Facultad de Ciencias del Mar. Curso 2007/08 11/07/08

Transcripción

1 Esadísica Convocaoria de Junio Faculad de Ciencias del ar. Curso 007/08 /07/08 El galludo (Squalus egalops) es una especie de iburón de aguas empladas a ropicales, que habia la plaaforma coninenal exerior y pare superior del alud, a profundidades que oscilan enre 50 y 73 m. Puede enconrarse en el Alánico sudoccidenal y orienal, Indico occidenal, Pacífico occidenal y sur de Ausralia. Se alimena de diversos peces óseos, enre ellos peces linerna, Asroneshes, congrios y oros; ambién consume camarones y oros crusáceos, cefalópodos y oros elasmobranquios. En las regiones donde abunda es uilizado fresco, seco y salado o ahumado para consumo humano.. En esa especie se ha documenado dimorfismo sexual, suponiéndose en general que las hembras son mayores que los machos. Para evaluar las allas medias por sexo, así como la diferencia en alla enre sexos, se dispone de sendas muesras de 8 machos y 64 hembras adulos. La alla media de los machos ha resulado ser de 4 mm y la de las hembras de 479 mm, con desviaciones ípicas respecivas de 9 y 6 mm. Con esos daos (a) Exise evidencia significaiva al 5% de que las hembras son mayores que los machos? (b) Calcular un inervalo de confianza al 95% para la magniud de dicha diferencia (a) Debemos resolver el conrase de hipóesis H0 H µ H H > µ siendo µ H la alla media de las hembras y µ la de los machos. Las esimaciones de esas allas medias son, respecivamene, x H = 479 y x = 4. Para llevar a cabo el conrase, si suponemos que ambas muesras proceden de poblaciones con la misma varianza, deberemos calcular (consideramos que la población es la formada por las hembras, y la por los machos): que debe compararse con x x = = ( n ) s + ( n ) s + n + n n n n n, α 43, = =. Como 3.86 > α se rechaza H 0. n+ n, Si suponemos que las varianzas poblacionales son disinas el esadísico sería: x x = = s s n + n 9,9633 que debe compararse ahora con n, α = 94,0.05 =, 66, donde el valor de n se ha calculado a parir de: s s + n n n = 94 s s + n n n n (Dado que ambas muesras son grandes, ese paso es innecesario, oda vez que para n grande, la de Suden se puede aproximar por una normal, y por ano podemos susiuir n,α por z α. Para α=0.05 es z 0.05 =.65, que es prácicamene el mismo valor que daba 94,0.05 )

2 Como ambién en ese caso >,, se rechaza H 0. n α Por ano, independienemene de que las varianzas poblacionales sean iguales o disinas, exise evidencia suficiene (al 5% de significación) para asegurar que las hembras de esa especia alcanzan en promedio allas mayores que los machos. (b) El inervalo de confianza para la diferencia de medias es: ( ) + ( ) n s n s x x n + n, α / + = n+ n n n si se suponen varianzas iguales, y: s s x x n, α / + = n n [ 6.56, 7.44] [ 6.84,7.6] si se suponen varianzas disinas. Ambos inervalos son muy similares. En principio, dado que no enemos razones para pensar que las varianzas poblacionales de las allas de machos y hembras sean iguales, podemos adopar un puno de visa conservador y elegir como inervalo de confianza más adecuado el que corresponde a varianzas disinas, que siempre es más amplio. No obsane, si deseamos deerminar si las varianzas son iguales o disinas, calculamos un inervalo de confianza al 95% para el cociene de varianzas: s s , =, =, =.99, σ s s 9 9 σ Fn, n, α/ Fn, n, α/ F63,80,0.975 F63,80,0.05 [ ] Como el inervalo no coniene al, concluimos al 5% de significación que las dos varianzas poblacionales son disinas, y el inervalo correco para la diferencia de medias es el primero.. Se supone que la sex-raio (proporción de sexos) en esa especie es de 8 hembras por cada macho (en ejemplares adulos). Bajo ese supueso, en una muesra de 450 adulos de esa especie, (a) cuános machos cabe esperar? (b) Cuál es la probabilidad de que en esa muesra haya más de 60 machos? (c) Cuáno vale esa probabilidad si se sabe que en la muesra hay al menos 350 hembras? (d) Tras omar la muesra y proceder al recueno, finalmene resula haber 7 machos y 379 hembras. Esos daos confirman la hipóesis de una sex-raio 8:, u obligan a rechazarla? (usar un nivel de significación del 5%). (e) Calcula un inervalo de confianza al 95% para la proporción de machos en la población de la que se ha exraído esa muesra. (a) De la sex raio dada en el enunciado se sigue que de cada 9 ejemplares de esa especie, 8 son hembras y es macho; por ano, la proporción de machos es /9. Si la muesra es aleaoria, y suponemos que el sexo de cada ejemplar es independiene del sexo de los demás, la variable X= número de machos enre los 450 iburones que componen la muesra seguirá una disribución binomial de parámeros n=450 y p=/9. El número esperado de machos será enonces: E[ X] = n p= 450 = 50 9

