Lenguaje de las ecuaciones diferenciales

Transcripción

1 Prof. Enrique Maeus Nieves Docorando en Educación Maemáica. Lenguaje de las ecuaciones diferenciales pare. Soluciones de una EDO Para ese curso a esamos familiarizamos con los érminos función eplicia función implícia a que esos se rabajaron en los cursos de cálculo. Para nuesro caso, una solución en la que la variable dependiene se epresa solo en érminos de la variable independiene las consanes se dice que es una solución eplicia. Solución en forma eplícia: Trabajaremos de al manera que consideramos una solución eplicia como una fórmula de la forma que podamos manejar, evaluar derivar usando las reglas usuales. [La solución rivial es una solución en forma eplícia. sin embargo, cuando veamos los méodos de solución, veremos que no siempre esas esán en forma eplícia] Ejemplo: Dada d d en forma eplícia para la EDO? que equivale a, es la función e solución e e Solución: omamos evaluamos la derivada, veamos: reemplazamos en la EDO para probar que la suma sea igual a cero e e e si es una solución en forma eplícia para la EDO dada. ahora por ano Solución en forma implícia: Se dice que una relación G, es una solución implícia de una EDO en un inervalo I, suponiendo que eise al menos una función que saisfaga ña relación así como la ecuación diferencial en I. [no es ema de ese curso invesigar la condición bajo la cual la relación G, define una función derivable. Por lo que supondremos que si implemenamos formalmene un méodo de solución nos conduce a una relación, relación, G, G como la EDO en el inervalo I.] G, enonces eise al menos una función que saisface ano la Ejemplo: la relación 5 es una solución implícia de la EDO d en el inervalo 5,5 -? Solución: derivamos implíciamene enemos: d d d 5 resolviendo la ecuación para d d d d se obiene:. De igual manera resolviendo en érminos de se obiene d d d d las dos funciones saisfacen la relación que es

2 Prof. Enrique Maeus Nieves Docorando en Educación Maemáica. 5 5 son soluciones eplicias definidas en el inervalo 5,5 dadas en las figuras adjunas son ramos de la solución implícia. Obsérvelas con aención b. soluciones eplicias 5 - para Las curvas solución Noa: cualquier relación del ipo c formalmene saisface la Edo dada para cualquier consane c. Sin embargo, se eniende que la relación siempre endrá senido en el sisema de los números reales así por ejemplo, si c=-5 no podemos decir que 5 es una solución implícia de la ecuación. Jusifique por qué. Solución en forma paramérica: La solución esá dada como una curva C que es descria por ecuaciones paraméricas de la forma: C, I ( ) En ese caso para calcular consideramos que: d que d d para obener d d Ejemplo: La curva C, (,) es solución de la EDO? d Solución: De las ecuaciones que definen a C hallamos en la forma anes mencionada para obener: d, reemplazando en el lado izquierdo de la EDO se iene: d d Solución en forma de una inegral: La solución esá dada como una inegral que NO podemos calcular., es solución de la ED d Ejemplo: La función e e c, c Solución: para hallar debemos recordar el eorema fundamenal del cálculo?

3 Prof. Enrique Maeus Nieves Docorando en Educación Maemáica. e - e c e solución de la ecuación dada. - e Reemplazando en la ED enemos: - - e e c e e c Por lo ano es Familias de soluciones El esudio de las ecuaciones diferenciales es similar al del cálculo inegral. De ahí que es eraño enconrar en algunos eos de las referencias bibliográficas que una solución sea llamada inegral de la ecuación su grafica sea llamada curva de la inegral. Cuando obenemos una aniderivada o una inegral indefinida, usamos una sola consane de inegración llamada c. De modo similar, cuando resolvemos una ecuación diferencial de primer orden F,, normalmene obenemos una solución que coniene una sola consane arbiraria llamada parámero c. Una solución que coniene una consane arbiraria c represena el conjuno G,,c de soluciones llamado familia de soluciones uniparamérica. Ha casos en que enconramos una solución con dos parámeros c c respecivamene, ésa será llamada familia de soluciones biparamérica. En general cuando resolvemos una ecuación diferencial de orden n n F,,,..., buscamos una familia de soluciones n-paraméricas G,,c,c,..., c n. Eso significa que una sola Edo puede ener infinio número de soluciones correspondiendo a un número ilimiado de elecciones de parámeros. Noa: Si en la solución general asignamos valores a los parámeros C i i,,..., n obenemos una solución que denominamos solución paricular. Si una solución no se puede obener a parir de la solución general dando valores a los parámeros C i i,,...,n dicha solución la llamaremos singular. En ese ejemplo se verá la diferencia enre la solución general, solución paricular una solución singular.

