Sesión 2 Análisis univariado de series de tiempo

Transcripción

1 Banco Cenral de Reserva del Perú 55º Curso de Exensión Universiaria Economería Prof. Juan F. Casro Sesión Análisis univariado de series de iempo 4. Series de iempo esacionarias 4.. Qué enendemos por proceso esacionario? Proceso Esocásico Discreo (PED): una sucesión de variables y, donde -,..., -, -, 0,,,.... aleaorias { } y y cenrémonos en dos de sus miembros: y y y -. Ese PED se denomina esacionario de un ipo paricular si deerminadas propiedades esocásicas de y y y - no dependen de y - (su ubicación absolua en la secuencia) pero sólo de (su separación relaiva en la secuencia). Esacionariedad. Consideremos el PED { -,...y,..., yt,..., y- } - Esacionariedad esrica. Se verifica si las disribuciones de y y y - (conjuna y marginal) no dependen de pero sólo de ; i.e. fy (z) f (z) y para odo z, y f (z, w) y, y depende sólo de y no de. - Esacionariedad débil o en covarianza. Se verifica cuando los dos primeros momenos de y y y - dependen posiblemene de pero no de ; i.e. E(y ) E(y ) y Var(y ) Var(y ), y Cov(y, y ) depende posiblemene de pero no de.

2 BCRP - 55º Curso de Exensión Universiaria (008) Economería Series de iempo esacionarias (en el senido débil): se podrán modelar a ravés de especificaciones ARMA. Su objeivo es explicar el componene cíclico de la serie (o su componene esacionario) a ravés de su pasado a ravés de diferenes ipos de relaciones. p ARMA(p,q): y α y + ε + ε ε i.i.d(0, σ ) i i q j i 4.. Condiciones para la esacionariedad Paramos de los procesos: y α y + ε, ε ~ i.i.d(0, σ ) + σv x x v, v ~ i.i.d(0, ) Esos procesos pueden ambién expresarse de la forma: ε ε y i α y0 + α ε i 0 x x + v 0 i 0 Y, si suponemos que sus valores iniciales son iguales a cero y x 0 ), sus dos primeros momenos vendrán dados por: ( 0 0 Media E(y ) E(x ) 0 Varianza ( ) ( ) ( ) i α + α + α + α + + α σ ε α σ ε σ ε 0 α σ v σv 0 Var(y )... Var(x ) Prof. Juan F. Casro

3 BCRP - 55º Curso de Exensión Universiaria (008) Economería 3 Covarianza i i Cov(y, y ) E α ε i α ε i 0 + ( ) + ( ) ε ε E ε + αε α ε + α ε α ε... ε ( ) + i i i... ε + αε α ε α α σ σ α α σ α α α Cov(x, x ) E v i v i ( )( ) E v + v v + v v v + v v ( ) σ v De lo anerior se desprende que, si bien la media de ambos procesos es la misma y consane para odo, conforme la varianza y covarianza de x aumenan, mienras que los segundos momenos de y convergen a una consane si y sólo si α <. En paricular, y si se cumple esa condición: lim Var(y ) σ α ε α ε lim Cov(y, y ) σ α Por lo mismo, para un proceso auorregresivo de primer orden, la condición que garaniza que los dos primeros momenos de y y y - dependan posiblemene de pero no de es: α <. Prof. Juan F. Casro

4 BCRP - 55º Curso de Exensión Universiaria (008) Economería 4 Trabajemos con esa condición y el operador de rezagos. El proceso: y α y + ε, ε ~ i.i.d(0, σ ) pueden ambién expresarse: ε α + ε - y Ly, donde L es un operador al que L y y ( α L)y y ε ε ( αl) Y, ya sabemos que α < para que ese AR() pueda ser caracerizado como esacionario. Generalicemos ahora nuesros resulados para un proceso ARMA(p,q): y y y y α y + ε ( α L... α ( z L)( z p i i [ MA(q) + ε ] Esacionario q j p i L p L)...( z ( z + ε ) MA(q) + ε L) Esacionario si z < p L) MA(q) + ε ( z... L) ( z Esacionario si z < y z <...ec. p L) Prof. Juan F. Casro