3 (b) Dado que el valor de n es grande podemos aproximar la Binomial B(n,p) por una normal 8 N( np, np( p) ) N 450, 450 = N( 50, ). Enonces: P( X 60) P Z = P( Z.45) = P (c) Como se sabe que hay al menos 350 hembras, eso quiere decir que los machos habrán de ser 00 como máximo. Por ano la probabilidad pedida es: X P Z P( X 60 X 00) P( 60 X 00) = = = P( X 00) P( X 00) P Z P.45 Z P Z.45 P Z = = = = ( X 60 ) ( ) P( Z ) ( ) ( ) P( Z ) (d) En ese caso hay que resolver el conrase: H0 : π = /9 H : π /9 siendo π la proporción de machos en la población. La esimación disponible de esa proporción, dada la muesra, es: 7 ˆ π = p = = Para resolver el conrase debemos calcular el esadísico: z 7 ˆ p p0 = = = 3.5 p 0( p0) n Realizando el conrase con α=0.05 enemos z α/ =z 0.05 =.96. Como 3.5>.96, exise evidencia suficiene al 5% de significación de que la proporción de machos no es /9, por lo que la sex raio no es de 8 a, como aseguraba la hipóesis de parida. (e) El inervalo de confianza para la proporción de machos viene dado por: π p ± z α / p ( p ) Llamando n = 7 al número de machos, para calcular ese inervalo obenemos:

4 = n + zα / = = 7.9 = n+ zα / = = p = = 7.9 / = p ( p ) El inervalo resulane es enonces: = 0.07 π [ ± ] = [ 0.7,0.94] 3. (a) Teniendo en cuena que el peso (en kg.) de los machos adulos sigue una disribución N(9.,.3), y el peso de las hembras adulas una N(0.8,.6), con una probabilidad del 95%, cuál es el peso máximo oal que cabe esperar que enga la muesra anerior de 450 iburones? (b) Dadas las caracerísicas del enorno en que ha sido capurada esa muesra, así como las preferencias alimenarias de S. megalops, se piensa que esos iburones consumen crusáceos y eleóseos en idénica canidad. Se analiza el conenido esomacal de 30 hembras elegidas al azar de enre las 379 de la muesra. Para cada hembra se obienen los pesos de crusáceos y eleóseos enconrados en sus esómagos. El peso medio de crusáceos es de 43 gr., con una desviación ípica de 3 gr.; el peso medio de eleóseos es de 99 gr. con desviación ípica de gr. La correlación enre los pesos de ambas especies de presas es 0.6. Con esos daos, puede manenerse la hipóesis de que crusáceos y eleóseos se consumen en promedio en canidades idénicas? (a) Sean X i el peso del macho i-ésimo, e Y j el peso de la hembra j-ésima. El peso oal de la muesra será: W = X + Y i i= j= Como las variables X i e Y j son normales, su suma será ambién normal, de media: j y desviación ípica: µ = µ + µ = = W Xi Yj i= j= σ = σ + σ = = W Xi i= j= Yj Con probabilidad 0.95, el peso máximo de la muesra será el W AX que verifique: WAX WAX PW ( WAX ) = 0.95 P Z = 0.95 = W = = AX (b) Se raa en ese caso de un conrase de muesras apareadas: H0 C = µ T H C µ T donde µ C es el peso medio de crusáceos y µ T el peso medio de eleóseos en los conenidos esomacales de los iburones que componen la muesra. El emparejamieno se sigue de que en cada esómago se ha medido un par de valores de peso crusáceos-eleóseos, valores que resulan asociados oda vez que enre ellos hay una correlación de 0.6. Para resolver ese conrase calculamos:

