LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

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1 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 7 Definición de la ranformada de Laplace 7 Tranformada invera y ranformada de derivada 7 Tranformada invera 7 Tranformada de derivada 73 Propiedade operacionale I 73 Tralación en el eje 73 Tralación en el eje 74 Propiedade operacionale II 74 Derivada de una ranformada 74 Tranformada de inegrale 743 Tranformada de una función periódica 75 La función dela de Dirac 76 Siema de ecuacione diferenciale lineale REPASO DEL CAPÍTULO 7 En lo modelo maemáico lineale para iema fíico ale como un iema reore/maa o un circuio elécrico en erie, el miembro del lado derecho o enrada, de la ecuacione diferenciale m d x d b dx d kx f() L d o q d R dq d C q E() e una función de conducción y repreena ya ea una fuerza exerna f () o un volaje aplicado E() En la ección 5 conideramo problema en lo que la funcione f y E eran coninua Sin embargo, la funcione de conducción diconinua on comune Por ejemplo, el volaje aplicado a un circuio podría er coninuo en ramo y periódico al como la función diene de ierra que e muera arriba En ee cao, reolver la ecuación diferencial del circuio e difícil uando la écnica del capíulo 4 La ranformada de Laplace que e eudia en ee capíulo e una valioa herramiena que implifica la olución de problema como ée 55 55

2 56 CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 7 DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE REPASO DE MATERIAL Inegrale impropia con límie de inegración infinio Decompoición en fraccione parciale INTRODUCCIÓN En cálculo elemenal aprendió que la derivación y la inegración on ranformada; eo ignifica, a grande rago, que ea operacione ranforman una función en ora Por ejemplo, la función f(x) x e ranforma, a u vez, en una función lineal y en una familia de funcione polinomiale cúbica con la operacione de derivación e inegración: d dx x x y x dx 3 x3 c Ademá, ea do ranformada ienen la propiedad de linealidad al que la ranformada de una combinación lineal de funcione e una combinación lineal de la ranformada Para a y b conane d dx [ f (x) g(x)] f (x) g (x) y [ f (x) g(x)] dxf(x) dx g(x) dx iempre que cada derivada e inegral exia En ea ección e examina un ipo epecial de ranformada inegral llamada ranformada de Laplace Ademá de ener la propiedad de linealidad, la ranformada de Laplace iene mucha ora propiedade inereane que la hacen muy úil para reolver problema lineale con valore iniciale TRANSFORMADA INTEGRAL Si f(x, y) e una función de do variable, enonce una inegral definida de f repeco a una de la variable conduce a una función de la ora variable Por ejemplo, i e conerva y conane, e ve que xy dx 3y De b igual modo, una inegral definida como a K(, ) f () d ranforma una función f de la variable en una función F de la variable Tenemo en paricular ineré en una ranformada inegral, donde el inervalo de inegración e el inervalo no acoado [, ) Si f () e define para, enonce la inegral impropia K(, ) f () d e define como un límie: K(, ) f () d lím K(, ) f () d () b : Si exie el límie en (), enonce e dice que la inegral exie o e convergene; i no exie el límie, la inegral no exie y e divergene En general, el límie en () exiirá ólo para ciero valore de la variable UNA DEFINICIÓN La función K(, ) en () e llama kernel o núcleo de la ranformada La elección de K(, ) e como el núcleo no proporciona una ranformada inegral epecialmene imporane DEFINICIÓN 7 Tranformada de Laplace Sea f una función definida para Enonce e dice que la inegral { f ()} b e f () d () e la ranformada de Laplace de f, iempre que la inegral converja

3 7 DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 57 Cuando la inegral de la definición () converge, el reulado e una función de En el análii general e ua una lera minúcula para denoar la función que e ranforma y la lera mayúcula correpondiene para denoar u ranformada de Laplace, por ejemplo, {f ()} F(), {g()} G(), {y()} Y() EJEMPLO Aplicando la definición 7 Evalúe {} SOLUCIÓN De (), {} lím b : e () d e b lím b : lím b : b e d e b iempre que En ora palabra, cuando, el exponene b e negaivo y e b : conforme b : La inegral diverge para El uo del igno de límie e vuelve un poco edioo, por lo que e adopa la noación como abreviaura para ecribir lím b: () b Por ejemplo, {} e () d e, En el límie uperior, e obreeniende lo que ignifica e : conforme : para EJEMPLO Aplicando la definición 7 Evalúe {} SOLUCIÓN De la definición 7 e iene {} e d Al inegrar por pare y uando lím e,, juno con el reulado del ejemplo, e obiene : {} e e d {} EJEMPLO 3 Aplicando la definición 7 Evalúe {e 3 } SOLUCIÓN De la definición 7 e iene {e 3 } e e 3 d e ( 3) d ( e 3) 3 3, 3 El reulado e deduce del hecho de que lím : e ( 3) para 3 o 3

4 58 CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE EJEMPLO 4 Aplicando la definición 7 Evalúe {en } SOLUCIÓN De la definición 7 e inegrando por pare e iene que {en } e en d e en e co d lím e co, Tranformada de Laplace de en : e co [ e en d] e co d, 4 {en } En ee puno e iene una ecuación con {en } en ambo lado de la igualdad Si e depeja ea canidad el reulado e {en } 4, ES UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL Para una combinación lineal de funcione pode mo ecribir e [ f () g()] d e f () d e g() d iempre que amba inegrale converjan para c Por lo que e iene que { f () g()} { f ()} {g()} F() G() (3) Como reulado de la propiedad dada en (3), e dice que e una ranformación lineal Por ejemplo, de lo ejemplo y 5 { 5} {} 5 {}, y de lo ejemplo 3 y 4 4 {4e 3 en } 4 {e 3 } {en } 3 4 Se eablece la generalización de alguno ejemplo aneriore por medio del iguiene eorema A parir de ee momeno e deja de exprear cualquier rericción en ; e obreeniende que eá lo uficienemene reringida para garanizar la convergencia de la adecuada ranformada de Laplace TEOREMA 7 Tranformada de alguna funcione báica a) {} b) { n } d) {en k} f) {enh k} n! n, n,, 3, c) {ea } k k e) {co k} a k k k g) {coh k} k

5 7 DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 59 f() a 3 FIGURA 7 Función coninua por ramo b CONDICIONES SUFICIENTES PARA LA EXISTENCIA DE {f()} La inegral que define la ranformada de Laplace no iene que converger Por ejemplo, no exie {>} ni {e } La condicione uficiene que garanizan la exiencia de {f ()} on que f ea coninua por ramo en [, ) y que f ea de orden exponencial para T Recuerde que la función e coninua por ramo en [, ) i, en cualquier inervalo a b, hay un número finio de puno k, k,,, n ( k l k ) en lo que f iene diconinuidade finia y e coninua en cada inervalo abiero ( k l, k ) Vea la figura 7 El concepo de orden exponencial e define de la iguiene manera DEFINICIÓN 7 Orden exponencial Se dice que f e de orden exponencial c i exien conane c, M y T ale que f () Me c para oda T f() f ( ) FIGURA 7 f e de orden exponencial c T Me c ( c > ) Si f e una función creciene, enonce la condición f () Me c, T, implemene eablece que la gráfica de f en el inervalo (T, ) no crece má rápido que la gráfica de la función exponencial Me c, donde c e una conane poiiva Vea la figura 7 La funcione f (), f () e y f () co on de orden exponencial c para pueo que e iene, repecivamene, e, e e, y co e Una comparación de la gráfica en el inervalo (, ) e muera en la figura 73 f() e f() e f() e co e a) b) c) FIGURA 73 Tre funcione de orden exponencial c f() e c e c FIGURA 74 e no e de orden exponencial Una función como f () e no e de orden exponencial pueo que, como e muera en la figura 74, u gráfica crece má rápido que cualquier poencia lineal poiiva de e para c Un exponene enero poiivo de iempre e de orden exponencial pueo que, para c, n c Me o n e c M para T e equivalene a demorar que el lím : n >e c e finio para n,, 3, El reulado e deduce con n aplicacione de la regla de L Hôpial TEOREMA 7 Condicione uficiene para la exiencia Si f e una función coninua por ramo en [, ) y de orden exponencial c, enonce { f ()} exie para c

