Modelado de Sistemas Dinámicos

Transcripción

1 A Modelado de Sisemas Dinámicos Ese ema esá dedicado al modelado de sisemas dinámicos. Eso es, a la obención de un conjuno de ecuaciones maemáicas que describen el comporamieno de un sisema físico. No se esudia el modelado de odos los posibles sisemas físicos; ampoco el modelado preende ser exhausivo. La exposición se cenra principalmene en el modelado de sisemas lineales, aunque en algún caso se considerarán modelos no lineales. A. Inroducción El modelado de un sisema dinámico consa de res fases: A parir de la uilidad que vaya a ener el modelo decídase qué señales son las de enrada o exciación, las de respuesa o salida, qué variables son inernas, y cuáles son los parámeros (consanes) a ener en cuena. Pueden dibujarse inicialmene bloques (sin ecuaciones maemáicas) que describen la ineracción de las variables. Escribir las relaciones maemáicas que relacionan las variables de enrada y salida de cada elemeno del conjuno. Añadir las ecuaciones que ligan unos elemenos con oros. Obener un modelo en espacio de esado o mediane funciones de ransferencia del conjuno. Ese proceso se sigue muchas veces de forma inconsciene. Aquellos que esán acosumbrados a rabajar, por ejemplo, con circuios elécricos pueden escribir direcamene las ecuaciones del modelo. En las secciones siguienes se presenan modelos de diversos sisemas físicos. La exposición no abarca odos los modelos dinámicos; no se incluyen, por ejemplo, modelos de población o modelos económicos. Las ecuaciones que resulan del modelado de disinos sisemas ienen, a menudo, la misma forma, lo que hace posible el esablecimieno de analogías. En ese exo, sin embargo, no se hará un raamieno amplio de analogías. A

2 A. Sisemas Elécricos La obención de modelos de sisemas elécricos se va a raar con ciero dealle, aunque se supone al lecor ciera experiencia con análisis de circuios en corriene coninua y corriene alerna senoidal. Las señales más uilizadas en el modelado de circuios elécricos son las ensiones v() y las inensidades i(), aunque pueden considerarse flujos λ(), cargas q(), poencia p(), energía w(), ec. Elemenos pasivos lineales En una resisencia (fig. A.) de valor la relación enre la ensión y la corriene es: i v() () = Alernaivamene se puede considerar la conducancia i () = Gv (). G =, con lo que i () i L () i C () v () v L () L v C () C Figura A.. Elemenos pasivos En una bobina lineal (no se considera la sauración) de coeficiene de auoinducción L la relación enre la ensión y la corriene es: También puede ponerse: v L di L() L() =. il() = il( 0) L v L(). 0 En un condensador de capacidad C esa relación es: A

3 i C dv C() C() =, o bien: vc() = vc( 0) C i C() 0. Noar la dualidad enre las ecuaciones de la bobina y el condensador. En las ecuaciones aneriores no se ha disinguido enre condición inicial y valor inicial de la inensidad de la bobina y de la ensión en el condensador. Esas son variables que no pueden cambiar repeninamene salvo en casos muy especiales. La razón úlima es que no se puede cambiar insanáneamene la energía almacenada en un elemeno salvo que se le aplique exciación infinia (ensión en un condensador, corriene en una bobina). Eso hace que en el planeamieno de las ecuaciones de un circuio sea conveniene ener en cuena esas variables, aunque no sean las de inerés o salidas. Modelado y análisis de circuios elécricos El modelado de un circuio elécrico consise en la descripción del mismo mediane una serie de ecuaciones diferenciales que liguen las ensiones e inensidades de inerés (enradas, salidas, ec.). Una vez que se dispone de las ecuaciones que describen cada uno de los elemenos del circuio, la aplicación de las leyes de Kirchhoff permie escribir las ecuaciones diferenciales. Se supone al lecor familiaridad con esas leyes, así como con oras herramienas úiles: análisis en régimen permanene de circuios en c.c. y en c.a. senoidal, méodos de mallas y nudos, principio de superposición para circuios lineales, ec. Ejemplo A. (égimen permanene de c.c.) Considérese el circuio de la figura A.5. Los valores de los elemenos son: = 40Ω, L = 0,H y C = 0µF. Si se aplica una ensión coninua v() = V = 0 V, la bobina es como un corocircuio y el condensador es como un circuio abiero. Se ienen, inmediaamene, los siguienes resulados: 0 V L = 0, I C = 0, V = VC = V = 0V, I L = I = = 50mA. ❶ 40 A3

