Cómo realizar cálculos algebraicos con expresiones polinomiales y racionales en la Class Pad?

Transcripción

1 Cómo realizar cálculo algeraico con epreione polinomiale y racionale en la Cla Pad? Prof Roinon Arco INTRODUCCIÓN: La Aplicación Principal de la Cla Pad dipone de comando que permien dearrollar, facorizar y implificar epreione algeraica, en paricular, epreione polinomiale y racionale Cuando e aciva el menú ecundario [Tranformación ] de lo menú deplegale [Acción] e [Ineracivo], aparece un liado de comando relacionado con divero proceo de ranformación de epreione algeraica en ora equivalene Lo do primero comando de ranformación [implify] y [epand] preenan la iguiene inai: a Para implificar una epreión algeraica: implify(epreión Para dearrollar una epreión algeraica: epand(epreión En la iguiene eccione de ee maerial inruccional, enconrará ejemplo del uo de eo do comando: Figura 1 Cómo dearrollar epreione polinomiale y racionale? Ane de comenzar e neceario realizar en la Aplicación Principal de la ClaPad la iguiene area de limpieza y configuración: 1 Operación con la Cla Pad (1 Acive la Aplicación Principal ocando el icono del panel de icono ( Toque [Edi] [Borrar odo] [Acep] para limpiar el área de raajo ( Toque el oón Toque do vece [main] Aparecerán la variale que han ido aignada en oro cálculo Si ee e el cao, oque [Todo] [Seleccionar odo] [Edi] [Borrar] [Acep] Por úlimo, oque [Cerr] do vece para regrear al área de raajo Ea accione limpian el adminirador de variale ( Toque en el Panel de Icono el icono permanene Al deplegare el menú, oque [Configuración ] [Formao áico] ( En el cuadro de diálogo Formao áico realice la configuracione indicada en Figura Finalmene oque [Def] Bajo ea configuración oendrá en panalla lo reulado morado en ee Cómo? Figura 1

2 Dearrolle cada una de la iguiene epreione: (r 10 (r 7 1 a r,, 0 7 a(7a + 1 c (r 1 9 (10r 19 7 ( y z + (z + ( y En el dearrollo de eo re ejemplo veremo cómo opera la ClaPad en lo proceo de dearrollo y implificación de epreione algeraica : Operación con la Cla Pad Solución a la iuación prolemáica a: ( Oprima la ecla para acivar el eclado virual y oque la lengüea para acceder al eclado de planilla D (7 Toque ( Uilice el eclado de variale y el eclado numérico para ediar en la línea de enrada la epreión: (r 10 (r 7 1 (r 1 9 (10r 19 7 Para ello, ecria la epreión en la forma: (r^^^10^(r^7^1^^ (r^^1^9^(10r^19^7^^ (9 Toque Se oiene la epreión 1 10r Figura Oerve que en ee cao, al ediar la epreión en la línea de enrada y confirmar con [Ejec] o [EXE], la calculadora devuelve, en la línea de alida, una epreión equivalene que correponde al dearrollo indicado en la epreión original y u repeciva implificación Ea e la forma en que opera la ClaPad frene a cociene con facore comune Ella devuelve en la línea de alida una epreión implificada Solución a la iuación prolemáica : Veamo que ocurre al ediar la epreión preenada en el incio : (10 El la línea de enrada edie la epreión 7 a(7a + 1 (11 Toque Oervará que e oiene una epreión equivalene a la original, pero en ella no e ha realizado u dearrollo En ee cao, ejecue la iguiene inrucción: (1 Toque [Acción] [Tranformación ] [epand] (1 Seguidamene oque y luego oque Se oiene 9a + 9a que correponde al dearrollo de la epreión original, eo e, 7a(7a 1 = 9a + 9a + Figura