5 BCRP - 55º Curso de Exensión Universiaria (008) Economería 5 De las ecuaciones aneriores: y p ( αl... αpl ) MA(q) Polinomio de rezagos + ε p p p αl... αpl z αz... αp 0 Ecuación caracerísica y ( zl)( zl)...( zpl) MA(q) + ε Resumiendo odo lo anerior, podemos enunciar la condición para la esacionariedad de un proceso ARMA(p,q) de la siguiene manera: Las raíces caracerísicas del polinomio de rezagos del componene AR(p) deben ser menores a uno en valor absoluo. Para el proceso AR() considerado, lo anerior se verifica fácilmene: y α y + ε α Ly + ε ( α L)y ε Polinomio de rezagos: αl Ecuación caracerísica: z α 0 Raíz de la ecuación caracerísica: z z < α < Raíces de la ecuación caracerísica α Prof. Juan F. Casro

6 BCRP - 55º Curso de Exensión Universiaria (008) Economería 6 **Tarea: verifiquen lo anerior para un proceso AR(). En α, α y paricular, esablezcan la relación que exise enre { } { } z,z y deerminen qué implica la condición enunciada aneriormene para los valores que pueden omar: α, α + α, α α. En la prácica, el análisis de esacionariedad no pasa por la consrucción de ecuaciones caracerísicas y el cálculo de sus raíces. No obsane, se basa en los resulados que acabamos de ver. p p Si parimos de la ecuación caracerísica z αz... αp 0, cómo esperamos se comporen los coeficienes si alguna de las (p) raíces es igual a? Podemos, enonces, pregunar si es que se cuena con suficiene evidencia esadísica para acepar que: p * j j α α 0 Eso es, precisamene, lo que hace uno de los ess que veremos más adelane Esadísicos que caracerizan a un proceso esacionario Si comprendemos la manera como se comporan los principales esadísicos que caracerizan a un proceso esacionario, esaremos mejor preparados para idenificarlos. Prof. Juan F. Casro

7 BCRP - 55º Curso de Exensión Universiaria (008) Economería 7 El propósio de esa sección, por ano, es proporcionar algunos elemenos que serán de uilidad al momeno de realizar el diagnósico de esacionariedad de una serie Función de Auocovarianza (FAC) La FAC de un PED { } y viene dada por: γ Cov(y, y ), 4.3. Función de Auocorrelación Simple (FAS) La FAS de un PED { } y ρ Cov Var viene dada por: ( y, y- ) ( y ) Var( y ) -, Nóese que, si la serie es esacionaria, las varianzas serán consanes a lo largo del iempo, es decir, Var(y ) Var(y - ), con lo cual el denominador es simplemene Var(y) o γ 0, por lo que: γ ρ γ 0 Para esimar la FAS de orden de un PED, se pueden uilizar las conrapares muesrales de los érminos de varianza y covarianza: ρ ˆ T T ( y y)( y y) + T T ( y y) ( y y) T T + Prof. Juan F. Casro

8 BCRP - 55º Curso de Exensión Universiaria (008) Economería 8 Les parece familiar esa expresión? Tomen en cuena que si T : T T, (.) (.) T T + Por lo que, para una muesra lo suficienemene grande, podemos rescribir ˆρ como: ρˆ T + T - + ( y - y)( y - y) - ( y - y) Algo más familiar? Función de Auocorrelación Parcial (FAP) y es igual a su FAS, pero corregida por los rezagos inermedios, ya que indica el efeco marginal que iene el - ésimo rezago sobre el valor conemporáneo del proceso. En adelane, denominaremos a la FAP como φ. La FAP de un PED { } Para esimar la FAP de orden de un PED es necesario correr una regresión que relacione y y y - pero en presencia de los rezagos inermedios. Así, por ejemplo, para hallar la FAP de orden (que es igual a la FAS del mismo orden, ya que no habrían rezagos inermedios), se esima la regresión: y~ φ ~ y + ε donde y% es la desviación de y respeco a su media. Prof. Juan F. Casro

9 BCRP - 55º Curso de Exensión Universiaria (008) Economería 9 Para esimar la FAP de orden, se requiere esimar la regresión: y~ λy~ - + φ ~ y - + ε donde φ es la FAP de orden, pero λ no es la FAP de orden. Algo similar ocurre si queremos esimar la FAP de orden 3 esimando la regresión: y~ λy~ - + τy~ - + φ3 ~ y -3 + ε3 siendo φ 3 la FAP de orden 3, pero eniendo en cuena que ni λ ni τ son las FAP de orden y, respecivamene Cómo esimamos esos coeficienes? De acuerdo con S3, podemos usar MICO para esimar los coeficienes asociados a los érminos auorregresivos? Consideremos un proceso AR() e inenemos esimar la FAS() y la FAP(). Es el regresor esocásico?... enonces? Paramos de: y verifiquemos: α y + y ε y ε MICO y y α ˆ α + αˆ? MICO p T( αˆ α)? MICO d Prof. Juan F. Casro