4 v i L L v L v C i C i C v Figura A.5. Circuio uilizado como ejemplo. Ejemplo A. (égimen permanene de c.a.) Considérese el mismo circuio que en el ejemplo anerior, pero ahora la ensión es v() = V M sen(ω), con V M = 0 V y ω = 000 rad/s. Se preende calcular la corriene por la resisencia. La impedancia visa por la fuene es: H Z = ( jωl) = 0,098 kω= e jωc j68,º. De donde, la corriene por la bobina y por la resisencia son: V j68,º IL = = 07,7mA = e Z jωc j90º I = IL = 00mA = e jωc En función del iempo, i ( ) = 00sen(000 90º ) = 00 cos(000). ❶ Ejemplo A.3 (Modelado de un circuio elécrico). Considérese de nuevo el mismo circuio. Se aplica una ensión v() (enrada) y se preende conocer la ensión en la resisencia v () (salida). Aplicando las ley de Kirchhoff de ensiones: Y la de inensidades: Teniendo en cuena las relaciones: v = v L v C, v = vc. i L = i ic. di v L L L =, dv i C C C =, v = i A4

5 Se llega a las siguienes ecuaciones diferenciales: donde v () = v C (). dv v i C C C di L =, L L vc = v. La solución del problema, conocida la ensión de enrada v() y unas condiciones iniciales i L (0) y v C (0) puede abordarse de disinas formas. Puede resolverse el sisema de ecuaciones diferenciales con écnicas clásicas. Puede omarse ransformada de Laplace en las dos ecuaciones y despejar la variable de inerés del sisema de ecuaciones algebraicas resulane. Aunque no es necesario en odos los análisis, pueden obenerse la ecuación diferencial que resula de eliminar una enre las dos: dv L dv LC C C vc = v. donde las condiciones iniciales son v C (0) y v C ( 0) = il(0) C vc (0) ( C). ❶ Nauralmene, la solución en c.c. o en c.a. senoidal del circuio ambién puede hacerse a parir de las ecuaciones diferenciales. En el primer caso basa con hacer cero las derivadas. En el segundo hay que suponer una solución para la ensión en el condensador (en la resisencia) de la forma V sen(ω φ). Cálculo operacional Un circuio elécrico lineal esá descrio por ecuaciones diferenciales lineales de coeficienes consanes, que pueden ser resuelas mediane la aplicación de la ransformada de Laplace. Ejemplo A.4 (Transformada de Laplace). Considérese de nuevo el mismo circuio del ejemplo A.. Las ecuaciones diferenciales que describen el circuio son: dv v i C C C di L =, L L vc = v. Tomando ransformada de Laplace: de donde: IL = ( sc ) VC CvC (0), slil LiL( 0) VC = V. slcv (0) Li (0) V = V C L C. LCs ( L ) s LCs ( L ) s A5

6 Con condiciones iniciales nulas, los valores uilizados en el ejemplo A. y v() en forma de escalón de 0V de ampliud se iene: V C = 0 ( s )( s 0,5) s 4 0,5 vc ( ) = 0( e e 3 3 ). En régimen permanene la solución es la misma que la del ejemplo A.. ❶ Alernaivamene, puede aplicarse el denominado cálculo operacional. Consise en redibujar el circuio uilizando las impedancias operacionales y escribir direcamene las ecuaciones en variable de Laplace. En esos circuios se pueden ener en cuena ambién las condiciones iniciales, como se verá más adelane. La impedancia operacional de un elemeno pasivo es la relación enre la ransformada de la ensión aplicada y la ransformada de la inensidad que circula: Para una resisencia se iene: V() s Zs () =. Is () v() V( s) i() = I( s) =, la impedancia operacional es precisamene. Para una bobina la impedancia operacional es sl: Para un condensador es /sc: v L di L() L() = VL( s) = ( sl) IL( s). i C dv C() C() = IC( s) = ( sc) VC( s). En el caso de bobina y condensador se llega a las mismas ecuaciones si se pare de la ecuación inegral del elemeno. Se deja como ejercicio. Ejemplo A.5 (Impedancias operacionales). Considérese de nuevo el mismo circuio. En la figura A.6 se presena el circuio con impedancias operacionales. Las ecuaciones de ese circuio son: V ( s) = VL ( s) VC ( s) = slil( s) VC ( s) V ( s) I ( s) I ( s) I ( s) C L = C = scvc ( s) A6