3 El oón rae a la línea de enrada el conenido en la memoria de repuea En la memoria de repuea queda guardado el úlimo cálculo efecuado depué de ocar u oprimir [EXE] El uo de la memoria de repuea reula de mucha uilidad en el cálculo y dearrollo de epreione Solución a la iuación prolemáica c: (1 El la línea de enrada edie la epreión ( y z + (z + ( y (1 Toque (1 Toque [Acci ón] [Tranformación ] [epand] (17 Seguidamene oque y luego oque Se oiene el dearrollo compleo de la epreión Para viualizar la pare ocula de una epreión que deorda la panalla, oque la flecha que aparecen al final o comienzo de la epreión Figura El menú [Ineracivo] preena un cuadro de diálogo que permie elegir el dearrollo de una epreión algeraica o el dearrollo de una epreión racional en fraccione imple Cómo realizar dearrollo uando el menú Ineracivo? Encuenre la decompoición en fraccione imple de la epreión racional propia 1 + ( + 1 Oervación: La decompoición de la fracción en fraccione imple de la fracción propia eige enconrar conane A, B, y C, ale que: 1 + ( + 1 A B + C = para 0 Al enconrar ea conane y uiuirla en el egundo miemr o, e oiene la decompoición en fraccione imple de la fracción propia Solución a la iuación prolemáica planeada: (1 Toque (19 En la línea de enrada edie la epreión 1 + ( + 1 (0 Toque y luego oque (1 Seleccione c on el lápiz ácil la epreión an (Figura ( En la arra de menú oque [Ineracivo] [Tranformación ] [epand] ( En el cuadro de diálogo oque [Fracción parcial] En el cuadro Variale: oque y luego oque [Acep] Oendrá 1 + ( = + Aquí + 1 A = 1, 1 B = y C = 1 Figura Figura 7

4 Decomponga la fracción: a 10 como la uma de un enero y una fracción propia + + como la uma de un polinomio y una fracción propia + + Solución a la iuación prolemáica a: En ee cao, dee enere preene que una fracción numérica e impropia, cuando el numerador e mayor que el denominador Una fracción e propia cuando el numerador e menor que el denominador ( Toque [Edi] [Borrar odo] [Acep] para limpiar la panalla ( Toque y edie la fracción 10 ( Toque (7 Toque [Acción] [Tranformación ] [propfrac] [an] [Ejec] Oendrá 10 = + Figura Solución a la iuación prolemáica : En ee cao, una epreión racional en una variale (cociene de polinomio en una variale e impropia cuando el grado del polinomio numerador e mayor o igual al grado del polinomio denominador Una epreión racional e propia cuando el grado del polinomio numerador e menor que el grado del polinomio denominador ( Edie la epreión racional (9 Toque (0 Toque [Acción] [Tranformación ] [propfrac] [an] [Ejec] Oendrá = Figura 9 Cómo implificar epreione algeraica? Veamo ahora cómo opera el comando [implify] Ee comando permie implificar, en alguno cao, epreione algeraica de manera direca Sin emargo, el proceo de dearrollo y implificación e, en realidad, el reulado de cominar vario comando, de acuerdo a la neceidad o ineré en un deerminado cálculo algeraico Simplifique cada una de la iguiene epreione algeraica: a para para, Solución a la iuación prolemáica a:

5 + + 1 (1 Edie la epreión racional + ( Toque ( Toque [Acción] [Tranformación ] [implify] [an] [Ejec] Oendrá = + para + Figura 10 Solución a la iuación prolemáica : ( Edie la epreión racional ( Toque ( Toque [Acción] [Tranformación ] [implify] [an] [Ejec] Oendrá = para, Figura 11 Cómo facorizar epreione algeraica? El menú deplegale [Tranformación ], de lo menú [Acción] e [Ineracivo] dipone de comando para facorizar epreione algeraica: Eien re comando [facor], [rfacor] y [facorou] que preenan la iguiene inai: c Para facorizar una epreión algeraica: facor(epreión d Para facorizar una epreión algeraica haa u raíce: rfacor(epreión e Para una epreión algeraica repeco a un facor epecificado: facorou(epreión, facor epecificado 7 Facorice la epreión Solución a la iuación prolemáica planeada: (7 En la línea de enrada edie la epreión ( Toque (9 Toque [Acción] [Tranformación ] [facor] [an] [Ejec] Oendrá la facorización imple = ( + 1( + Figura 1

6 Oervación: Con ee comando e oiene la facorización imple del polinomio Oerve que la raíce del 1 polinomio on = y = E poile oener una facorización de ee polinomio en érmino de ea raíce Eo e logra con el comando [rfacor] (0 Seleccione el polinomio en la anepenúlima línea de enrada y oque para copiarlo en el porapapele (1 Uique el curor en la línea de enrada y oque para pegar el conenido del porapapele en ea línea Toque [Ejec] ( Toque [Acción] [Tranformación ] [rfacor] [an] [Ejec] 1 ( Oendrá = + +, que e la facorización complea del polinomio Figura 1 Facorice la epreión a + a a + omando como facor la epreión a Solución a la iuación prolemáica planeada: ( Toque y en la línea de enrada edie la epreión a + a a + ( Toque ( Toque [Acción] [Tranformación ] [facorou] (7 Toque 1 1 Oendrá a + a a + = a a + + a Figura 1 Cómo realizar operacione de ranformación y implificación de epreione racionale? El menú deplegale [Tranformación ], de lo menú [Acción] e [Ineracivo] dipone del comando [comine] que ranforma y implifica epreione racionale Ee comando preena la iguiene inai: f Para ranformar y implificar una epreión algeraica: comine(epreión 9 Tranforme y implifique cada una de la iguiene epreione racionale: + 1 a p 1 p 1 p + 1 c p p 1 y + y + + y + y y y y y 1

