= kv y a una fuerza constante F

Transcripción

1 ROZ. VISCOSO: Una lancha de masa m naega en un lago con elocidad. En el insane se desconeca el moor. Suponiendo que la fuerza de resisencia del agua al moimieno de la lancha es proporcional a la elocidad deerminar: a) la elocidad en función del iempo, b) la elocidad en función de la disancia recorrida, así como la disancia oal recorrida hasa pararse, c) la elocidad media de la lancha en el ranscurso del iempo en el que la elocidad disminuye de a /. Solución: I.T.I. 97, Texo solución Deerminar en función del iempo la elocidad de un puno maerial de masa m que pare del reposo y esá someido a una resisencia iscosa F roz. k y a una fuerza consane F. Solución: I.T.I. 97 Texo solución Las parículas pequeñas esféricas experimenan una fuerza de resisencia iscosa dada por la ley de Sokes, 6πηr, en donde r es el radio de la parícula, su elocidad y η la iscosidad dinámica del aire o medio fluido donde caen las esferias. a) Esimar la elocidad límie de una parícula conaminane esférica de radio 1 5 m y densidad ρ g/cm 3. Suponer que el aire esá en reposo y que η Ns/m. b) Esimar el iempo que esa parícula arda en caer por una chimenea de 1 m de alura. Solución: I.T.I. 9, 98, I.T.T. 96, 99,, 5 Vamos a omar como senido posiio del moimieno unidimensional de la parícula el senido descendene, el origen de coordenadas en la pare superior de la chimenea de alura h 1 m, y pondremos a cero el cronómero en el insane en que la dejamos caer. a) Dibujando el diagrama de fuerzas y aplicando la segunda ley de Newon: m m a mg F roz ma a g F roz m g 6π η r m F roz m g Esa aceleración será nula cuando se alcance la elocidad límie: Senido posiio del moimieno Física Dinámica de la Parícula Página 1

2 4 g 6π η r m lím. mg 6π η r 3 π r 3 ρ g r ρg 6πη r 9 η.4 cm / s b) La aceleración depende de la elocidad. Separando ariables: d g 6πη r m g ( ) g d d τ Jose Jaier Sandonís R, 1/11/4 17:54 Con formao: Numeración y iñeas Donde τ.47ms es un iempo relacionado con la rapidez con la que la g parícula iende a alcanzar la elocidad límie. Inegrando y eniendo en cuena las condiciones iniciales del moimieno: d ln lím. lím. τ lím. τ /τ ( ) ( ) 1 e Para enconrar la posición en función del iempo inegrando y eniendo en cuena las condiciones iniciales del moimieno: /τ ( ) d lím. τ ( 1 e ) x( ) lím. 1 e /τ Podemos esimar que para iempos grandes en comparación con τ la exponencial es prácicamene nula y en dicho caso nos queda: x( ) lím. Cuando llega al suelo, suelo : x( suelo ) h suelo h suelo h 1 h 9 ʹ Como podemos comprobar el resulado es mucho mayor que el iempo τ, con lo que la suposición que hicimos para enconrarlo es correca. Física Dinámica de la Parícula Página

3 Una masa de 4 Kg es lanzada ericalmene con una elocidad inicial de 6 m/s. La masa encuenra una resisencia del aire F roz. k, con k.3 Ns/m. Calcular el iempo que ranscurre desde el lanzamieno hasa que alcanza la máxima alura. Cuál es la máxima alura? Solución: I.T.I. 1, I.T.T. 1, 4 Vamos a omar como senido posiio del moimieno unidimensional del cuerpo el senido ascendene, el origen de coordenadas en la posición de lanzamieno, y pondremos a cero el cronómero en el insane en que es lanzado el cuerpo. Dibujando el diagrama de fuerzas y aplicando la segunda ley de Newon: m m a mg F roz ma a F roz m m F roz La aceleración depende de la elocidad. Separando ariables: m g Senido posiio del moimieno d m k d m Inegrando eniendo en cuena las condiciones iniciales del moimieno: k d m m k ln m k (1) m Cuando el móil alcanza su máxima alura, máx.al, la elocidad se anula. Si en (1) hacemos enconraremos el iempo que nos piden: max.al. m k ln 1+ mg s Para enconrar la alura en función del iempo primeramene despejaremos la elocidad en la ecuación (1): ( ) m k m e m g Inegrando y eniendo en cuena las condiciones iniciales del moimieno: Física Dinámica de la Parícula Página 3

