( f ) x () V VU B Donde la mariz MVU ( f ) se llama mariz de f respeco a las bases U y V. Nóese que la primera columna de MVU ( f ) esá formada por las coordenadas (respeco a la base V), de la imagen del primer vecor de la base U; la segunda columna por las coordenadas (respeco a la base V) de la imagen del segundo vecor de la base U. En general, la j- ésima columna esá formada por las coordenadas (respeco a la base V) de la imagen del j-ésimo vecor de la base U. M ( ) VU f es una mariz de orden m x n, si dim E n y dim F m. Del resulado anerior se deduce que odas las aplicaciones lineales enre espacios vecoriales de dimensión finia reales o complejos son equivalenes a la muliplicación maricial de vecores coordenados. Esquemáicamene: donde A es la mariz de f respeco a las bases U y V, es decir, MVU ( f ). Página 0

17 Ejemplo Sea la aplicación f : v( ) - v(0) v( ) f ( v) (i) Hallar la mariz de f respeco a las bases U {, +, } V { +, } de. + + de, y (ii) Empleando la expresión maricial de la aplicación lineal, obener f ( + + ) Solución: (i) La mariz de f respeco a las bases U y V es de la forma: (( ) ( ) ( ) ) M ( f ) f ( + ) f ( + ) f ( + ) VU V V V Calculemos ( f ( + ) ) V. Obsérvese que f(+) y ese vecor se expresa en función de la base V como 0.5 (+) (-) Luego ( f ) 0.5 ( + ) () V V 0.5 Por ora pare f ( + ) + que en la base V se expresa como + (+) + 0 (l-i) + + V V 0 Luego ( f ( )) ( ) Finalmene f ( + ) 0.5 ( + ) 0.5 ( ) V V 0.5 Luego ( f ( ) ) ( ) Por ano la mariz de f respeco a las base U y V es Página

18 MVU ( f ) (ii) Sea v ++, que se expresa en la base U como (+) (+ ) ( +l) luego U 0.5 ( ) Por lo ano MVU ( f ) ( + + ) 0.5 ( f ( + + )) siendo ( ) U f ( + + ) el vecor coordenado, en la base V, de V noación comenada aneriormene f ( + + ). Según la V MVU ( f ) + + A x 0.5 y f ( ) U ( ) ( ) V Ejemplo Sea la aplicación lineal f : R R x -x x f ( ) x x -x Se pide (i) Hallar la mariz de f respeco a las bases canónicas. (ii) Calcular f (z), donde z ( -), uilizando la mariz de f Página

19 Solución: { } (i) Sea B ( 0) ( 0 ) e e la base canónica de. Enonces ( ( e ) ( e )) M ( f ) C f ( ) C f ( ) BB B B Como ( ) ( ) f ( e ) 0 C f ( e ) B ( ) ( ) f ( e ) 0 C f ( e ) B se iene que M BB 0 ( f ) 0 C f ( ) M ( f ) C ( z ) enonces (ii) Como ( z ) B BB B 0 CB ( f ( z) ) f ( z ) 0 IV.5.. Cambio de base: relación enre las marices de una aplicación lineal en bases disinas Si se consideran ahora oras dos bases ' { u', u',, u' } { v' v' v' } V ',,, m U n y para E y F, respecivamene, según lo viso en el aparado anerior la expresión de la aplicación lineal respeco de esas bases vendrá dada por y M ( f ) x () ' ' ' ' V V U U Por ora pare, eniendo en cuena la relación que exise enre las coordenadas de un vecor de un espacio vecorial respeco a dos bases disinas visa en el Tema II, sabemos que si de E, se iene que x E y P es la mariz de paso (regular) de la base U de E a la base U' Página

20 x P x (4) U U ' Análogamene, si de F y F y Q es la mariz de paso (regular) de la base V de F a la base V' y Q y (5) V V ' Según lo viso en el subaparado anerior, la expresión maricial de f respeco de las bases U y V de E y F, respecivamene, viene dada por la ecuación () y M ( f ) x V VU U Esquemáicamene: Si la mariz MVU ( f ) se represena como A, la expresión () queda: y A x (6) V U Si la mariz M ' ' ( f ) se represena como A la expresión anerior resula: V U y A x (7) V ' U ' Susiuyendo en (6) las expresiones (4) y (5) que relacionan las coordenadas de los vecores en bases disinas se obiene: Q y A P x V ' U ' Premuliplicando por R- resula: Página 4

