Análisis de Sistemas Lineales. Modelado de sistemas

Transcripción

1 Análii de Sitema Lineale Modelado de itema

2 Contenido Sitema: definicione Modelado Repreentación de la etructura del itema Función de tranferencia

3 Sitema Sitema Realiza FUNCIÓN Poee ESTRUCTURA Preenta COMPORTAMIENTO Un itema realiza una función, poee una etructura y preenta un comportamiento.

4 Sitema de control De lazo abierto Ni la alida, ni la variable del itema influyen en el control De lazo cerrado La variable del itema o la alida, por medio de realimentación, influyen en el control

5 Control de lazo abierto Exactitud del modelo Control de lazo abierto Invariancia en el tiempo Auencia de perturbacione

6 Control de lazo cerrado Variable Realimentación Salida Control de lazo cerrado

7 Definicione Realimentación Una muetra de la alida e redirigida hacia la entrada para comparación Planta E el equipo fíico que e relaciona con la magnitud que e controla Se repreenta como itema LTI Controlador Elemento que e añade para llevar a cabo el control

8 Definicione (2) Etabilidad (E/S) Propiedad de un itema que ante una entrada finita reacciona con una alida finita Servo control Sitema de control en el cual la alida e la poición o alguna de u derivada Sitema dinámico Unidad funcional cuyo principale decriptore varían en el tiempo (Pueden er decrito como funcione del tiempo)

9 Relación entre componente del modelo Modelado Del comportamiento a la función Identificación Del comportamiento a la etructura Simulación De la función al comportamiento

10 Modelado Modelado El modelado e una abtracción: La dinámica erá abtraída del carácter fíico. Objetivo de la abtracción Decribir lo proceo temporale por medio de funcione del tiempo Reumir la relacione entre eo proceo como dependencia funcionale Repreentación Cuále variable del fenómeno reproducen el comportamiento dinámico del itema

11 Relación entre el itema y el modelo Modelado Simulación Comporta miento Función Etructura Comporta miento Simulación Identificación

12 Pao del modelado Decripción concreta del problema (y la planta) Selección de la variable que on importante para la decripción del comportamiento dinámico Definición de la exactitud del modelo (linealizacione, aproximacione) Identificación de entrada y alida (aún de perturbacione) Creación de una decripción de la etructura Obtención de la relacione funcionale para cada elemento o componente Prueba del modelo

13 Creación de la decripción de la etructura Identificar lo componente importante y u relacione Identificación de la entrada, variable y perturbacione Decripción de la etructura Partir el itema en u elemento. La relacione on cualitativa

14 Obtención del modelo cuantitativo Relacione funcionale Analíticamente A partir de leye fíica Empíricamente Experimentalmente Modelo cuantitativo

15 Prueba del modelo Análii Simulación Síntei Etabilidad Comparación de reultado con la medida del proceo Etructura del control Error de etado etacionario Validación Dieño Repueta de frecuencia Dimenionamiento

16 Importancia de la etructura del itema Contribuye a la comprenión del itema Muetra la relación entre la parte Proporciona una viión global de la propiedade dinámica del itema Muetra dónde el itema e encuentra realimentado, y lo acople

17 Repreentacione gráfica de la etructura Diagrama de bloque Diagrama de flujo de eñale

18 Diagrama de bloque Control Actuador Planta Medidor La etructura del itema e decribe a travé de un conjunto de elemento de tranferencia (tranmitancia) y la relacione entre éto.

19 Elemento del diagrama de bloque + - Punto de uma o reta Lineale Ecuacione Tranformada Funcione de tranferencia Variable de etado Gráfica o curva caracterítica No lineal Señal Vector

20 Diagrama de flujo de eñal Error Control Acción de control Planta Salida Medidor La etructura del itema e decribe a travé de un gráfico dirigido, donde lo nodo repreentan la eñale y la flecha repreentan propiedade de tranferencia.

21 Elemento del diagrama de flujo de eñale Señal x Nodo Relación funcional Flecha Propiedade de tranferencia

22 Decripción temporal de itema lineale A travé de ecuacione diferenciale Leye fíica modelo matemático De diferencia Sitema eléctrico Leye de Kirchhoff Sitema mecánico Leye de Newton, conervación de la energía Sitema hidráulico Bernoulli Lo itema erán lineale De parámetro concentrado Invariante en el tiempo

23 Forma general de la ecuación diferencial Ecuación diferencial ordinaria de n-orden, donde a i y b i on reale y provienen de lo parámetro fíico del itema a d n y t n 1 () d y() t a a dy () t n n + n 1 n 1 + K a0 y() t = dt dt dt b dut q q 1 () d u() t b b du () t q q + q 1 q 1 + K but 0 () () 1 dt dt dt Dada u(t) para t 0 y la condicione iniciale e poible conocer y(t) Condicione iniciale n d y ( ) n 1 0 d y ( 0 ),,, n n y ( ); 1 L 0 q < n dt dt para caualidad

24 Función de tranferencia Aplicamo la Tranformada de Laplace a la ecuación (1) y poniendo toda la condicione iniciale en cero e tiene: n n 1 q 1 ay () + a Y () + K+ ay () + ay () = b U () + K+ bu () + bu () n n q n n 1 q q 1 ( a + a + K+ a + a ) Y() = ( b + b + K+ b + b ) U() n n q q Función de tranferencia en forma de cociente de polinomio Tiene n polo y q cero Y ( ) U() = q q 1 b + b + K+ b+ b q q 1 n n 1 a + a + K + a + a n n = G ( ) Depende únicamente de la planta Caracterítica E completa

25 Propiedade de la tranformada de Laplace { } F ()= L f(t) L f(t) d dt L & f(t) = F() f () t t= 0 = { } L k k 1 d f(t) k k k d f t = F() f() t f& () 1 2 () t K dt t= 0 t= 0 dt t= 0

26 Otra forma de repreentar G() ZPK: Cociente de producto de cero entre producto de polo q < n Función etrictamente propia (planta) q = n Función propia (controlador) q > n Función impropia (no exite) ) )( )( ( ) ( ) )( ( ) ( n q q C G λ λ λ = L ) ( ) ( ) ( 1 1 i n i i q i q C G λ = Π Π = =

27 Referencia Ogata, Katuhiko. Dinámica de Sitema, Prentice Hall, 1987, México. Kuo, Benjamin C.. Sitema de Control Automático, Ed. 7, Prentice Hall, 1996, México.