4 y( ) m k m e La alura máxima será: m g d m k m 1 e m m k g ( ) m k y máx. y máx.al. m 1 e m máx.al. m k g máx.al m Física Dinámica de la Parícula Página 4

5 Un paracaidisa cuya masa es de 8 kg sala de un aión que uela lenamene alcanzando una elocidad límie de 5 m/s. Calcular la aceleración del paracaidisa cuando su elocidad es de 3 m/s. Deerminar la resisencia del aire que acúa sobre él cuando su elocidad es de 3 m/s y 5 m/s. (La fuerza de rozamieno es proporcional a la elocidad). Solución: I.T.I. 96 Texo solución Se aplica una fuerza consane F a un émbolo y su eje de masa oal m para hacerle moer en un cilindro lleno de aceie. Conforme el émbolo se muee el aceie forzado a salir por orificios en el émbolo ejerce sobre ése una fuerza F aceie k F. Exprésese la disancia x recorrida por el émbolo en función del iempo, suponiendo que en, x y Solución: I.T.I. 3 Vamos a omar como senido posiio del moimieno unidimensional del émbolo el senido hacia la derecha. Dibujando el diagrama de fuerzas y aplicando la segunda ley de Newon: F + F aceie ma F k ma a F m m m F k La aceleración depende de la elocidad. Separando ariables: d m F k F k m d Inegrando eniendo en cuena las condiciones iniciales del moimieno: F k F m d k ln F m k k Para enconrar la alura en función del iempo primeramene despejaremos la elocidad en la ecuación anerior: Física Dinámica de la Parícula Página 5

6 ( ) F k m 1 e Inegrando y eniendo en cuena las condiciones iniciales del moimieno: x( ) F k m 1 e d F k + m k e m m k La resisencia que encuenra un paracaidisa que cae con una elocidad puede expresarse en el S.I. por F k r con k.3 y siendo r el radio del paracaídas. Deerminar r de modo que el paracaídas cuya masa, incluido el paracaidisa, es m 1 kg llegue al suelo con la misma elocidad con la que llegaría cayendo en el acío desde h 1 m de alura. En qué insane endría una elocidad de 4 m/s? dx Noa: 1 a x a ln a + x a x, gh( x) e x e x e x + e x ( ) Solución: I.T.I. 97, 3, I.T.T. 3 Vamos a omar como senido posiio del moimieno unidimensional del paracaidisa el senido descendene y amos a poner a cero el cronómero en el momeno en el que se inicia el moimieno. Dibujando el diagrama de fuerzas y aplicando la segunda ley de Newon: m m a mg k r ma a g k r m F roz m g Senido posiio del moimieno Jose Jaier Sandonís R, 1/11/4 11:46 Eliminado: de Jose Jaier Sandonís R, 1/11/4 11:45 Eliminado: la parícul Jose Jaier Sandonís R, 1/11/4 11:45 Eliminado: a Esa aceleración será nula cuando se alcance la elocidad límie: g k r m lím. mg k r Nos dicen que esa elocidad límie debe ser igual a la que se alcanza cuando se cae desde una alura h. Teniendo en cuena que para un moimieno uniformemene acelerado con aceleración g y pariendo del reposo: final gh gh mg k r gh r m kh 1.91 m La aceleración depende de la elocidad. Separando ariables: Física Dinámica de la Parícula Página 6