21 y Q A P x (8) V ' U ' Como la expresión maricial de una aplicación lineal, una vez elegidas una base para E y ora para V, es única, las expresiones (7) y (8) han de ser iguales, con lo que se obiene que A Q A P - - o lo que es lo mismo M ' ' ( f ) Q M ( f ) P V U VU Esa es la relación que verifican las marices asociadas a una misma aplicación lineal f cuando se cambian las bases de E y de F. Se dice que A y A son equivalenes, como esablece la siguiene definición. Definición: Dos marices A y A, ambas perenecienes a E ( K ), se dicen equivalenes si esán asociadas a una misma aplicación lineal de E en F (respeco de bases adecuadas) o, lo que es lo mismo, si exisen dos marices regulares P y Q mxn cuadradas de orden n y m respecivamene, ales que A Q A P. Recordando la - eoría visa en el Tema I podemos decir que las marices equivalenes A y A,se caracerizan ambién por ener la misma dimensión y rango. En el caso paricular en que EF, es decir, en el caso de un endomorfismo se pueden omar iguales las bases U y V enre sí, así como las bases U y V enre sí, por lo que las marices de paso P y Q son idénicas. Esquemáicamene: Así, la relación enre las marices del endomorfismo f al cambiar de base en E es: Página 5

22 M f P M f P ( ) - ( ) U ' U ' UU O bien llamando A a la mariz MU U ( f ) y A a la mariz M ( ) U ' U ' f A P A P. - Se dice en ese caso que las marices A y A son semejanes, como esablece la siguiene definición. Definición: Dos marices cuadradas A y A, ambas perenecienes a E ( K ), se dicen semejanes si esán asociadas a un mismo endomorfismo (respeco de bases adecuadas), lo que equivale a que exisa una mariz P regular, cuadrada de orden n, nxn al que A P A P. Se observa que la semejanza de marices es un caso paricular - de la equivalencia; por lo ano, las marices semejanes ambién ienen la misma dimensión y el mismo rango. Observación (sobre el rango de una aplicación lineal): es fácil darse cuena de que el rango de una aplicación lineal f (es decir, la dimensión del subespacio imagen de la aplicación)es igual al rango de su mariz A asociada en cualquier pareja de bases U y V de los espacios E y F, respecivamene. Es decir Rang f dim Im f Rang A Eso es así porque, como se ha viso aneriormene, si { u, u,, u } base de E, enonces f ( U ) { f ( u ), f ( u ),, f ( u )} n U n es genera el subespacio imagen de la aplicación: Im f f (E), por lo que para obener una base de Im f basará con exraer de ese conjuno los vecores que sean linealmene independienes. Pero las coordenadas de f ( u ), f ( u ),, f ( u ) (respeco de la base V) son n precisamene las columnas de la mariz A, por lo que el número de esos vecores que son independienes (y por lo ano el rango de f ) coincide con el rango de A. Observación : nóese que, fijadas las bases, la mariz de una aplicación lineal es única, si bien una aplicación lineal puede represenarse mediane disinas marices si se se consideran diferenes bases. Cualquier aplicación lineal enre espacios vecoriales E y F Página 6

23 de dimensiones n y m respecivamene, iene asociada una mariz de dimensión mxn en función de las bases de E y de F que se hayan elegido. Recíprocamene, dada una mariz de dimensión mxn, cuyos elemenos esán definidos en un ciero cuerpo, es posible enconrar una aplicación lineal que respeco a cieras bases de los espacios vecoriales considerados, iene como mariz asociada la mariz dada. Página 7