7 Solución a la iuación prolemáica a: ( Toque En la línea de enrada edie la epreión (9 Toque (0 Toque [Acción] [Tranformación ] [comine] [an] [Ejec] (1 + 1 Oendrá + = para, Figura 1 Solución a la iuación prolemáica : ( En la línea de enrada edie la epreión p 1 p 1 p + 1 p p 1 ( Toque Aparece una epreión equivalene pero no implificada ( Toque [Acción] [Tranformación ] [comine] [an] [Ejec] Oendrá p 1 p 1 p + 1 = p p 1 1 p para p 0, 1, 1 Figura 1 Solución a la iuación prolemáica c: ( En la línea de enrada edie la epreión y + y + + y + y y y y y 1 ( Toque Aparece una epreión equivalene pero no implificada (7 Toque [Acción] [Tranformación ] [comine] [an] [Ejec] y + y + + y + y Oendrá = y + para y,, Figura 17 y y y y 1 7

8 Oervación: Cualquier comando puede er uilizado para ranformar pare de una epreión algeraica En ee cao, primeramene e elecciona la pare de la epreión que e quiere ranformar y luego e ejecua el comando deeado uilizando el menú [ineracivo] 10 Facorice el numerador y el denominador de la epreión z 1z y implifique z z Solución a la iuación prolemáica planeda: ( Toque [Edi] [Borrar odo] [Acep] (9 En la línea de enrada edie la epreión z 1z z z (0 Seleccione el numerador de la epreión ediada (1 Toque [Ineracivo] [Tranformación ] [facor] Se oiene z(z z z ( Seleccione la epreión que e encuenra en la línea de alida y oque ( Uique el curor en la línea de enrada y oque ( Ahora eleccione el denominador de la epreión ( Toque [Ineracivo] [Tranformación ] [facor] Oendrá la epreión implificada z 1z = z z z + Figura 1 Figura 19 Cómo calcular el mínimo común múliplo y el máimo común divior de epreione algeraica? Como una de la aplicacione de la facorización, e el cálculo del mínimo común múliplo y el máimo común divior de una lia de epreione algeraica 11 Encuenre el máimo común divior y el mínimo común múliplo de cada una de la iguiene lia de epreione algeraica: a { 7,, 1} { a a +, a a + a, a c a c } Solución a la iuación prolemáica a: ( Borre la panalla ocando [Edi] [Borrar odo] [Acep] (7 Acive el eclado virual maemáico ocando la olapa ( Toque y edie cada uno de lo número eparado por coma y finalmene oque De ea manera hemo creado una lia (9 Seleccione la lia y oque [Ineracivo] [Tranformación ] [facor] Se oiene la mima lia con lo número facorizado (Figura 0 Figura 0

9 El mínimo común múliplo e el produco de lo facore comune y no comune con u mayor eponene de lo número de la lia facorizada (70 En la línea de enrada edie el produco 7 11 y oque Se oiene mcm { 7,, 1} = 1 El máimo común divior e el produco de lo facore comune con u menor eponene de lo número de la lia facorizada En ee cao oerve que el único facor común con u menor eponene e el En MCD 7,, 1 = Figura 1 conecuencia { } Solución a la iuación prolemáica : (71 Edie la lia { a a +, a a + a, a c a c } (7 Toque (7 Toque [Acción] [Tranformación ] [facor] [an] [Ejec] mcm Se oiene la lia {(a, (a a, (a a c} deduce que: De donde e { a a +, a a + a, a c a c } = (a a c { a a +, a a + a, a c a c } = (a MCD Figura El menú deplegale [Cálculo ] de lo menú [Acción] e [Ineracivo] dipone de lo comando [gcd] y [lcm] para el cálculo repecivo del máimo común divior y el mínimo común múliplo de do epreione algeraica 1 Encuenre el máimo común divior y el mínimo común múliplo de cada una de la iguiene lia de epreione algeraica: a { 7z z 1, 1z + z } { a a 0, a a +, a + a + 1 } + Solución a la iuación prolemáica a: (7 Borre la panalla ocando [Edi] [Borrar odo] [Acep] (7 Toque [Acción] [Cálculo ] [gcd] (7 Seguidamene edie 7z z 1 oque y edie 1z + z (77 Toque Se oiene MCD { 7z z 1, 1z + z } = 7z + 1 (7 Seleccione en la línea de enrada anerior la lia de la epreione y oque (79 Uique el curor en la línea de enrada y oque [Acción] [Cálculo ] [lcm] Toque (0 Toque [Acción] [Tranformación ] [facor] [an] [Ejec] Se oiene mcm{ 7z z 1, 1z + z } = z(7z + 1(z 1 Figura Figura 9

