Unidad 4 Espacios vectoriales. Aplicaciones lineales

Transcripción

1 Unidad 4 Espacios vecoriales. Aplicaciones lineales 5

2 6 SOLUCIONES. Las propiedades asociaiva y conmuaiva se verifican ya que la suma de números reales que se esablecen en los elemenos de las marices cumple las propiedades asociaiva y conmuaiva. El elemeno neuro para la suma es la mariz nula. El elemeno simérico de la mariz d c b a para la suma es d c b a. Veamos que se cumplen las propiedades para el produco.. a) ) ) ) ), y. s v s v v s v v s v v s v s v V R b) Sean, y v V R, se cumple: ) ) [ ]. ) ) v v v v v c) Sean V v u,, se cumple:. ) ) v u v u v u v u v u d) Veamos la demosración de la condición necesaria. Sea v y, enonces exise y se cumple: Veamos la demosración de la condición suficiene. Si, puede verse en el libro de exo la demosración de. Si v, ambién puede verse que.

3 . La solución en cada caso es: a) A es un subespacio vecorial al cumplirse: b) B ambién es un subespacio vecorial ya que: x, y, x y) s x, y, x y) x sx, y sy, x sx y sy) B c) C es un subespacio vecorial al ser: x,x, x) s x,x, x) x sx, x sx), x sx )) C. d) D no es subespacio vecorial al cumplirse que: El vecor,, 5) perenece a D, lo mismo que,, 7); pero la suma de ambos,, 5),, 7),, ) no perenece al cumplirse x y 6. a b 4. Las marices que conmuan con la mariz c d con c, d R. c d Sea el conjuno M ; c, d R. c d Forma un subespacio vecorial al cumplirse: c d A son de la forma c d 5. El conjuno del enunciado es un subespacio vecorial ya que las reglas de derivación permien afirmar que: 7

4 6. a) el vecor u puede ser cualquier combinación lineal de v y, por ejemplo, v, es decir: u v,,),, ),, ). b) en ese caso habrá que omar un vecor u que no sea combinación lineal de v y, es decir, que el deerminane formado por los res sea disino de cero. Por ejemplo u,,) ya que:. 7. Tiene que cumplirse para que sean linealmene independienes: 6 a 4a a 5. Para que sean linealmene dependienes: 8. Se debe cumplir que el valor del deerminane x x Sin embargo, x x 5 x x no se anula para ningún valor real de x. 5 Por ano, no exise ningún valor de x que haga que los vecores sean linealmene dependienes. 8

5 9. Si forman una base al ser linealmene independienes ya que: Sean a, b y c las coordenadas del vecor,, ) respeco de la base dada. Se cumplirá: Operando y resolviendo el sisema resulane: Las coordenadas son, ½, ) 9

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7 SOLUCIONES. Consideramos a los polinomios x, x y como la base canónica del espacio vecorial dado. Los polinomios del enunciado ienen por coordenadas respeco a la base canónica: A x) x,,); B x) x x,,) y C x) x,, ). Los vecores aneriores forman una base al cumplirse. Sean a, b y c las coordenadas de Mx) respeco a la base {Ax), Bx), Cx)}. Se cumple:,,) a,,) b,,) c,, ). Operando y resolviendo: Observa que se cumple: x x x ) x x) x ).. Los vecores de S pueden ponerse en la forma: z, y, z) y,,) z,,) Los vecores,, ) y,,) forman una base de S y su dimensión es. Al ser x,, x) x,, ) para los vecores de T podemos considerar el vecor,, ) como una base de T su dimensión será. En el caso del subespacio E podemos escribir: El vecor,, ) consiuye una base de E y su dimensión es.

8 . Veamos que la aplicación f es lineal. Consideremos los vecores v x, x ) y z, z ) de R. Se cumple: f x, x) f z, z) x x, x x) z z, z z). Además se cumple: Las ecuaciones de esa aplicación son: Su mariz asociada es.. Las ecuaciones de la aplicación lineal son de la forma: Teniendo en cuena las condiciones del enunciado:

9 Resolviendo el sisema de ecuaciones obenemos: Las ecuaciones buscadas son: La expresión de la aplicación es: f x, x, x) x x, x) 4. Las ecuaciones de la aplicación lineal son: Hallamos f,5, 7) : Por ano, f,5, 7) 9, 6). Calculamos f, ) : Resolviendo el sisema obenemos: Por ano,

