UNIDAD 6: CONGELACIÓN DE ALIMENTOS. GUIA DE PROBLEMAS RESUELTOS (Versión ALFA)

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1 UNIVERSIDAD AUSTRAL DE CHILE INSTITUTO DE CIENCIA Y TECNOLOGIA DE LOS ALIMENTOS / ASIGNATURA : Ingeniería de Procesos III (ITCL 4) PROFESOR : Elon F. Morales Blancas UNIDAD 6: CONGELACIÓN DE ALIMENTOS GUIA DE PROBLEMAS RESUELTOS (Versión ALFA) ) Una plana de alimenos congelados procesa cerezas de 8 mm de diámero aproximadamene. La emperaura inicial del produco es 0 C, y la emperaura del aire es - 5 C. Se dispone de un únel congelador de lecho semi-fluidizado coninuo con un coeficiene convecivo de ransferencia de calor igual a 60 W/m²-. Considerar la emperaura del cenro érmico al final del proceso igual a -0 C. a) Las cerezas congeladas cumplen con los requisios de un produco I.Q.F.? b) Deermine el iempo efecivo de congelación. Cerezas Humedad 8,6% Densidad 050 kg/m³ SOLUCION: Para saber si las cerezas cumplen con los requisios IQF (congelación rápida) se debe cumplir que: 5< W < 0cm/h r W Ecuación 0.0 w siendo: W: Velocidad de congelación r: Disancia mínima desde la superficie hasa el cenro érmico (cm) w : Tiempo ranscurrido desde que la superficie alcanza 0 ºC hasa que el cenro érmico alcance 5 ºC por debajo de la emperaura inicial de formación del hielo (s) En el siguiene esquema En el esquema se puede observar el iempo w que se pide (denominador) ºC 0 0 T zc T zc -5 I II III w w Curva cenro produco Curva superficie del produco Ecuación.0

2 NOTA: Los punos donde se quiebra la curva para cenro (azul) indica las res diferenes zonas que exisen. Zona I : de pre-enfriamieno Zona II: de cambio de fase Zona III : de pos-enfriamieno - El iempo se calcula en la zona I y III mediane caras y en la zona II por medio de Plank, de acuerdo a los siguienes pasos. - Forma geomérica de la cereza corresponde a una esfera Paso Cálculo de. - corresponde al iempo en que la superficie alcanza 0 ºC. Daos: i 0 C -5 C f -0 C zc -,9 C (Foodpropery) zc ( 5) -6,9 C R m D 0,08 m - Se calculan las propiedades ermofísicas de la cereza basándose en composición binaria a 0 ºC y a 0 C en programa compuacional on-line Foodpropery. Poseriormene se calculan los promedios de: densidad, calor específico y conducividad érmica. Densidad promedio: ρ ρ (0 (0 050g / m 05, g / m ρ 050,65g / m Calor específico promedio: Cp Cp ( 0º ( 0º 749, 7 J / kg 779, J / kg Cp 764,4 J / kg Conducividad érmica promedio: 0,555 W / m ( 0º c) ( 0º 0,56 W / m 0,5405 W / m - Mediane las caras de Heissler se busca el iempo (se puede realizar ambién con caras de Gourney), ya que ese iempo cae en la zona I. - Se deermina el N Bi para poder conocer a que siuación corresponde el problema: N Bi h L Ecuación. Siendo: L : La longiud caracerísica (m). h : Coeficiene de conducividad érmica (W / m ). : Promedio de conducivia érmica (W / m ).

3 * V L A Ecuación. V 4 R π Ecuación. A 4πR Ecuación.4 Al reemplazar se obiene: V 4 π (0.009 m), m A 4 π (0, 009 m) 0, 00m 6 V, m L 0,00m A 0,00m N Bi 60( W / m ) 0,00m 0. 0,5404( W / m) 0, < N Bi < 40, por lo ano se iene una resisencia inerna y exerna apreciable. Cálculo de la difusividad érmica α. α Ecuación.5 ρ Cp Siendo: : Conducividad érmica promedio (W/m ) ρ : Densidad promedio (kg/m ) Cp : Calor especifico promedio (J/g ) Al reemplazar se obiene 0,5405( W / m) α 050,65( g / m ) 764,4( J / g) 7,7 0 m / s W J s Cálculo de Y. Siendo: T T Y T T 0 Ecuación.6 T: emperaura de enfriamieno a 0 C (. T 0 : Temperaura inicial del produco (. T : Temperaura del medio (. Reemplazando se obiene: Y (0 ( 5))º C 0,66 (0 ( 5))º C - Se debe buscar un Y cercano a ese valor, eso se realiza probando mediane caras hasa coincidir con esa canidad.

4 - Para uilizar las caras de Heissler se debe ener Fo y B i α Fo ' R Ecuación.7 Bi h R Ecuación.8 Siendo α : Coeficiene de difusividad érmica (m /s) : Tiempo (s). : Conducividad érmica promedio (W/m ) h : Coeficiene convecivo de ransferencia de calor (W/ m ). L* : La longiud caracerísica (m). - Para calcular el iempo en la superficie, se muliplica y (cenro) por y (superficie), uilizando las caras de Heissler para esfera en cenro y en superficie. Tr (,) T T( r, ) T T(0, ) T T0 T T(0, ) T T0 T r (seg) Y F 0 Y YY Y r 0 Bi` Bi` 60 0,64,00 0,,00 0,99 0,64 - Al suponer un iempo de 60 s, se logra el objeivo de enconrar un Y cercano a 0.66, por lo ano, (0 C 0 60s min Paso Cálculo de. - corresponde al iempo en que el cenro érmico de la cereza se demora en llegar a la emperaura de 6.9 C desde la emperaura inicial de 0 C. - Ese iempo esa dado por res eapas: a), se calcula por caras. 0 C. 9 C. 9 C b), se calcula por Plank. c), se calcula por caras.,9 C 6,9 C Eapa a) 0 C. 9 C - Se obienen las propiedades ermofísicas de la emperaura inicial del produco (T 0 ) y la emperaura inicial de congelación del produco (T ZC ) en programa compuacional on-line Foodpropery. Poseriormene se calculan los promedios de: Densidad, Calor específico y Conducividad érmica.