6 6 CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE DEMOSTRACIÓN Por la propiedad adiiva del inervalo de inegrale definida podemo ecribir { f()} T e f() d T e f() d I I La inegral I exie ya que e puede ecribir como la uma de inegrale en lo inervalo en lo que e f () e coninua Ahora pueo que f e de orden exponencial, exien conane c, M, T ale que f () Me c para T Enonce podemo ecribir I T e f () d M T e e c d M T ( c)t e e ( c) d M c para c Pueo que T Me ( c) d converge, la inegral T e f () d converge por la prueba de comparación para inegrale impropia Eo, a u vez, ignifica que I exie para c La exiencia de I e I implica que exie {f ()} e f () d para c EJEMPLO 5 Tranformada de una función coninua por ramo Evalúe {f()} donde f (), 3, 3 y FIGURA 75 Función coninua por ramo 3 SOLUCIÓN La función que e muera en la figura 75, e coninua por ramo y de orden exponencial para Pueo que f e define en do ramo, {f ()} e exprea como la uma de do inegrale: {f ()} e f () d 3 e 3 e () d e 3, 3 e () d Se concluye ea ección con un poco má de eoría relacionada con lo ipo de funcione de con la que en general e eará rabajando El iguiene eorema indica que no oda función arbiraria de e una ranformada de Laplace de una función coninua por ramo de orden exponencial TEOREMA 73 Comporamieno de F() conforme : Si f e coninua por pare en (, ) y de orden exponencial y F() {f()}, enonce el lím : F() DEMOSTRACIÓN Pueo que f e de orden exponencial, exien conane g, M y T ale que f () M e g para T También, pueo que f e coninua por ramo en el inervalo T, eá neceariamene acoada en el inervalo; e decir, f () M M e Si M denoa el máximo del conjuno {M, M } y c denoa el máximo de {, g}, enonce M F() e f () d M e e c d M e ( c) d c para c Conforme :, e iene F() : y por ano F() { f ()} :

7 7 DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 6 COMENTARIOS i) En ee capíulo no dedicaremo principalmene a funcione que on coninua por ramo y de orden exponencial Sin embargo, e oberva que ea do condicione on uficiene pero no necearia para la exiencia de la ranformada de Laplace La función f () / no e coninua por ramo en el inervalo [, ), pero exie u ranformada de Laplace Vea el problema 4 en lo ejercicio 7 ii) Como conecuencia del eorema 73 e puede decir que la funcione de como F () y F () ( ) no on la ranformada de Laplace de fun cio ne coninua por ramo de orden exponencial, pueo que F () :/ y F () :/ conforme : Pero no e debe concluir de eo que F () y F () no on ranformada de Laplace Hay ora clae de funcione EJERCICIOS 7 La repuea a lo problema eleccionado con número impar comienzan en la página RES- En lo problema l a 8 ue la definición 7 para enconrar {f()} f () f () f () f () f () 6 f () 7 9 4,,,,,,,, en,,, co, > f() f() (, ) FIGURA 76 Gráfica para el problema 7 8 f() (, ) FIGURA 77 Gráfica para el problema 8 FIGURA 78 Gráfica para el problema 9 f() c FIGURA 79 Gráfica para el problema f() e 7 f() e 5 3 f() e 4 4 f() e 5 f() e en 6 f() e co 7 f() co 8 f() en En lo problema 9 a 36 ue el eorema 7 para enconrar { f ()} 9 f() 4 f() 5 f() 4 f() f() f() f() ( ) 3 6 f() ( ) 3 7 f() e 4 8 f() e f() ( e ) 3 f() (e e ) 3 f() 4 5 en 3 3 f() co 5 en 33 f() enh k 34 f() coh k 35 f() e enh 36 f() e coh En lo problema 37 a 4 encuenre {f()} uando primero una idenidad rigonomérica 37 f() en co 38 f() co 39 f() en(4 5) 4 f () co 6 4 Una definición de la función gamma eá dada por la inegral impropia ( ) e d, a b

8 6 CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE a) Demuere que (a ) a (a) ( ) b) Demuere que { }, 4 Ue el hecho de que ( ) y el problema 4 para enconrar la ranformada de Laplace de a) f() / b) f() / c) f() 3/ Problema para analizar 43 Conruya una función F() que ea de orden exponencial pero donde f() F () no ea de orden exponencial Conruya una función f que no ea de orden exponencial, pero cuya ranformada de Laplace exia 44 Suponga que {f ()} F () para c y que {f ()} F () para c Cuándo {f () f ()} F () F ()? 45 La figura 74 indica, pero no demuera, que la función f () e no e de orden exponencial Cómo demuera la obervación de que ln M c, para M y uficienemene grande, que e Me c para cualquier c? 46 Uilice el incio c) del eorema 7 para demorar que a ib {e (a ib) }, donde a y b on reale ( a) b e i Demuere cómo e puede uar la fórmula de Euler (página 34) para deducir lo reulado a {e a co b} ( a) b b {e a en b} ( a) b 47 Bajo qué condicione e una función lineal f(x) mx b, m, una ranformada lineal? 48 La demoración del incio b) del eorema 7 requiere el uo de la inducción maemáica Demuere que i e upone que { n } (n )! n e ciera, enonce e de duce que { n } n! n 7 TRANSFORMADAS INVERSAS Y TRANSFORMADAS DE DERIVADAS REPASO DE MATERIAL Decompoición en fraccione parciale INTRODUCCIÓN En ea ección e dan alguno pao hacia un eudio de cómo e puede uar la ranformada de Laplace para reolver ciero ipo de ecuacione para una función deconocida Se empieza el análii con el concepo de ranformada de Laplace invera o, má exacamene, la invera de una ranformada de Laplace F() Depué de alguno anecedene preliminare imporane obre la ranformada de Laplace de derivada f (), f (),, e ilura cómo enran en juego la ranformada de Laplace y la ranformada de Laplace invera para reolver ciera ecuacione diferenciale ordinaria encilla 7 TRANSFORMADAS INVERSAS EL PROBLEMA INVERSO Si F() repreena la ranformada de Laplace de una función f (), e decir, {f()} F(), e dice enonce que f () e la ranformada de Laplace invera de F() y e ecribe f() {F()} En el cao de lo ejemplo, y 3 de la ección 7 enemo, repecivamene Tranformada {} Tranformada invera {} {e 3 } 3 e 3 3

