PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2011 MATEMÁTICAS II TEMA 1: MATRICES Y DETERMINANTES

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1 PROBLEMS RESUELTOS SELECTIVIDD NDLUCÍ 0 MTEMÁTICS II TEM : MTRICES Y DETERMINNTES Junio, Ejercicio 3, Opción B Reserva, Ejercicio 3, Opción Reserva, Ejercicio 3, Opción B Reserva, Ejercicio 3, Opción Reserva 3, Ejercicio 3, Opción Reserva 3, Ejercicio 3, Opción B Reserva 4, Ejercicio 3, Opción B Sepiembre, Ejercicio 3, Opción Sepiembre, Ejercicio 3, Opción B hp://emesrada.wordpress.com

2 λ+ 0 Dada la mariz a) Calcula los valores de λ para los que la mariz + 3 no iene inversa. b) Para λ 0, halla la mariz X que verifica la ecuación X + I, siendo I la mariz idenidad de orden. MTEMÁTICS II. 0. JUNIO. EJERCICIO 3. OPCIÓN B a) Calculamos la mariz + 3 : λ+ λ+ λ λ λ + 5λ+ 4 0 Calculamos el deerminane de dicha mariz λ + 5λ λ 0λ 8 0 λ; λ4 λ+ 3 Luego, la mariz + 3 no iene inversa para λ y λ4, ya que su deerminane vale cero. b) Resolvemos la ecuación maricial. a a b a b b + c d 0 ac bd 3 ac b d 3 0 Resolviendo el sisema, enemos que la mariz que nos piden es: X 3 hp://emesrada.wordpress.com

3 Sean y B dos marices cuadradas de orden 3 cuyos deerminanes son Halla: 3 a) b) c) d) B, siendo B la mariz raspuesa de B. e) El rango de B. MTEMÁTICS II. 0. RESERV. EJERCICIO 3. OPCIÓN. y B. a) 3 8 b) Sabemos que: I I ; luego en nuesro caso será: c) Si n es una mariz cuadrada de orden n, sabemos que se cumple que caso como es una mariz de orden 3, enemos que: n k k ; en nuesro ( ) ( 8) 4 3 d) B B B ( ) e) Como B 0, el rango de B es 3. hp://emesrada.wordpress.com

4 0 3 4 Dada la mariz a) Demuesra que se verifica la igualdad 3 I, siendo I la mariz idenidad de orden 3. b) Jusifica que es inverible y halla su inversa. 00 c) Calcula razonadamene MTEMÁTICS II. 0. RESERV. EJERCICIO 3.OPCIÓN B. a) Luego, se cumple que I b) Calculamos Tiene inversa Calculamos la inversa ( ) d ( ) c) ( ) ( ) I hp://emesrada.wordpress.com

5 Considera las marices 0 λ y B λ 0 0 a) Hay algún valor de λ para el que no iene inversa?. b) Para λ, resuelve la ecuación maricial X B MTEMÁTICS II. 0. RESERV. EJERCICIO 3. OPCIÓN. a) Calculamos el deerminane de. λ + 0 No hay ningún valor real de λ para el cual el deerminane valga cero, luego, siempre iene inversa b) Calculamos la mariz X: Calculamos la inversa de : X B X B X B ( ) d ( ) 0 0 X B hp://emesrada.wordpress.com

6 Sean y B dos marices que verifican: 4 B 4 + y 3 B a) Halla las marices ( + B)( B) y B b) Resuelve la ecuación maricial X XB ( + B) I, siendo I la mariz unidad de orden y ( + B) la mariz raspuesa de + B MTEMÁTICS II. 0. RESERV 3. EJERCICIO 3. OPCIÓN. a) Resolvemos el sisema: 4 + B ; 4 4 B Susiuyendo, enemos: B 0 Calculamos: ( + B)( B) B B b) Resolvemos la ecuación maricial: X XB ( + B) I X( B) ( + B) I a b a b 4a+ b 6 3 c d 0 c d 4c+ d 4 a b 6 4a + b a ; b ; c ; d 0 c d 8 4 4c+ d Luego, la mariz que nos piden es: X hp://emesrada.wordpress.com

7 3 0 λ Sea la mariz 5 λ 5 λ 0 3 a) Deermina los valores de λ para los que la mariz I iene inversa, siendo I la mariz idenidad de orden 3. b) Para λ, resuelve la ecuación maricial X X + I MTEMÁTICS II. 0. RESERV 3. EJERCICIO 3. OPCIÓN B. a) Calculamos la mariz 3 0 λ λ I 5 λ λ 5 λ λ 0 Igualamos el deerminane de dicha mariz a cero: 0 λ λ λ λ + λ λ λ λ ; ; λ 0 Luego, la mariz iene inversa para odos los valores de λ, y b) Resolvemos la ecuación maricial: X X + I X X I ( I) X I X ( I) I d (( I) ) I ( I) Luego, la mariz es X hp://emesrada.wordpress.com

8 Dada la mariz a) Demuesra que + I y que + I, siendo I la mariz idenidad de orden. b) Calcula la mariz X que verifica la ecuación: + X + 5 4I MTEMÁTICS II. 0. RESERV 4. EJERCICIO 3. OPCIÓN B. a) I Es ciero Muliplicamos la igualdad anerior por a la izquierda: + I + I + I Es ciero b) Vamos a resolver la ecuación maricial + + : X 5 4I Muliplicamos por a la derecha. + X+ 5 4I + X + 5 4I + X + 5I 4 X 4 5I Susiuimos + I X 4 5I 4( + I) 5I 3( + I) hp://emesrada.wordpress.com

9 α 0 Dadas las marices α y B α a) Calcula el rango de dependiendo de los valores α. b) Para α, resuelve la ecuación maricial X B. MTEMÁTICS II. 0. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 3. OPCIÓN a) Calculamos el deerminane de y los igualamos a cero: α α α α+ α α ; α Calculamos el rango de para los disinos valores: R() α α α y 3 b) Calculamos la mariz inversa de para α. ( ) Resolvemos la ecuación maricial d ( ) X B X B hp://emesrada.wordpress.com

10 α Sean las marices α 3 y B 3 4 a) Calcula los valores de α para los que la mariz inversa de es. b) Para α 3, deermina la mariz X que verifica la ecuación X B, siendo raspuesa de. MTEMÁTICS II. 0. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 3. OPCIÓN B la mariz a) Calculamos la mariz inversa de ( ) 3 α 3 d ( ) α α α 3 α 3 α 3 α α α α 3 α3 α α 4 El único valor que verifica odas las igualdades es α 3 b) Calculamos la mariz inversa de para 3 α : ( ) Por las propiedades de las marices sabemos que: ( ) ( ) la ecuación maricial 3 3 α α 3 3, luego, la aplicamos para resolver X B X ( ) B ( ) B hp://emesrada.wordpress.com