5 Densidad promedio: ρ ρ (0 (.9 050g / m 05, g / m ρ 050,6g / m Calor específico promedio: Cp Cp (0 (.9 749,7 J / g 78,4 J / g Cp 766,05 J / g Conducividad érmica promedio: (0 (.9 0,555 W / m 0,54 W / m 0,595 W / m Se deermina el N Bi para poder conocer a que siuación corresponde el problema: N Bi h L Ecuación. * V L A Ecuación. V 4 R π Ecuación. A 4πR Ecuación.4 Al reemplazar se obiene: V 4 π (0.009 m), m A 4 π (0, 009 m) 0, 00m 6 V, m L 0,00m A 0,00m N Bi 60( W / m ) 0,00( m) 0,595( W / m) 0, 0, < N Bi < 40, por lo ano se iene una resisencia inerna y exerna apreciable. Cálculo de la difusividad érmica α. 0,595( W / m) α 050,6( g / m ) 766,05( J / g) s Ecuación.5 7,6 0 m /

6 Cálculo de Y. ((.9 ( 5)) C Y 0,6 Ecuación.6 ((0 ( 5)) C - Se debe buscar un Y cercano a ese valor, eso se realiza probando mediane caras hasa coincidir con esa canidad. - Para uilizar las caras de Heissler se debe ener Fo y B i α Fo ' R Ecuación.7 Bi h R Ecuación.8 Por lo ano se obiene: F, 0 7,6 0 ( m s), 00 (9 0 m) Bi` - Para calcular el iempo de una esfera en el cenro, se uiliza la cara de Heissler para cenro. - Se prueban iempos hasa obener un valor de Y 0, 6, 0 - Al asumir un iempo de 84,6 s, se obiene un F 0, y un Y 0, 6. - Por lo ano se obiene: 0 C.9 C 84, 6s Eapa b). 9 C - Se obiene el iempo a -.9 C, mediane la ecuación de Plank (94). Para ello se siguen los siguienes punos. c L ρuz T T ZC PD h RD + FZ Ecuación.9 siendo: c Tiempo efecivo de congelación (s). L Calor laene del alimeno (J/g). ρuz Densidad del produco bajo el periodo de pre-enfriamieno a T 0 (g/m ). P y D Facores de forma de la ecuación de Plank (94). D Dimensión caracerísica (diámero para esfera) (m). Tzc Temperaura inicial de congelación (. T Temperaura del medio (. h Coeficiene convecivo de ransferencia de calor (W/m ). FZ ( 0 C ) Conducividad érmica bajo el puno de congelación (W/m).

7 Noa: Los facores de forma de la ecuación de Plank (94) para esfera son: P R 6 4 Cálculo de L. L y wz λh O Ecuación.0 siendo: y wz λh O Fracción de agua en el produco. Calor laene del agua 5000 [J/g] 5 [J/g] consane Reemplazando en la fórmula se obiene: Cálculo de c L 0,86( g / g) 5( J / g) L 76,7( J / g) c 7670( J / g) 050( g / m (.9 ( 5)) C c 504, s.9 C 504, s ) 0,08( m) ( W / m ) 4 (0,08m),6( W / m) Eapa c),9 C 6,9 C - Se obienen las propiedades ermofísicas de la emperaura inicial de congelación (T ZC ) y la emperaura de -6.9 C, en programa compuacional on-line Foodpropery. Poseriormene se calculan los promedios de: Densidad, Calor específico y Conducividad érmica. Densidad promedio: ρ ρ (.9 ( , g / m 99,5g / m ρ 0,5g / m Calor específico promedio: Cp Cp (.9 ( ,4 J / g,6 J / g Cp 750 J / g

8 Conducividad érmica promedio: (.9 ( 6.9 0,54 W / m,460 W / m 0,99 W / m - Se deermina el N Bi para poder conocer a que siuación corresponde el problema: N Bi h L Ecuación. * V L A Ecuación. V 4 R π Ecuación. A 4πR Ecuación.4 Al reemplazar se obiene: V 4 π (0.009 m), m A 4 π (0, 009 m) 0, 00m 6 V, m L 0,00m A 0,00m N Bi 60( W / m ) 0,00( m) 0,99( W / m) 0,8 0, < N Bi < 40, por lo ano se iene una resisencia inerna y exerna apreciable. Cálculo del coeficiene de difusividad érmica α. 0,99( W / m) α 0,5( g / m ) 750( J / g) s Ecuación.5 7, 9 0 m / Cálculo de Y. (( 6.9 ( 5)) C Y 0,85 Ecuación.6 ((.9 ( 5)) C - Se debe buscar un Y cercano a ese valor, eso se realiza probando mediane caras hasa coincidir con esa canidad. - Para uilizar las caras de Heissler se debe ener Fo y B i