10 BCRP - 55º Curso de Exensión Universiaria (008) Economería La FAC, FAS y FAP de algunos procesos (i) Un proceso AR(): y αy + ε De hecho, ya conocemos la FAC, FAS y FAP de un proceso AR() (las uilizamos al momeno de presenar las condiciones para su esacionariedad). No obsane, aquí emplearemos las ecuaciones de Yule-Waler, las que serán úiles para procesos de orden mayor a uno. La Función de Auocovarianza y de Auocorrelación Simple γ 0 Var(y ) E(y ) ( ) E α y + ε y αγ + σ ε Cov(y, y ) γ E(y y ) [ ] E ( α y + ε )y αγ 0 Por lo que: σε 0 ( 0) ε 0 γ α αγ + σ γ α Nóese que para llegar a esa expresión hemos usado las propiedades de una proceso esacionario: Var(y ) Var(y ) γ 0. Así, en general: Cov(y, y ) γ E(y y ) E [( α y + ε )y ] E ( α y + α ε )y α γ i i 0 0 Prof. Juan F. Casro

11 BCRP - 55º Curso de Exensión Universiaria (008) Economería Y como α <, puede observarse que a medida que crece, la FAC converge a cero a una asa α. Lo mismo ocurre con las FAS, la que viene dada por: ρ γ γ0 α 0 La Función de Auocorrelación Parcial Para hallar la FAP() es necesario esimar los coeficienes de una regresión que relacione y con el -ésimo rezago y odos los inermedios. y φy - + ε Para una muesra lo suficienemene grande, el desvío de y respeco a la media es igual a y dado que E(y ) 0. FAP () FAS() φ α Lo mismo se aplica en el caso de que, usando el modelo: y λy- + φy- + ε Debido a que el proceso en cuesión es un AR(), ningún regresor excepo el primer rezago endrá un efeco marginal significaivo sobre y. En oras palabras, luego de conrolar por el primer rezago, ningún oro de orden superior endrá un efeco significaivo. Concluimos enonces que: FAP() φ α FAP() 0 > Prof. Juan F. Casro

12 BCRP - 55º Curso de Exensión Universiaria (008) Economería Qué sabemos hasa ahora? - Los coeficienes de correlación simple de un proceso AR() esacionario convergen a cero conforme aumene el grado de los mismos. - Sólo el primer coeficiene de correlación parcial de un AR() esacionario es disino de cero. * Verifiquemos eso generando un proceso AR() esacionario. (ii) Un proceso AR(): y α y + α y + ε Tomando la esperanza de la serie podemos comprobar que ésa es igual a cero. Así: Ε ( y ) α Ε( y ) + α Ε( y ) - - Y, dado que se raa de una serie esacionaria, las res esperanzas de la expresión anerior son iguales, por lo que E(y ) sólo puede ser igual a cero. La Función de Auocovarianza y de Auocorrelación Simple Tal como se hizo en el caso del proceso AR(), uilizaremos las ecuaciones de Yule-Waler. En érminos generales (usando el - ésimo rezago): Cov(y, y ) γ E(y y ) [ ] E ( α y + α y + ε )y α γ + α γ - - De donde se desprende que la FAC ambién sigue un proceso auorregresivo. Prof. Juan F. Casro

13 BCRP - 55º Curso de Exensión Universiaria (008) Economería 3 Veamos ese resulado con algo más de dealle de modo que nos quede claro como es que, si omamos en cuena que γ p γp, se obiene lo siguiene: γ 0 αγ + αγ + σε γ αγ 0 + αγ γ αγ + αγ0 Resolviendo ese sisema de ecuaciones es posible hallar γ 0, γ y γ. γ0 ( α) σε ( + α)(( α) α ) γ αγ α 0 γ α ( α ) α + α γ 0 Uilizando las relaciones aneriores enemos que: ρ γ γ 0 α + α ρ α α ρ γ γ0 αρ + α α α + α Así, en general: γ ρ α ρ + α ρ > γ0 Prof. Juan F. Casro