10 5. Expresamos el vecor e,, ) en combinación lineal de e,,),,, e ) y e,,) al formar esos una base y obenemos: Calculamos f e ) eniendo en cuena que f es una aplicación lineal: La mariz asociada de la aplicación f es: El nucleo de la aplicación lineal es: Resolvemos el sisema y obenemos: Por ano Ker f { x, x, x) x R} {,, } R Una base del nucleo es el vecor,, ) y la dimensión de Ker f es. La imagen de la aplicación f es: A parir de las ecuaciones de la aplicación Y eliminando x, x, x obenemos la ecuación 5y y y Por ano : Una base del subespacio Imf {,5,)},5 s,s), s R} y su dimensión es. 4

11 6. las ecuaciones de la aplicación, en forma maricial son: Las condiciones del enunciado nos conducen a: Por ano las ecuaciones de la aplicación son: El nucleo de esa aplicación coniene a los vecores f x, x ),,), es decir, los que cumplen: x x R que cumplan, ) El nucleo de la aplicación es Ker f {,)}. La imagen de esa aplicacion coniene a los vecores y, y, y ) R que cumplen: 5

12 7. El nucleo de esa apicacion esa formado por los vecores x x x R ales que:,, ) Una base del nucleo esa formada por el vecor,, ) y su dimensión es. La imagen de f esá formada por los vecores y y y R que cumplen:,, ) 8. La aplicación compuesa gf iene por expresión: g f ) x, x) g[ f x, x)] gx, x x) x x, x) Puede comprobarse sin dificulad que la aplicación anerior es lineal. Las marices asociadas a las aplicaciones f y g son, respecivamene: La mariz asociada a la aplicación compuesa Es fácil comprobar que: gf es. 6

13 9. La expresión de la aplicación es f x, x ) x. La aplicación es lineal al cumplir: x 7

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15 SOLUCIONES. La solución en cada caso es: a) La mariz de la aplicación lineal es: b) El núcleo de f esa formado por los vecores x x x R que cumplen:,, ) Resolviendo el sisema, obenemos: x x x x El vecor,, ) consiuye una base del nucleo y su dimensión es. c) La imagen de f esa formada por los vecores y, y, y ) R que cumplen: Eliminando x x,, obenemos: y y y., x La imagen es Im f { y y, y, y )} { s,, s), s R } Los vecores {,,),,, )} forman una base de la imagen de f y su dimensión es. d) La imagen del vecor v,,4) es el vecor: 9

16 . Veamos que T es un subespacio vecorial de y un numero real cualquiera, es decir, R. Consideramos dos vecores cualesquiera de T. Deerminamos la ecuación maricial de la aplicación f que es de la forma: Imponiendo las condiciones del enunciado, obenemos:

17 Las ecuaciones de la aplicación f en forma maricial son: Calculamos f,7, 7) y para ello resolvemos el sisema: El úlimo sisema carece de solución, por ano no exise ningún vecor en mediane la aplicación f sea,7, 7). R cuya imagen. Consideramos la combinación lineal nula: au b u v ) c u v ) Operando obenemos: a b c) u b c) v c Al ser los vecores u, v y linealmene independienes: Como los escalares a, b y c son nulos, los vecores, independienes. u, u v y u v son linealmene 4. Calculamos el deerminane: Para a los vecores del enunciado forman una base de R.

18 5. Es fácil ver que el subconjuno dado es un subespacio vecorial de El subespacio puede expresarse en la forma: R véase la acividad 7). Cualquier vecor puede escribirse como combinación lineal de los vecores,, ) y,,) : Una base del subespacio la forman los vecores,, ) y,, ), la dimensión es. 6. Veamos que los polinomios P x), P x), P ) y P ) son linealmene independienes. x Formamos la combinación lineal nula: 4 x Operamos: Por el principio de idenidad de polinomios: Luego esos polinomios son linealmene independienes. Veamos que forman sisema generador, es decir que cualquier polinomio de V de la forma ax bx cx d puede escribirse en combinación lineal de los polinomios dados: Luego efecivamene los polinomios dados son base. El polinomio Px) respeco a esa base es: x x x x) x x) x ) x x ) Es decir las coordenadas,,, ) respeco a la base P, P, P, } { P4

19 7. La aplicación lineal f esa definida por f ax bx c) ax b. veamos que es lineal. El núcleo de f esará formado por los polinomios ax bx c) cuya derivada sea nula, es decir: f ax a bx c) ax b b Los polinomios del nucleo son los polinomios de grado cero.

20 8. Calculamos la imagen por g del vecor e,, ). ese vecor puede expresarse:,,),,),,),, ). La imagen del vecor,,) por la aplicación lineal g es: g,,) g,,) g,,) g,, ),,),, ),,) 8,, ) La ecuación de la aplicación lineal g en forma maricial es: Por ano el único vecor que coincide con su imagen en esa aplicación es el vecor nulo,,) 4