Solución Clase Auxiliar 11 Movimiento Browniano, 7 de Noviembre de 2007

Transcripción

1 Univeridad de Chile Faculad de C. Fíica y Maemáica Deparameno de Ingeniería Indurial IN79O: Modelo Eocáico en Siema de Ingeniería Profeor : Raúl Goue Auxiliar : Felipe Caro, Francico Uribe Solución Clae Auxiliar 11 Movimieno Browniano, 7 de Noviembre de 27 Problema 1 1. Una forma de ver eo e enconrar la diribución de X F X x P 1 B x P B x 1 e u2 2 du 2π 1 2π e u 2 2 du donde en la úlima ecuación e realizo el cambio de variable u u Vemo que efecivamene X e un proceo gauiano. Ahora corroboraremo que la mariz de covarianza e encuenra bien definida (e direco ver que EX ) Cov(X, X ) Cov( 1 B, 1 Cov(B, B ) 1 mín{, } mín{, } 1 B ) 2. τ a e el inane en que el movimieno Browniano oca por primera vez el nivel a. a) Para calcular eo condicionaremo obre el valor que oma B h f(a, λ) E Bh f(a, λ) B h E Bh Ee λ(τ ab h +h) + o(h) E Bh f(a B h, λ) e λh + o(h) E Bh (f(a, λ) B h f (a, λ) + 1 ) 2 B2 hf (a, λ) + o(h) f(a, λ) (1 λh) hf (a, λ) + o(h) 1 λh + o(h)

2 Dividiendo la úlima igualdad por h, y depejando vemo que 2λf(a, λ) f (a, λ) b) Vemo que f(a + b, λ) Ee λτ a+b Ee λ(τa+τb) f(a, λ) f(b, λ)) Con eo vemo que f(a, λ) debe omar la iguiene forma f(a, λ) exp(a g(λ)) c) De la pare uno vemo que τ ab b 2 τ a. Baa omar b 2 y noar que cuando e ea en τ a el proceo ecalado llega por primera vez a a b e decir llega en el inane τ ab d) Dada la propiedad anerior vemo que la función g(λ) e de la forma c λ con lo que e obiene el reulado requerido. f(a, λ) exp(c a λ) ahora, uilizando la ecuación diferencial enconrada en la pare a) vemo que 2λ exp(c a λ) c 2 exp(c a λ) por lo que c 2 o c 2. Sin embargo cuando a enemo que f(a, λ) por lo que olo no irve c Reolvemo para a >. De la clae auxiliare abemo que EM 1, en paricular EM τa 1 Ee αbτa e 1 2 α2 τ a Ecogiendo α 2λ y noando que B τa a enemo que exp( 2λa) e λτa Razonando por imería e obiene el reulado para odo a. El upueo de P τ a 1 e requiere para poder aplicar que EM 1 en τ a (MCT). 4. Aplicamo la deigualdad a τ a y omamo eperanza Eτa 1 E 1 a 2 e λτa dλ Ee λτa dλ e 2λa dλ 1 a 2 eµ µdµ Donde en la úlima inegral realizamo el cambio de variable µ 2λa e inegramo por pare.

3 Problema 2 1. Claramene, la políica que debe eguir Armijo e aprear el boón de pánico cada vez que la emperaua alcance un deerminado nivel. E ambién claro que ee nivel debe er mayor que y menoer que B. En ora palabra Armijo de be eimar un valor para < X < B al que cada vez que la emperaura de la caldera ea de X K Armijo apree el boón de pánico. 2. Condicionando obre el valor que oma Z h hµ + B h donde B h e un browniano eándar: f(x) E Zh f(x) Z h E Zh f(x Z h ) + h + o(h) E Zh f(x) Z h f (x) Z2 hf (x) + h + o(h) f(x) hµf (x) + h + h2 µ 2 f (x) + h + o(h) 2 Reordenando, dividiendo la expreión por h y omando el límie cuando h e obiene: µf (x) 1 2 f (x) + 1 Se puede obervar que f(x) debe cumplir la iguiene propiedad: f(x + y) Eiempo haa alcanzar x+y dede Eiempo haa alcanzar x dede + Eiempo haa alcanzar x+y dede x f(x) + Eiempo haa alcanzar y dede f(x) + f(y) De ea manera, e claro que f(x) debe er de la forma f(x) C x. Reemplazando ea expreión en la ecuación diferencial anerior e obiene: µ C C 1 µ De ea forma, el iempo eperado haa alcanzar el valor x, pariendo dede e: f(x) x µ 3. Recordando eoría de renovación, el coo por unidad de iempo de ea políica correponde a : C NA Ecoo ciclo Eduración ciclo M B µ + 1 µ Mµ B + 1 Si un ciclo comienza cuando la caldera comienza a funcionar correcamene (o cuando ea falla). 4. De la mima forma que en la preguna anerior, y definiendo que un ciclo comienza cuando Armijo preiona el boón de pánico (cuando la emperaura alcanza lo x K), e obiene: Ecoo ciclo C Ax (x) Eduración ciclo C + Mα(x) µ(c + Mα(x)) x α(x) x + α(x) µ + 1 µ

4 5. Para enconrar la políica ópima e debe obener el valor x al que: Y e debiee eguir la iguiene políica: C Ax ( x) mín {C Ax(x)} <x<b Si C NA C Ax ( x) enonce Armijo nunca debe aprear el boón de pánico. Si C NA > C Ax ( x) enonce Armijo debe aprear el boón de pánico cuando la emperaura alcance lo x K. Problema 3 Un puene Browniano e un proceo eocáico coninuo cuya diribución e la de un proceo de Wiener (movimieno Browniano) condicional en que B() B(1). De ea forma, {Z(), } puede ecribire como: Z() B() B(1) En que {B(), } e un movimieno Browniano eándar. De ea forma {X(), } e puede ecribir como: ( ) ( ) X() () B B(1) Para ver que X() e un movimieno Browniano eándar, calculemo u eperanza, varianza y covarianza. E claro ademá que igue una diribución normal, ya que B() y B(1) e diribuyen N(, ) y N(, 1) repecivamene y, en conecuencia, X() iene diribución normal ya que e una combinación lineal de v.a. normale. ( EX() () E B () ( ) ( ) ) EB(1)

5 ( V X() () 2 V B () 2 V B () 2 + () 2 + () 2 () 2 ( ) ( ) + V ) B(1) ( ) ( ) ( ) B(1) 2Cov B, B(1) ( ) 2 ( ) ( ) 2 Cov B, B(1) ( ) 2 ( ) 2 2 ( ) 2 ( ( CovX(), X() Cov () B ()() Cov Cov B(1), B ) ( ( ) B, B ( { ()() mín, { ()() mín, { ()() mín, ) + } } } ) ) ( ( B(1), () B ( ) Cov CovB(1), B(1) ( B + ) ( ), B(1) ) ) B(1) Pero e claro que: { } mín{, } mín,

6 Sin perder generalidad, upongamo < : { } CovX(), X() ()() mín, ()() () mín{, } Por lo que e ahora claro que {X(), } e un movimieno Browniano eándar. Francico Uribe fruribe@dcc.uchile.cl