9 α Fo ' R Ecuación.7 Bi h R Ecuación.8 Al reemplazar se obiene: 0.99( W / m) Bi ` 60( W / m ) 0,009, 84 Bi` m F 7,,9 0 ( ) 0 m s (9 0 m) - Para calcular el iempo de una esfera en el cenro, se uiliza la cara de Heissler para cenro. - Se prueban iempos hasa obener un valor de Y 0, 85, - Al asumir un iempo de 57,59 s se obiene un F 0 0, 5 y un Y 0, Por lo ano se obiene:,9 C 6,9 C 57,59 s Cálculo de (84, , + 57,59) s 846,4 s 4, min Cálculo de w w w w w 4,min min,min 0, h Ecuación.0 Cálculo de W r W Ecuación 0.0 w Reemplazando se obiene W 0,9cm 4,09 cm/ h 0, h - De acuerdo al velocidad de congelación de las cerezas, esás no cumplen con los requisios de un produco IQF, ya que no se encuenran en el rango permiido, por lo ano, el produco se encuenra en la clasificación de congelación semirápida.

10 b) Deermine el iempo efecivo de congelación. - Para calcular el iempo efecivo de congelación se uiliza méodo de Cleland y Earle (979a), el que sirve para una figura geomérica de esfera, por lo ano se siguen los siguienes pasos. Paso Cálculo de v0 v h ρ h ρ Ecuación. 0 TZ TZ 0 0 Siendo: v 0 Diferencia de enalpía volumérica enre el puno inicial de congelación y -0 C (J / g). h TZ TZ : Coeficiene convecivo de ransferencia de calor a emperaura inicial de congelación (W/m ). ρ : Densidad a emperaura inicial de congelación (g/m ). h 0 : Coeficiene convecivo de ransferencia de calor a -0 ºC (J/g). ρ : Densidad a -0 ºC (g/m ). 0 Esos valores se obienen de Foodpropery h ( h (-0) 8478 J kg J kg kg ρ (-.9 05, m kg ρ (-0) 988,5 m Al reemplazar los daos se obiene: V0 V0 4054( J / g) 05,( g / m ,( J / m ) 6749,6( J / m ) 8478( J / g) 988,5( kg / m ) ) Por lo ano Η0 h TZ h 0 Ecuación ( J / g) 8478( J / g) 497( J / g) Paso Cálculo de números adimensionales. Cálculo del Número de Bio. hd Bi Ecuación. FZ Siendo: h : Coeficiene convecivo de ransferencia de calor (W/m ). D : Dimensión caracerísica (diámero para una esfera), (m). : Conducividad érmica bajo el puno de congelación a -0 C (W/m ). FZ

11 Reemplazando los daos obenidos con Foodpropery se obiene: 60( W / m ) 0,08( m) Bi,6( W / m) Bi 0,666 Cálculo del Número de Plank. ( ) CpUZ T0 T Pk 0 ZC Ecuación.4 siendo: CpUZ : Calor específico bajo el periodo de pre-enfriamieno a T0 (J/g ) T 0 : Temperaura inicial del produco ºC. T ZC : Temperaura inicial de congelación ºC. 0 : Diferencia de enalpía enre el puno inicial de congelación y -0 ºC (J/g) Al reemplazar los daos obenidos en Foodpropery se obiene: Pk Pk 749,7( J / g) (0 C (.9 ) 497( J / g) 0, Cálculo del Número de Sefan. Cp Se FZ ( T Η ZC 0 T ) Ecuación.5 siendo: Cp FZ : Calor especifico bajo el puno de congelación a -0 ºC (J/g ) T ZC : Temperaura en el puno inicial de congelación ºC. T : Temperaura del medio ºC. : Diferencia de enalpía enre el puno inicial de congelación y -0 ºC (J/g) Η 0 Al reemplazar los daos obenidos en Foodpropery se obiene: 5775,4( J / g) (.9 C ( 5 ) Se 497( J / g) Se 0,779 Paso Cálculo de los facores de forma para una esfera mediane el méodo de Cleland y Earle (979a). Cálculo de P. 0,4 P 0, ,094Pk + Se 0,Pk + 0, 679 Ecuación.6 Bi

12 siendo: P: Facor de forma. Pk: Número de Plank. Se: Número de Sefan. Bi: Número de Bio. Al reemplazar en la fórmula se obiene: 0,4 P 0, ,094 0, + 0,779 0, 0, + 0,679 0,666 P 0,57 Cálculo de R. 0, Se( 0,086Pk 0, 694) R Ecuación.7 Reemplazando en la fórmula se obiene R 0, ,779 R 0,044 ( 0,086 0, 0,694) Paso 4 Cálculo de c. c V 0 T T D P + R ) h Ecuación.8 D ( ZC FZ ( 0 siendo: c Tiempo efecivo de congelación (s) v 0 Diferencia de enalpía volumérica enre el puno inicial de congelación y -0 C.(J/m ) Tzc Temperaura inicial de congelación (. T Temperaura del medio (. P y R Facores de forma de la ecuación de Cleland y Early (979a). h Coeficiene convecivo de ransferencia de calor (W/m ). D Dimensión caracerísica (diámero para esfera) (m). Conducividad érmica bajo el puno de congelación. (W/m ). FZ ( 0 C ) Al reemplazar en la ecuación se obiene: ,( J / m ) 0,08m (0,08m) c 0,57 + 0,044 (.9 ( 5 )) 60( / ),6( / ) C C W m W m 9,84 s 5,4 min c

