Movimiento uniformemente acelerado

Transcripción

1 CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA Moimieno recilíneo Como su nombre lo indica, ese moimieno es el que iene lugar cuando una parícula se desplaza a lo largo de un rayeco reco. Describiremos res casos para el moimieno recilíneo: a) el recilíneo uniforme, b) el recilíneo uniformemene acelerado y c) el moimieno recilíneo con aceleración ariable. Moimieno recilíneo uniforme El primer caso consise en que la parícula no iene aceleración. Y por lo ano su elocidad es consane y queda definida compleamene por la siguiene ecuación: = = consane Para enconrar la posición final de la parícula en un iempo se muliplica por para despejar la diferencial. Esa diferencial se a a inegrar desde x (que corresponde a la posición inicial) hasa (que corresponde a la posición final). En el lado derecho de la ecuación se inegra el produco desde el iempo = (cuando comienza el análisis del moimieno) hasa un iempo deseado o iempo final: x = Pero en ese ipo de moimieno la elocidad es consane, y eso nos permie sacar la elocidad de la inegral. Y enonces solamene inegramos la diferencial. Eso es: Al realizar la inegral se obiene: Despejando, finalmene se obiene: x = x + = x = Esa ecuación sólo puede uilizarse cuando la elocidad de la parícula es consane. Moimieno uniformemene acelerado Consideremos ahora el segundo caso, moimieno uniformemene acelerado. En ese moimieno la parícula iene una aceleración, la cual es consane. = a = consane En ese ipo de moimieno para obener la elocidad se muliplica por para despejar la diferencial. Esa diferencial se a a inegrar desde (que corresponde a la elocidad inicial) hasa f (que corresponde a la elocidad final). En el lado derecho de la ecuación se inegra el produco a desde el iempo = (cuando comienza el análisis del moimieno) hasa un iempo deseado o iempo final, así: 1

2 f = a Pero en ese ipo de moimieno la aceleración es consane, y eso nos permie sacar la aceleración a de la inegral. Y enonces solamene inegramos la diferencial. Eso es: Al realizar la inegral se obiene: Despejando, finalmene se obiene: f f = + a = a f = a A eso le llamaremos la primera ecuación cinemáica para el moimieno uniformemene acelerado. Para obener la posición en el moimieno uniformemene acelerado, parimos de la expresión: = = ariable En ese ipo de moimieno la elocidad no es consane y esá dada por la expresión: f = + a Por eso enemos que susiuirla en la ecuación anerior, quedando así: = + a Para resoler esa ecuación se muliplica por para despejar la diferencial del lado izquierdo de la ecuación. Y del lado derecho se inegrará el produco ( + a ) quedando así: = ( + a ) Para resoler esa ecuación se inegra desde su posición inicial x hasa su posición final. Y la diferencial se inegra desde hasa. x = ( + a ) Al er la inegral del lado derecho de la ecuación nos damos cuena que es un alor fijo, que podemos considerar como consane. También la aceleración a es una consane y puede salir de la inegral quedando así: Ahora se hacen las inegrales: Despejando queda: x = + a x = + 1 a

3 = x a A eso le llamaremos la segunda ecuación cinemáica. Es posible enconrar una ercera ecuación para el moimieno recilíneo uniformemene acelerado. Eso se hace si parimos de las ecuaciones siguienes: a = Despejamos de la segunda ecuación y lo susiuimos en la primera: y = se obiene: = susiuyéndolo en a = a = Resoliendo el quebrado (usando la ley del sándwich ) se iene: = 1 a = Para resoler esa ecuación muliplicamos ambos miembros por : a = Ahora inegramos así: desde x hasa ; y desde hasa f. a x f = Aquí emos que a es consane y puede salir de la inegral. Pero es ariable y no podemos sacarla de la inegral. Realizando las inegrales: Muliplicando por queda: Despejando f : a( x ) = 1 ( f ) a( x ) = ( f ) f = + a( x ) A eso le llamamos la ercera ecuación cinemáica. Moimieno recilíneo con aceleración ariable Exisen moimienos donde la parícula se desplaza con una aceleración ariable. Eso significa que la aceleración es función de la ariable iempo, de la ariable posición o elocidad. O sea que no endremos una aceleración consane, sino una función aceleración que depende del iempo, de la posición x o de la elocidad. Consideremos el caso en que la aceleración dependa del iempo, eso es: 3

4 a = = a() = ariable Para resoler esa ecuación, se muliplica por ambos lados y queda: = a() Ahora inegramos ambos lados de la ecuación con los límies que siempre usamos: Veamos un ejemplo, para enender eso más fácilmene. = a() Un auo deporio iaja a lo largo de una línea reca con una aceleración de a = 3 1 en m s donde esá en segundos. Deermine su elocidad cuando = 4 segundos. El auo pare del reposo. Solución: Primero nos fijamos en qué ipo de moimieno enemos. Es un moimieno recilíneo con aceleración ariable, enonces uilizando la definición hacemos: = a() Como el ehículo pare del reposo, la elocidad inicial es igual a cero =. Y susiuimos la función a() por 3 1: Haciendo las inegrales: = 3 1 f = Ahora susiuimos el alor de = 4 porque es el iempo en que nos ineresa conocer la elocidad final. f = 3 (4)3 3 f = 4 m s 1 (4) Consideremos el caso en que la aceleración dependa de la posición, eso es: a = = a(x) = ariable Para resoler esa ecuación, se muliplica por ambos lados y queda: = a(x) Ahora inegramos ambos lados de la ecuación con los límies que siempre usamos: Veamos un ejemplo: x = a(x) x 4

