CINEMÁTICA PLANA DE UN CUERPO RÍGIDO

Transcripción

1 CINEMÁTIC PLN DE UN CUERPO RÍGIDO 1.- Movimieno lano de un cuero rígido En ese módulo se analizará la cinemáica lana de un cuero rígido. Ese esudio es imorane en el diseño de engranes, levas y mecanismos uilizados en muchas oeraciones mecánicas. El movimieno lano de un cuero rígido ocurre cuando odas sus arículas se deslazan a lo largo de rayecorias equidisanes de un lano fijo. Exisen res ios de movimieno lano de un cuero rígido, en orden de comlejidad creciene, los cuales son: Traslación. Ese io de movimieno ocurre cuando una línea en el cuero ermanece aralela a su orienación original durane odo el movimieno. Cuando las rayecorias del movimieno de dos unos cualesquiera del cuero son líneas aralelas, el movimieno se llama raslación recilínea. Si las rayecorias del movimieno se desarrollan a lo largo de líneas curvas equidisanes, el movimieno se llama raslación curvilínea. Roación alrededor de un eje fijo. Cuando un cuero rígido gira alrededor de un eje fijo, odas sus arículas, exceo las que quedan en el eje de roación, se mueven a lo largo de rayecorias circulares. Movimieno lano general. Cuando un cuero se somee a un movimieno lano general, exerimena una combinación de raslación y roación

2 .- TRSLCIÓN Considere un cuero rígido someido a raslación recilínea o a raslación curvilínea en el lano x-y Posición. Las localizaciones de los unos y B en el cuero se definen con reseco a un marco de referencia fijo x, y or medio de vecores de osición y. El sisema de coordinadas x, y rasladane ermanece fijo en el cuero con su origen en, conocido como uno base. La osición de B con reseco a esá denoada or el vecor de osición relaiva r B ( r de B con reseco a ). Por suma vecorial: rb r rb Velocidad. Una relación enre las velocidades insanáneas de y B se obiene mediane la derivada con reseco al iemo de esa ecuación, de la cual resula vb v drb d. En ese caso v y v denoan velocidades absoluas uesos que esos vecores se miden con B reseco a los ejes x, y. El érmino drb d 0, ueso que la magniud de en rbes consane or definición de un cuero rígido y como ése raslada la dirección de r B/ ambién es consane. celeración. l considerar la derivada con reseco al iemo de la ecuación de velocidad se obiene una relación similar enre las aceleraciones insanáneas de y B. Las dos ecuaciones aneriores indican que odos los unos en un cuero rígido someidos a raslación recilínea o curvilínea se mueven con la misma velocidad y aceleración. 3.- ROTCIÓN LREDEDOR DE UN EJE FIJO Cuando un cuero gira alrededor un eje fijo, cualquier uno P localizado en él se deslaza a lo largo de una rayecoria circular. Para esudiar ese movimieno es necesario analizar rimero el movimieno angular del cuero alrededor del eje.

3 Movimieno angular. Como un uno no iene dimensiones, no uede ener movimieno angular. Solamene las líneas o cueros exerimenan movimieno angular. Posición angular. En el insane que se muesra, la osición angular de r esá definida or el ángulo Ө, medido desde una línea de referencia fija hasa r. Deslazamieno angular. El cambio de la osición angular, el cual uede medirse como una diferencial, se llama deslazamieno angular. La magniud de ese vecor es dө, medida en grados, radianes o revoluciones, donde 1 rev = π rad. Velocidad angular. El cambio con reseco al iemo de la osición angular se conoce como velocidad angular ω (omega). Como ocurre durane un insane de iemo, enonces: ( +) d d La magniud de ese vecor se suele medir en rad/s. quí esá exresado en forma escalar, ueso que su dirección ambién va a lo largo del eje de roación. Cuando se indica el movimieno angular en el lano sombreado, odemos referirnos al senido de roación como en senido de las manecillas del reloj o en senido conrario a las manecillas del reloj. celeración angular. La aceleración angular (alfa) mide el cambio con reseco al iemo de la velocidad angular. La magniud de ese vecor es d ( +) () d Con la ecuación 1, ambién es osible exresar α como d ( +) (3) d