7 d g k r m k r mg m k r g lím. [ ] [ lím. ] g d Inegrando eniendo en cuena las condiciones iniciales del moimieno: g lím. d [ ] 1 ln + g g ln + (1) Susiuyendo el alor de la elocidad, 1 4 m/s, que nos dan en el enunciado podemos calcular el alor 1 del iempo en ese insane: 1 g ln + lím s Despejando la elocidad en la ecuación (1) podemos calcular la elocidad en cualquier insane del iempo: g ( ) gh Una parícula de masa m pare del reposo y cae bajo la acción de la graedad, a raés de un medio iscoso que opone una resisencia proporcional al cuadrado de la elocidad. a) Hallar las ecuaciones del moimieno. b) Sin resolerlas, calcular la elocidad límie con que caerá la parícula al cabo de ciero iempo. Solución: I.T.I., 5 Vamos a omar como senido posiio del moimieno unidimensional de la parícula el senido descendene. a) Dibujando el diagrama de fuerzas y aplicando la segunda ley de Newon: m m a mg k ma a g m Senido posiio del moimieno Física Dinámica de la Parícula Página 7 F roz m g

8 b) Esa aceleración será nula cuando se alcance la elocidad límie: g m lím. mg k Física Dinámica de la Parícula Página 8

9 Si la fuerza resisia sobre un cuerpo al moerse en el seno de un fluido es direcamene proporcional al cuadrado de su elocidad hallar la elocidad límie. Si pare del reposo, deerminar el iempo ranscurrido hasa que su elocidad sea la miad de la elocidad límie. dx Expresar la elocidad en función del iempo. Noa: 1 a x a ln a + x a x Solución: I.T.I., 4, I.T.T. ( ) Vamos a omar como senido posiio del moimieno unidimensional de la parícula el senido descendene y amos a poner a cero el cronómero en el momeno en el que se inicia el moimieno. Dibujando el diagrama de fuerzas y aplicando la segunda ley de Newon: m m a mg k ma a g m F roz m g Senido posiio del moimieno Esa aceleración será nula cuando se alcance la elocidad límie: g m mg k La aceleración depende de la elocidad. Separando ariables: d g m m mg k g lím. g d Inegrando eniendo en cuena las condiciones iniciales del moimieno: g lím. d [ ] 1 ln + g g ln + (1) Física Dinámica de la Parícula Página 9

10 Cuando la elocidad sea la miad de la elocidad límie el iempo 1 ranscurrido será: 1 g ln + / / g ln( 3) Despejando la elocidad en la ecuación (1) podemos calcular la elocidad en cualquier insane del iempo: ( ) gh g Admiiremos que un cuerpo que se muee en el seno de un fluido experimena una resisencia al aance que es proporcional al cuadrado de la elocidad y a la superficie fronal S según la ley: ks. Las aspas de 4 m de radio de un helicópero giran a una elocidad de 1 r.p.s. y ienen un perfil de 1.5 cm de grosor. Calcular para cada una de las aspas la fuerza oal de rozamieno y el momeno de las fuerzas de rozamieno respeco al puno de giro del eje del roor. Tomar k 1 4 dinas s /m 4. Jose Jaier Sandonís R, 1/11/4 11:51 Eliminado: Solución: I.T.I. 96, 98, 4, I.T.T. 96, 99,, 5 En primer lugar raduciremos a unidades del sisema inernacional el alor de la consane de proporcionalidad k y el de la elocidad angular ω : k 1 4 dinas s /m 4.1 N s /m 4 ω 1 r.p.s. π rad/s Consideremos la superficie que enfrena al aire una de las aspas del helicópero durane su moimieno. Diidamos esa superficie en elemenos infiniesimalmene pequeños ds, calculemos la fuerza y el momeno de fuerza que acúa sobre cada uno de dichos elemenos y finalmene sumemos para odos ellos: h R x z ω d y Física Dinámica de la Parícula Página 1

11 df roz. k ds ˆ j df R roz. k ω h x dx ˆ j ( ) k ( ω x) ( h dx) ˆ j 1 3 k ω h R 3 ˆ j d τ roz. r df roz. x df ˆ roz. k k ω h x 3 dx k ˆ τ roz. d R τ roz. kω h x 3 dx k ˆ 1 4 kω h R 4 ˆ k 15.3 N ˆ j N m ˆ k Francisco Jaier Junquer, 4/11/1 15:1 Eliminado: Física Dinámica de la Parícula Página 11