5 Una parícula iaja a lo largo de una línea reca a una elocidad de a =.1x m s donde x esá en meros. Deermine su elocidad cuando x = 15 m si se sabe que su elocidad es de = m s cuando x =. Solución: Primero nos fijamos en qué ipo de moimieno enemos. Es un moimieno recilíneo con aceleración ariable, enonces uilizando la definición y susiuyendo alores hacemos: x = a(x) Despejamos f y susiuimos x = 15: x =.1x 1 f 1 = x.1 x f = (x.1 x + ) f = ((15).1 (15) + ) f = 4.1 m s Consideremos el caso en que la aceleración dependa de la elocidad, eso es: a = = a() = ariable Para resoler esa ecuación, se muliplica por ambos lados y diidiendo enre a() y queda: a() = Ahora inegramos ambos lados de la ecuación con los límies que siempre usamos: Veamos un ejemplo: f a() = Un racocamión se desplaza a lo largo de una carreera reca. Cuando el operador oprime el freno, el racocamión esá sujeo a una aceleración negaia a = en m s. Si su elocidad es de m s al oprimir los frenos, deermine la disancia que recorre para deenerse. x f = f = 1 = 1 m = 1 ( ) Parículas conecadas En ocasiones el moimieno recilíneo de un cuerpo guarda relación con el moimieno de oro. Eso ocurre cuando enemos dos parículas o cuerpos conecados mediane cuerdas. Para el esudio de parículas conecadas, se considerarán cuerdas ideales (inexensible, de peso despreciable y flexible). Generalmene las cuerdas se encuenran sujeas o apoyadas alrededor de poleas que ambién consideraremos ideales (libres de fricción, peso despreciable). 5

6 Consideremos el siguiene arreglo de planos inclinados con los cuerpos A y B conecados por una cuerda que pasa sobre una polea cuyo eje es O. Obseramos que las disancias S A y S B son ramos de cuerda recos, medidos desde el eje O hasa cada uno de los cuerpos. De esa forma podemos concluir que la longiud oal de la cuerda esará formada por el segmeno S A y S B más un arco de cuerda apoyado sobre la polea al que le llamaremos arco CD y lo denoaremos por l CD. Enonces la longiud oal es: l TOT = S A + l CD + S B Fuene: HIBBELER, Russell. Ingeniería mecánica Dinámica, 1ª edición. México D.F. Pearson Prenice Hall, 1 Si ahora deriamos con respeco al iempo para obserar la ariación de las longiudes: d(l TOT ) = d(s A) + d(l CD) + d(s B) La longiud oal de la cuerda no aría respeco al iempo, pueso que la cuerda es inexensible y siempre medirá lo mismo. Por lo ano d(l TOT) =. Y lo mismo ocurre con d(l CD) =, porque independienemene si cualquiera de los cuerpos sube o baja, siempre exisirá sobre la polea una longiud l CD de igual magniud. Enonces la ecuación queda como: = d(s A) + + d(s B) De la definición de elocidad sabemos que la ariación de una longiud respeco al iempo es la elocidad, enonces: = A + B o B = A El signo menos de B indica que el cuerpo B se desplaza en senido conrario al senido posiio en el que fue medido S B ; eso quiere decir que el cuerpo B sube; y enonces el cuerpo A baja. Eso lo comprobamos porque A iene signo posiio y se dirige en el senido posiio en el que fue medido S A. También puede pasar que el cuerpo B baje, enonces A subirá. Eso quiere decir que la elocidad de B será posiia porque a en su senido posiio; y la elocidad de A será negaia porque el cuerpo a en senido conrario al esablecido como posiio, eso es: A = B. Si a la ecuación = A + B la olemos a deriar respeco al iempo, obenemos: = a A + a B Y si de ahí despejamos, ya sea la aceleración de A o la aceleración de B, obenemos: a B = a A a A = a B 6

7 Consideremos el siguiene ejemplo: Se iene el siguiene arreglo de cuerdas, cuerpos y poleas: Si se sabe que el cuerpo A baja con una elocidad de m s aumenando a razón de 1 m s. Deermine la elocidad y aceleración de B en el mismo insane. Solución: La longiud oal de la cuerda es igual a: l TOT = S A + arco1 + arco + S B Las longiudes arco1 y arco son los segmenos de cuerdas sobre las poleas, las cuales siempre serán consanes. Deriando respeco al iempo: Despejando B : = A B B = 1 A Susiuyendo la elocidad de A, se iene que B = 1() = 1 m s Para las aceleraciones endremos la misma relación: a B = 1 a A Susiuyendo la aceleración de A, se iene que a B = 1(1) =.5 m s Noamos que el signo menos indica que el cuerpo B a en senido conrario al posiio. Si el posiio señala hacia abajo, el negaio lo hará hacia arriba. Por lo ano la elocidad de B será de 1 m s hacia arriba, y endrá una aceleración de.5 m s ambién hacia arriba. 7