4 La línea de acción de es la misma que la de figura 16-4a; sin embargo, su senido de dirección deende de si se incremena o decrece. Si decrece, enonces α se llama desaceleración angular y or consiguiene su dirección se oone a. l eliminar d de las ecuaciones 1 y, obenemos una relación diferencial enre la aceleración angular, la velocidad angular y el deslazamieno angular: ( +) (4) d d Movimieno de un uno P. Cuando el cuero rígido gira, el uno P se deslaza a lo largo de una rayecoria circular de radio r con cenro en el uno O. Posición y deslazamieno. La osición de P esá definida or el vecor de osición r, el cual se exiende desde O hasa P. si el cuero gira dө enonces P se deslazará. Velocidad. La magniud de la velocidad de P se calcula al dividir enre d de modo que: v r (5) La velocidad se uede exresar como el roduco vecorial de la velocidad angular y el vecor de osición: (6) celeración. La aceleración de P uede exresarse en función de sus comonenes normal y angencial. a r (7) an r (8) El comonene angencial de la aceleración: reresena el cambio con reseco al iemo de la magniud de la velocidad. La comonene normal de la aceleración reresena el cambio con reseco al iemo de la dirección de la velocidad. La dirección de a n siemre es hacia O, el cenro de la rayecoria circula. l igual que la velocidad, la aceleración del uno P uede exresarse en función del roduco vecorial. Si consideramos la derivada con reseco al iemo de la ecuación (6), enemos

5 También uede reresenarse: dv d dr a x r x d d d a x r x x r La magniud de la aceleración uede deerminarse con el eorema de Piágoras: EJEMPLO 1 a a a n, Se enrolla una cuerda alrededor de la rueda mosrada en la figura, la cual inicialmene esá en reoso cuando Ө = 0. Si se alica una fuerza a la cuerda y se le imare una aceleración α = (4) m/s, donde esá en segundos, deermine, como una función del iemo, (a) la velocidad angular de la rueda, y (b) la osición angular de la línea OP en radianes. (9) SOLUCIÓN Pare (a). La rueda esá someida a roación alrededor de un eje fijo que asa or el uno O. El uno P en la rueda describe una rayecoria circular y su aceleración iene comonenes angencial y normal. La comonene angencial es a 4 m s La cuerda esá enrollada alrededor de la rueda y se deslaza angene a ella. La aceleración angular de la rueda es ( +) Por definición α = dω/d, la velocidad ω, Se inegra, con la condición inicial de que ω = 0 cuando = 0, se obiene: ( +) d 0 rad s d Res. Pare (b). Con ese resulado y d d, odemos deerminar la osición angular de OP, ueso que esa ecuación relaciona, y. l inegrar, con la condición inicial de que Ө = 0 cuando = 0, enemos: a r 4 m s 0.m 0 d rad s 0 d rad s

6 ( +) EJEMPLO 16. d d d rad s d 3 rad Res. El moor que se muesra en la foografía se uilizar ara hacer girar un ensamble de rueda y solador alojado en la caja. Los dealles del diseño se muesran en la figura. Si la olea conecada al moor comienza a girar desde el uno de reoso con una aceleración angular consane de rad s, deermine las magniudes de la velocidad y aceleración del uno P en la rueda, desués de que la olea ha realizado dos revoluciones. Suonga que la banda de ransmisión no se resbala en la olea y la rueda. SOLUCIÓN Movimieno angular. Primero converiremos las dos revoluciones en radianes. Como una revolución equivale a rad, enonces rad rev 1.57 rad 1 rev Como ( + ) es consane, la velocidad angular de la olea es or consiguiene 0 c 0 rad s rad rad s La banda iene la misma velocidad y comonene angencial de la aceleración cuando asa or la olea y la rueda. Por ano, v r r ; 7.090rad s 0.15m 0.4m B B B.659 rad s B B B B a r r ; rad s 0.15m 0.4m rad s B Movimieno de P. Como se muesra en el diagrama cinemáico en la figura 16-6b, enemos v r.659 rad s 0.4m 1.06 m s B B B B B a r rad s 0.4m 0.3 m s a r.659 rad s 0.4m.87 m s n. Por ano a 0.3 m s.87 m s.84 m s Res.

7 PROBLEMS 1. El volane gira con una velocidad angular de rad s, donde esá en radianes. Deermine la aceleración angular cuando ha realizado 0 revoluciones.. La cuerda que se enrolla alrededor de una rueda de ambor levana la cubea. Si el deslazamieno angular de la rueda es Ө = ( ) rad, donde esá en segundos, deermine la velocidad y aceleración de la cubea cuando = 3 s. 3. Durane un breve iemo, el moor hace girar el engrane con una aceleración angular consane de 4.5 rad s, a arir del uno de reoso. Deermine la velocidad del cilindro y la disancia que recorre en res segundos. La cuerda se enrolla en la olea D, la cual esá sólidamene unida al engrane B. 4. Juso desués de que se enciende el venilador, el moor imrime a las asas una aceleración angular 0.6 0e rad s, donde esá en segundos. Deermine la raidez de la una P de una de las asas cuando = 3 s. Cuánas revoluciones ha realizado el asa en 3 s? cuando = 0 el asa esá en reoso.