13 ) Una plana de alimenos procesa cores de zanahoria de las siguienes dimensiones: 4 x x cm. El produco iene una emperaura inicial de 0 C. La emperaura del aire es -40 C. Considerar la emperaura en el cenro érmico al final del proceso igual a -0 C. a) Con la finalidad de esimar el coeficiene convecivo de ransferencia de calor se regisró experimenalmene mediane unas ermouplas y un regisrador de emperaura el iempo de enfriamieno del puno superficial más cercano al cenro geomérico desde la emperaura inicial hasa el puno de congelación del produco. El iempo regisrado fue de 4 min. b) Calcule el iempo efecivo de congelación. Zanahoria: Humedad 89 % Densidad 00 kg/m SOLUCIÓN: - Primero se debe conocer a que figura corresponde el core de zanahoria. a b c Como: a c/a 4 < 6 b c/b < 6 c 4 b/a < 6 - El core de la zanahoria corresponde a un paralelepípedo. - Por lo ano, primero se deben calcular las propiedades ermofísicas del alimeno y para ello exisen dos méodos: Mediane el uso de fórmulas (Unidad 4). Mediane el uso del programa compuacional on- line Wamfoodlab (Foodpropery). - En ese caso el méodo escogido es el uso del programa compuacional on- line, por lo ano, para poder obener el coeficiene convecivo (h) del core de zanahoria se deben seguir los siguienes pasos Paso : Cálculo de las propiedades ermofísicas de la zanahoria basándose en composición binaria. - Humedad: 89 % - Temperaura inicial: 0 ºC - Densidad: 00 g/m. El resulado nos enrega las propiedades ermofísicas del produco a: - La emperaura inicial del produco Ti 0 ºC y - La emperaura inicial de congelación Tzc -0.8 ºC De acuerdo a esos resulados, se deben obener los promedios de: densidad, calor específico y conducividad érmica de la siguiene forma.

14 Densidad promedio: ρ ρ ( 0º ( 0.8º 00 kg / m 0, g / m ρ 00,65 kg / m Calor específico promedio: Cp ( 0º 90,5 J / kg Cp( 0.8º 944, J / kg Cp 97,5 J / kg Conducividad érmica promedio: 0,587W / m ( 0º C ) ( 0.8º C ) 0,554W / m 0,5705 W / m Paso : Cálculo del coeficiene de difusividad érmica mediane la siguiene fórmula. 0,5705 W / m α Ecuación.5 00,65 g / m 97,5 J / g α,4 0 7 m / s Paso : Cálculo de Y mediane la fórmula. 0,8 ( 40) 0 ( 40) Υ Ecuación.6 Y 0,65 - De acuerdo a los daos obenidos aneriormene se calcula el coeficiene convecivo simulando valores de h hasa llegar a obener el valor más cercano a Y 0,65, para ello, eso se realiza uilizando las caras de Heissler. Noa: Cada una de las dimensiones del paralelepípedo se oman como planchas infinias, así se endrá una plancha infinia para a, para b y para c. - Es imporane buscar el puno más cercano al cenro geomérico, en ese caso los punos son: x 0 y 0 z a/ - Para calcular x e y se uiliza caras de Heissler en el cenro, para a/ se necesia uilizar simuláneamene cara para el cenro y para la superficie. - Para uilizar las caras de Heissler se necesia calcular primero Fo y /Bi : α Fo ' L Ecuación.7 Bi h L Ecuación.8

15 siendo α : Coeficiene de difusividad érmica. (m /s) : Tiempo. (s) : Conducividad érmica promedio.(w/m) h : Coeficiene convecivo de ransferencia de calor. (W/m ) L : La miad del espesor, por lo ano para a L 5 0 b L 0,0m c L 0,0 m m - Uilización de las caras de Heissler para plancha infinia. T (0,0, a, ) T T T T ( x 0, ) T T T x T ( y 0, ) T T T x T ( z a, ) T T(0,) T x T ( z 0, ) T T T 7,4 0 F 0 0,0 40 F 0 7,4 0 0,0 40 x F0 L F 0 0,09 F 0 0,4 F 0,5,4 0 ( ) Bi, 0,5705 h 0,0 Bi, 0,5705 h 0,0 Bi, 0,5705 h (5 0 ) Bi, 0,5705 h 5 0 ( ) Al asumir valores de h obenemos los siguienes valores de Y para cada plancha. h(w/m k) Bi ` F 0 Y Bi ` F 0 Y Bi ` n Y ` Bi F 0 Y 4 Y Y Y Y Y 4 5 0,8 0,09,6 0,4 0,90,6 0,86,6,5 0,78 0,60 0 0,95 0,09,90 0,4 0,9,80 0,88,80,5 0,80 0,65 Luego, eniendo un respecivo valor de Y i para cada plancha, los valores se muliplican obeniéndose un Y que debe ser igual o muy similar al valor deseado de Y 0,65, por lo ano, el coeficiene convecivo buscado es: W 0 m k h NOTA: Todas esas esimaciones de iempo realizadas de esa manera puede esar someida a errores por la aproximación visual del evaluador.

