Solución de un caso particular del problema de valor de frontera en términos de la función de Green sobre un intervalo

Transcripción

1 Solución de un caso paricular del problema de valor de fronera en érminos de la función de Green sobre un inervalo Objeivos. Mosrar que un caso muy especial del problema de valor de fronera: x () = f(), x() =, x(1) =, se puede resolver por medio de una función de Green que corresponde a ese problema. Demosrar la exisencia y unicidad de solución del problema de fronera x () = f(, x()), x() =, x(1) =, donde f es Lipschiz coninua respeco al segundo argumeno, y el coeficiene de Lipschiz es menor que Un caso muy especial del problema de fronera: buscar una aniderivada de segundo orden que se anule en los exremos. Consideremos el problema de fronera x () = f(), x() =, x(1) =, (1) donde f C([, 1]). El problema se puede resolver rabajando con la función y() = f(s) ds y sus inegrales, pero busquemos una represenación más explícia de la solución.. Teorema (represenación inegral de la aniderivada de segundo orden que se anula en los exremos. Sea f C([, 1]). Definimos G: [, 1] R, { s( 1), si s 1; G(, s) = () (s 1), si s 1. Enonces el problema (1) iene una única solución, la cual se puede escribir en la siguiene forma: x() = G(, s) f(s) ds, (3) eso es, x() = ( 1)s f(s) ds + (s 1)f(s) ds. (4) El problema de valor de fronera y la función de Green, sobre un inervalo, página 1 de 5

2 Demosración. 1. Obviamene (4) es equivalene a (3). Deduzcamos (4) suponiendo que x es una solución del problema (1). Como x () = f(), por el eorema fundamenal de cálculo enemos x (u) = x (s) ds + x () = f(s) ds + x (). Denoemos x () por C, enonces x (u) = f(s) ds + C. Ora vez aplicamos el eorema fundamenal de cálculo, ahora omamos en cuena que x() = : x() = x (u) du = f(s) ds du + C. La inegral doble se oma sobre el conjuno {(u, s): u, s u} = {(u, s): s, s u }, así que x() = f(s) du ds + C = ( s)f(s) ds + C. s Ahora aplicamos la condición x(1) = y obenemos C = (1 s)f(s) ds = (s 1)f(s) ds. Susiuyendo y simplificando obenemos (4): La solución final es x() = ( s)f(s) ds + (s 1)f(s) ds = ( 1)s f(s) ds + (s 1)f(s) ds.. Ahora mosremos que la función dada por (3) en efeco es una solución del problema (1). En vez de mosrar que los razonamienos de la primera pare de la demosración son inveribles, hagamos una prueba direca. Primero noamos que para los punos de la forma (, s) se aplica el segundo caso de la definición de G, y G(, s) =. Para los punos de la forma (1, s) se aplica el primer caso de la definición de G, y G(1, s) =. Luego la función x se anula en los punos y 1: x() = x(1) = ds =. El problema de valor de fronera y la función de Green, sobre un inervalo, página de 5

3 La derivada de la función G respeco al primer argumeno no es coninua, por eso no es fácil jusifar que podemos derivar bajo el signo de la inegral en (3), y preferimos usar la fórmula (4). Aplicamos el eorema fundamenal de cálculo: x () = s f(s) ds + ( 1)f() + (s 1) f(s) ds ( 1)f(). Al simplificar un poco, x () = s f(s) ds + (s 1) f(s) ds. Sacamos la segunda derivada, ora vez aplicando el eorema fundamenal de cálculo: x () = f() ( 1)f() = f(). El Dibujo 1 muesra la gráfica de densidad de la función G Dibujo 1: La función G definida por (). Las pares azules corresponden a los valores negaivos con valores absoluos más grandes. 3. Teorema (del problema de fronera a una ecuación inegral). Sea f C([, 1] R). Enonces el problema de fronera x () = f(, x()), x() =, x(1) =, El problema de valor de fronera y la función de Green, sobre un inervalo, página 3 de 5

4 es equivalene a la ecuación inegral x() = G(, s)f(s, x(s)) ds. (5) Demosración. Los cálculos son muy similares a la demosración del Teorema. Mosremos solamene la segunda pare. Supongamos que x saisface (5). Ya hemos viso que G(, s) = G(1, s) = para cada s en [, 1]. Escrimos x en la forma x() = ( 1) s f(s, x(s)) ds + (s 1) f(s, x(s)) ds. Derivamos aplicando el eorema fundamenal de cálculo: x () = s f(s, x(s)) ds + ( 1)f(, x()) + (s 1) f(s, x(s)) ds ( 1)f(, x()). Al simplificar, x () = s f(s, x(s)) ds + (s 1) f(s, x(s)) ds. Derivamos ora vez y llegamos al lado derecho de la ecuación original: x () = f(, x()) ( 1)f(, x()) = f(, x()). 4. Teorema sobre la equivalencia del problema de fronera y una ecuación inegral. Sea f C([, 1] R), y exise un K < 8 al que Enonces el problema de fronera iene una única solución. f(, u 1 ) f(, u ) K u 1 u. x () = f(, x()), x() =, x(1) =, (6) Demosración. Denoamos por X al espacio vecorial de las funciones x de la clase C([, 1]) que saisfacen x() = x(1) =, con la norma-máximo. Consideremos el operador inegral S: X X, (Sx)() := G(, s)f(s, x(s)) ds. El problema de valor de fronera y la función de Green, sobre un inervalo, página 4 de 5

5 Por el Teorema 4, el problema de fronera (6) es equivalene al problema del puno fijo del operador S. Para demosrar la unicidad y exisencia de la solución, es suficiene mosrar que la función S es conraciva. (Sx Sy)() K G(, s) x(s) y(s) ds K x y G(, s) ds. Calculemos la úlima inegral: h() := G(, s) ds = (1 ) s ds + (1 s) ds = (1 ) + (1 ) Es fácil ver que el valor máximo de h es 1/8, luego = (1 ). Sx Sy K 8 x y. Si K < 8, enonces la función S es conraciva. El problema de valor de fronera y la función de Green, sobre un inervalo, página 5 de 5