UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CLAVE M

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1 UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CLAVE-8-2-M CURSO: SEMESTRE: Curo de vacacione Diciembre 27 CÓDIGO DEL CURSO: 8 TIPO DE EXAMEN: Primer Parcial FECHA DE EXAMEN: Diciembre 27 HORARIO DE EXAMEN: : 3: AUXILIAR: Ocar Aria CLAVE: CLAVE-8-2-M

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3 S SOLUCIÓN DEL EXAMEN Tema (4 puno) Un peo de 24 Libra eira un reore 3 pie. El peo e libera a parir del repoo 2 pulgada arriba de la poición de equilibrio y el movimieno reulane iene lugar en un medio que ofrece una fuerza de amoriguamieno numéricamene igual a /4 vece la velocidad inanánea. Ue la ranformada de Laplace para enconrar la ecuación de movimieno. No. Explicación Se definen lo dao que e poeen que on el Peo, la. fuerza de amoriguamieno y el eiramieno, aí como la condicione iniciale. Luego e calcula la maa y la conane de Hooke. La condición inicial para la poición e negaiva ya que e libera arriba de la poición del repoo y que e deben converir la pulgada a pie para rabajar en el iema inglé. Se planea la ecuación diferencial que al uiuir 2. valore y dividir enre la maa reula la ecuación de modo eándar. Operaoria W = 24 Lb, b =, x = 3 F 4 m = W g = = 3 4 Slug, K = F x = 24 3 = 8 N F x() = 2 in = 5 3 F x () = mx + bx + kx = f() 3 4 x + 4 x + 8x = x + 3 x x = Se ranforma cada érmino de la EDO para poder reolverla. La egunda derivada y primera derivada on de la iguiene manera eándar para luego uiuir en la ecuación. L{x } = 2 x() x() x () L{x } = x() x() 2 x() x() x () + 3 (x() x()) x() = 4. Suiuyendo lo valore de la condicione iniciale e agrupan érmino que conengan x() y e raladan al egundo miembro de la ecuación lo que no conengan dicho érmino. Para ambo miembro e obiene el denominador común y e depeja x() 5. Se complea al cuadrado el denominador y e eparan la fraccione para ranformar inveramene y obener aí la olución de la ecuación. x() [ ] = x() [ ] = 3 9 x() = x() = L {x()} = 5 3 L { ( + 6 ) } 55 9 L { = ( + 6 ) } ( + 6 ) Al realizar la raformación invera e obiene. x() = 5 3 e 6 Co ( ) e 6 Sin( ) Ecuación de movimieno: x() = 5 3 e 6 Co ( ) e 6 Sin( 263 ) 6

4 Tema 2 (2 puno) Hallar la ranformada de: A) f() = 6 u( 3) No. Explicación Operaoria. La forma eándar de una ranformada de Laplace del ecalón uniario por ora función e la iguiene. Por lo ano. L{f()u( a)} = e a L{f( a)} L{f()} = 3 3 L{( + 3) 6 } 2. Dearrollando el produco noable y ranformando e obiene la repuea final. L{f()} = 3 3 L{ } L{f()} = 3 3 [ ] L{f()} = 3 3 [ ] B) f() = Sen()U( π 2 ) No EXPLICACION OPERATORIA. Para realizar la ranformada de ea función e debe hacer que el eno enga como argumeno igual al del ecalón uniario, para obener eo e realiza una idenidad rigonomérica de uma de ángulo Sen = en ( π 2 + π 2 ) Sen = en ( π 2 ) co (π 2 ) + co ( π 2 )Sen(π 2 ) Sen = co ( π 2 ) 2. Suiuyendo en la función original e puede calcular u ranformada. L{f()} = co ( π 2 ) u( π 2 ) L{f()} = e π 2 L{Co()} L{f()} = e π L{f()} = e π 2 2 +

5 Tema 3: (36 puno) Hallar la Tranformada Invera de: a) F() = ( 2 +49) 2 No. Explicación Operación La función dada no puede ranformare inveramene por medio de fraccione parciale ino. que e debe uilizar el eorema de f() = L convolución. La forma eándar de { convolución e la iguiene. g() = L { L{f() g()} = f(τ)g( τ)dτ } = Co(7) } = 7 Sen(7) Co(7τ) Sen(7τ 7)dτ 7 2. Se uiuye en la forma eándar y e uilizan idenidade rigonomérica para poder inegrar Co(7τ) [Sen(7)Co(7τ) Co(7)Sen(7τ)]dτ 7 7 [Sen(7) [ ( 2 + Co(4τ)dτ) Co(7) Sen(7τ)Co(7τ) dτ]] 2 Se inegra, e evalúan lo repecivo límie y e implifica para obener la repuea final. 7 [Sen(7) [ 2 + Co(7) Sen(7)Co(7))] [Sen 2 (7)]] 4 4 Sen(7) 4 L {f()} = Sen(7) 4