16 b) Calcule el iempo efecivo de congelación. - Para calcular el iempo efecivo de congelación uilizamos la ecuación de Cleland y Earle (979b), para un paralelepípedo. - De acuerdo a los siguienes pasos se calcula el iempo efecivo de congelación hasa una emperaura final de -0 C, poseriormene se realizaran los cálculos hasa una emperaura final de -0 C. Paso. Cálculo de v0 h ρ h ρ 0 TZ TZ 0 0 v Ecuación. Esos valores se obienen de Foodpropery. h (-0,8) 6456 h (-0) J kg J kg ρ (-0,8) 0, ρ (-0) 96,8 kg m kg m Al reemplazar los daos se obiene: ( ) ( ) Hv J g g m J kg g m / 0, / 75806( / ) 96,8( / ) Hv ,( J / m ) 006,6( J / m ) Por lo ano Η0 h TZ h 0 Ecuación. Paso Cálculo del número de Bio. ( J g) Η / 75806( J / kg) Η ( J / g) hd Bi Ecuación. FZ Reemplazando los daos obenidos en Foodpropery se obiene: Bi 0( W / m ) 0,0 Bi 0,60 m,88( W / m) Cálculo del número de Plank. ( ) CpUZ T0 T Pk 0 ZC Ecuación.4

17 Al reemplazar los daos obenidos en Foodpropery se obiene: 90,5( J / g)(0º C ( 0,8º ) Pk 88757( J / g) Pk 0,8 Cálculo del número de Sefan. Cp Se FZ ( T Η ZC 0 T ) Ecuación.5 Al reemplazar los daos obenidos en Foodpropery se obiene: 4464,( J / g) ( 0,8º C ( 40º ) Se 88757( J / g) Se 0,605 Paso Cálculo de facores de forma para un paralelepípedo (Cleland y Earle, 979b ) Cálculo de P β β β P Ecuación.9 ( β β + β + ) siendo : β Razón enre la segunda dimensión y la dimensión mas pequeña. β Razón enre la ercera dimensión y la dimensión mas pequeña. Por lo ano β / β 4/ 4 Reemplazando en la fórmula se obiene: 4 P ( ) P 0, 86 Cálculo de P. 0,08 P,06 + 0,5808Pk + Se 0,96Pk + + 0, 050 Bi P Ecuación.0

18 Al reemplazar en la fórmula se obiene: 0, 08 P 0,86,06 + 0,5808 0,8+ 0,605 0,96 0,8+ + 0,050 0,60 P 0,89 Cálculo de P. P + P[ ( 0,6 + Se( 5,766P, 4))] P Ecuación. Reemplazando se obiene: ( ( )) P 0,89 + 0, 86 0,6 + 0, 605 5, 766 0, 86, 4 P 0,49 Cálculo de Q. Q / [( β β )( β ) + ( 4 β ) ] Ecuación. Al reemplazar en la fórmula se obiene: 4 ( 4 )( ) + (4 ) Q Q 0,094 Cálculo de m. { β [ ] } / + β + + ( β β )( β ) + ( ) / m β Ecuación. Reemplazando se obiene: / { } 4 ( 4)( ) (4 ) m m,5 Cálculo de n. { β [ ] } / + β + ( β β)( β ) + ( ) n β Ecuación.4 Reemplazando se obiene: / { } 4 ( 4)( ) (4 ) n n,45

19 Cálculo de R. Q m n R ( m )( β m)( β m) ln ( n )( β n)( β n) ln + (β + β ) m n 7 Ecuación.5 Reemplazando en la fórmula se obiene: 0,094, 5, 45 R (,5 )(,5)(4,5) ln (,45 )(,45)(4,45) ln,5,45 + ( + 4 ) 7 R 0,08 Cálculo de R. R[,0 + Se(,40Pk 0,76) R Ecuación.6 + ] Reemplazando en la fórmula se obiene: [ ] R 0,08,0 + 0,605 (,40 0,8+ 0,76) R 0,80 Cálculo de R. [( 0,744 + Se( 49,89,900) )] R Ecuación.7 R + R R Reemplazando en la fórmula se obiene: R R ( ( )) 0,80 + 0, 08 0, , ,89 0, 08,900 0,95 Paso 4 Cálculo de c. c v 0 D P + R ( ) ( ) Tzc T h FZ 0 C D Ecuación.8 siendo: c Tiempo efecivo de congelación (s) Diferencia de enalpía volumérica enre el puno inicial de congelación y -0 C. (J/m ) T ZC T H V0 Temperaura inicial de congelación (. Temperaura del medio (. P y R Facores de forma de la ecuación de Plank (94). D Dimensión caracerísica. (m)

20 h Coeficiene convecivo de ransferencia de calor (W/m ). Conducividad érmica bajo el puno de congelación. (W/m ). FZ ( 0 C ) Reemplazando se obiene: c c 0066,( J / m ) 0,0 m (0,0 m) 0,49 + 0,95 ( ) 89,5 s min 0,8º C ( 40º C 0( W / m ),88( W / m) Ahora se debe exender hasa -0 C con la fórmula de Cleland y Earle (984b), el cual amplia los oros méodo de cálculo del iempo de congelación que sólo llegan hasa -0 C. c ', 65Se Tf T c ln FZ Tref T Ecuación.9 siendo: c : El iempo de congelación hasa -0 ºC. (s) Se: Número de Sefan. FZ : Conducividad érmica bajo el puno de congelación (W/m ). Tf: Temperaura en el cenro érmico del produco al final del proceso ºC. T : Temperaura del medio ºC. Tref: Temperaura de referencia -0 ºC. Por lo ano, reemplazando en la fórmula se obiene c c c,65 0,605 0º C ( 40º 89,5s ln,88( W / m) 0º C ( 40º 688,5s 8,min

