(3.5 Puntos) A e jπk B 1 B e j2πk D 5 C πe j5φ F π + φ D 5e jφ E 5φ E e j5φ (1 + cos(α)) A ( 1) k F ( 5e jφ ) C π G ( 1/j) π/2 G π/2 φ

Transcripción

1 IE TE Nombre: Insiuo Tecnológico de osa Rica Escuela de Ingeniería Elecrónica EL-47 Modelos de Sisemas Profesor: Dr. Pablo lvarado Moya I Semesre, 6 Examen Parcial Toal de Punos: 64 Punos obenidos: Porcenaje: Noa: arné: dverencias: No se permie el uso de calculadora. En odas las pregunas y problemas debe indicarse el procedimieno o jusificación para llegar a la solución. En caso conrario no se asignarán punos. Pregunas. signe a cada expresión en el lado izquierdo una expresión equivalene en el lado derecho. Se cumple k Z; α, φ IR. (3.5 Punos) e jπk B B e jπk D 5 πe j5φ F π + φ D 5e jφ E 5φ E e j5φ ( + cos(α)) ( ) k F ( 5e jφ ) π G ( /j) π/ G π/ φ. Exise alguna función v(x, y) conjugada de u(x, y) = x + ax y? ( Puno) a) No, porque u(x, y) es b) Sí, porque u(x, y) es armónica c) Hace fala información para deerminar si exise una función v(x, y) conjugada de u(x, y). d) ualquier función analíica es conjugada de u(x, y). Pueso que se habla de funciones conjugadas enonces ano u(x, y) como v(x, y) son funciones de valor y variables reales. Se calcula rápidamene que u (x, y)/ x = u (x, y)/ y =, por lo que u(x, y) es armónica, y por ano iene una función conjugada, que no se preguna cuál es y por ano no es necesario calcular.

2 3. Indique para la función racional ( Punos) f(z) = z z z 3 + z z el número de ceros, polos, singularidades esenciales y punos regulares. (P.) eros: Polos: 3 Punos regulares: Singularidades esenciales: 4. uánas series de Taylor cenradas en z = iene la función en la ecuación (P.) de la preguna 3? ( Puno) Ninguna 3 4 Ninguna, porque z = es una singularidad, donde no hay desarrollo de Taylor 5. Para la función racional de la ecuación (P.) de la preguna 3 cuánas posibles represenaciones en series de Lauren cenradas en z = iene esa función? ( Puno) Ninguna El valor de la inegral a) π/ b) π c) π d) π e) dx es (4.5 Punos) (x + ) Se resuelve por inegración compleja por medio de (z + ) dz = /(z + j) dz (z j) y uilizando la fórmula inegral de auchy se iene que /(z + j) dz = d πj (z j) dz (z + j) = z=j! (z + j) 3 πj = π z=j

3 7. Propiedades de la ransformada de Fourier ( Punos) socie a cada función no periódica en el iempo mosrada al lado izquierdo su correspondiene especro, dado a ravés de sus pares real e imaginaria. Para ello, use las propiedades de la ransformada. Función en el Tiempo Pare Real Pare Imaginaria.4 x i () Re{X i (jω)} Im{X i (jω)} x i () - Re{X i (jω)} - Im{X i (jω)}..5.5 B x i () D - Re{X i (jω)} - Im{X i (jω)} x i () - Re{X i (jω)} - Im{X i (jω)}..5.5 D B Indique con una si los siguienes sisemas de enrada x() y salida y() son varianes (VT) o invarianes en el iempo (IT), o si son lineales (L) o no lineales (NL). (3 Punos) Sisema VT IT L NL y() = x() + y() = x () y() = x( + ) 3

4 Problemas de desarrollo Problema (9 Punos) Mapeo Dado el mapeo enre los planos complejos z y w w = z j z (.).. Indique qué ipo de mapeo es ese (lineal, de inversión, bilineal, exponencial, ec.) ( Puno) Es un mapeo bilineal.. alcule el mapeo inverso de (.). ( Punos) El mapeo inverso es igual a él mismo: z = w j w.3. Indique en qué punos ése mapeo es conforme y en qué punos no lo es. ( Punos) Es conforme donde su derivada no sea cero y la función sea analíica. El mapeo es por ano no conforme en z =, donde la función se indefine, y pueso que si w = f(z) enonces f (z) = + j z que es diferene de cero para odo z finio. sí que el mapeo es conforme en odo el plano finio z excepo en z =..4. Indique los pasos de roación, escalado, raslación e inversión involucrados en ese mapeo, con sus respecivas magniudes (cuáno se raslada, roa, ec.) (4 Punos) El mapeo indicado se puede descomponer como: Que indica la siguiene secuencia de pasos: w = + j z = + e jπ/4 z. Una raslación hacia la izquierda en.. Una inversión 3. Un escalado en 4. Una roación en Una raslación hacia la derecha de magniud 4