7 V I L sl V L V C I I C /sc V Figura A.6. Circuio con impedancias operacionales. Eliminando la inensidad en la bobina se iene: V C ( s) = V ( s). ❶ LCs ( L ) s Condiciones iniciales no nulas El cálculo operacional se puede exender al caso de condiciones iniciales no nulas. Las condiciones iniciales pueden represenarse en el circuio como generadores. ecordar que en un circuio lineal puede aplicarse el principio de superposición; una ensión o una corriene puede deerminarse como la suma de los efecos de las enradas más el efeco de las condiciones iniciales. Como las condiciones iniciales habiualmene conocidas son las ensiones en los condensadores y corrienes en las bobinas, que no pueden cambiar insanáneamene al represenar la energía almacenada en el circuio, no se disinguirá enre valores en 0 y valores en 0. Para un condensador, eniendo en cuena las condiciones iniciales: i C dv C() C() = IC( s) = scvc( s) CvC( 0 ). Esa ecuación permie represenar un condensador en un circuio como una impedancia /sc en paralelo con una fuene de inensidad Cv C (0). Alernaivamene, escribiendo la ecuación como: V s sc I s vc( 0 ) C() = C(), s permie represenar un condensador en un circuio como una impedancia /sc en serie con una fuene de ensión v C (0)/s. Para una bobina, eniendo en cuena las condiciones iniciales: A7

8 v L di L() L() = VL() s = slil() s LiL() 0. Esa ecuación permie represenar la bobina como una impedancia sl en serie con una fuene de ensión Li L (0). Alernaivamene, escribiendo la ecuación como: I s sl V s il( 0 ) L() = L(), s permie represenar la bobina como una impedancia sl en paralelo con una fuene de corriene i L (0)/s. I L sl = V Li L (0) sc I C Cv C (0) I V Figura A.7. Circuio con impedancias operacionales y generadores de condiciones iniciales. Ejemplo A.6 (Condiciones iniciales no nulas). Considérese de nuevo el mismo circuio del ejemplo A.5, pero con condiciones iniciales no nulas en la corriene en la bobina y en la ensión del condensador. En la figura A.7 se presena el circuio con impedancias operacionales y generadores para ener en cuena las condiciones iniciales. La ensión en la resisencia (o en el condensador) puede deerminarse aplicando el principio de superposición: V ( s) Li (0) ( sl) //( sc) V ( s) = L C Cv (0) C LCs ( L ) s ( sl) //( sc) V ( s) slcv (0) Li (0) = C L LCs ( L ) s El mismo resulado que se obuvo en el ejemplo A.4. ❶ Diagramas de bloques Las ecuaciones de los circuios se pueden represenar en diagramas de bloques. Los bloques de inegración (/s) permien represenar mejor la física del problema y permien visualizar las condiciones iniciales en los diagramas. En efeco, en una bobina la inensidad es una consane por la inegral de la ensión aplicada y en un condensador la ensión es una consane por la inegral de la inensidad que circula. Las condiciones A8

9 iniciales son los valores que endrán inicialmene las salidas de los inegradores. Ejemplo A.7 (Diagramas de bloques). Considérese de nuevo el circuio que se ha venido usando. Las ecuaciones diferenciales que describen su funcionamieno son: dv v i C C C di L =, L L vc = v. A parir de esas ecuaciones, o de las ecuaciones ransformadas, puede consruirse el diagrama de bloques de la figura A.8. Las funciones de ransferencia puede obenerse ahora, si se desea, empleando álgebra de bloques, en vez de álgebra convencional. ❶ v v L L s i L i C i C s v = v C Figura A.8. Diagrama de bloques del circuio de la figura A.4. A.3 Sisemas Mecánicos En los sisemas mecánicos las fuerzas, desplazamienos y velocidades son las variables comúnmene enconradas. La ecuación fundamenal es la ª ley de Newon: H L H dx( ) f ( ) = Ma( ) = M que indica que la suma de fuerzas que acúan sobre un cuerpo es igual al produco de su masa por la aceleración. Sisemas con Desplazamieno Lineal Para simplificar la exposición se considerarán sólo desplazamienos lineales en línea reca. Ejemplo A.0 (Sisema con masa y rozamieno viscoso). Considérese una masa M siuada sobre una superficie horizonal sobre la que acúa una fuerza exerior f(). El rozamieno de la masa con la superficie da lugar a ora fuerza A9