6 No. b) F() = e 3 3 (+2) Explicación Operaoria. Se epara en fraccione parciale para obener una forma má encilla de ranformar inveramene. A + B 2 + C 3 + D + 2 = 2 ( + 2)A + ( + 2)B + ( + 2)C + D 3 3 = ( + 2) 2. Se planea el iema de 4 ecuacione de 4 con 4 incógnia y luego al reolverlo e obienen lo iguiene reulado A + D = 2A + B = 2B + C = 2C = Ya e poible ranformar inveramene Lo cual conlleva ecribir primero el reulado del ecalón uniario obenido de la función original de e 3 e indicar lo reane a raformar. A = 8, B = 4, C = 2, D = 8 L {f()} = u( 3) L { ( + 2) } L {f()} = u( 3) [ e 2 ] 4. Finalmene a cada érmino, excepuando el conane, e le debe rear a u variable el érmino del ecalón uniario. L {f()} = u( 3) [ 8 u( 3) ( 3)u( 3) ( 32 )u( 3) 8 e 2( 3) u( 3)] L {f()} = u( 3) [ 8 u( 3) 4 ( 3)u( 3) + 4 ( 32 )u( 3) 8 e 2( 3) u( 3)]

7 c) F() = e No EXPLICACION OPERATORIA. Primero e complea al cuadrado el denominador para poder aí ranformar inveramene. Mienra que el érmino exponencial e ranformará inveramene como un ecalón uniario. 2. Se obiene la ranformada invera de la expreión anerior. e 3 F() = = e 3 ( + 3) L {F()} = 6 6 L { ( + 3) 2 } u( 3) + 6 Finalmene a cada érmino e le debe rear a u variable el érmino del ecalón uniario. L {F()} = 6 e 3 Sen( 6) u( 3) L {F()} = 6 e 3( 3) Sen( 6( 3)) u( 3) L {F()} = 6 e 3( 3) Sen( 6( 3)) u( 3)

8 Tema 4: (2 Puno) Reolver a) f() = ( θ) 3 f(θ)dθ 3 No EXPLICACION OPERATORIA. Para reolver eá ecuación inegro diferencial e debe obener la ranformada de Laplace de cada uno de lo érmino que la componen, cabe mencionar que la inegral e reuelve por medio del eorema de convolución. F() = L{3 }L{f(θ)} F() = F() 4 2. Se depeja para F(). Y e implifica. Se epara en fraccione parciale F() [ 6 4 ] = [ + 2 ] F() = [ + 2 ] [ ] F() = 2 ( + ) ( 4 6) = 2 ( + ) ( 2 + 4)( 2 4) = 2 ( + ) ( 2 + 4)( + 2)( 2) A + B C 2 + D + 2 (A + B)( 2 4) + C( 2 + 4)( + 2) + D( 2 + 4)( 2) 4 = Al reolver el iema de ecuacione que eo produce e obienen lo iguiene valore. A = 2, B = 2, C = 3 8, D = 8 5. Se uiuyen en la función original y e ranforman inveramene. L {F()} = Finalmene f() = 2 Co[2] + 4 Sin[2] e2 + 8 e 2 f() = 2 Co[2] + 4 Sin[2] e2 + 8 e 2

9 No b) dy d + 4y() + 6 y(θ)dθ = y() = EXPLICACION OPERATORIA. Para reolver eá ecuación inegro diferencial e debe obener la ranformada de Laplace de cada uno de lo érmino que la componen, cabe mencionar que la inegral e reuelve por medio del eorema de convolución. 2. Se depeja para F() Se implifica y e complea al cuadrado el denominador. y() y() + 4y() + 6y() = y() [ ] = y() = [ ( ) ] = = ( + 2) Se ranforma inveramene la úlima expreión. L {y()} = L { ( + 2) } 4. Finalmene e ranforma inveramene y() = 2 en( 2)e 2 y() = 2 en( 2)e 2

10 Tema 5: ( Puno) Hallar la ranformada de: T 4 f() = { T 4 No EXPLICACION OPERATORIA. Para ranformar ea función por pare e debe exprear como una función ordinaria. Para eo e uiliza el ecalón uniario. 2. Debido a que para ranformar e neceia que la variable que acompaña al ecalón uniario poea el argumeno del mimo e realiza el iguiene arreglo. f() = u( 4) f() = ( 4)u( 4) 4u( 4) Se realiza la ranformada de Laplace L{f()} = L{ ( 4)u( 4) 4u( 4)} f() = 2 e 4 2 4e 4 f() = 2 e 4 2 4e 4