21 ) Una plana de congelación de carne rabaja con cores de carne bovina de cm. x 6 cm. x cm. El produco iene una emperaura inicial de 5 C. La emperaura del medio de enfriamieno es -5 C. Se dispone de un únel congelador de aire forzado con un coeficiene convecivo de ransferencia de calor igual a 5 W/m²-. Uno de los parámeros uilizados para caracerizar el daño producido durane la congelación de piezas de carne es el "TIEMPO CARACTERISTICO 7" definido como el necesario para que la emperaura en el cenro érmico de la muesra cambie desde su puno inicial de congelación hasa que se congele el 80% del agua libre exisene. a) Calcule el "iempo caracerísico 7". Carne Bovina Humedad 7,7% Densidad 060 g/m³ SOLUCIÓN Daos: Ti 5 C h 5[W/m ] T -5 C T ZC -,6 C ( Foodpropery) - Se debe conocer a que figura corresponde el core de carne bovina. a c b como: a c/a 4 < 6 b 6 c/b < 6 c b/a < 6 - El core de carne bovina corresponde a un paralelepípedo. - Se deben ener presenes los siguienes daos: Fracción oal de agua Y WZ 0,77[kg/kg] Fracción del conenido de sólidos oales Y S 0,7[kg/kg] Calculo de fracción de agua no congelable (o ligada) Y Y 0, Ecuación 4.0 b s Reemplazando se obiene: Yb 0,7( g / kg) 0, Y 0,08( g / g) b

22 Cálculo de agua libre Agua libre Y WZ Y b Ecuación 4. Reemplazando se obiene: Por lo ano: Agua libre 0,77( g / g) 0,08( g / g) Agua libre 0,645( g / g) 0, % X 80 % X 0,56 represena la fracción del 80 % del agua libre. - En el esquema se puede observar el iempo caracerísico 7. T( 5 C T Zc -,8 C - Para buscar la emperaura que corresponde a la fracción del 80 % del agua libre se uiliza Foodpropery. Al observar la segunda columna de Foodpropery se obiene Y W (agua no congelada), que corresponde a oda el agua que esá en el alimeno menos el hielo, por lo ano se debe realizar lo siguiene: Cálculo de Y W Siendo: Y WZ Fracción oal de agua. [g/g] Y I Fracción de hielo. [g/g] Y WZ Y I + Y W Ecuación 4. Al reemplazar se obiene: Y W 0,77-0,56 [g/g] Y W 0, [kg/kg]

23 - Ora forma de calcular es según la ecuación Y W Y WA + Y b siendo: Y WA Fracción que corresponde al 0 % de agua libre [kg/kg] Y b Fracción de agua no congelable. [kg/kg] Al reemplazar se obiene: Y W 0,9 + 0,08 [kg/kg] Y W 0,[kg/kg] - Poseriormene al simular emperauras ( ) para que corresponde la fracción de agua de 0,[g/g], lo que se observa en Foodpropery es -,8 C, como se observa a coninuación: Temperaura ( Fracción de agua Fracción de hielo -,8 0, 0,56 - Al obener la emperaura, se calculan las propiedades ermofisicas en Foodpropery, para luego calcular el iempo efecivo de congelación mediane el méodo de Cleland y Earle (979 b), el cual se uiliza para paralelepípedos, mediane los siguienes pasos. Paso Cálculo de V 0 h ρ h ρ 0 TZ TZ 0 0 v Ecuación. Esos valores se obienen de Foodpropery. Al reemplazar los daos se obiene: J h ( kg h ( J kg ρ ( , ρ (-0 04, kg m kg m V0 V0 7509( J / g) 060,( g / m 99786( J / m ) 99,8( J / m ) 96969( J / g) 04,( kg / m ) ) Por lo ano Η h TZ h 0 Ecuación ( J / g) 96969( J / g) 78060( J / g)

24 Paso Cálculo de números adimensionales. Cálculo del número de Bio. hd Bi Ecuación. FZ Reemplazando los daos obenidos en Foodpropery se obiene: 5( W / m ) 0,0( m) Bi,0( W / m) Bi 0,664 Cálculo del número de Plank. ( ) CpUZ T0 T Pk 0 ZC Ecuación.4 Al reemplazar los daos obenidos en Foodpropery se obiene: Pk Pk 50,0( J / g) (5 C (.6 ) 78060( J / g) 0,47 Cálculo del número de Sefan. Cp Se FZ ( T Η ZC 0 T ) Ecuación.5 Al reemplazar los daos obenidos en Foodpropery se obiene: 7748,4( J / g) (.6 C ( 5 ) Se 78060( J / g) Se,409 Paso Cálculo de los facores de forma para un paralelepípedo definido por (Plank, 94) Cálculo de P. β β β P Ecuación.9 ( β β + β + ) Siendo : β Razón enre la segunda dimensión y la dimensión mas pequeña. β Razón enre la ercera dimensión y la dimensión mas pequeña.

25 6 Por lo ano β β 4 Reemplazando en la fórmula se obiene: P P 0,9 4 ( ) Cálculo de P. 0,08 P,06 + 0,5808Pk + Se 0,96Pk + + 0, 050 Bi P Ecuación.0 Al reemplazar en la fórmula se obiene: P 0,9,06 P 0,70 [ + 0,5808 0,47 +,409( 0,96 0,47 + 0, ,050) ] Cálculo de P [( 0,6 + Se( 5,766,4) ] P Ecuación. P + P P ) Reemplazando se obiene: P P 0,70 + 0,9 0,9 [( 0,6 +,409( 5,766 0,9,4) )] Cálculo de Q Q / [( β β )( β ) + ( 4 β ) ] Ecuación. Al reemplazar en la fórmula se obiene: 4 Q Q 0,094 [( 4) ( ) + (4 ) ] / Cálculo de m { β [ ] } / + β + + ( β β)( β ) + ( ) m β Ecuación.