9 7 TRANSFORMADAS INVERSAS Y TRANSFORMADAS DE DERIVADAS 63 Prono veremo que en la aplicación de la ranformada de Laplace a ecuacione no e puede deerminar de manera direca una función deconocida f (); má bien, e puede depejar la ranformada de Laplace F() o f (); pero a parir de ee conocimieno, e deermina f calculando f () {F()} La idea e implemene ea: uponga que 6 F() e una ranformada de Laplace; encuenre una función f () al que 4 {f ()} F() En el ejemplo e muera cómo reolver ee úlimo problema Para fuura referencia el análogo del eorema 7 para la ranformada invera e preena como nuero iguiene eorema TEOREMA 7 Alguna ranformada invera a) n! b) n, n,, 3, c) n e a a k d) en k e) k co k k f) enh k k k g) coh k k Al evaluar la ranformada invera, uele uceder que una función de que eamo coniderando no concuerda exacamene con la forma de una ranformada de Laplace F() que e preena en la abla E poible que ea neceario arreglar la función de muliplicando y dividiendo enre una conane apropiada EJEMPLO Aplicando el eorema 7 Evalúe a) b) 5 7 SOLUCIÓN a) Para hacer coincidir la forma dada en el incio b) del eorema 7, e idenifica n 5 o n 4 y luego e muliplica y divide enre 4!: 5 4! 4! b) Para que coincida con la forma dada en el incio d) del eorema 7, idenificamo k 7 y, por ano, k 7 Se arregla la expreión muliplicando y dividiendo enre 7 : en 7 7 ES UNA TRANSFORMADA LINEAL La ranformada de Laplace invera e ambién una ranformada lineal para la conane a y b { F() G()} {F()} {G()}, () donde F y G on la ranformada de alguna funcione f y g Como en la ecuación () de la ección 7, la ecuación e exiende a cualquier combinación lineal finia de ranformada de Laplace

10 64 CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE EJEMPLO Diviión érmino a érmino y linealidad 6 Evalúe 4 SOLUCIÓN Primero e reecribe la función dada de como do expreione dividiendo cada uno de lo érmino del numerador enre el denominador y depué e ua la ecuación (): diviión de cada uno de lo érmino linealidad y arreglo de enre el denominador la conane } { } { 4 4 } 4 4 { } { co 3 en incio e) y d) del eorema 7 con k () FRACCIONES PARCIALES La fraccione parciale juegan un papel imporane en la deerminación de ranformada de Laplace invera La decompoición de una expreión racional en la fraccione componene e puede hacer rápidamene uando una ola inrucción en la mayoría de lo iema algebraico de compuadora De hecho, alguno SAC ienen paquee implemenado de ranformada de Laplace y ranformada de Laplace invera Pero para quiene no cuenan con ee ipo de ofware, en ea ección y en la ubecuene reviaremo un poco de álgebra báica en lo cao imporane donde el denominador de una ranformada de Laplace F() coniene facore lineale diino, facore lineale repeido y polinomio cuadráico in facore reale Aunque examinaremo cada uno de eo cao conforme e dearrolla ee capíulo, podría er buena idea que conulara un libro de cálculo o uno de precálculo para una reviión má complea de ea eoría En el iguiene ejemplo e muera la decompoición en fraccione parciale en el cao en que el denominador de F() e puede decomponer en diferene facore lineale EJEMPLO 3 Fraccione parciale: diferene facore lineale Evalúe 6 9 ( )( )( 4) SOLUCIÓN Exien conane reale A, B y C, por lo que 6 9 ( )( )( 4) A B C 4 A( )( 4) B( )( 4) C( )( ) ( )( )( 4) Pueo que lo denominadore on idénico, lo numeradore on idénico: 6 9 A( )( 4) B( )( 4) C( )( ) (3) Comparando lo coeficiene de la poencia de en ambo lado de la igualdad, abemo que (3) e equivalene a un iema de re ecuacione con re incógnia A, B y C Sin embargo, hay un aajo para deerminar ea incógnia Si e hace, y 4 en (3) e obiene, repecivamene, 6 A( )(5), 5 B()(6) y C( 5)( 6), 6 5 y aí, A, 5 B, y C Por lo que la decompoición en fraccione parciale 6 3 e 6 9 ( )( )( 4) 6> 5 5> 6 3 >, (4) 4

11 7 TRANSFORMADAS INVERSAS Y TRANSFORMADAS DE DERIVADAS 65 y, por ano, de la linealidad de y del incio c) del eorema 7, 6 9 ( )( )( 4) e 5 6 e 3 e 4 (5) 7 TRANSFORMADAS DE DERIVADAS TRANSFORMADA DE UNA DERIVADA Como e indicó en la inroducción de ee capíulo, el objeivo inmediao e uar la ranformada de Laplace para reolver ecuacione diferenciale Para al fin, e neceario evaluar canidade como {dy>d} y {d y>d } Por ejemplo, i f e coninua para, enonce inegrando por pare e obiene { f ()} e f () d e f () f () { f ()} o { f ()} F() f () (6) Aquí hemo upueo que e f () : conforme : De manera imilar, con la ayuda de la ecuación (6), e f () d { f ()} e f () d e f () e f () d f () { f ()} [F() f ()] f () ; de (6) o { f ()} F() f() f () (7) De igual manera e puede demorar que { f ()} 3 F() f () f () f () (8) La nauraleza recuriva de la ranformada de Laplace de la derivada de una función f e evidene de lo reulado en (6), (7) y (8) El iguiene eorema da la ranformada de Laplace de la n-éima derivada de f Se omie la demoración TEOREMA 7 Tranformada de una derivada Si f, f,, f (n ) on coninua en [, ) y on de orden exponencial y i f (n) () e coninua por ramo en [, ), enonce { f (n) ()} n F() n f() n f () f (n ) (), donde F() { f()} SOLUCIÓN DE EDO LINEALES E evidene del reulado general dado en el eorema 7 que {d n y>d n } depende de Y() {y()} y la n derivada de y() evaluada en Ea propiedad hace que la ranformada de Laplace ea adecuada para reolver problema lineale con valore iniciale en lo que la ecuación diferencial iene coefi ciene conane Ee ipo de ecuación diferencial e implemene una combinación lineal de érmino y, y, y,, y (n) : d n y d n y a n a d n n a d n y g(), y() y, y () y,, y (n ) () y n,