5 donde: d xc xt = = = = sd s n n s = s + s rs s = = 5.34 d C T C T como > 9,0.05 =.045 concluimos que exise evidencia suficiene para rechazar H 0 y concluir que crusáceos y eleóseos han sido consumidos en canidades promedio diferenes. 4. En el análisis de los conenidos esomacales se evaluó la exisencia de asociación enre el amaño del predador y el amaño de las presas, en paricular, de los cefalópodos. El esudio se resringió a las hembras, 9 de las cuales enían en sus esómagos cefalópodos a los que se les pudo medir la longiud del mano (en caso de haber varios cefalópodos en el esómago de un iburón se medía sólo el mayor de ellos). La longiud media de esas 9 hembras fue 486 mm., con desviación ípica de 9 mm. La longiud media del mano de los cefalópodos consumidos fue de 09 mm. con desviación ípica de 4 mm. La correlación enre ambas variables fue de (a) Calcula la reca de regresión para predecir la longiud del mano del cefalópodo (presa) en función de la longiud del predador. (b) Exise evidencia suficiene para afirmar que cuano mayor es el depredador mayores son sus presas? (c) Qué longiud media de presas cabe esperar para un iburón que mida 500 mm? (d) Calcula un inervalo de confianza al 95% para la longiud de las presas de un iburón de 500 mm. (a) Llamando Y a la longiud del mano del cefalópodo (presa) y X a la longiud del iburón (predador), para calcular la reca de regresión necesiamos la covarianza enre las dos variables. Como: SXY r = S S X podemos despejar S = rs S = = La pendiene de la regresión es: XY X 9 XY X Y S b = = =.53. Asimismo, la ordenada en el origen es : S a= y bx = = Por ano, la ecuación de la reca de regresión pedida es: y = x Y (b) Obenemos un inervalo de confianza al 95% para la pendiene: donde hemos calculado: ˆ σ β b n, α / =.53±.96 =.4,.80 n Sx 8 9 n 8 n 7 ( r ) ( ) [ ] ˆ = SY = = σ y hemos aproximado 7,0.05 = z 0.05 =.96.

6 El inervalo de confianza nos indica que podemos esar seguros al 95% de que la pendiene de la reca es posiiva; por ano al aumenar el valor de x (longiud del predador), aumena ambién el valor de y (longiud de la presa). O dicho de ora forma, exise evidencia suficiene de que a medida que aumena el amaño del iburón, aumena ambién el amaño de los cefalópodos que consume. (c) Basa con susiuir el valor 500 en la reca de regresión: y = = Un iburón de ese amaño consume, por ano, cefalópodos con una longiud media de mano de cm. (d) El inervalo pedido viene dado por: [ 70.04, 90.55] ( x x) ( ) ( ) y( x) yˆ( x) ˆ n, α /σ + + = ± = n n SX = Por ano un iburón de 500 mm. consume cefalópodos cuya longiud de mano oscila, con un 95% de confianza, enre y mm.