Soluciones a los ejercicios propuestos Unidad 3. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales

Transcripción

1 Soluciones a los ejercicios propuesos Unidad cuaciones inecuaciones sisemas Maemáicas aplicadas a las Ciencias Sociales

2 CUACIONS D SGUNDO GRADO Resuelve e inerprea gráficamene las soluciones de las ecuaciones: a) 7 b) / / 8 a) Sacando facor común : 7 soluciones son Inerpreación gráfica: ) Si represenamos la parábola 7 Como a enonces es una parábola abiera hacia abajo 7 ; v Vérice: v 8 luego las Cores con el eje X: resolviendo la ecuación 7 obenemos que las abscisas de core son luego la parábola cora al eje X por ) ) Core con el eje Y: ) La gráfica correspondiene es: b) / /8 8 Luego las soluciones son Inerpreación gráfica: Si represenamos la parábola : 8 a luego es una parábola abiera hacia arriba Vérice: / v /8 v 8 8 8

3 Los cores con el eje X se obienen resolviendo la ecuación inicial por ano son 8 Core con el eje Y La represenación es: scribe dos ecuaciones de segundo grado ales que la suma de sus soluciones sea su produco Sean las soluciones de la ecuación a bc Aplicando las fórmulas de Cardano- Viea enemos: b a c a Por ano si a se verificará que b b c luego una ecuación es Si a se verificará que: b b c c 8 luego ora ecuación posible es 8 CUACIONS POLINÓMICAS D GRADO SUPRIOR A 8 Resuelve las siguienes ecuaciones: a) b) c)

4 a) Sea el cambio enonces la ecuación se ransforma en: Si Si b) Sea el cambio enonces la ecuación se ransforma en: Si Si 7 no eisen valores reales de c) Consideramos el cambio enonces 7 Si Si no eisen valores reales de Resuelve las siguienes ecuaciones polinómicas: a) ) ) ) b) ) ) ) c) d) 7 ) ) ) a) ) ) ) b) c) Uiliando la regla Ruffini para obenemos la descomposición: ) ) volviendo aplicar Ruffini para =- nuevamene obenemos: ) ) ) ) Tenemos por ano que es una raí doble por ano solución de la ecuación Finalmene resolviendo la ecuación / d) Facoriando con Ruffini obenemos ) ) ) ) luego las soluciones son / CUACIONS CON RADICALS Resuelve las siguienes ecuaciones: a) b) c) d)

5 a) luego ; Comprobemos si esos valores son soluciones de la ecuación inicial: : por ano es solución : No es solución Luego la única solución es b) ) luego ; Comprobamos ahora si esos valores son soluciones de la ecuación inicial: 8 : luego es solución 7 : luego no es solución La única solución es c) ) Por ano: ; Comprobamos si esos valores son soluciones de la ecuación inicial: : luego es solución : no es solución La única solución es d) Por ano ; Comprobamos si son soluciones de la ecuación inicial Para : luego es solución para ) ) : ; ambién es solución Las soluciones son: CUACIONS RACIONALS Resuelve las siguienes ecuaciones racionales: a) ) b) a) Como ) ) ) ) ) ) c m m enonces al muliplicar los dos miembros de la ecuación por el m c m enemos: ) ) ) ) ) ) ) Sin embargo ese valor no es solución pues anula el denominador de las dos primeras fracciones algebraicas: ) No eise! Por ano no eise solución

6 b) Como m c m ) )) ) ) Muliplicando los dos miembros de la fracción por dicho valor obenemos: ) ) ) ) ) luego CUACIONS XPONNCIALS Y LOGARÍTMICAS Resuelve las siguienes ecuaciones: a) 8 b) c) d) a) 8 b) fecuando el cambio obenemos la ecuación Al simplificar la epresión obenemos luego ecuación cuas soluciones son / Por ano si si / log /) c) obenemos por ano la ecuación de segundo grado cua solución doble) es d) Tomando logarimos decimales en ambos miembros enemos log log )log log 7 Resuelve las siguienes ecuaciones logarímicas: log ) log ) log log a) b) log ) log log ) log c) log log ) log ) log a) Apliquemos propiedades de los logarimos: log ) log log ) log log log log luego Comprobamos si dichos valores son solución de la ecuación inicial: : log ) log ) No eisen dichos valores por ano no es solución; : log ) log ) log ) log ) por ano sí es solución La única solución es b) Aplicando propiedades de los logarimos: log ) log log ) log ) log log