12 66 CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE donde la a i, i,,, n y y, y,, y n on conane Por la propiedad de li neali dad la ranformada de Laplace de ea combinación lineal e una combinación lineal de ranformada de Laplace: a n d n y d n y a d n n a d n {y} {g()} (9) Del eorema 7, la ecuación (9) e conviere en a n [ n Y() n y() y (n ) ()] a n [ n Y() n y() y (n ) ()] a Y() G(), () donde {y()} Y() y {g()} G() En ora palabra, la ranformada de Laplace de una ecuación diferencial lineal con coefi ciene conane e conviere en una ecuación algebraica en Y() Si e reuelve la ecuación ranformada general () para el ímbolo Y(), primero e obiene P()Y() Q() G() y depué e ecribe Y() Q() P() G() P(), () donde P() a n n a n n a, Q() e un polinomio en de grado menor o igual a n que conie en vario produco de lo coeficiene a i, i,, n y la condicione iniciale precria y, y,, y n y G() e la ranformada de Laplace de g() * Normalmene e ecriben lo do érmino de la ecuación () obre el mínimo común denominador y depué e decompone la expreión en do o má fraccione parciale Por úlimo, la olución y() del problema con valore iniciale original e y() {Y()}, donde la ranformada invera e hace érmino a érmino El procedimieno e reume en el iguiene diagrama Encuenre la y() deconocida que aiface la ED y la condicione iniciale Aplique la ranformada de Laplace La ED ranformada e conviere en una ecuación algebraica en Y() Solución y() del PVI original Aplique la ranformada invera de Laplace Reuelva la ecuación ranformada para Y() En el ejemplo iguiene e ilura el méodo anerior para reolver ED, aí como la decompoición en fraccione parciale para el cao en que el denominador de Y() conenga un polinomio cuadráico in facore reale EJEMPLO 4 Solución de un PVI de primer orden Ue la ranformada de Laplace para reolver el problema con valore iniciale dy 3y 3 en, y() 6 d SOLUCIÓN Primero e oma la ranformada de cada miembro de la ecuación diferencial dy 3 {y} 3 {en } d () * El polinomio P() e igual al polinomio auxiliar de n-éimo grado en la ecuación () de la ección 43 donde el ímbolo m uual e uiuye por

13 7 TRANSFORMADAS INVERSAS Y TRANSFORMADAS DE DERIVADAS 67 De (6), {dy>d} Y() y() Y() 6, y del incio d) del eorema 7, {en } >( 4), por lo que la ecuación () e igual que 6 Y() 6 3Y() 4 o ( 3)Y() Reolviendo la úlima ecuación para Y(), obenemo Y() 3 ( 3)( 4) ( 3)( 4) (3) Pueo que el polinomio cuadráico 4 no e facoriza uando número reale, e upone que el numerador en la decompoición de fraccione parciale e un polinomio lineal en : 6 5 A B C ( 3)( 4) 3 4 Poniendo el lado derecho de la igualdad obre un común denominador e igualando lo numeradore, e obiene 6 5 A( 4) (B C)( 3) Haciendo 3 e obiene inmediaamene que A 8 Pueo que el denominador no iene má raíce reale, e igualan lo coeficiene de y : 6 A B y 3B C Si en la primera ecuación e ua el valor de A e encuenra que B, y con ee valor aplicado a la egunda ecuación, e obiene C 6 Por lo que, Y() ( 3)( 4) 3 4 Aún no e ermina porque la úlima expreión racional e iene que ecribir como do fraccione Eo e hizo con la diviión érmino a érmino enre el denominador del ejemplo De () de ee ejemplo, y() Se deduce de lo incio c), d) y e) del eorema 7, que la olución del problema con valore iniciale e y() 8e 3 co 3 en EJEMPLO 5 Solución de un PVI de egundo orden Reuelva y 3y y e 4, y(), y () 5 SOLUCIÓN Procediendo como en el ejemplo 4, e ranforma la ED Se oma la uma de la ranformada de cada érmino, e uan la ecuacione (6) y (7), la condicione iniciale dada, el incio c) del eorema 7 y enonce e reuelve para Y(): Y() y() y () 3[Y() y()] Y() Y() 3 d y d 3 dy d ( 3 )Y() ( 3 )( 4) {y} {e 4 } ( )( )( 4) (4) Lo dealle de la decompoición en fraccione parciale de Y() ya e preenaron en el ejemplo 3 En via de lo reulado en (3) y (4), e iene la olución del problema con valore iniciale 6 5 y() {Y()} 5 e 6 e 3 e 4

14 68 CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE En lo ejemplo 4 y 5, e ilura el procedimieno báico de cómo uar la ranformada de Laplace para reolver un problema lineal con valore iniciale, pero podría parecer que eo ejemplo demueran un méodo que no e mucho mejor que el aplicado a lo problema decrio en la eccione 3 y 43 a 46 No aque concluione negaiva de ólo do ejemplo Sí, hay una gran canidad de álgebra inherene al uo de la ranformada de Laplace, pero oberve que no e iene que uar la variación de parámero o preocupare acerca de lo cao y el álgebra en el méodo de coeficiene indeerminado Ademá, pueo que el méodo incorpora la condicione iniciale precria direcamene en la olución, no e requiere la operación eparada de aplicar la condicione iniciale a la olución general y c y c y c n y n y p de la ED para deerminar conane epecífica en una olución paricular del PVI La ranformada de Laplace iene mucha propiedade operacionale En la eccione que iguen e examinan alguna de ea propiedade y e ve cómo permien reolver problema de mayor complejidad COMENTARIOS i) La ranformada de Laplace invera de una función F() podría no er única; en ora palabra, e poible que { f ()} { f ()} y in embargo f f Para nuero propóio, eo no e algo que no deba preocupar Si f y f on coninua por ramo en [, ) y de orden exponencial, enonce f y f on eencialmene iguale Véae el problema 44 en lo ejercicio 7 Sin embargo, i f y f on coninua en [, ) y { f ()} { f ()}, enonce f f en el inervalo ii) Ee comenario e para quiene engan la neceidad de hacer a mano decompoicione en fraccione parciale Hay ora forma de deerminar lo coeficiene en una decompoición de fraccione parciale en el cao epecial cuando { f()} F() e una función racional de y el denominador de F e un produco de diino facore lineale Eo e ilura al analizar de nuevo el ejemplo 3 Suponga que e muliplican ambo lado de la upuea decompoición 6 9 ( )( )( 4) A B C 4 (5) digamo, por, e implifica y enonce e hace Pueo que lo coeficiene de B y C en el lado derecho de la igualdad on cero, e obiene Ecria de ora forma, A o A ( )( 4) ( ) ( )( 4) 5 A, donde e ha ombreado o cubiero, el facor que e elimina cuando el lado izquierdo e muliplica por Ahora, para obener B y C, implemene e evalúa el lado izquierdo de (5) mienra e cubre, a u vez, y 4: 6 9 ( )( )( 4) 5 6 B y 6 9 ( )( )( 4) C 4 3

