Autoevaluación Cálculo Integral. sen(x) dx (i) cos(x)

Transcripción

1 Auoevaluación Cálculo Inegral Ejercicio 6. Calcular las siguienes inegrales indefinidas: ln d d ln( + d (a (b (c g cos + e d e + (d (e e + e d (f d cos( sen (g sen ( d (h ( + sen( d (i cos( cos ( + d (j e + cos( d (k (ln d (l ln( d Solución En ese ejercicio las inegrales inmediaas se resuelven por el méodo de susiución y las descomposiciones en fracciones simples se dejan al lecor. (a (b (c ln ln d d d g cos ln( + d + g d d cos d ln d + ln d d d + C ln ln g + C u ln du d u du u 6 ln 6 ln ( + 6 e (d e + e d e d + arc g( arc g(e + C e (e e e d d e d + d + ln + ln d + ln e + + ln e e ln e + + C + d (f + + d d d d d ln + + ln + ln ln ln C (g cos( sen ( sen d d cos d d sen + C sen ( + sen (sen (h cos( d cos ( + cos( cos ( ( + + sen( + ln sen(+ + C (i sen( sen( cos ( + ( + d d + ln + ln sen( + ln sen( + ln sen( cos d sen d d + arc g( arc g(cos + C u e + du e + d (j e + cos( sen( dv cos( d v e + sen( u e + du e + d sen( e + cos( dv sen( d v + C

2 e + ( sen( cos( e + + e + cos( e + sen( cos( e+ + e + cos( d Como aparece la misma inegral que eníamos es una inegral cíclica, por ano, escribimos lo obenido en forma de ecuación y despejamos la inegral original I e+ (sen( + cos( I I e+ (sen( + cos( (k (ln u (ln (ln d du (ln (ln u ln du d dv d v dv d v (ln ( (ln (ln + (ln + (l ln( u ln( du (+d ++5 ( ln( + d dv d v ( ln( ln( ln( ln( arc g ( + + C( ( + + ( ln( ln( arc g ( + ( ( d d ( + + ( ( + + ( + + arc g d ( + Ejercicio 6. Eplicar por qué las siguienes funciones no son inegrables en uno de los dos inervalos que se dan y sí lo son en el oro y calcular en cada caso la inegral definida sobre el inervalo que sea posible (a f( e + e con [, ] y [, ] (b g( ln( con [, ] y [, e] Solución (a La función f( e + e e + no es coninua en y lím e f( no esá acoada en [, ] y, por ano, f( no es inegrable en [, ] f( es coninua en [, ] y, por ano, es inegrable en [, ] e + e op: op: e + ln e e + ln e ( (e ] e ln d e d d e ( ] ( e e, por ano se iene: ( + d ( ( d ln( ln ln ( ln ( ( ( ( (e e ln (e e ln (e e (e e ln (e+ e (b La función g( ln( no es coninua en y lím ln(, por ano se iene: g( no esá acoada en [, ] y, por ano, no es inegrable en [, ] g( es coninua en [, e] y, por ano, es inegrable en [, e]

3 e ln( u ln( du d dv d v ln( ] e e e ] e e (e Ejercicio 6. Calcular, si es posible, las siguienes inegrales definidas: (a e e + d (b e d (c g d (d e d Solución e (a La función es coninua en odo IR y, por ano, es inegrable en cualquier inervalo cerrado e + e e + arc g(e ] arc g(e arc g( arc g(e (b La función e es coninua en odo IR y, por ano, es inegrable en cualquier inervalo cerrado u du d e dv e d v e e ( e e d e e e ] e + e 9 7 e e 9 e + e 7 u dv e d du d v e ( e e 9 + e ( e 7 (c La función g( es coninua si cos, por ano, es inegrable en [, ] ( sen g( cos sen ln cos ] ln cos e e (d La función no es coninua ni en ni en y, en paricular, lím. Por ano no esá acoada en [, ] y como consecuencia no es inegrable en [, ]. Ejercicio 6. Calcular el área de los siguienes recinos (a (, y IR / y, y} (b (, y IR / y + +, + y } (c (, y IR / + y, y, + y } (d (, y IR / y, + y, + y 5 } Solución (a El recino (, y IR / y, y} es la inersección de: la pare del plano por debajo de la reca y (bisecriz la pare del plano por encima de la parábola y El área es la inegral enre - y de la función que esá por encima ( y y menos la función que esá por debajo (y ( ( ( + [ ] + ( 8 ( + + 9

4 (b El recino (, y IR / y + +, + y } es la inersección de: la pare del plano por debajo de la parábola y + + la pare del plano por encima de la reca + y El área es la inegral enre y de la función que esá por encima (y + + y + + menos la función que esá por debajo ( + y y ( ( + + ( [ ] 9 (c El recino (, y IR / + y, y, + y } es la inersección de: la pare del plano por debajo de la parábola y + la pare del plano por encima de la reca y la pare del plano por encima de la reca + y En ese caso enemos que dividir el recino en dos pares ya que, aunque siempre esá por encima la parábola (y + y, cambia la reca que esá por debajo. La primera área corresponde a la inegral enre - y, donde la función que esá por debajo corresponde a la reca + y y. La segunda corresponde a la inegral enre y, donde la función que esá por debajo corresponde a la reca y y. (( A ( [ ] (( A ( [ ] El área oal es A A + A 7 (obsérvese que sólo necesiamos calcular A o A ya que por simería son iguales. (d El recino (, y IR /y, + y, + y 5} es la inersección de: la pare del plano por encima de la reca y (Eje X..5. la pare del plano inerior a la parábola de eje horizonal + y y +.5. la pare del plano por debajo de la reca + y 5 y En ese caso enemos que dividir el recino en dos pares ya que cambia la función que esá por encima. Así, la primera área corresponde a la inegral enre - y, y la segunda a la inegral enre y 5: A + ( + El área oal es A A + A. 6 A Ejercicio 6.5 Calcular las siguienes inegrales dobles a y d dy con (, y IR /, y, y 9}. R 5 (5 [ 5 ] 5