14 BCRP - 55º Curso de Exensión Universiaria (008) Economería 4 A parir de esas expresiones, es posible concluir que la FAS de un AR() converge a cero, bajo diferenes formas (direca u oscilaoria), dependiendo de los valores que omen α y α. De hecho, la condición de esacionariedad para y nos indica que las raíces caracerísicas de ρ αρ - + αρ- deben ser menores a ρ es convergene. uno en valor absoluo, por lo que la secuencia { } s La Función de Auocorrelación Parcial La esimación de la FAP requiere, ora vez, la esimación de un conjuno de ecuaciones donde el úlimo rezago incluido es el del orden respecivo de la FAP a esimar. Así: y y φy - + ε, se usará para hallar la FAP() φ λy- + φy- + ε, se usará para esimar la FAP() φ Nóese que la FAP() es igual, por definición, a α, mienras que la FAP() no es igual a α. Si es ciero, no obsane, que FAP() FAS(). Si deseamos hallar la FAP(3), podemos uilizar del modelo: y λy- + λy- + φ3y-3 + ε donde observaremos que, de acuerdo a la especificación del proceso (de orden ), φ 3 es cero. Eso será, además, ciero para odo >. Prof. Juan F. Casro

15 BCRP - 55º Curso de Exensión Universiaria (008) Economería 5 Qué sabemos hasa ahora? Generalizando esos resulados para procesos AR(p) esacionarios enemos que: - La FAC y la FAS convergen a cero. - La FAP es igual a cero > p. Diagnósico: - Ausencia de una FAS convergene: evidencia en conra de la esacionariedad de la serie. - Hasa qué orden es la FAP significaiva?: orden de auorregresión (AR) de la serie. (iii) Un proceso MA(): y ε βε Nóese que un proceso de medias móviles es siempre esacionario porque es una combinación lineal de ruidos blancos y esos, por definición, son esacionarios. Tomando la esperanza y la varianza a la expresión anerior se puede verificar que: ( ) ( ) E y 0 ε ε ε Var y σ + β σ σ ( + β ) La Función de Auocovarianza y de Auocorrelación Simple Var(y ) γ 0 ( + β ) σ ε Cov(y, y ) γ Ε yy Ε ε βε ε βε βσ Cov(y, y ) γ Ε ( yy ) Ε ( ε βε )( ε βε 3 ) 0 ( ) ( )( ) ε Prof. Juan F. Casro

16 BCRP - 55º Curso de Exensión Universiaria (008) Economería 6 ( ) ( )( ) Cov(y, y ) γ Ε yy Ε ε βε ε βε 0 > Si recordamos la fórmula para la FAS enemos que: γ β γ ρ, ρ, ρ 0 0 γ0 + β γ0 ρ 0, > La Función de Auocorrelación Parcial Dado que el modelo de medias móviles sólo evidencia una relación enre y y los errores presenes y pasados, es necesario realizar un proceso de inversión a fin de rescaar la relación enre la primera y sus propios valores pasados. ε y + βε i y y i i β y i + ε ε + β y La ecuación anerior es la represenación AR de un proceso MA. Para que dicha represenación sea esacionaria (y finia), sabemos ya que debe cumplirse que β sea menor a uno en valor absoluo. En ese caso, se dice que el proceso MA es inverible. Eso, además, implica que la FAP de un proceso MA() inverible converge a cero, bajo diferenes formas, dependiendo del signo de β. **Tarea: Cómo quedaría la FAP si represenamos el MA: y ε + βε? Prof. Juan F. Casro

17 BCRP - 55º Curso de Exensión Universiaria (008) Economería 7 Qué sabemos hasa ahora? Generalizando esos resulados para procesos MA(q) inveribles enemos que: - La FAC y la FAS son iguales a cero > p. - La FAP converge a cero de disinas formas dependiendo de los signos de los coeficienes β. En resumen: FAS() FAP() AR(p) Converge a 0, Igual a cero para > p MA(q) Igual a cero para > q Converge a 0, FAP idea del orden AR. FAS idea del orden MA. (iv) Un proceso ARMA(,): y α y + ε βε Un proceso ARMA (,) será esacionario cuando α <, es decir, cuando el componene AR de la serie lo sea, mienras que será inverible oda vez que β <. De la expresión anerior se desprende que Ε ( y ) 0. En general, un proceso ARMA(p,q) exhibirá: - Una FAS() similar a la de un AR(p) convergene-, siempre y cuando > q. Como vimos, cuando > q, la FAS() de un MA(q) es igual a cero, por lo que prima el componene AR del proceso. Prof. Juan F. Casro

18 BCRP - 55º Curso de Exensión Universiaria (008) Economería 8 - Una FAP() similar a la de un MA(q) convergene-, siempre y cuando > p. Como vimos, cuando > p, la FAP() de un AR(p) es igual a cero, por lo que prima el componene MA del proceso. **Tarea: verifica lo dicho acerca de la FAS() de un ARMA(p,q) rabajando con un ARMA(,). En paricular, halla γ 0, γ, γ, ρ 0, ρ y ρ, y generaliza us resulados para γ y ρ. Prof. Juan F. Casro