ECUACIONES DE MOVIMIENTO

Transcripción

1 EUAIONES DE MOVIMIENTO (PRÁTIA : MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES) Ing. Francisco Franco Web: hp://mgfranciscofranco.blogspo.com/ Fuene e información: Trabajo e grao e Mónica A. amacho D. Wilson H. Imbachi M. Ingeniería Elecrónica Telecomunicaciones El sisema iseñao para la prácica e movimieno biimensional se ivie en cuaro ramos a ravés e los cuales el cuerpo se esplaza realizano iferenes ipos e movimieno, como se muesra en la figura. Figura. Prácica e vecores Sisema general. Las ecuaciones que escriben el movimieno e la peloa a ravés e los ramos efinios se muesran a coninuación:.. MOVIMIENTO DE AIDA LIBRE (TRAMO O-A): Figura 3. Movimieno e caía Libre.

2 El primer movimieno que realiza la peloa es el e caía libre, el cual comprene el ramo O-A el sisema general, como lo muesra la figura 3. En primera insancia, la peloa e masa m se ubica a una alura inicial h respeco el vérice superior e la rampa (puno A) se eja caer bajo la acción e la fuerza e gravea (los efecos causaos por la fricción el aire se esprecian). Tomano como sisema e referencia el puno A suponieno negaiva la irección el movimieno e la peloa se eerminan las epresiones generales e aceleración, velocia posición en función el iempo enro el movimieno e caía libre. De acuero al sisema e referencia escogio se iene que la aceleración e la parícula ebia a la gravea se epresa e la siguiene forma: a g () Ese valor e aceleración es consane urane oo el recorrio e la peloa. Por su pare, la epresión general e velocia se obiene inegrano el valor aceleración en función el iempo: v a g g c Se eermina el valor e la consane c, para ello se evalúa la función e velocia v en el insane = 0: v0 v 0 0 v g 0 c 0c 0 0 Por lo ano la función e velocia para el movimieno e caía libre quea efinia como: v g (3) De forma similar se calcula la epresión para la posición en e la peloa, inegrano la función general e velocia respeco al iempo: g v ( g) c

3 Se eermina el valor e la consane c evaluano la función e posición en el insane = 0: 0 0 h 0 g 0 c h c h De esa forma la ecuación e posición en irección para el movimieno e caía libre es: g h (4) on las ecuaciones e movimieno el ramo e caía libre se calcula el iempo A que emora la peloa en ir ese el puno O (h meros) hasa el puno A (0 meros). Para ello se oma la función e posición como = 0: g 0 A h g A A h h g (5) onocieno el iempo A se eermina el valor e velocia e la peloa en el puno A: h v A va g A g g va gh (6) 3

4 .. MOVIMIENTO SOBRE EL PLANO INLINADO DESENDENTE (TRAMO A-B): Después el movimieno e caía libre la peloa se siúa enro e la rampa, como lo muesra la figura 4. Ese plano inclinao e ipo escenene cuena con una base e 40 meros e longiu un ángulo e inclinación variable (θ ). Las únicas fuerzas que acúan sobre la peloa son la normal (N) el peso (W), pues se consiera que la superficie e la rampa es compleamene lisa por ano no presena ningún ipo e fricción. La velocia inicial e la peloa enro e la rampa es v A (velocia final e la parícula en caía libre). Figura 4. Plano Inclinao escenene. Se esablece un sisema e coorenaas acore con el ipo e movimieno e la peloa. De acuero a la figura 4 se observa que oo el movimieno se realiza en irección, por lo ano la aceleración e la parícula enro e la rampa equivale al valor e su componene en icha irección (a = 0). on base en la seguna le e Newon se eerminan los valores corresponienes e aceleración en irección fuerza normal ejercia por la rampa sobre la peloa: F mg sin ma a gsin (7) F N mgcos ma 0 N mgcos (8) 4

5 onocieno el valor e la aceleración se efine la epresión general e posición e la peloa a lo largo e la rampa, para ello se recurre a la ecuación e esplazamieno en función el iempo el movimieno e parículas en una imensión. Relacionano icha ecuación con los parámeros corresponienes e ese subsisema se iene: 0 v0 a 0 v0 a onsierano que la parícula inicia su movimieno en el puno A se iene que 0 = 0, e esa forma su función e posición es: v a v gsin 0 A sin (9) g va En el iempo = B la peloa recorre oa la longiu e la rampa ( = ). Al igualar ese valor con la ecuación (9) se iene que: g sin B v A B Por lo ano el iempo B equivale a: g sin B va B 0 B va va gsin gsin 5

6 De la solución e la ecuación cuaráica, la epresión el iempo B es: B v v gsin A A (0) gsin Al igual que en el caso e la aceleración, la velocia e la parícula es una cania vecorial se puee epresar por meio e sus componenes en enro el sisema coorenao esablecio, sin embargo ebio a que no ha movimieno e la peloa en irección su velocia epene solo e la componene en, por lo ano: v v v v 0v v Se eermina la velocia con que la peloa llega al final e la rampa, para ello se uiliza la epresión e velocia como función el esplazamieno efinia enro el movimieno uniimensional e parículas: v v a 0 0 onsierano que la velocia inicial e la peloa es v 0 = v 0 = v A que su recorrio al final e la rampa es = se calcula la velocia final v = v B como: v v a 0 0 v v gsin A v v v gsin B A () En érminos generales la velocia e la peloa en función el iempo para cualquier puno e la rampa es: v v a 0 v v gsin () A 6