4 Prof. Enrique Maeus Nieves Docorando en Educación Maemáica. Dada la E.D. - - las funciones C C, verifiquemos que ano,,, C son solución de la ecuación dada. - Para C reemplazando al lado izquierdo de la ED se iene: C C C C de donde vemos que ecuación, es solución de la - Para reemplazando al lado izquierdo de la ED se iene: Vemos que ecuación ambién es solución de la - Para reemplazando al lado izquierdo de la ED se iene: - De ahí que la función C C C Que ambién es solución de la ecuación es llamada una familia uniparamerica de curvas (familia de recas), acúa como una solución general de la ecuación - - forma G,,C,. La función, que se obuvo a parir de C que puede ser represenada en la dándole al parámero C el valor de - es llamada una solución paricular de la ED. La función (una parábola) NO se puede obener a parir de asignándole valores al parámero C por ano es llamada una solución singular de la ED Problemas con Valores Iniciales. [PVI] Con frecuencia nos ineresan problemas en loq eu busquemos una solcuion de una ecuación diferencial al que saisface condiciones prescrias, es decir, condiciones impuesas sobre una desconocida o sus derivadas. En algún inervalo I que coniene a En general si nos piden resolver d n n f,,,..., sujeo a n,,...,, n n d Donde,,..., n son consanes reales arbirarias dadas, se llama problema de valores iniciales (VIP). Los valores de de sus primeras n- derivadas es un solo puno n,,,...,, se llama problema de condiciones iniciales n

5 Prof. Enrique Maeus Nieves Docorando en Educación Maemáica. Taller de prácica #. Es la función dada (en forma eplícia) una solución de la E. D. que se indica? (suponga en odo caso que la función esá definida en un inervalo donde enga senido hablar de solución). -. e. ln d d e 5e d d e 6 7 d d c,c IR d, c IR e d - 7. c ce ce 8., ceir e d C e d d Ce 7 6,C,C IR C e dp, C eir Ce P.. Es la relación dada (en forma implícia) una solución de la E. D. que se indica? (Igual observación que en los ejercicios aneriores con respeco al inervalo) P

6 Prof. Enrique Maeus Nieves Docorando en Educación Maemáica.. d. 5 d - - d. ln ln (). Es la curva dada, (en forma paramérica), una solución de la E. D. que se indica?. C e - e d... ln () C ln ln C e - - C - e e -,. Para cada uno de los siguienes P. de V. I. hallar la región del plano donde el problema iene solución única. (si le es posible rae de graficar dicha región). d. d. d. - d

7 Prof. Enrique Maeus Nieves Docorando en Educación Maemáica. Referencias: Zill, Dennis., Cullen, Michael. (9). Ecuaciones Diferenciales con problemas con valores en la fronera. Sépima edición. ISBN-: ISBN-: Méico Kreider, Donald., Kuller, Rober. (97). Ecuaciones Diferenciales. Versión en Español de M. en C. Federico Velasco Coba. Faculad de Ciencias Universidad Nacional Auónoma de Méico.Fondo Educaivo Ineramericano Bogoá. Arnold V.I.: Ecuaciones diferenciales ordinarias. Mir, 97. Berkle/Blanchard, "Calculos", Saunders College Publishing Elsgolz: Ecuaciones diferenciales Cálculo variacional. Mir, a ed. Granville, "Calculo diferencial e inegral", ediorial LIMUSA. ISBN X Simmons, G.F.: Ecuaciones diferenciales. McGraw-Hill, 99 Sewar, J. Cálculo Mulivariado. Trascendenes empranas.cengage Learning. Sea edición. 8. Teo guía del curso. Sewar. Weissein, E.W: CRC Concise Encclopedia of Mahemaics. Chapman & Hall 999.