26 Reemplazando se obiene: / { } 4 ( 4)( ) (4 ) m m,5 Cálculo de n { β [ ] } / + β + ( β β )( β ) + ( ) n β Ecuación.4 Reemplazando se obiene: / { } 4 ( 4)( ) (4 ) n n,45 Cálculo de R. Q m n R ( m )( β m)( β m) ln ( n )( β n)( β n) ln + (β + β ) m n 7 Reemplazando en la fórmula se obiene: Ecuación.5 0,094, 5, 45 R (,5 )(,5)(4,5) ln (,45 )(,45)(4,45) ln,5,45 + ( + 4 ) 7 R 0,08 Cálculo de R. R R[,0 + Se(,40Pk 0,76) ] Ecuación.6 + Reemplazando en la fórmula se obiene: R R 0,08,0 0,6 Cálculo de R. [ +,409(,40 0,47 + 0,76) ] [( 0,744 + Se( 49,89,900) )] R Ecuación.7 R + R R Reemplazando en la fórmula se obiene: R 0,6 + 0,08 R 0,506 [( 0,744 +,409( 49,89 0,08,900) )]

27 Paso 4 Cálculo del iempo efecivo de congelación hasa la emperaura de -0 C. D P + R V0 C Ecuación.8 D ( ) T ZC T h kfz ( 0 siendo: c Tiempo efecivo de congelación (s) v 0 Diferencia de enalpía volumérica enre el puno inicial de congelación y -0 C.(J/m ) Tzc Temperaura inicial de congelación (. T Temperaura del medio (. P y R Facores de forma de la ecuación de Plank (94). D Dimensión caracerísica.(m) h Coeficiene convecivo de ransferencia de calor (W/m ). Conducividad érmica bajo el puno de congelación. (W/m ). FZ ( 0 C ) Reemplazando en la fórmula se obiene: C ( J / m ) (.6 C ( 5 C )) 0,0( m) 0,9 5( W / m ) (0,0m) + 0,506,0( W / m ) c 899, s 49 min Paso 5 Ahora, se debe exender hasa -,8 C, por el méodo de Cleland y Earle (984b), el cual amplia los oros méodos de cálculo del iempo de congelación que sólo llegan hasa -0 C. c,65se Tf T c ln Ecuación.9 FZ Tref T siendo: c : El iempo de congelación hasa -0 ºC. Se: Número de Sefan. FZ : Conducividad érmica bajo el puno de congelación (W/m ). Tf: Temperaura en el cenro érmico del produco al final del proceso ºC. T : Temperaura del medio ºC. Tref: Temperaura de referencia -0 ºC. Por lo ano, reemplazando en la fórmula se obiene: c,65,409 (,8 C ( 5 899, s ln,0( W / m) 0 C ( 5

28 c 0,4s 7,9 min Así el iempo caracerisico 7 es 7,9 min Noa: Es imporane desacar que el iempo calculado ambién se puede calcular uilizando las Caras de Heisller o Gourney inercepando las emperauras adimensionales de planchas infinias.

29 4. Una plana de congelación rabaja con cores de carne de cordero de x 6 x cm. El produco iene una emperaura inicial de 0 C. La emperaura del aire es -5 C y el coeficiene convecivo de ransferencia de calor es igual a 5 W/m²-. Calcule el iempo para que un 5% del agua libre del produco no se congele. Carne de Cordero: Humedad 70% Densidad 060 g/m³ El core de carne de cordero corresponde a un paralelepípedo. a b c Daos: Ti 0 C h 5[W/m ] T -5 C T ZC -,07 C (Foodpropery) - Se deben ener presenes los siguienes daos: Fracción oal de agua Y WZ 0,70[kg/kg] Fracción del conenido de sólidos oales Y S 0,0[kg/kg] Cálculo de fracción de agua no congelable (o ligada) Y Y 0, Ecuación 4.0 b s Reemplazando se obiene: Y Y b b 0,( g / kg) 0, 0,09( g / g) Cálculo de agua libre Agua libre Y WZ Y b Ecuación 4. Reemplazando se obiene: Agua libre 0,70( g / g) 0,09( g / g) Agua libre 0,6( g / g)

30 Por lo ano: 0,6 00 % X 5 % X 0,095 represena la fracción del 5 % del agua libre. - En el esquema se puede observar el iempo caracerísico 7. T( 0 C T ZC -,07 C T A (Y0,8) - Foodpropery calcula, en la segunda columna el agua no congelable, la cual esá compuesa por el agua libre (o congelable) más el agua no congelable (o ligada), por lo ano se debe calcular el Y W, ya que esa fracción enrega la emperaura en la cual el 5 % del agua libre del produco no se congela. Eso se realiza de la siguiene forma. Cálculo de Y W Y W Y WA + Y b Ecuación 4. Por lo ano al reemplazar en la fórmula se obiene: Y W 0,095[kg/kg] + 0,09[kg/kg] Y W 0,85 [kg/kg] Ese valor se consigue probando con diferenes emperauras y lo expueso por Foodpropery resula ser finalmene: Temperaura ( Fracción de agua Fracción de hielo -7, 0,8 0,59 Así, T A -7, C