7 .3. MOVIMIENTO SOBRE EL PLANO INLINADO ASENDENTE (TRAMO B-): Después e recorrer la rampa la peloa realiza su movimieno a ravés el plano inclinao ascenene, el cual comprene el ramo B- el sisema general, como lo muesra la figura 5. Ese plano cuena ambién con una base e 40 meros e longiu un ángulo e elevación variable θ. Al igual que en la primera rampa, las únicas fuerzas que acúan sobre la peloa son la fuerza normal (N) el peso (W) represenao por sus componenes en. En ese caso ampoco se consiera algún ipo e fricción en la superficie e la rampa. Figura 5. Plano Inclinao ascenene. Parieno e la seguna le e Newon los valores e aceleración en la fuerza normal (N) vienen aos como: F mgsin ma a gsin (3) F N mgcos ma 0 N mgcos (4) 7

8 Tomano la ecuación e esplazamieno respeco al iempo el movimieno uniimensional se iene lo siguiene: 0 v0 a 0 v0 a Del mismo moo que en el caso anerior se oma la posición inicial e la peloa (puno B) como 0 = 0 la velocia inicial como v 0 = v 0 = v B. De esa manera la función e posición en se epresa como: v a v gsin 0 B sin (5) g vb En el iempo = la peloa recorre la longiu oal e la rampa ( = ). Al igualar ese valor con la ecuación () se iene que: g sin v B Por lo ano el iempo equivale a: g sin va 0 vb vb gsin gsin v v gsin B B (6) gsin 8

9 La velocia e la peloa solo epene e su componene en a que en la irección no eise movimieno, por lo ano: v v v v 0v v Se eermina la velocia con que la peloa llega al final e la rampa, para eso se uiliza la ecuación e velocia en función el esplazamieno el movimieno uniimensional: v v a 0 0 Reemplazano los valores corresponienes e velocia inicial, aceleración recorrio e la peloa se eermina el valor e velocia al final e la rampa (v = v c ): v v a 0 0 v v gsin B v v v gsin B (7) Para ese caso la epresión general e velocia e la peloa en cualquier puno e la rampa es: v v a 0 v v gsin (8) B.4. MOVIMIENTO PARABÓLIO (TRAMO -D): Finalmene el úlimo ramo el sisema general comprene un movimieno e ipo parabólico como se observa en la figura 6. El peso e la parícula es la única fuerza presene urane el movimieno a que se esprecian los efecos resisivos el aire. 9

10 Figura 6. Movimieno parabólico. Tomano la velocia inicial e la peloa enro como v 0 = v c un sisema e ejes coorenaos, se efinen las respecivas componenes el vecor e velocia en el puno e la siguiene forma: v v cos v cos 0 0 v v sin v sin (9) 0 0 Done θ es el ángulo e elevación e la rampa en la que se origina el movimieno el proecil (peloa). Dao que el movimieno parabólico se compone e un movimieno horizonal uniforme uno verical acelerao, se ienen los siguienes valores e aceleración en las irecciones : F ma 0 ma a 0 (30) F ma mg ma a g (3) on esos valores e aceleración se eerminan las epresiones generales e velocia e la peloa en ambas irecciones. De esa forma, la velocia en es: 0

11 0 v a c 0 0 cos v v v c v v cos (3) La ecuación (3) muesra que la velocia en irección es consane urane oo el movimieno e la parícula. Por su pare, la velocia en irección se efine como: v a g g c 0 sin 0 v v v g c 0 v c v sin 0 v g v sin (33) De igual manera se eerminan las ecuaciones e posición e la peloa inegrano las epresiones respecivas e velocia. onsierano que la parícula inicia su movimieno en = 0 meros, su función e posición en es: v v cos v cos c v cos 0 c c v cos (34) Dao que el movimieno parabólico empieza al final e la rampa (puno ), se ebe consierar la alura a la cual se encuenra la peloa en el insane inicial (alura e la rampa : h r ). Tenieno en cuena ese valor inicial, la función general e posición en la irección se calcula e la siguiene forma:

12 v g v sin g v sin c 4 0 h h g0 v sin 0 c c h Rampa r 4 4 r (35) g vsin hr on base en las epresiones generales e posición se hallan las máimas isancias alcanzaas por la peloa urane el movimieno parabólico: alura máima (h má ) alcance horizonal (R). Para enconrar el valor e alura máima se consiera un iempo = E en el cual la peloa alcanza una posición verical equivalene a = h má. En ese puno la velocia en irección es cero, por lo ano: v g v sin E v sin g (36) on el valor e = E la alura h má equivale a: v sin v sin h g v sin h g g má r v sin v sin hmá g h r g g v sin hmá hr (37) g Del mismo moo se calcula el alcance horizonal e la peloa. Se uiliza la función e posición en para enconrar un iempo = D en el cual la peloa esciene hasa una alura igual a cero ( = 0):

13 0 g v sin h D D D r v sin v sin gh g r D v gh sin sin g r v (38) Finalmene con el valor e D se eermina el valor el alcance horizonal ( = R), el cual es equivalene a: R v cos D v gh R v cos sin sin r g v v gh r R sin sin cos g v (39) 3