5 b c Solución ( + y d dy con (, y IR /, y, y } ddy con (, y IR /, + y, y }. (a El recino (, y IR /, y, y 9} esá formado la pare del plano a la derecha de la reca. la pare del plano por encima de la parábola y. 8 6 la pare del plano por debajo de la hipérbola y 9 y 9 En el recino la variable varía enre y, y para cada valor de la variable y varía enre la parábola y y la hipérbola y 9. y 9 Si aplicamos el eorema de Fubini para inegrales dobles enemos ( 9 [ ] 9 y ( y d dy ydy ln( + 5 ln( 6 (b El recino (, y IR /, y, y 6 } esá formado 5 la banda del plano a la derecha de la reca y a la izquierda de la reca. la pare del plano por debajo de la parábola y. la pare del plano por encima de la hipérbola y y En el recino la variable varía enre y, y para cada valor de la variable y varía enre la hipérbola y y la parábola y. y Si aplicamos el eorema de Fubini para inegrales dobles enemos ( [ ] + y d dy ( + ydy y + y [ ] 8 5 ( + (c El recino (, y IR /, +y, y } esá formado la pare del plano a la derecha de la reca. la pare del plano por debajo de la parábola + y la pare del plano por encima de la reca y

6 En el recino la variable varía enre y, y para cada valor de la variable y varía enre la parábola y y la reca y. y Si aplicamos el eorema de Fubini para inegrales dobles enemos ( d dy [ y dy ] ln( 5 Ejercicio 6.6 Calcular las siguienes inegrales dobles a b c d d dy con (, y IR /, y, + y 9} ( + 6 y + y d dy con (, y IR /, y, + y }. e +y d dy, con (, y IR / + y, y }. d dy, con (, y IR /, y, + y }. [ + 6 ln( Solución Como los recinos incluyen pares de círculos realizamos en odos el cambio de variable a coordenadas polares ρ y ρ sen θ Ademas cuando aplicamos el eorema de cambio de variable para inegrales dobles enemos en cuena que Jh(ρ, θ ρ ] (a El recino (, y IR /, y, + y 9} esá formado la pare del plano a la derecha de la reca (eje Y la pare del plano por debajo de reca y la pare del plano inerior a la circunferencia + y 9 En ese caso los límies de inegración son inmediaos θ ρ Aplicamos el eorema de cambio de variable para inegrales dobles ] d dy ρ dρ dθ ρ dθ 9 dθ 9 sen θ ( 9 sen 9 sen ( ( + (b El recino (, y IR /, y, + y } esá formado ] la pare del plano a la izquierda de la reca la pare del plano por arriba de la reca y (eje X la pare del plano inerior a la circunferencia + y

7 Para obener los límies de inegración para el ángulo calculamos el puno de core de la reca con la circunferencia y deerminamos el ángulo que se forma enre la reca que lo une con el origen y el eje X: + y } y y an(α y α 6 o radianes. Para obener los límies de inegración para el radio enemos en cuena que varía enre la reca y la circunferencia + y. Si escribimos ambas en coordenadas polares, la circunferencia es ρ (el radio es consane y la de la reca (donde el radio es variable es ρ ρ Por ano θ ρ Aplicamos el eorema de cambio de variable para inegrales dobles yddy ρ sen θ dθ sen θ [ ρ ] + y [ sen θ + ln( ] ln( + ln(/ dθ (c El recino (, y IR / + y, y } esá formado por la inersección de: ( sen θ sen θ dθ la pare del plano por arriba de la reca y (eje X la pare del plano por debajo de reca y la pare del plano inerior a la circunferencia + y Para obener los límies de inegración para el ángulo deerminamos el ángulo que forma la reca con el eje X, para lo que elegimos un puno cualquiera de la reca (no es necesario calcular el puno de core de la reca con la circunferencia y an(α y α arc g( θ arc g( Los limies de inegración del radio son inmediaos ρ Aplicamos el eorema de cambio de variable para inegrales dobles e +y d dy arc g( e ρ ρ dρdθ arc g( e ρ ] dθ arc g( (d El recino (, y IR /, y, + y } esá formado e ] arc g( dθ e ρ e arc g( la pare del plano por de debajo de la reca y la pare del plano a la izquierda de reca (eje Y la pare del plano inerior a la circunferencia + y En ese caso enemos que dividir el recino en dos pares, ya que en una pare el radio varía enre el origen y la circunferencia y en la ora enre el origen y la reca. Para deerminar el ángulo calculamos el puno de core de la reca y con la circunferencia, que es el puno (, y deerminamos el ángulo enre la reca que lo une con el origen y el eje X, que es (5o.

8 Enre y los limies de inegración del radio son inmediaos pues el radio es consane en la circunferencia, ρ, Enre y el radio es variable y enemos que escribir la reca y en coordenadas polares y ρ sen θ ρ sen θ Aplicamos el eorema de cambio de variable para inegrales dobles I I frac ρ dρdθ sen θ La inegral es I ρ dρdθ ρ ] dθ ρ ] sen θ dθ 8 dθ 8 sen θ ] d dy sen θ dθ sen θ + 8 ]