31 Ese iempo se calcula de acuerdo a los siguienes pasos mediane el méodo de Cleland y Earle (979b), el cual se uiliza para paralelepípedos. Paso Cálculo de V 0 h ρ h ρ v 0 TZ TZ 0 0 Ecuación. Esos valores se obienen de Foodpropery. h (-, h ( J kg J kg kg ρ (-,07 059,7 m kg ρ (-0 08,4 m Al reemplazar los daos se obiene: V0 V0 6049( J / g) 059,7( g / m 758,( J / m ) 75,( J / m ) 0095( J / g) 08,4( kg / m ) ) Por lo ano Η0 h TZ h 0 Ecuación ( J / g) 0095( J / g) 59558( J / g) Paso Cálculo de números adimensionales. Cálculo del número de Bio. hd Bi Ecuación. FZ Reemplazando los daos obenidos en Foodpropery se obiene: 5( W / m ) 0,0( m) Bi,09( W / m) Bi,00 Cálculo del número de Plank. ( ) CpUZ T0 T Pk 0 ZC Ecuación.4

32 Al reemplazar los daos obenidos en Foodpropery se obiene: Pk Pk 4,( J / g) (0 C (,07 ) 59558( J / g) 0,8 Cálculo del número de Sefan. Cp Se FZ ( T Η ZC 0 T ) Ecuación.5 Al reemplazar los daos obenidos en Foodpropery se obiene: 856,( J / g) (,07 C ( 5 ) Se 59558( J / g) Se,67 Paso Cálculo de los facores de forma para un paralelepípedo definido por Cleland y Earle (979b). Cálculo de P. β β β P Ecuación.9 ( β β + β + ) Siendo : β Razón enre la segunda dimensión y la dimensión mas pequeña. β Razón enre la ercera dimensión y la dimensión mas pequeña. 6 Por lo ano β β 4 Reemplazando en la fórmula se obiene: P P 0,9 4 ( ) Cálculo de P. 0,08 P P,06 + 0,5808Pk + Se 0,96Pk + + 0, 050 Ecuación.0 Bi Al reemplazar en la fórmula se obiene: P 0,9,06 + 0,5808 0,8+,67 0,96 0,8+ P 0,46 0,08,00 + 0,050

33 Cálculo de P. Reemplazando se obiene: Cálculo de Q. P + P[ ( 0,6 + Se( 5,766P, 4) )] P Ecuación. P 0,46 + 0,9 P 0,678 [( 0,6 +,67( 5,766 0,9,4) )] Q / [( β β )( β ) + ( 4 β ) ] Ecuación. Al reemplazar en la formula se obiene: 4 Q Q 0,094 [( 4) ( ) + (4 ) ] / Cálculo de m. { β [ } / + β + + ( β β)( β ) + ( ) m β ] Ecuación. Reemplazando se obiene: / { } 4 ( 4)( ) (4 ) m m,5 Cálculo de n. { β [ } / + β + ( β β )( β ) + ( ) n β ] Ecuación.4 Reemplazando se obiene: / { } 4 ( 4)( ) (4 ) n n,45 Cálculo de R. Q m n R ( m )( β m)( β m) ln ( n )( β n)( β n) ln + (β + β ) m n 7 Ecuación.5

34 Reemplazando en la fórmula se obiene: 0,094, 5, 45 R (,5 )(,5)(4,5) ln (,45 )(,45)(4,45) ln,5,45 + ( + 4 ) 7 R 0,08 Cálculo de R. R R[,0 + Se(,40Pk 0,76) ] Ecuación.6 + Reemplazando en la fórmula se obiene: R R 0,08,0 0,6 [ +,67(,40 0,8+ 0,76) ] Cálculo de R. R + R[ ( 0,744 + Se( 49,89R, 900) )] R Ecuación.7 Reemplazando en la fórmula se obiene: R R 0,6 + 0,08 0,540 [( 0,744 +,67( 49,89 0,08,900) )] Paso 4 Cálculo del iempo efecivo de congelación hasa la emperaura de -0 C. D P + R V0 C Ecuación.8 D ( ) T ZC T h kfz ( 0 siendo: c Tiempo efecivo de congelación. (s). v 0 Diferencia de enalpía volumérica enre el puno inicial de congelación y -0 C. (J/m ) Tzc Temperaura inicial de congelación (. T Temperaura del medio (. P y R Facores de forma de la ecuación de Plank (94). D Dimensión caracerísica. h Coeficiene convecivo de ransferencia de calor (W/m ). Conducividad érmica bajo el puno de congelación. (W/m ). FZ ( 0 C )

35 Reemplazando en la fórmula se obiene: C 758,( J / m (,07 C ( 5 C )) ) 0,0( m) 0,678 5( W / m ) (0,0m) + 0,540,09( W / m ) c 576 s 95, min Paso 5 Ahora, se debe exender hasa -7, C, por el méodo de Cleland y Earle (984b), el cual amplia los oros méodos de cálculo del iempo de congelación que sólo llegan hasa -0 C. c,65se Tf T c ln Ecuación.9 FZ Tref T siendo: c : El iempo de congelación hasa -0 ºC. Se: Número de Sefan. FZ : Conducividad érmica bajo el puno de congelación (W/m ). Tf: Temperaura en el cenro érmico del produco al final del proceso ºC. T : Temperaura del medio ºC. Tref: Temperaura de referencia -0 ºC. Por lo ano, reemplazando en la fórmula se obiene c,65,67 ( 7, C ( 5 576s ln,09( W / m) 0 C ( 5 c 007,5s 8,5 min