10 Solución a la iuación prolemáica : (1 Borre la panalla ocando [Edi] [Borrar odo] [Acep] ( Toque [Acción] [Cálculo ] [gcd] ( Seguidamene edie primeramene a + a 0 oque y edie a a + ( Toque + Se oiene MCD{ a a 0, a a + } = a ( Toque [Acción] [Cálculo ] [gcd] ( Toque y edie a + a + 1 (7 Toque Se oiene finalmene que MCD { a a 0, a a +,a + a + 1} = 1 + Para oener el mínimo común múliplo e procede de manera análoga Coninúe ued el prolema y oenga: mcm { a + a 0, a a +,a + a + 1} = (a (a (a + (a + Figura Cómo reorganizar epreione algeraica repeco a una deerminada epreión? El comando [collec] del menú deplegale [Tranformación ] de lo menú [Acción] e [Ineracivo] permie reorganizar epreione algeraica repeco de una deerminada epreión de ineré 1 Reorganice la epreión a + ay y + a 1 repeco a la: a Variale a Variale c Epreión a + Solución a la iuacione prolemáica planeada: ( Borre la panalla ocando [Edi] [Borrar odo] [Acep] (9 Edie la epreión a + ay y + a 1 y oque [Ejec] (90 Seleccione la epreión en la línea de alida y oque (91 Uique el curor en la línea de alida y oque [Acción] [Tranformación ] [collec] Se oiene a + ay y + a 1 = a( y y y 1 (9 Toque [Acción] [Tranformación ] [collec] Se oiene a + ay y + a 1 = (y + a ay 1 (9 Toque [Acción] [Tranformación ] [collec] Se oiene a + ay y + a 1 = (a + ( y Oerve en cada uno de eo ejemplo la inai del comando [collec] Figura 10

11 Cómo evaluar epreione algeraica con la ClaPad? El eclado maemáico dipone del operador ( wih que aigna emporalmene un valor a una variale Ee operador e uil en la evaluación de una epreión algeraica 1 En cada cao, encuenre el valor correpondiene de la epreión para lo valore de la variale que e indican: a (y + z ( z ( y para = 1, y = 0, z = 1 a + + c ( a( ( c para = Solución a la iuación prolemáica a: (9 Borre la panalla ocando [Edi] [Borrar odo] [Acep] (9 Edie la epreión (y + z (z ( y y oque [Ejec] (9 Acive el eclado virual mh y oque operadore para acceder al eclado de (97 Toque la ecuen cia de oone Se oien e el valor Figura 7 Solución a la iuación prolemáica : (9 Toque y edie la epreión ( a( ( c (99 Toque [Ejec] (100 Acive el eclado virual mh y oque la ecuencia de oone (101 Toqu e [ Acción] [Tranformación ] [comine] [an] [Ejec] ( a c(a + c(a + c(a + + c Se oiene el valor Figura 1 11

12 1 PROBLEMAS Y EJERCICIOS: 1 Encuenre el valor correpondiene de cada una de la iguiene epreione para lo valore de la variale que e indican: a a + + c + ( + ( + ( c para a =, =, c = y = + y + z para = a + c, y = + c a, z = c a c para 10 = Dearrolle y implifique cada una de la iguiene epreione: a a (a c 7 9 ( c (a c 9 ( + a ( a c ( y + z(( y y( z + z (w + 9(w w w 1 d ( z w + y(y + z w e + + w + w w 1 ( + z + z( z f z z 1 z 19z + (z ( + z g z + 10z + 1 z + 1z + 9 ( + z z( z z 1 1 a a + 1 h i a + a 1 a Facorice cada una de la iguiene epreione: a z z 1z + 1 c y 7y y + y + y + d Decomponga en fraccione imple la iguiene fraccione propia: a ( 1 ( ( 1 c + 1 Ecria cada una de la iguiene fraccione impropia como la uma de un polinomio y una fracción propia: a c + 1 ( + 1 1