Métodos Matemáticos de la Física 2 Transformaciones Integrales

Transcripción

1 Método Matemático de la Fíica 2 Tranformacione Integrale L. A. Núñez * Centro de Atrofíica Teórica, Departamento de Fíica, Facultad de Ciencia, Univeridad de Lo Ande, Mérida 5, Venezuela y Centro Nacional de Cálculo Científico Univeridad de Lo Ande (CeCalCULA), Corporación Parque Tecnológico de Mérida, Mérida 5, Venezuela Mérida, Abril 23 Verión α Índice. Cálculo Operacional 2. Definicione para Comenzar 2 3. Tranformada de Laplace. Ejemplo Sencillo 5 5. Integral de Convolución 7. Cálculo Operacional Toda ecuación diferencial puede er decrita de la iguiente forma donde D ( ) e un operador diferencial lineal * nunez@ula.ve D F (x) = f(x) = DF (x) = f(x) () Dx D (Ax n + Bx m ) = AD (x n ) + BD (x m ) = nax n + mbx m (2)

2 y en mucho apecto ee operador diferencial D ( ) puede er tratado como un número má. A aber, para una ecuación diferencial genérica con coeficiente contante e tiene y 3 y + 2 y = x 2 = ( D 2 3D + 2 ) y = x 2 = (D ) (D 2) y = x 2 (3) má aún por lo cual expandiendo y = x 2 (D ) (D 2) = y = x 2 (D 2) x2 (D ) () D = D = D D2 D 3 D (5) de donde y = D 2 = 2 D 2 = 2 D D2 8 D3 6 (6) ) 2 D D2 ( 8 D3 6 x 2 ( D D 2 D 3 D ) x 2 (7) por lo tanto tendremo la olución particular de la ecuación y 3 y + 2 y = x 2 y = ( x2 2 x 2 ) ( x 2 2x 2 ) = x x + 7 (8) La operacione que e uaron arriba etán relacionada muy etrechamente con la propiedade de la integral 2. Definicione para Comenzar e t f(t)dt (9) En general vamo a definir una tranformación integral, F (), de una función, f(t) como F () = b a K (, t) f(t)dt = T {f(t)} () donde K (, t) e una función conocida de y t, denominada el núcleo de la tranformación. Si a y b on finito la tranformación e dirá finita, de lo contrario infinita. Dependiendo de la elección del núcleo y lo limite tendremo ditinta tranformacione integrale. En Fíica la má comune on: 2

3 Nombre F () = T {f(t)} f(t) = T {F ()} Laplace F () = e t f(t)dt f(t) = γ+i 2πi γ i et F ()d Fourier de eno y coeno F () = en(t) co(t) f(t)dt f(t) = 2 π en(t) co(t) F ()d Fourier compleja F () = e i t f(t)dt f(t) = 2 π e i t F ()d Hankel F () = Mellin F () = tj n (t)f(t)dt f(t) = t f(t)dt f(t) = 2πi J n (t)f ()d γ+i γ i t F ()d La idea detrá de la utilidad de la tranformacione integrale puede reumire en el iguiente equema EDO para f(t) olución directa difícil e encuentra f(t) tranformación directa F () = T {f(t)} tranformación invera f(t) = T {F ()} relación para F () eventualmente má fácil olución para F () má fácil e encuentra F () 3

4 3. Tranformada de Laplace En nuetro cao ilutraremo el uo de tranformacione integrale con la tranformada de Laplace, que denotaremo de manera imbólica como F () = L {f(t)}.la iguiente tabla reume la tranformacione de alguna funcione. f(t) = L {F ()} e a t e a t in (at) co (at) t n n > t p p > inh at coh at in (bt) co (bt) t n e a t n ℵ F () = L {f(t)}, > a, > a a 2 + a 2, > 2 + a 2, > n! n+, > Γ (p + ) p+, > a 2 a 2, 2 a 2, a ( a) 2 + b 2 a ( a) 2 + b 2 > a > a n! ( a) n+, > a > a

5 f(t) = L {F ()} t < c u c (t) c > t c F () = L {f(t)} e c t >. Ejemplo Sencillo u c (t) f (t c) e c t F () e c t f (t) F ( c) f (c t) c F ( c), c > f (t τ) g (τ) dτ F () G () δ (t c) e c f (n) (t) n F () n f () f (n ) () ( t) n f (t) F (n) () Como un ejemplo de lo anterior, encontraremo la olución a la iguiente ecuacione diferenciale. Ecuación diferencial inhomogénea, continua, con valore iniciale y() = y + y = in 2t con y () = () L { y + y } = L {in 2t} 2 Y () y () y () + Y () = Y () = ( 2 + ) ( 2 + ) = a + b c + d = mediante la tranformada invera en cada término { L 5 } 3 = in t { L 2 } 3 = in 2t y (t) = 5 3 in t in 2t 3 () (2) (3) 2. Ecuación diferencial, con valore iniciale, inhomogénea a una función ecalón: π t 2π y() = y + y = h (t) = con t π t 2π y () = (5) 5