15 7 TRANSFORMADAS INVERSAS Y TRANSFORMADAS DE DERIVADAS 69 La decompoición deeada (5) e da en (4) Ea écnica epecial para deerminar coeficiene e conoce dede luego como méodo de cubrimieno iii) En ee comenario coninuamo con la inroducción a la erminología de iema dinámico Como reulado de la ecuacione (9) y () la ranformada de Laplace e adapa bien a iema dinámico lineale El polinomio P() a n n a n n a en () e el coeficiene oal de Y() en () y e implemene el lado izquierdo de la ED en donde la derivada d k y d k e uiuyen por poencia k, k,,, n E común llamar al recíproco de P(), en paricular W() P(), función de ranferencia del iema y ecribir la ecuación () como Y() W()Q() W()G() (6) De ea manera e han eparado, en un enido adiivo, lo efeco de la repuea debido a la condicione iniciale (e decir, W()Q()) de lo cauado por la función de enrada g (e decir, W()G()) Vea (3) y (4) Por ano la repuea y() del iema e una uperpoición de do repuea: y() {W()Q()} {W()G()} y () y () Si la enrada e g(), enonce la olución del problema e y () {W() Q()} Ea olución e llama repuea de enrada cero del iema Por oro lado, la función y () {W()G()} e la alida debida a la enrada g() Enonce, i la condición inicial del iema e el eado cero (oda la condicione iniciale on cero), enonce Q() y por ano, la única olución del problema con valore iniciale e y () La úlima olución e llama repuea de eado cero del iema Tano y () como y () on olucione pariculare: y () e una olución del PVI que conie en la ecuación homogénea relacionada con la condicione iniciale dada y y () e una olución del PVI que conie en la ecuación no homogénea con condicione iniciale cero En el ejemplo 5 e ve de (4) que la función de ranferencia e W() ( 3 ), la repuea de enrada cero e y () ( )( ) y la repuea de eado cero e 3e 4e, y () ( )( )( 4) 5 e 6 e 3 e 4 Compruebe que la uma de y () y y () e la olución de y() en el ejemplo 5 y que y (), y () 5, mienra que y (), y () EJERCICIOS 7 La repuea a lo problema eleccionado con número impar comienzan en la página RES- 7 TRANSFORMADAS INVERSAS En lo problema a 3 ue el álgebra apropiada y el eorema 7 para enconrar la ranformada invera de Laplace dada ( ) ( )

16 7 CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE ( )( 4) ( )( ) ( )( ) ( )( 3)( 6) ( )( )( ) ( )( 4) TRANSFORMADAS DE DERIVADAS En lo problema 3 a 4, ue la ranformada de Laplace para reolver el problema con valore iniciale dy 3 y, y() d 3 dy y, y() 3 d 33 y 6y e 4, y() 34 y y co 5, y() 35 y 5y 4y, y(), y () 36 y 4y 6e 3 3e, y(), y () 37 y y en, y(), y () 38 y 9y e, y(), y () 39 y 3y 3y y e, y(), y (), y () 4 y y y y en 3, y(), y (), y () La forma invera de lo reulado del problema 46 en lo ejercicio 7 on a e a co b ( a) b b e a en b ( a) b En lo problema 4 y 4 ue la ranformada de Laplace y ea invera para reolver el problema con valore iniciale dado 4 y y e 3 co, y() 4 y y 5y, y(), y () 3 Problema para analizar 43 a) Con un ligero cambio de noación la ranformada en (6) e igual a { f ()} { f ()} f () Con f () e a, analice cómo e puede uar ee reulado juno con c) del eorema 7 para evaluar {e a } b) Proceda como en el incio a), pero ea vez examine cómo uar (7) con f () en k juno con d) y e) del eorema 7 para evaluar { en k} 44 Conruya do funcione f y f que engan la mima ranformada de Laplace No conidere idea profunda 45 Lea de nuevo el Comenario iii) de la página 69 Encuenre la repuea de enrada cero y la repuea de eado cero para el PVI del problema Suponga que f () e una función para la que f () e coninua por ramo y de orden exponencial c Ue lo reulado de ea ección y la ección 7 para juificar f () lím : F(), donde F() { f ()} Compruebe ee reulado con f () co k 73 PROPIEDADES OPERACIONALES I REPASO DE MATERIAL Coninúe pracicando la decompoición en fraccione parciale Complear el cuadrado INTRODUCCIÓN No e conveniene uar la definición 7 cada vez que e deea enconrar la ranformada de Laplace de una función f () Por ejemplo, la inegración por pare requerida para evaluar {e en 3} e formidable en poca palabra En ea ección y la que igue e preenan varia propiedade operacionale de la ranformada de Laplace que ahorran rabajo y permien conruir una lia má exena de ranformada (vea la abla del apéndice III) in ener que recurrir a la definición báica y a la inegración

17 73 PROPIEDADES OPERACIONALES I 7 73 TRASLACIÓN EN EL EJE UNA TRASLACION Evaluar ranformada ale como {e 5 3 } y {e co 4} e direco iempre que e conozca (y aí e) { 3 } y {co 4} En general, i e conoce la ranformada de Laplace de una función f, { f ()} F(), e poible calcular la ranformada de Laplace de un múliplo exponencial de f, e decir, {e a f ()}, in ningún efuerzo adicional que no ea raladar o deplazar, la ranformada F() a F( a) Ee reulado e conoce como primer eorema de ralación o primer eorema de deplazamieno TEOREMA 73 Primer eorema de ralación Si {f()} F() y a e cualquier número real, enonce {e a f()} F( a) PRUEBA La demoración e inmediaa, ya que por la definición 7 F F ( ) F( a) {e a f ()} e e a f () d e ( a) f () d F( a) = a, a > FIGURA 73 Deplazamieno en el eje Si e conidera una variable real, enonce la gráfica de F( a) e la gráfica de F() deplazada en el eje por la canidad a Si a, la gráfica de F() e deplaza a unidade a la derecha, mienra que i a, la gráfica e deplaza a unidade a la izquierda Véae la figura 73 Para enfaizar, a vece e úil uar el imbolimo {e a f ()} { f ()} : a, donde : a ignifica que en la ranformada de Laplace F() de f () iempre que aparezca el ímbolo e reemplaza por a EJEMPLO Uando el primer eorema de ralación Evalúe a) {e 5 3 } b) {e co 4} SOLUCIÓN Lo iguiene reulado e deducen de lo eorema 7 y 73 a) {e 5 3 } { 3 } : 5 3! 4 : 5 6 ( 5) 4 b) {e co 4} {co 4} : ( ) 6 : ( ) 6 FORMA INVERSA DEL TEOREMA 73 Para calcular la invera de F( a), e debe reconocer F(), para enconrar f () obeniendo la ranformada de Laplace invera de F() y depué muliplicar f () por la función exponencial e a Ee procedimieno e reume con ímbolo de la iguiene manera: {F( a)} {F() : a } e a f (), () donde f() {F()} En la primera pare del ejemplo iguiene e ilura la decompoición en fraccione parciale en el cao cuando el denominador de Y() coniene facore lineale repeido

18 7 CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE EJEMPLO Fraccione parciale: facore lineale repeido Evalúe a) 5 > 5>3 ( 3) b) 4 6 SOLUCIÓN a) Un facor lineal repeido e un érmino ( a) n, donde a e un número real y n e un enero poiivo Recuerde que i ( a) n aparece en el denominador de una expreión racional, enonce e upone que la decompoición coniene n fraccione parciale con numeradore y denominadore conane a, ( a),, ( a) n Por ano, con a 3 y n e ecribe 5 A ( 3) 3 B ( 3) Colocando lo do érmino del lado derecho con un denominador común, e obiene el numerador 5 A( 3) B y ea idenidad produce A y B Por ano, y 5 ( 3) 3 5 ( 3) 3 ( 3) ( 3) Ahora ( 3) e F() deplazada re unidade a la derecha Ya que {> }, e iene de () que () (3) ( 3) : 3 e 3 Por úlimo, (3) e 5 ( 3) e 3 e 3 (4) b) Para empezar, oberve que el polinomio cuadráico 4 6 no iene raíce reale y por ano no iene facore lineale reale En ea iuación compleamo el cuadrado: > 5>3 4 6 > 5>3 ( ) (5) El objeivo aquí e reconocer la expreión del lado derecho como alguna ranformada de Laplace F() en la cual e ha reemplazado por Lo que e raa de hacer e imilar a rabajar hacia ará del incio b) del ejemplo El denominador en (5) ya eá en la forma correca, e decir, con en lugar de Sin embargo, e debe arreglar el numerador manipulando la conane: 5 ( ) 5 ( ) Ahora mediane la diviión enre el denominador de cada érmino, la linealidad de, lo incio e) y d) del eorema 7 y por úlimo (), > 5> 3 ( ) > 5> ( ) 3 ( ) ( ) : e co ( ) e en 3 ( ) ( ) : (7) (6)