5 Im{z} Re{z} Figura.: Región en el plano z delimiada por el círculo uniario y una reca de pendiene que pasa por el puno z =..5. Encuenre y grafique la región en el plano w correspondiene a la región del plano z mosrada en la figura. si se uiliza el mapeo de los punos aneriores. ( Punos) Noa: Realice una solución gráfica indicando la relación con los pasos indicados en el puno anerior. Una solución compleamene analíica le omaría demasiado iempo! ualquier círculo o reca que pase por z = será mapeado al infinio y corresponde por ano a una reca en el plano w. Eso quiere decir que la región delimiada esará acoada por dos recas en el plano w. demás, pueso que las dos curvas delimianes pasan por z = j deberán pasar por el origen del plano w. Se puede demosrar con los pasos que la reca es mapeada al eje real mienras que el círculo es mapeado a una reca que pasa por el origen con una pendiene (ángulo 45 ). El área enre esas dos recas con pare real negaiva corresponde al área buscada. 5

6 Problema (5 Punos) En ese problema used deberá calcular la serie de Lauren que converge al menos denro de la región de convergencia anular 3 < z < a la función de polos reales z + f(z) =. (.) z 3 + z z.. Encuenre los polos y ceros de la función, así como el orden de cada uno de ellos. ( Punos) Se cumple que f(z) = z + z(z )(z + ) por lo que iene un cero simple en z =, y res polos simples en z =, y.. Encuenre la región de convergencia complea para la serie a desarrollar. ( Puno) La región de convergencia requerida se encuenra denro de la región < z < 3, donde puede ser desarrollada la serie..3. Encuenre la serie de Lauren para la función (.) en la región de convergencia del puno anerior. ( Punos) La serie esá cenrada en, por lo que conviene expresar la función como z + f(z) = z(z )(z + ) = [ ] z + ( ps) z z(z + ) donde el érmino enre parénesis se puede descomponer por fracciones parciales en f(z) = [ z z + B ] ( p) (z + ) con = B = / por lo que f(z) = z [ ] z + (z + ) ( p) La serie del primer érmino cenrada en debe converger para z > y es enonces igual a z = ( ) n ( p) (z ) n El segundo érmino debe converger para z < 3 y es por ano n= z + = (z ) n ( 3) n+ n= ( p) 6

7 La serie de f(z) es enonces [ f(z) = z n= [ = n= ( ) n (z ) n ( ) n (z ) n+ n= n= ] (z ) n ( 3) n+ ] (z ) n ( 3) n+ ( p).4. Indique la pare principal del desarrollo en serie de Lauren anerior anerior. ( Punos) n= ( ) n (z ) n + (z ) 3 } {{ } Pare principal 9 n= (z )n ( 3) n Problema 3 (4 Punos) Serie de Fourier La figura 3. muesra una función x () periódica con periodo T que iene una rampa de duración τ cenrada denro del periodo. replacemen x () T τ τ T Figura 3.: Rampa parcial periódica. Los coeficienes de la serie exponencial compleja de Fourier de x () esán dados por: k = c k = j [ ω kτ cos ( πτω k kτ ) sen ( kτ )] k donde ω = π/t. En ese ejercicio used deberá enconrar los coeficienes de Fourier de la función f() periódica con periodo T mosrada en la figura 3. uilizando las propiedades de las series. 3.. Exprese f() (ver figura 3.) en érminos de una suma de ransformaciones de x (), donde las ransformaciones pueden ser inversiones, escalados en el iempo, desplazamienos en el iempo o cambios de nivel promedio. Indique el valor de τ elegido en cada caso. (3 Punos) 7

8 replacemen f() T T Figura 3.: Señal riangular. on τ = T/ se cumple: f() = x () + x (T/ ) 3.. Si se cumple f() = d k e jω k enonces exprese los coeficienes d k en érminos de c k uilizando para ello las propiedades de las series de Fourier. (3 Punos) Los coeficienes d k esarán dados por: d k = c k + e jω kt/ c k y pueso que la función es real y ω = π/t enonces d k = c k + ( ) k c k como la función x () es real e impar enonces los coeficienes son puramene imaginarios y por ano c k = c k = c k { d k = c k ( ) k c k = c k ( ( ) k si k es par ) = c k si k es impar 3.3. Encuenre una expresión algebraica para d k uilizando los resulados del puno anerior. (5 Punos) Se observa direcamene que d = pueso que la señal no iene nivel promedio. on τ = T/ se obiene que τω = π y por ano para c k : c k = j [ ( ) ( )] ω πτω k kτ cos ω kτ sen ω kτ = j [ ( ) ( )] πk cos π k πk sen πk 8

9 Pueso que para d k solo son no nulos los valores con k impar se iene con k = l + d l+ = c l+ = j π (l + ) (πl π(l + )cos + π ) }{{ } = = j4( )l+ π (l + ) que se puede sinenizar para odo k como d k = j4 sen ( ) kπ π k ( sen πl + π ) }{{ } =( ) l que decrece con k al y como se espera para una señal coninua con derivada disconinua Indique cuáles coeficienes d k de la serie de Fourier de f() deben modificarse para represenar la función f () de la figura 3.3. ( Puno) f () T T Figura 3.3: Modificacion de f(). Solo cambia el nivel promedio, por lo que basa con cambiar d = 9