24 Tema IV. Ejercicios IV.. Esudiar si las siguienes aplicaciones son lineales: a) f : R R / f ( x, x ) x x g : R R / g( x b), x, x) (0, x, x) IV.. En el espacio vecorial V de las marices cuadradas de orden n sobre se considera la aplicación F : V V / F( A) A + A. Demosrar que F es lineal, calculando su nucleo y su imagen. IV.. Sea el endomorfismo: f : V V x x + 4y + z y x + λ y + λz z x + y + z a) Demosrar que Rango(f) λ b) Hallar Ker(f) e Im(f)para λ- IV.4. IV.5. Sea V el espacio vecorial de las funciones reales de variable real con las a operaciones usuales. Si f : R V, es la aplicación que a cada erna b R c a le asocia la función f b a Sin ( x) + b Cos ( x) + c, hallar una base de Ker(f) c y ora de Im(f), analizando si f es inyeciva, y si es sobreyeciva. Sean P y P los espacios vecoriales de los polinomios de grado menor o igual que res y dos respecivamene. Se define una aplicación: T : P P x p T( p) p( ) d 0 Se pide: a) Hallar la mariz de la ransformación. Página 8

25 b) Hallar T (x + 4 x) y el vecor o vecores originales de respeco de la ransformación lineal T. x x + x IV.6. En el espacio vecorial de los polinomios de grado menor o igual que res: a) Demosrar que {,( x ),( x ), x } + + forman una base. b) Hallar las coordenadas del vecor ( x + ) en esa base. c) Sea la plicación lineal f que a cada polinomio le hace corresponder su derivada. Hallar la mariz de dicha aplicación en la base usual B, x, x, x y ambién en la definida en el aparado a) { } IV.7. Se considera el espacio vecorial V de las marices cuadradas de orden sobre los números reales y el espacio P de los polinomios de coeficienes reales de grado menor o igual que res. Se define la aplicación: x f : V P / B V f ( B) ( x) B x Se pide: a) Demosrar que es aplicación lineal. b) Calcular la mariz A de f en las bases canónicas y dar bases de la imagen y del núcleo. c) Calcular el conjuno de marices que se ransforman en el polinomio x + x + x x y IV.8. En el espacio vecorial: E A / x, y, z, z R se define la ransformación T de E en si mismo : T : E E Se pide: A T ( A) MiA AiM,siendo M 0 a) Es la ransformación T lineal? b) Ecuación maricial de la ransformación. c) Dimensión y base del núcleo de T: Ker(T) Página 9

26 d) Dimensión y base del subespacio imagen de T: Im(T) e) Nauraleza de la ransformación. IV.9. Dada la aplicación lineal f : 4 R R que en la base canónica viene dada por la x x x expresión f x x. Hallar la mariz A de la aplicación lineal en x + x + x x 4 las bases canónicas de 4 y. Es inyeciva? Es sobreyeciva? Si las coordenadas del vecor x respeco de la base B ' son C B '( x ) hallar su ransformado, es decir f(x). IV.0. En el espacio E de los vecores libres del espacio, se define una aplicación que ransforma un vecor en su simérico respeco del plano horizonal Z0. Se pide: a) Ecuación maricial de la ransformación lineal y nauraleza de la misma. b) Dimensión, base y ecuaciones caresianas del subespacio imagen. c) Dimensión, base y ecuaciones caresianas del núcleo de la aplicación. IV.. A un cubo de arisa unidad y colocado según la figura, se le aplica un giro de π radianes en el senido posiivo alrededor del eje Y y una raslación de vecor v. a) Calcular las coordenadas de los vérice A y B del cubo ransformado, escribiendo las ecuaciones mariciales del giro y la raslación efecuados. b) Se pueden considerar el giro y la raslación como aplicaciones lineales? Y la combinación de ambos?. Página 40