19 73 PROPIEDADES OPERACIONALES I 73 EJEMPLO 3 Un problema con valore iniciale Reuelva y 6y 9y e 3, y(), y () 7 SOLUCIÓN Ane de ranformar la ED, oberve que u lado derecho e imilar a la función del incio a) del ejemplo Depué de uar la linealidad, el eorema 73 y la condicione iniciale, e implifica y luego e reuelve para Y() {f ()}: {y } 6 {y } 9 {y} { e 3 } Y() y() y () 6[Y() y()] 9Y() ( 6 9)Y() 5 ( 3) Y() 5 Y() ( 3) 3 ( 3) 3 ( 3) 3 5 ( 3) ( 3) 5 El primer érmino del lado derecho ya e ha decompueo en fraccione parciale en () del incio a) del ejemplo () Por lo que Y() y() 3 3 ( 3) ( 3) 5 ( 3) 4! 4! ( 3) 5 De la forma invera () del eorema 73, lo do úlimo érmino de (8) on e 3 y 4! 4 e 3 : 3 Por lo que (8) e y() e 3 e 3 4 e 3 5 : 3 EJEMPLO 4 Un problema con valore iniciale Reuelva y 4y 6y e, y(), y () SOLUCIÓN {y } 4 {y } 6 {y} {} {e } Y() y() y () 4[Y() y()] 6Y() (8) ( 4 6)Y() ( ) Y() ( )( 4 6) Pueo que el érmino cuadráico en el denominador no e facoriza en facore lineale reale, e encuenra que la decompoición en fraccione parciale para Y() e Y() >6 >3 > 5> Ademá, en la preparación para omar la ranformada invera, ya e manejó el úlimo érmino en la forma necearia del incio b) del ejemplo Por lo que en via de lo reulado en (6) y (7), e iene la olución

20 74 CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE y() 6 3 ( ) 3 ( ) 6 3 e e co 3 e en 73 TRASLACIÓN EN EL EJE FUNCIÓN ESCALÓN UNITARIO En ingeniería e común enconrar funcione que eán ya ea deacivada o acivada Por ejemplo, una fuerza exerna que acúa en un iema mecánico, o un volaje aplicado a un circuio, e puede deacivar depué de ciero iempo E conveniene enonce definir una función epecial que e el número (deacivada) haa un ciero iempo a y enonce el número (acivada) depué de ee iempo La función e llama función ecalón uniario o función de Heaviide DEFINICIÓN 73 Función ecalón uniario La función ecalón uniario ( a) e define como ( a),, a a FIGURA 73 Gráfica de la función ecalón uniario y a Oberve que e define ( a) ólo en el eje no negaivo, pueo que eo e odo lo que inerea en el eudio de la ranformada de Laplace En un enido má amplio, ( a) para a En la figura 73, e muera la gráfica de ( a) Cuando una función f definida para e muliplica por ( a), la función ecalón uniario deaciva una pare de la gráfica de ea función Por ejemplo, conidere la función f () 3 Para deacivar la pare de la gráfica de f para, implemene formamo el produco ( 3) ( ) Véae la figura 733 En general, la gráfica de f() ( a) e (deacivada) para a y e la pare de la gráfica de f (acivada) para a La función ecalón uniario ambién e puede uar para ecribir funcione definida por ramo en una forma compaca Por ejemplo, i conideramo, 3, y 3 y lo valore correpondiene de ( ) y ( 3), debe er evidene que la función definida por ramo que e muera en la figura 734 e igual que f() 3 ( ) ( 3) También, una función general definida por ramo del ipo f() g(), h(), a a (9) FIGURA 733 La función e f() ( 3) ( ) f() e la mima que: Análogamene, una función del ipo f() g() g() ( a) h() ( a) () f(), g(),, a a b b () FIGURA 734 La función e f () 3 ( ) ( 3) puede er ecria como f () g()[ ( a) ( b)] ()

21 73 PROPIEDADES OPERACIONALES I 75 f () EJEMPLO 5 Una función definida por ramo Expree f () la gráfica,, 5 5 en érmino de funcione ecalón uniario Trace FIGURA 735 La función e f () ( 5) f() f() 5 a) f (), SOLUCIÓN En la figura 735 e muera la gráfica de f Ahora, de (9) y () con a 5, g() y h(), e obiene f () ( 5) Conidere una función general y f () definida para La función definida por ramo, a f( a) ( a) (3) f( a), a juega un papel imporane en la explicación que igue Como e muera en la figura 736, para a la gráfica de la función y f( a) ( a) coincide con la gráfica de y f ( a) para a (que e la gráfica complea de y f (), deplazada a unidade a la derecha en el eje ), pero e idénicamene cero para a Vimo en el eorema 73 que un múliplo exponencial de f () da como reulado una ralación de la ranformada F() en el eje Como una conecuencia del iguiene eorema, e ve que iempre que F() e muliplica por una función exponencial e a, a, la ranformada invera del produco e a F() e la función f deplazada a lo largo del eje en la manera que e muera en la figura 736b Ee reulado, preenado a coninuación en u verión de ranformada direca, e llama egundo eorema de ralación o egundo eorema de deplazamieno a b) f ( a) ( a) FIGURA 736 Deplazamieno en el eje TEOREMA 73 Segundo eorema de ralación Si F() { f()} y a, enonce { f( a) ( a)} e a F() DEMOSTRACIÓN Por la propiedad de inervalo adiivo de inegrale, e f ( a) e puede ecribir como do inegrale: ( a) d a {f ( a) ( a)} e f ( a) ( a) d e f ( a) ( a) d e f ( a) d cero para a a uno para a Ahora i hacemo v a, dv d en la úlima inegral, enonce { f ( a) ( a)} e (v a) f (v) dv e a e v f (v) dv e a { f ()} Con frecuencia e deea enconrar la ranformada de Laplace de ólo una función ecalón uniario Eo puede er de la definición 7 o eorema 73 Si e idenifica f () en el eorema 73, enonce f ( a), F() {} > y por ano, { ( a)} (4) Por ejemplo, i e ua la ecuación (4), la ranformada de Laplace de la función de la figura 734 e e a {f()} {} 3 { ( )} { ( 3)} 3 e e 3 a