6 y + y = h (t) = u π (t) u 2π (t) L { y + y } = L {u π (t) u 2π (t)} (6) ( 2 + ) Y () y () y () = e π Y () = e π ( 2 + ) e 2π ( 2 + ) e 2π mediante la tranformada invera { } L 2 = co 2t + (9) { } { } e L π ( 2 = u π (t) g (t π) con g (τ) = L + ) ( 2 + ) (2) por lo tanto { } { e L π ( 2 = u π (t) L + ) del mimo modo L { e 2π ( 2 + ) } ( recordemo que hemo definido la función ecalón como t < c u c (t) t c )} [ ] 2 = u π (t) ( co 2 (t π)) + [ ] = u 2π (t) ( co 2 (t 2π)) (7) (8) (2) (22) c > (23) y finalmente la olución erá y (t) = co 2t + u π (t) [ ] [ ] ( co 2 (t π)) u 2π (t) ( co 2 (t 2π)) (2) 3. Ecuación diferencial, con valore iniciale, inhomogénea a una función impulo (delta de Dirac) y() = y + 2y + 2y = δ (t π) con (25) y () = donde la función (ditribución) delta de Dirac viene definida por δ (t t ) = con t t y dτ δ (τ τ ) = (26) con la útil propiedad de dτ δ (τ τ ) f (τ) = f (τ ) (27) 6

7 En una de la tabla anteriore hemo motrado la tranformada de Laplace de la función (ditribución) Delta de Dirac: L {δ (t c)} = e c por lo tanto y + 2y + 2y = δ (t π) L { y + 2y + 2y } = L {δ (t π)} (28) por lo tanto o también ( ) Y () = e π Y () = e π ( ) = e π ( + ) 2 + { } y (t) = L e π [ ] ( + ) 2 = u π (t) e (t π) in (t π) + t < π y (t) = e (t π) in (t π) t π (29) (3) (3) 5. Integral de Convolución Alguna vece e poible identificar la tranformada de Laplace H() como el producto de do tranformada de Laplace, F () y G() la cuale on la tranformada de funcione conocide f(t) y g(t). Pero eo e alguna vece: en general la tranformada del producto de funcione no e el producto de tranformada. Ea vece etán contenida en el llamado Teorema de Convolución, egún el cual e etablece una epecie de producto generalizado de funcione f y g. Sean Entonce donde F () = L {f(t)} y G() = L {g(t)} que exiten en el elintervalo > a > h(t) = L (F ()G()) = H() = F ()G() = L {h(t)} f(t τ) g(τ) dτ = para > a f(τ) g(t τ) dτ = (f g) (t) y h(t) e indentifica como la convulución de f y g. La integrale arriba expueta e conocen con integrale de convolución y hemo denotado h(t) = (f g) (t) para initir que e trata de un producto generalizado de funcione f y g. que comparte, con el producto ordinario de funcione, la iguiente propiedade f g = g f (conmutatividad) f [g + k] = f g + f k f [g k] = [f g] k f = f = in embargo f f tal y como e puede apreciar de (f ) (t) = f(t τ) dτ = 7 (ditributividad) (aociatividad) f(t τ) dτ f (t)

8 en el cao particular de que f (t) = co (t) tendremo (co ) (t) = co(t τ) dτ = in(t τ) τ=t τ= = in() in(t) = in(t) y por la mima razón, no hay garantía que (f f) (t) > f El ejemplo má emblemático de la aplicación del Teorema de Convolución e el etudio del ocilador amortiguado y forzado, el cual viene decrito por la ecuación diferencial ẍ + 2λ ẋ + ω 2 x = f(t) la tranformada de Laplace no lleva a con ẋ = dx dt x = x() ẋ = dx (32) t= 2 X() x ẋ + 2λ X() 2λ x + ω 2 X() = F () (33) dt reolviendo el primer umando queda como X() = 2λ x + ẋ + x 2 + 2λ + ω 2 F () λ + ω 2 (3) X () = 2λ x + ẋ + x 2 + 2λ + ω 2 = x ( + λ) ( + λ) 2 + ( ω 2 λ2) + ẋ + x λ ( + λ) 2 + ( (35) ω 2 λ2) y por lo tanto devolviendo el cambio y por el teorema de convolución x (t) = x e λt co ωt + ẋ + λx ω x 2 (t) = y por lo tanto la olución general erá F () X 2 () = 2 + 2λ + ω 2 in ωt con ω = ω 2 λ2 (36) (37) ω e λ(t τ) in ω (t τ) f (t) dτ (38) x (t) = x e λt co ωt + ẋ + λx ω in ωt + ω e λ(t τ) in ω (t τ) f (t) dτ (39) 8