MODELOS DE REGIMENES CAMBIANTES ESTOCÁSTICOS Markov switching regimes

Transcripción

1 MODELOS DE REGIMENES CAMBIANES ESOCÁSICOS Markov wiching regime Comporamieno dinámico de la variable dependen del eado de la economía Modelo AR y SAR: vario regímene en función del valor de una variable de eado que e obervable lo regímene que han enido lugar en el paado y el preene e conocen Ora poibilidad: la variable eado no e obervable, eá deerminada por un proceo eocáico no obervable ubyacene no e abe con cereza qué régimen ha enido lugar en cada momeno del iempo; e aignan probabilidade a cada eado poible. A.Beyaer

2 Ejemplo: regímene para la aa de crecimieno del PIB: auge y receión régimen en no obervable, deerminado por proceo no obervable, denoado, con ó. Si y AR() en cada régimen (generalizable): y ϕ ϕ 0, 0, + ϕ y + ϕ,, y + ε + ε i i ó y 0, + ϕ, y ϕ + ε Supueo má popular obre (Hamilon[989]): proceo de Markov de primer orden ( modelo Markov-Swiching ) régimen acual ólo depende de modelo e complea con probabilidade de ranición de un eado a oro: p( p( p( p( ) p ) p ) p ) p A.Beyaer

3 Pero p + p p + p ólo eimar probabilidade. Probabilidade no condicionada: P( P( ) ) p p p p p p 3 A.Beyaer

4 area: epecificar el modelo (orden del AR) eimar lo parámero (coeficiene y probabilidade) validar predecir 4 A.Beyaer

5 ) ESIMACIÓN: Parámero: θ β ( ϕ0,, ϕ pi,j i, j, 0,, ϕ,, ϕ con p ij,, σ ) p ii Ora información de ineré: en qué régimen e enconró / encuenra / enconrará la economía en fecha, dado la información diponible en fecha τ? P( j/ Y ; θ) τ τ > con ó τ ó τ < inferencia predicción Y [ τ L τ donde y,y,, y ] 5 A.Beyaer

6 Sea ξ P( P( / Y ; θ) τ / Y ; θ). / τ τ Si θ conocido: Se demuera que: ˆξ e función de ˆ / / ξ y de θ ξˆ + / P.ˆ ξ / con P p p p p Conecuencia: ) poible algorimo de cálculo de la probabilidade de eado para θ conocido: a) ecoger valor inicial para ˆξ (por ejemplo uar probabilidade incondicionale) / 0 b) con ello, calcular ˆξ / c) con ello, calcular ˆξ / 6 A.Beyaer

7 d) con ello, calcular ˆξ / e) ec... ) "moohed probabiliie": ˆξ / N, donde Namaño mueral y N Indica probabilidad de ear en ciero eado en, dada oda la información mueral Se pueden calcular recurivamene a parir de la ˆξ y / ξ ˆ + / 7 A.Beyaer

8 Abandonemo ahora el upueo "θconocido": Por Máxima Veroimiliud, bajo Normalidad de lo errore: N P( N pˆ ij N ua lo / N P( j, i / Y i / Y N ; θˆ) ; θˆ) ˆξ () φ N N j x (j)x x (j)y (j) (j)' ˆ () con σ y (j) y P( j/ YN ; θˆ) x (j) x P( j/ YN ; θˆ) con x (y, L, y p) N (y φ' j x ) P( j/ Y N j ; θˆ) ˆξ ua lo / N ˆ N ua lo / N ˆξ (3) 8 A.Beyaer

9 Conecuencia: oda la eimacione eán inerrelacionada recurrir a algorimo de opimización: ) ecoger valore iniciale para θ ) calcular lo vecore ˆξ, N 3) calcular nuevo valore para pˆ uando () ij 4) calcular nuevo valor de ˆ φ σ uando fórmula () y (3) y ˆ 5) con eo nuevo valore de θˆ, llevar a cabo una nueva ieración, haa convergencia 9 A.Beyaer

10 ) CONRASE DE LINEALIDAD H 0 : AR(p) lineal (e.d. φ φ ) H A : AR(p)-MS (e.d. φ φ ) - Idea de parida: e LR LRMS l MS l AR donde l log función de veroimiliud del modelo MS y del modelo AR, repecivamene. MS, l AR - Problema y olución (Hanen[99]): MS LR igue diribución deconocida, no eándar bajo la nula (ya que probabilidade de ranición no idenificada bajo la nula) > obener el valor críico por imulación 0 A.Beyaer

11 3) VALIDACIÓN, Hamilon(996) Elemeno báico: "core" Idea de parida: h ( θ) logf (y / Y ; θ) θ Si modelo bien epecificado, e demuera que impoible predecir el valor de h ( 0 ) logf (y / Y ; θ) θ ( θ con la la información diponible en (-) > h ( θ ) no debe conener ninguna información úil para h θ ) 0 0 lo "core" no deben preenar correlación erial e pueden hacer conrae de correlación erial obre lo "core" repeco de cada uno de lo parámero del modelo, valorándolo en θˆ. Ademá: e de no correlación de lo core repeco de lo érmino conane e de no auocorrelación de lo reiduo e de no correlación de lo core repeco de la varianza e de efeco ARCH. e de no correlación de lo core repeco de la probabilidade de ranición p ii, i, e de validez del proceo de Markov de orden. Ver Hamilon(996) y lieraura poerior para má dealle. θθ0 A.Beyaer

12 4) PREDICCIÓN: a) Predicción de la probabilidad de eado en (m), m>0: ξˆ m / P( P( Pˆ ξˆ Pˆ M Pˆ m m m m / Pˆ ξˆ ξˆ / / Y, θˆ) / Y, θˆ) m / Pˆ ξˆ m / A.Beyaer

13 b) Predicción de y y eguirá modelo del eado con probabilidad de que el eado ea en () y eguirá modelo del eado con probabilidad de que el eado ea en () ŷ () ŷ + ŷ () [ ŷ (), ŷ () ] () Pˆ ( Pˆ ( / Y ; θˆ) / Y ; θˆ) Pˆ ( Pˆ ( / Y ; θˆ) / Y ; θˆ) [ ŷ ] (m), ŷ ˆ (m) Pˆ ξ / 3 A.Beyaer

14 5) DURACIÓN ESPERADA DE LOS ESADOS: Sea D j duración del eado j Mariz de ranición p P p p p Su elemeno diagonale indican la probabilidad de quedar durane período uceivo en el mimo eado conienen información úil para eimar duración de lo eado. D j i j, j P(D ) p p + j ji D j i j, j P(D ) p ( p ) + + D j 3i j, j P(D ) p ( p ) j, ec j E(D ) ( p p j i ip(d ) + p j i) ( p ) + 3p ( p ) A.Beyaer