22 76 CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE FORMA INVERSA DEL TEOREMA 73 Si f () {F()}, la forma invera del eorema 73 a, e {e a F()} f( a) ( a) (5) EJEMPLO 6 Uo de la fórmula (5) Evalúe b) 9 e / a) 4 e SOLUCIÓN a) De acuerdo con la idenidade a, F() ( 4) y {F()} e 4, e iene de (5) 4 e e 4( ) ( ) b) Con a p, F() ( 9) y {F()} co 3, de la ecuación (5) e obiene 9 e / co 3 La úlima expreión e puede implificar un poco con la fórmula adicional para el coeno Compruebe que el reulado e igual a en 3 FORMA ALTERNATIVA DEL TEOREMA 73 Con frecuencia no enfrenamo con el problema de enconrar la ranformada de Laplace de un produco de una función g y una función ecalón uniario ( a) donde la función g no iene la forma precia de deplazamieno f ( a) del eorema 73 Para enconrar la ranformada de Laplace de g() ( a), e poible arreglar g() en la forma requerida f ( a) uando álgebra Por ejemplo, i e quiere uar el eorema 73 para deerminar la ranformada de Laplace de ( ), e endría que forzar g() a la forma f ( ) Se debe rabajar algebraicamene y comprobar que ( ) 4( ) 4 e una idenidad Por ano, { ( )} {( ) ( ) 4( ) ( ) 4 ( )}, donde ahora cada érmino del lado derecho e puede evaluar con el eorema 73 Pero como ea operacione on ardada y con frecuencia no obvia, e má imple dieñar una forma alernaiva del eorema 73 Uando la definición 7, la definición de ( a), y la uiución u a, e obiene {g() ( a)} a e g() d e (u a) g(u a) du E decir, {g() ( a)} e a {g( a)} (6) EJEMPLO 7 Segundo eorema de ralación: forma alernaiva Evalúe {co ( )} SOLUCIÓN Con g() co y a p, enonce g( p) co ( p) co por la fórmula de adicción para la función coeno Por ano, por la ecuación (6), {co ( )} e {co } e

23 73 PROPIEDADES OPERACIONALES I 77 y π π 3π FIGURA 737 Gráfica de la función en (8) pared y w(x) FIGURA 738 Viga emporada con carga variable L x EJEMPLO 8 Un problema con valore iniciale Reuelva y y f (), y() 5, donde f(), 3 co, SOLUCIÓN La función f e puede ecribir como f () 3 co ( p), y enonce por linealidad, por lo reulado del ejemplo 7 y por la fraccione parciale uuale, e iene Y() {y } {y} 3 {co ( )} Y() y() Y() 3 e 3 ( )Y() 5 e 5 3 e e e (7) Ahora procediendo como e hizo en el ejemplo 6, e iene de (5) con a p que lo invero de lo érmino denro del parénei on y e e ( ) ( ), e en( ) ( ), Por lo que el invero de (7) e 3 y() 5e e ( ) ( ) e co( ) ( ) 3 en( ) ( ) 3 co( ) ( ) 3 5e ; idenidade rigonomérica [e ( ) en co ] ( ) 5e, 3 5e e 3 ( ) en 3 co, Uando un programa de graficación hemo obenido la gráfica de (8) que e muera en la figura 737 VIGAS En la ección 5 vimo que la deflexión eáica y(x) de una viga uniforme de longiud L con carga w(x) por unidad de longiud e deermina a parir de la ecuación diferencial lineal de cuaro orden EI d4 y w(x), dx 4 (9) donde E e el módulo de Young de elaicidad e I e un momeno de inercia de una ección ranveral de la viga La ranformada de Laplace e paricularmene úil para reolver la ecuación (9) cuando w(x) e define por ramo Sin embargo, para uar la ranformada de Laplace e debe uponer de manera ácia que y(x) y w(x) eán definida en (, ) y no en (, L) Oberve, ambién, que el iguiene ejemplo e un problema con valore en la fronera má que un problema con valore iniciale EJEMPLO 9 Un problema con valore en la fronera Una viga de longiud L e empora en ambo exremo, como e muera en la figura 738 Deermine la deflexión de la viga cuando la carga eá dada por w(x) w, L x, x L> L> x L (8)

24 78 CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE SOLUCIÓN Recuerde que debido a que la viga ea emporada en ambo exremo, la condicione de fronera on y(), y (), y(l), y (L) Ahora uando () e puede exprear w(x) en érmino de la función ecalón uniario: w(x) w L x w L x x L w L L L x x x L Tranformando la ecuación (9) repeco a la variable x, e obiene EI 4 Y() 3 y() y () y () y () o 4 Y() y () y () Si hacemo c y () y c y (), enonce y en conecuencia Y() c c w 3 4 EIL w L w EIL L> 5 6 L> L> 6e L/, e L/ e L/ y(x) c!! 3 c 3! c x c 6 x3 w 6 EIL 3! w 4 EIL L> 4! 5L x4 x 5 x 4! 5 5! L 5 x L 5! 6 5! 5! 6 e L/ Aplicando la condicione y(l) y y (L) al úlimo reulado, e obiene un iema de ecuacione para c y c : c L c L 3 6 c L c L 49w L 4 9EI 85w L 3 96EI Reolviendo e encuenra que c 3w L (96El) y c 9w L (4EI) Por lo que la deflexión eá dada por y(x) 3w L 9EI x 3w L 8EI x3 w 6EIL 5L x4 x 5 x L 5 x L EJERCICIOS 73 La repuea a lo problema eleccionado con número impar comienzan en la página RES- 73 TRASLACIÓN EN EL EJE En lo problema a encuenre F() o f (), como e indica {e } {e 6 } 3 { 3 e } 4 { e 7 } 5 {(e e ) } 6 {e ( ) } 7 {e en 3} 8 {e co 4} 9 {( e 3e 4 ) co 5} e en ( ) ( ) 9 ( ) 3 ( ) ( ) ( ) ( ) 4

25 73 PROPIEDADES OPERACIONALES I 79 En lo problema a 3, ue la ranformada de Laplace para reolver el problema con valore iniciale y 4y e 4, y() y y e, y() 3 y y y, y(), y () 4 y 4y 4y 3 e, y(), y () 5 y 6y 9y, y(), y () 6 y 4y 4y 3, y(), y () 7 y 6y 3y, y(), y () 3 8 y y 5y, y(), y () 9 y y e co, y(), y () 3 y y 5y, y(), y () 4 En lo problema 3 y 3, ue la ranformada de Laplace y el procedimieno decrio en el ejemplo 9 para reolver el problema con valore en la fronera dado 3 y y y, y (), y() 3 y 8y y, y(), y (p) 33 Un peo de 4 lb eira un reore pie El peo e libera a parir del repoo 8 pulgada arriba de la poición de equilibrio y el movimieno reulane iene lugar en un medio que ofrece una fuerza de amoriguamieno numéricamene igual a 7 vece la velocidad inanánea Ue la ranformada de 8 Laplace para enconrar la ecuación de movimieno x() 34 Recuerde que la ecuación diferencial para la carga inanánea q() en el capacior en un circuio RCL en erie eá dada por L d q d R dq d C q E() () Véae la ección 5 Ue la ranformada de Laplace para enconrar q() cuando L h, R, C 5 f, E() 5 V,, q() e i() Cuál e la corriene i()? 35 Conidere una baería de volaje conane E que carga el capacior que e muera en la figura 739 Divida la ecuación () enre L y defina l R L y v LC Ue la ranformada de Laplace para demorar que la olución q() de q lq v q E L ujea a q(), i() e q() E C e (coh enh ),, E C[ e ( )],, E FIGURA 739 Circuio en erie del problema Ue la ranformada de Laplace para enconrar la carga q() en un circuio RC en erie cuando q() y E() E e k, k Conidere do cao: k RC y k RC 73 TRASLACIÓN EN EL EJE En lo problema 37 a 48 encuenre F() o f (), como e indica 37 {( ) ( )} 38 {e ( )} 39 { ( )} 4 {(3 ) ( )} 4 {co ( )} ( ) En lo problema 49 a 54, compare la gráfica dada con una de la funcione de lo incio a) a f) La gráfica de f () e preena en la figura e 3 e e a) f () f () ( a) b) f ( b) ( b) c) f () ( a) d) f () f () ( b) e) f () ( a) f() ( b) f) f ( a) ( a) f ( a) ( b) f() FIGURA 73 Gráfica para lo problema 49 a 54 f() a L C b R en ( e ) e / 4 e ( ) E C e (co en ), a b FIGURA 73 Gráfica para el problema 49

