CAPÍTULO 9: POTENCIA E INVERSIÓN (II)

Transcripción

1 CAÍTULO 9: OTENCIA E INVERSIÓN (II) Dane Guerrero-Chanduví iura, 015 FACULTAD DE INGENIERÍA Área Deparamenal de Ingeniería Indusrial y de Sisemas

2 CAÍTULO 9: OTENCIA E INVERSIÓN (II) Esa obra esá bajo una licencia Creaive Commons Aribución- NoComercial-SinDerivadas.5 erú Reposiorio insiucional IRHUA Universidad de iura

3 UNIVERSIDAD DE IURA Capíulo 9: oencia e Inversión (II) B. Eje Radical de dos circunferencias GEOMETRÍA FUNDAMENTAL Y TRIGONOMETRÍA CLASES Elaborado por Dr. Ing. Dane Guerrero Universidad de iura. 10 diaposiivas

4 GFT 19/06/015 Sarry Nigh Over he Rhone (Vincen Van Gogh) CAÍTULO IX: OTENCIA E INVERSIÓN A. EJE RADICAL Es el lugar geomérico de punos del plano que ienen igual poencia respeco a las dos circunferencias. TEOREMA IX-3 El eje radical de dos circunferencias no concénricas es una reca perpendicular a la línea de cenros. T T 1 d r O Dr.Ing. Dane Guerrero 1

5 GFT 19/06/015 DEMOSTRACIÓN TEOREMA IX-3 Sean, d las disancias de un puno a los cenros de dos circunferencias, y y r los radios de ellas. ara que las poencias de sean iguales: - = d - r - d = r - = Ce. T 1 Luego es necesario y suficiene que la diferencia de cuadrados de disancias a los dos cenros sea consane. Se raa pues de una reca perpendicular a la línea de cenros. d O T r Si las circunferencias son concénricas, = d ; y como los radios son disinos, no hay ningún puno que enga igual poencia. Sin embargo, en aención a que los punos muy lejanos van eniendo poencias de razón más semejane, se suele decir que el eje radical en ese caso es "la reca del infinio" del plano. COROLARIOS: a. Si desde un puno del eje radical se pueden razar angenes a una de las circunferencias, se pueden razar ambién angenes, y de igual longiud, a la ora. b. Las angenes comunes quedan divididas en dos pares iguales por el eje radical. Dr.Ing. Dane Guerrero

6 GFT 19/06/015 CONSTRUCCIÓN GEOMÉTRICA DEL EJE RADICAL Consideramos 4 casos: 1. Las circunferencias son secanes: enonces el eje radical es la reca que une los punos de inersección (que ienen poencia igual, nula, respeco a las dos).. Las circunferencias son angenes: enonces la angene común es el eje radical. 3. Las circunferencias son exeriores. En ese caso, razamos las angenes comunes y unimos sus punos medios, obeniendo así el eje radical. 4. Las circunferencias son ineriores. En ese caso, buscaríamos un puno de igual poencia respeco a las dos, razando dos angenes de igual longiud y buscando los punos de la misma poencia, que esán en m 1 y m. Caso 1 Las circunferencias son secanes: enonces el eje radical es la reca que une los punos de inersección (que ienen poencia igual, nula, respeco a las dos). d r O Dr.Ing. Dane Guerrero 3

7 GFT 19/06/015 Caso Las circunferencias son angenes: enonces la angene común es el eje radical. d r O Caso 3 Las circunferencias son exeriores. En ese caso, razamos las angenes comunes y unimos sus punos medios, obeniendo así el eje radical. d r O Dr.Ing. Dane Guerrero 4

8 GFT 19/06/015 Caso 4 Las circunferencias son ineriores. En ese caso, buscaríamos un puno de igual poencia respeco a las dos, razando dos angenes de igual longiud y buscando los punos de la misma poencia, que esán en m 1 y m. m 1 m O El puno de la inersección M, perenece al eje radical. Desde M razamos la perpendicular a la línea de cenros, que es el eje radical de las dos. M m 1 m d O M Dr.Ing. Dane Guerrero 5