10 que se opone al desplazamieno y se supondrá proporcional a la velocidad con consane de proporcionalidad B. La aplicación de la ley de Newon da: dx f ( ) B = M d x Si se conoce la fuerza aplicada f(), y las condiciones iniciales (posición y velocidad) puede deerminarse la posición x() en cualquier insane. Las derivadas sucesivas darán la velocidad y la aceleración. ❶ x() M f() Figura A.. Ejemplo de sisema mecánico con desplazamieno lineal. Ejemplo A. (Sisema con fuerzas elásicas). Considérese un sisema parecido al anerior (fig. A.). Una fuerza exerior f() acúa sobre una masa M unida a una pared con un muelle elásico. El muelle presena una fuerza que se opone al desplazamieno y que puede suponerse proporcional a la elongación con consane de proporcionalidad K. El rozamieno de la masa con la superficie da lugar a ora fuerza que se opone al desplazamieno y que puede suponerse proporcional a la velocidad con consane de proporcionalidad B. La aplicación de la ley de Newon da: dx d x f ( ) B Kx = M Como en el caso anerior, si se conoce la fuerza aplicada f(), y las condiciones iniciales (posición y velocidad) puede deerminarse la posición x() en cualquier insane. Las derivadas sucesivas darán la velocidad y la aceleración. Las ecuaciones de ese sisema pueden represenarse en el diagrama de bloques de la figura A.3 ❶ k x() M f() Figura A.. Ejemplo de sisema mecánico con desplazamieno lineal. A0

11 f M b a s k v s x Figura A.3. Diagrama de bloques del sisema de la figura A.. Desplazamieno Angular Para sisemas con desplazamieno angular en una dimensión la ley de Newon se modifica; el par neo es igual al momeno de inercia muliplicado por la aceleración angular: m J J d ω J d θ () = α() = =, donde m() es el par aplicado, J el momeno de inercia, y {θ, ω, α} la posición, velocidad y aceleración angulares, respecivamene. En esos sisemas puede haber ambién pares resisenes debidos a la elasicidad de los ejes y al rozamieno. Ejemplo A.3 (Sisema de ransmisión con ruedas). Considérese el sisema de la figura A.5. Sobre un eje se aplica un par m ( ) haciéndolo girar a una velocidad ω ( ). Esá acoplado a oro eje a ravés de dos ruedas de radios r y r, que ruedan sin deslizar (es lo mismo que dos ruedas denadas con números de dienes N y N, siempre que r r = N N ). En ese segundo eje hay una carga que iene un momeno de inercia J y sobre el que acúa un par resisene (de carga) m L. Además sobre el ambor hay un par de rozamieno viscoso proporcional a la velocidad, con consane de proporcionalidad B. A

12 ω m r r ω m J m L B Figura A.5. Sisema de ransmisión con ruedas. En las ruedas se conserva la poencia (par velocidad angular) de forma que se iene la relación: r r m( ) ω( ) θ( ) = = = m ( ) ω( ) θ( ) donde m ( ) es el par aplicado en el eje viso en el eje y θ y θ los ángulos girados por cada uno de ellos. Como: dω m = J ( ) Bω m L, r ω m L r m r _ r r J s s r m ω _ B α θ θ Figura A.6. Diagrama de bloques del sisema de ransmisión con ruedas. puede dibujarse el diagrama de bloques de la figura A.6. De ese diagrama se obienen, en función del par aplicado y del par de carga, las velocidades y posiciones de ambos ejes, para unas condiciones iniciales de posición y velocidad dadas. ❶ A