27 IV.. En el espacio afín ridimensional E de vecores libres se dan las referencias oronormadas de la figura, obeniéndose la base B a parir de la base B mediane un giro de 45º alrededor de u u, siendo B { u,u,u } y { } B ' u',u',u'. Se pide: a) Hallar la mariz de paso enre las bases, comprobando que es orogonal. b) Obener en las dos bases B y B la mariz de la ransformación lineal que aplica E en sí mismo, haciendo corresponder a cualquier vecor su simérico respeco del plano x 0. c) Relacionar mediane la mariz de paso las expresiones de la mariz de la ransformación T en ambas bases. IV.. Sean B { e,e,e,e 4} y B ' { } respecivamene y sea la aplicación lineal Ker( f ) Span, { e e +e } f ( e ) e' + e' f ( e + e + e + e ) e' e' e' 4 e',e',e' las bases canónicas de 4 y f : 4 R R que verifica: Página 4

28 a) Hallar la mariz de f en las bases canónicas. b) Hallar el rango de f. c) Hallar(obener una base) el subespacio vecorial F de 4 de ecuaciones x λ + µ y 6µ paraméricas: λ, µ R z λ µ λ + µ Calcular una base de f(f). IV.4. En el conjuno de los vecores libres del espacio se define una ransformación lineal T de modo siguiene: T(v)v v pereneciene al plano x x x 0 El vecor 0 perenece al núcleo. Se pide: a) Transformados de los vecores de la base usual. b) Ecuación maricial de la ransformación y nauraleza de la misma. c) Dimensión, base y ecuaciones de los subespacios núcleo e imagen. IV.5. En el espacio vecorial E sobre relaivo a la base B { e,e,e } se define una ransformación lineal T del siguiene modo: - T ( e ) - El ransformado del subespacio de ecuación x -x +x 0 es el vecor nulo. Se pide: a) Ecuación maricial y nauraleza de la ransformación. b) Dimensión, base y ecuaciones de Im T c) Transformado (ecuaciones caresianas )del subespacio S de ecuación x -x 0, razonando la respuesa. Página 4

29 d) Expresión de la ransformación lineal en la base ' { } e' e + e + e e' e e e' e B e',e',e' si Página 4

30 Tema IV. Soluciones Ej. IV.. a) No. b) Si. IV.. Ker F{ B M nxn /B anisimérica} Im F{ B M nxn /B simérica} IV.. b) BIm f BKer f 0 IV.4. B Ker f ; BIm f { Sen ( x), Cos ( x) } f no es inyeciva, f no es sobreyeciva. IV.5. a) b) A T (x + 4 x) x + x el vecor original de x x x + es 4x + x IV.6. a) Página 44

31 ( ) b) C ( x ) c) en la base del aparado a: ; en la base usual: IV.7. a) b) A B Im f B ; Kerf 0 0 c) b B b IV.8. a) Si b) y x y 0 0 x y x y x4 c) Dim Ker T BKer d) Dim Im T BIm T T Página 45

32 e) Endomorfismo no inyecivo y no sobreyecivo. IV A No es inyeciva Es sobreyeciva f ( x) 4 IV.0. a) y 0 0 x y 0 0 x ; endomorfismo biyecivo. y 0 0 x b) Im TE ; una base de Im T será cualquier base de E, no hay ecuaciones caresianas o implícias para la Im T. c) Ker T{0}; sus ecuaciones caresianas son: x 0; x 0; x 0. IV.. a) A' ; B ' Giro: x ' 0 0 x y ' 0 0 y z ' 0 0 z ; Traslación: x '' x ' y '' y ' + z '' z ' b) El giro si es una aplicación lineal, la raslación no y por ano la composición de ambos movimienos no puede ser una aplicación lineal. Página 46

33 IV.. a) 0 P 0 ; P P I b) AB 0 0, AB ' c) AB ' P AB P IV.. a) 0 0 A b) Rango frango (A) 0 6 c) FSpan IV.4. a) Tomando como base 0 B* 0 0 A B * ; A B 0 0 b) No es sobreyeciva y por lo ano no es biyeciva. Página 47

34 c) Dim Im f; Ecuaciones caresianas: y -y -y 0; BIm f 0 Dim Ker f, Ecuaciones: x 0 y x -x 0; BKer f 0 IV.5. a) y x y x, T no es ni inyeciva ni sobreyeciva. y x B b) ImT, Ecuaciones de Im T: y y y y c) T(S) Span Im T d) y x y x y x Página 48