DEDUCCIÓN DE LAS ECUACIONES DE NAVIER STOKES

Transcripción

1 DEDUCCIÓN DE LAS ECUACIONES DE NAIER STOKES Inroducción Uno de los camos de la física más comlicados de esudiar son los fluidos, el comoramieno de ases líquidos en moimieno Comrender, or ejemlo, los flujos de aire urbuleno o los remolinos que se forman cuando el aua discurre or una ubería o la sanre or una areria son de suma imorancia, ano ara la ineniería como ara la medicina Las ecuaciones que rien la dinámica de fluidos son las conocidas como ecuaciones de Naier-Sokes, roduco del francés consrucor de uenes Claude-Louis Naier del maemá-ico irlandés Geore Sokes El rimero en obener esas ecuaciones fue el francés en una éoca (8) en que no se comrendía mu bien cuál era la física de la siuación que esaba maemaiando De hecho, lo único que hio fue modificar unas ecuaciones a eisenes obenidas or el famoso maemáico Euler, de modo que incluesen las fueras eisenes enre las moléculas del fluido Aroimadamene 0 años desués, Sokes jusificó las ecuaciones del ineniero francés deduciéndolas adecuadamene A esar de que las ecuaciones de Naier- Sokes son sólo una aroimación del comoramieno real de los fluidos, se uilian ara esudiar cualquier aseco que ena que er con ésos; el roblema es que si uno esudia el moimieno de un fluido con esas ecuaciones, es incaa de reer si ese moimieno se a a manener siemre o se a a comlicar Ecuaciones de Naier Sokes La seunda le de Newon esablece que la raide de cambio de momenum de una arícula de fluido es iual a la suma de las fueras que esán acuando sobre el fluido Raide de incremeno Suma de las fueras que esán acuando De momenum de una sobre la arícula del fluido Parícula de fluido Clasificándose las fueras en: Fueras Suerficiales: la fuera causada or la diferencia de resiones, la fuera de iscosidad, la ensión suerficial Fueras oluméricas: La fuera de raedad, la fuera cenrifua, la fuera coriolis la fuera elecromanéica Por lo que de acuerdo a la seunda le de newon: m a fa resion fa is cosidad W Sm ()

2 ara el moimieno de un fluido la ensión suerficial juea un ael oco imorane siendo or ese moio que no se oma en cuena, Sm es odas las demas fueras oluméricas que odrían esar afecando el moimieno del fluido bajo una condición dada uiliando el uno de isa laraniano, la elocidad ( or ano sus comonenes,, ) en cada uno del fluido deenderá del uno de que se rae del iemo que se considere maemáicamene: f (,,, ) f (,,, ) f (,,, ) En un insane deerminado esas ecuaciones nos dan la elocidad del fluido en cada uno del esacio, es decir la confiuración del flujo en ese insane; mienras que en un uno deerminado (,, ) las mismas ecuaciones nos dan la ariación de la elocidad con el iemo en ese uno Se iene or ano d d d d d d d d d d d d d d d (a) (b) (c) diidendo los dos miembros de las ecuaciones aneriores or d se iene: Ya que: d d d d d d (a) (b) (c) d d d,,, d d d Ahora sabemos que: d d d a, a,, d d d a

3 Por lo que: (4a) (4b) (4c) Consideremos ahora la siuiene fiura, donde el uno A(,, ) se encuenra en el cenro del elemeno del fluido con un olumen d d d,, Fiura Comonenes de la resión en la dirección Sea ),, ( f la resión en el uno A Sobre las 6 caras del cubo acúa la fuera debida a la resión or claridad en la fiura solamene se han indicado las fueras debidas a la resión que acúan sobre las caras normales al eje La resión en la cara erical iquierda será: d d en la cara erical derecha d d ahora realiando la suma ara obener el diferencial de resión en la dirección d d d ) ( sabiendo que la fuera es iual a la resión or el área Por lo que la fuera que esa acuando en la dirección debida a la resión es iual: a a a

4 ddd ddd ddd (5a) (5b) (5c) el eso del fluido en ese caso solamene acúa sobre el eje siendo ese la masa del fluido conenida en el cubo or la aceleración de la raedad: dw ddd El esado de los esfueros sobre un elemeno de un fluido es definido en érminos de la resión las nuee comonenes de los esfueros iscosos los cuales se muesran en la fiura siuiene, los esfueros iscosos son indicados or La noación de los subíndices ij es alicado ara indicar la dirección de los esfueros iscosos Los subíndice i j indican que la comonene del esfuero acúa en la dirección j sobre una suerficie normal a la dirección i Ahora ara obener una fuera iscosa or unidad de olumen, considérese el elemeno de fluido con olumen d, d, d Por el momeno si solo se oman los esfueros iscosos que acúan en la dirección Por lo que la fuera en la dirección es la suma de las comonenes de los esfueros acuando en esa dirección sobre el elemeno del fluido Fiura comonenes de los esfueros en la dirección Por lo que el esfuero que esa acuando en las caras E,W es iual ( d) d d en las caras N,S es:

5 d d d ) ( finalmene en las caras T,B: d d d ) ( ero si la fuera es iual a la resión or el área, enonces la fuera que esa acuando sobre el elemeno del fluido en la dirección esa dada or: ddd ddd ddd f en la dirección (6a) ddd ddd ddd f en la dirección (6b) ddd ddd ddd f en la dirección (6c) recordando la ecuación esablecida de acuerdo con la seunda le de Newon Sm W idad fa is resion fa a m cos oniendo las comonenes de cada fuera ara la dirección sabiendo que el diferencial de masa conenido en el olumen del fluido es iual: ddd dw ( ) ( ) ddd ddd ddd ddd ddd diidendo ambas ares de la ecuación enre el olumen diferencial ( ) ddd la ecuación anerior nos queda: eje eje

6 eje Esfuero iscoso Ahora se deerminará el esfuero iscoso que sure del moimieno corane Considérese rimero el flujo corane más simle que resule osible, que es áquel enre dos lanos aralelos seún se muesra en la fiura (a) un elemeno del fluido se deforma cuando la suerficie suerior se deslia reseco de su suerficie inferior Para un fluido newoniano, en las suerficies inferior suerior de un elemeno de fluido se enera un esfuero corane roorcionalmene al radiene de elocidad la iscosidad del fluido: u ero debe eisir un esfuero comlemenario en las caras ericales del elemeno de la fiura (b) que es iual a, ues de lo conrario el moimieno de roación del elemeno sufriría una aceleración con una elocidad anular infinia al hacerse su amaño infiniesimal Una relación así debe cumlirse ara cualquier dirección de los ejes como lo ejemlifica la fiura (c): ; ; (a) (b) (c) Fiura El moimieno de core mas sencillo de (a) da orien a los esfueros iscosos coranes que se muesran en (b) Si dicho moimieno esa en dirección, los esfueros iscosos coranes son los de (c) Ahora considérese un flujo corane en el cual las lacas que lo limian esán orienadas en la dirección El esfuero corane en la suerficie de ese elemeno es:

7 cualquier combinación de los flujos que describe la fiura (b) (c) oriina esfueros iscosos que son simlemene la suma de cada unas de esas conribuciones or searado: Ese resulado es álido ara el moimieno corane o anencial en el lano, de la fiura También deben cumlirse relaciones arecidas en los lanos,, En un fluido newoniano los esfueros iscosos son roorcional a la deformación La ridimensional forma de la le de iscosidad de newon ara flujos comrensibles enuele dos consanes de roorcionalidad: la, que es la iscosidad dinámica relaia a las deformaciones lineales or los esfueros λ, que es una iscosidad relaia a la deformación olumérica Los nuee comonenes de los esfueros iscosos, de las cuales 6 son indeendienes, que son: ; ; los oros son los comonenes normales a la suerficie del fluido, de los cuales el esfuero acua en un lano normal al eje esa dado or: " % " $ ' λ # & % $ ' # & no mucho se conoce acerca de la seunda iscosidad orque su efeco es equeño en la racica Sin embaro ara los ases una buena aroimación uede ser obenida omando el alor de λ -/, el ermino que acomaña a λ es la deformación olumérica que esa dada or el dierene de la elocidad Para los líquidos los cuales son incomresibles la deformación olumérica es cero esos esfueros iscosos se definen or: ; ; oliendo a la ecuación en la dirección susiuendo el alor de los esfueros iscosos or su corresondiene:

8 a oniendo el alor de a nos da la ecuación de Naier Sokes ara el eje en su forma eneral siuiendo lo mismo obenemos ara los demás ejes (,) Para la dirección (7a) Para la dirección (7b) Para la dirección (7c) ara el caso de un fluido incomrensible con iscosidad consane si 0 las ecuaciones de Naier sokes se simlifican de la siuiene manera: en la dirección : ( ) ; en la direc

9 enonces las ecuaciones de Naier Sokes en su forma simlificada quedarían: ; ara la dirección ; ara la dirección ; ara la dirección