26 8 CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 5 f() 58 f (), en, 3 > 3 > a b 59 f (),, FIGURA 73 Gráfica para el problema 5 6 f () en,, 5 f() 6 f() a b a b pulo recangular FIGURA 733 Gráfica para el problema 5 FIGURA 737 Gráfica para el problema 6 5 f() 6 f() 3 a b FIGURA 734 Gráfica para el problema función ecalera 53 f() FIGURA 738 Gráfica para el problema 6 En lo problema 63 a 7, ue la ranformada de Laplace para reolver el problema con valore iniciale a b FIGURA 735 Gráfica para el problema y y f (), y(), donde f () 64 y y f (), y(), donde, 5, 54 f() f (),, a b FIGURA 736 Gráfica para el problema y y f (), y(), donde f(),, 66 y 4y f(), y(), y (), donde En lo problema 55 a 6, ecriba cada función en érmino de funcione ecalón uniario Encuenre la ranformada de Laplace de la función dada 67 f(),, y 4y en ( ), y(), y () 55 f () 56 f () 57 f (),,,,,,, y 5y 6y ( ), y(), y () y y f(), y(), y (), donde f (),,, 7 y 4y 3y ( ) ( 4) ( 6), y(), y ()

27 73 PROPIEDADES OPERACIONALES I 8 7 Suponga que un peo de 3 libra eira un reore pie Si el peo e libera a parir del repoo en la poición de equilibrio, deermine la ecuación de movimieno x() i una fuerza f () acúa en el iema para 5 y luego e reira (véae el ejemplo 5) Deprecie cualquier fuerza de amoriguamieno Ue un programa de graficación para razar x() en el inervalo [, ] 7 Reuelva el problema 7 i la fuerza aplicada f () en acúa en el iema para p y depué e reira En lo problema 73 y 74 ue la ranformada de Laplace para enconrar la carga q() en el capacior en un circuio RC en erie ujeo a la condicione indicada 73 q(), R 5, C 8 f, E() dada en la figura 739 E() 5 FIGURA 739 E() en el problema a) Ue a ranformada de Laplace para deerminar a carga q() en el capacior en un circuio RC en erie cuando q(), R 5, C f y E() e como e muera en la figura 73 b) Suponga que E V Ue un programa de compuadora para graficar y dibuje q() para 6 Ue la gráfica para eimar q máx el valor máximo de a carga E() E FIGURA 73 E() en el problema Una viga en voladizo eá emporada en u exremo izquierdo y libre en u exremo derecho Ue a ranformada de Laplace para deerminar la deflexión y(x) cuando la carga eá dada por w(x) w,, 3 x L> L> x L 78 Reuelva el problema 77 cuando la carga eá dada por 74 q() q, R, C f, E() dada en la figura 73 E() w(x), w,, x L>3 L> 3 x L> 3 L 3 x L > 3e 3 5 FIGURA 73 E() en el problema Encuenre la deflexión y (x) de una viga en voladizo emporada en u exremo izquierdo y libre en u exremo derecho cuando la carga oal e como e da en el ejemplo 9 8 Una viga eá emporada en u exremo izquierdo y apoyada implemene en el exremo derecho Encuenre la deflexión y (x) cuando la carga e como la que e da en el problema a) Ue la ranformada de Laplace para enconrar la corriene i() en un circuio LR en erie de una ola malla cuando i(), L h, R y E() e como e ilura en a figura 73 b) Ue un programa de compuadora para graficar y dibuje i() en el inervalo 6 Ue la gráfica para eimar i máx e i mín, lo valore máximo y mínimo de la corriene E() π/ en, < 3 π/ 3 π/ FIGURA 73 E() en el problema 75 π Modelo maemáico 8 Pael denro de un horno Lea de nuevo el ejemplo 4 en la ección 3 acerca del enfriamieno de un pael que e aca de un horno a) Dieñe un modelo maemáico para la emperaura de un pael mienra eá denro del horno con bae en la iguiene upoicione: en la mezcla de pael eá a emperaura ambiene de 7 ; el horno no e precaliena por lo que en, cuando la mezcla de pael e coloca denro del horno, la emperaura denro del horno ambién e 7 ; la emperaura del horno aumena linealmene haa 4 minuo, cuando e alcanza la emperaura deeada de 3 ; la emperaura del horno e maniene conane en 3 para 4 b) Ue la ranformada de Laplace para reolver el problema con valore iniciale del incio a)

28 8 CAPÍTULO 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Problema para analizar 8 Analice cómo e podría arreglar cada una de la iguiene funcione, de al forma que el eorema 73 e pudiera uar direcamene para enconrar la ranformada de Laplace dada Compruebe u repuea con la ecuación (6) de ea ección a) {( ) ( )} b) {e ( 5)} c) {co ( )} d) {( 3) ( )} 83 a) Suponga que el eorema 73 e cumple cuando el ímbolo a e reemplaza por ki, donde k e un número real e i Demuere que uar para deducir { co k} { en k} k ( k ) k ( k ) {e ki } e puede b) Ahora ue la ranformada de Laplace para reolver el problema con valore iniciale x v x co v, x(), x () 74 PROPIEDADES OPERACIONALES II REPASO DE MATERIAL Definición 7 Teorema 73 y 73 INTRODUCCIÓN En ea ección e dearrollan varia propiedade operacionale má de la ranformada de Laplace En epecial, veremo cómo enconrar la ranformada de una función f () que e muliplica por un monomio n, la ranformada de un ipo epecial de inegral y la ranformada de una función periódica La do úlima propiedade de ranformada permien reolver ecuacione que no e han enconrado haa ee puno: ecuacione inegrale de Volerra, ecuacione inegrodiferenciale y ecuacione diferenciale ordinaria en la que la función de enrada e una función periódica definida por ramo 74 DERIVADAS DE UNA TRANSFORMADA MULTIPLICACIÓN DE UNA FUNCIÓN POR n La ranformada de Laplace del produco de una función f () con e puede enconrar derivando la ranformada de Laplace de f () Para moivar ee reulado, e upone que F() {f ()} exie y que e poible inercambiar el orden de la derivada y de la inegral Enonce d d F() d e f () d d ; [e f ()] d e f() d {f()} d e decir, {f()} { f ()} d Se puede uar el úlimo reulado para enconrar la ranformada de Laplace de f (): { f ()} { f()} d d {f()} d d d d {f ()} d d { f ()} Lo do cao aneriore ugieren el reulado general para { n f()} TEOREMA 74 Derivada de ranformada Si F() { f ()} y n,, 3,, enonce d n { n f()} ( ) n d F() n