13 A.4 Sisemas Térmicos En los sisemas érmicos las señales comúnmene empleadas son la emperaura T (a veces se manejan diferencias o gradienes de emperaura) y las poencias p() (flujo de calor por unidad de iempo). El modelado es en principio complicado, ya que la emperaura no suele ser homogénea en los cuerpos, lo que dará lugar a ecuaciones diferenciales en derivadas parciales y, por lo ano, a modelos de parámeros disribuidos. Se suele simplificar en muchos casos dividiendo el cuerpo en varias pares, o considerando una sola, suponiendo emperaura homogénea. Así se obienen ecuaciones diferenciales ordinarias y, por lo ano, modelos de parámeros concenrados. El calor puede fluir por conducción, por convección y por radiación. El primer fenómeno es prácicamene lineal, el flujo de calor es proporcional a la diferencias de emperauras. La convección es debida al flujo, sobre la superficie del cuerpo de susancias gaseosas o líquidas. La refrigeración de semiconducores en pequeñas poencias se realiza principalmene por convección de aire. En ransformadores de poencias elevadas la refrigeración se hace por aceie. La convección no es esricamene un fenómeno lineal, aunque puede suponerse así en márgenes discreos de emperauras. La radiación es un fenómeno no lineal, depende de T 4. La resisencia érmica (K/W o ºC/W) es un parámero uilizado en conducción y, linealizando (para pequeñas variaciones), en convección y radiación. Es la relación enre el flujo de calor por unidad de iempo evacuada a ravés de un conducor érmico y el gradiene de emperauras: T() T() T () p () = =. Cuano mayor es la resisencia menor es el flujo de calor para igual salo érmico. La capacidad érmica C (J/K o J/ºC) de un cuerpo es la canidad de calor que hay que darle para aumenar su emperaura un grado. Es decir: T () = T( 0) C p (). 0 Ejemplo A.4 (Calenamieno de un cuerpo). El calenamieno de un horno, de una máquina elécrica o de un componene elecrónico se suele modelar, en primera aproximación con un modelo muy sencillo que supone emperaura homogénea. En un puno del cuerpo se genera una poencia En el caso de un horno es la poencia dada a la resisencia calefacora. En el caso de una máquina elécrica o de un componene elecrónico es la poencia perdida (no deseada) en la conducción de la energía elécrica. A3

14 calorífica P de la que pare se emplea en calenar el cuerpo P c, y pare fluye hacía el exerior P f. Si el cuerpo iene una capacidad érmica C y una resisencia érmica, T es su emperaura y T e la emperaura exerior, se iene el modelo que se da en la figura A.7 en forma de diagrama de bloques. Es un modelo lineal descrio por: dt C = pc = p p f T T = p e Queda como ejercicio la deerminación de la función de ransferencia. ❶ P T P f P _ P c sc T P c T e P f T e _ Figura A.7. Diagrama simbólico del sisema de calenamieno (izqda.) y diagrama de bloques mosrando las variables y parámeros de inerés (dcha.). A.5 Sisemas Hidráulicos En un sisema hidráulico las variables normalmene enconradas son niveles, caudales, presión, velocidad, ec. El siguiene ejemplo muesra el modelado de un depósio de líquidos. Ejemplo A.5 (Modelado de un depósio) Un gran depósio de agua de sección consane A [m ]. y alura H max [m] (fig. A.8(a)), iene un orificio en el fondo de área a [m ]. En el depósio enra una caudal q() [m 3 /s]. La velocidad de salida del agua a ravés del orificio del fondo es v = gh, donde h es el nivel del agua y g es la aceleración de la gravedad. Por lo ano el caudal de salida es av y la ecuación que define el sisema (fig. A.8(b)), es: A dh () = q () a gh () Es decir, la variación del volumen del depósio es igual al caudal de enrada menos el caudal de salida. Ese es un sisema no lineal, ya que en la ecuación diferencial aparece la raíz cuadrada de la variable dependiene. Si el caudal de enrada es consane q ( ) = Q, se alcanza un puno de equilibrio que corresponde a Q = a gh, donde H es el nivel consane que alcanzará el agua. Linealizando el modelo en un enorno de ese puno de equilibrio se iene el siguiene modelo lineal de primer orden: A4

15 dh ~ ( ) ~ a g ~ A = q( ) h ( ) ❶ Q q h Depósio A a q() Depósio h() (a) Figura A.8. Ejemplo de modelado de un depósio. (a) Diagrama de funcionamieno. (b) Diagrama de bloques mosrando las variables de enrada y de salida. (b) A5