7 Por ano solución de la ecuación inicial: 7 ; : log ) log ) log log log ) log : log log solución La única solución es Comprobemos si esos valores son luego es solución; ; no eise logarimo de números negaivos luego no es c) Pasando al segundo miembro los dos úlimos érminos aplicando propiedades de los logarimos enemos: log log ) log ) log log log ) log ) log log log ) ) luego ; Comprobamos si esos dos valores son soluciones de la ecuación inicial: : log log log negaivos por lo que ese valor no es solución log No eisen logarimos de números : log log ) log ) log log log log log La única solución es luego sí es solución 7

8 8 SISTMAS D CUACIONS MÉTODO D GAUSS Resuelve clasifica los siguienes sisemas de ecuaciones lineales: a) b) c) d) e) f) a) Aplicamos el méodo de Gauss: con el sisema riangular resulane obenemos: 7 ; susiuendo en la segunda ecuación ; susiuendo finalmene en la primera Solución: se raa de un sisema compaible deerminado b) Aplicamos el méodo de Gauss: sisema riangular equivalene Si consideramos la segunda ecuación despejamos : 7 sea 7 Susiuendo esos valores en la primera ecuación: 7 Se raa por ano de un sisema compaible indeerminado cuas infinias soluciones son de la forma: R 7 c) sisema riangular equivalene Despejando en la segunda ecuación: luego si consideramos susiuendo esos valores en la primera ecuación: luego se raa de un sisema compaible indeerminado cuas infinias soluciones son: R

9 d) las dos úlimas ecuaciones son incompaibles por lo que se raa de un sisema incompaible e) Si consideramos el parámero enonces enemos: Susiuendo en la primera ecuación: 7 8 Por ano se raa de un sisema compaible indeerminado cuas infinias soluciones son: 7 f) Resolviendo la úlima ecuación obenemos Susiuendo ese valor en la segunda ecuación enemos la ecuación / susiuendo ahora en la primera ecuación los valores obenidos para resula: Se raa de un sisema compaible deerminado cua única solución es SISTMAS D CUACIONS NO LINALS Resuelve los sisemas de ecuaciones no lineales: a) b) a) Uiliamos el méodo de susiución; como esá despejada en la primera ecuación susiuendo en la segunda enemos: 7 ) Resolviendo la ecuación de segundo grado obenemos como soluciones / por ano: si luego primer par de soluciones si / luego segundo par de soluciones / / b) Usamos el méodo de igualación para ello despejamos la incógnia en ambas ecuaciones obenemos Igualando ahora los dos segundos miembros enemos la ecuación:

10 Resolviendo la ecuación de segundo grado resulane obenemos como soluciones / Luego si primera solución Si / luego la segunda solución es / / Resuelve e inerprea gráficamene los siguienes sisemas de ecuaciones no lineales: a) c) 7 b) d) 8 8 a) Uiliamos el méodo de susiución como la incógnia esá despejada en la primera ecuación susiuimos su valor en la segunda obenemos: 7 ) 8 resolviendo la ecuación de segundo grado obenemos como soluciones Luego: si si por ano enemos dos pares de soluciones Si represenamos las dos curvas la parábola primera ecuación) la reca segunda ecuación) obenemos como punos de inersección las soluciones del sisema al como se muesra en la siguiene figura: b) Uiliamos el méodo de susiución como la incógnia esá despejada en la primera ecuación susiuimos el valor de en la segunda obenemos la ecuación: 8)

11 Resolviendo la ecuación de segundo grado obenemos como soluciones luego si 8 8 si 8 8 Tenemos por ano dos pares de soluciones Si represenamos la primera ecuación obenemos una parábola represenando la segunda una reca sas gráficas se coran jusamene en los punos ) -) que son las soluciones del sisema al como se muesra en la siguiene figura: c) Uiliando el valor de la incógnia de la segunda ecuación susiuendo en la primera enemos: ) Por ano se obienen dos pares de soluciones Si despejamos en la primera ecuación la incógnia enemos la ecuación de una parábola la segunda ecuación es una reca horional Ambas gráficas se coran en los punos -) --) que son las soluciones del sisema al como se muesra en la siguiene figura:

12 d) Uilicemos el méodo de igualación despejando la incógnia en la segunda ecuación obenemos las ecuaciones: Igualando los primeros miembros de ambas ecuaciones obenemos la ecuación: ) Por ano si si luego enemos dos soluciones para el sisema Las dos ecuaciones son parábolas que al represenarlas observamos que se coran en los punos -) -) al como se muesra en la siguiene figura: INCUACIONS 8 Resuelve las siguienes inecuaciones lineales: 7 a) 7 8 b) a) 7 8 b) c) 7) ) 8) Resuelve las siguienes inecuaciones polinómicas: a) 8 b)

13 a) 8 ) ) Considerando las raíces del polinomio ) dividimos la reca real en res inervalos sobre los cuales analiamos el signo de cada facor: ) ) ) + ) ) ) + Luego la solución es: Obsérvese que al raarse de un enonces debemos incluir los eremos si anulan el polinomio en ese caso) b) ) ) ) Consideremos los punos que anulan el polinomio: / Con esos punos dividimos la reca real en cinco inervalos analiamos el signo de los facores en la siguiene abla: ) ) / ) / ) ) ) ) ) Luego la solución es: ) / ) Resuelve las siguienes inecuaciones racionales: a) 7 b) ) ) ) ) c) a) Considerando ano las raíces del numerador como las del denominador ; dividimos la reca real en cinco inervalos sobre los cuales analiamos el signo de cada facor del numerador del denominador en la siguiene abla: ) ) ) ) ) Numerador Denominador ) ) + + ) ) Tenemos que añadir los punos que anulan el numerador por lo que la solución es:

14 7 ) ) 7 b) Consideramos los números que anulan numerador denominador 7) dividimos la reca real en cuaro inervalos sobre los cuales analiamos el signo de numerador denominador: 7) 7) ) ) Numerador Denominador Consideramos los punos que anulan el numerador únicamene a que para los que anulan 7) el denominador la epresión no es un número real La solución es: 8) ) c) Los valores de que anulan numerador denominador son 8 Con esos valores dividimos la reca real en cuaro inervalos sobre los cuales analiamos en la siguiene abla el signo de los facores numerador denominador aención: el denominador lleva signo negaivo): ) ) 8) 8 ) Numerador Denominador 8) ) ) ) Luego la solución es: ) 8 ) SISTMAS D INCUACIONS Resuelve los siguienes sisemas de inecuaciones: a) b) 8 7 c) a) ) 7) ) ) Resolvemos la primera inecuación: Considerando los valores que anulan el polinomio 7 dividimos la reca real en res inervalos sobre los cuales analiamos el signo de los facores del produco final:

15 7) 7) ) ) 7) + + Solución de esa primera inecuación: 7 Resolvemos la segunda inecuación: Consideramos los valores que anulan numerador denominador: con los que dividimos la reca real en cuaro inervalos sobre los que analiamos los signos de numerador denominador: ) ) ) ) Numerador Denominador ) ) Solución de la segunda inecuación: ) ) La solución del sisema de inecuaciones será: { 7 } { ) ) }= ) b) 8 ) 7) 7) ) Analiamos las soluciones de cada una de las dos inecuaciones por separado Resolución de la primera inecuación: Con las raíces del polinomio: 7 en la siguiene abla dividimos la reca real en res inervalos en los que analiamos el signo de los dos facores: 7) 7) ) ) 7) Solución de la primera inecuación: Resolución de la segunda inecuación: Con los valores que anulan numerador denominador: 7 ¾ dividimos la reca real en cuaro inervalos sobre los cuales analiamos en la siguiene abla los signos: /) / ) 7) 7 ) Numerador Denominador + + ) 7) + +

16 Solución de la segunda inecuación: / ) 7 ) La solución del sisema de inecuaciones se obiene con la inersección de los inervalos solución de ambas inecuaciones: { 7 } { / ) 7 ) } 7 c) 7 ) ) ) Resolvemos cada una de las dos inecuaciones Resolución de la primera inecuación: Como / son los valores que anulan numerador denominador de la primera inecuación consideramos la siguiene abla con la que obenemos los signos que oma la fracción algebraica: ) / ) / ) ) Numerador Denominador + + ) ) + + Solución de la primera inecuación: ) / ) Resolución de la segunda inecuación: Al raarse del cuadrado de una epresión que sólo se anula en = la solución de la segunda inecuación es ) ) Solución del sisema de inecuaciones:{ ) / ) } { ) ) } ) / ) Resuelve los siguienes sisemas de inecuaciones lineales con dos incógnias: a) b) c) 8 d) a)

17 b) 7

18 8 c) 8 d)