Sistemas Físicos. Prof. Francisco M. González-Longatt ELC Teoría de Control

Transcripción

1 ELC-3303 Teoría de Control Modelación Matemática de Sitema Fíico Prof. Francico M. González-Longatt

2 . Introducción En el análii y dieño de itema de control, un pao umamente importante; e la modelación matemática del proceo fíico a er controlado. La modelación conite en la repreentación mediante una abtracción matemática de una ituación fíica real. Siendo el modelo, la erie de ecuacione que definen el comportamiento que e deea emular.

3 . Introducción El proceo de crear un modelo no e encillo. Por el contrario en ituacione puede coniderare un proceo complejo y cai infinito que requiere er acotado. Se debe definir el conjunto de variable que decriben la caracterítica dinámica del fenómeno. Por ejemplo, cuando e conidera un circuito eléctrico, en éte típicamente la variable de interé on voltaje o corriente.

4 . Introducción La variable que definen la caracterítica dinámica del itema, etán interrelacionada entre i atravédeleye fíica, la cuale conllevan a la formulación matemática de la ecuacione del modelo. V X X X X X X X X X X El voltaje (V varia proporcionalmente con la corriente (I V = RI X X X I

5 . Introducción En función del fenómeno dominante, dentro del interé, el énfai en el modelado cambia. El tipo de fenómeno puede llevar al uo de ecuacione del itema, lineale o no lineale,, variante o invariante con el tiempo. V X X X X X X X X X X El voltaje (V varia proporcionalmente con la corriente (I V = RI X X X I

6 . Introducción Lo modelo matemático pueden adoptar mucha forma ditinta. La conveniencia del modelo depende de circuntancia epecifica. i( t ( t v L I V jω L ( t v = L ( t di V = jωli

7 . Introducción Simplicidad Contra Preciión Mejorar a preciión de un modelo matemático, aumenta la complejidad. Debe haber un equilibrio entre implicidad y preciión de lo reultado.

8 . Introducción Sitema Lineale Cumple con el principio de uperpoición. Permite obtener la repueta a varia entrada por el calculo tratando una entrada a la vez y umando lo reultado ( 3 t t x ( x ( t = x ( t x ( t x x ( t y( t

9 . Introducción x ( t y ( t x ( t ( t y y t y t ( t = x ( t x ( t y( t = ( ( x

10 . Introducción Sitema Lineale Invariante con el Tiempo Una ecuación diferencial e lineal i u coeficiente on contante o on funcione olo de la variable independiente. dy( ( t = f ( t

11 . Introducción Sitema Lineale Invariante con el Tiempo Sitema dinámico formado por parámetro concentrado lineale e invariante en el tiempo e decriben mediante ecuacione diferenciale lineale invariante en el tiempo (de coeficiente contante. ( t di L Ri = ( t v( t t v ( i ( t R L

12 . Introducción Sitema Lineale Variante coneltiempo Sitema dinámico formado por parámetro concentrado lineale y invariante en el tiempo e decriben mediante ecuacione diferenciale lineale invariante en el tiempo (de coeficiente variable en el tiempo. ( t di L R = (( t i t v( t

13 . Introducción Sitema NO Lineale NO e aplica el principio de uperpoicion. La repueta a varia entrada no puede er obtenida por la uma. E típico de componente aturable en itema mecánico, hidráulico, etc. d y( t d y( t y = Aen( ωt d x( t dx ( ( t x x = 0 d x ( t dx ( t 3 x x = 0

14 . Introducción Salida Entrada No linealidad de Saturación Salida No linealidad lid d de Zona Muerta Entrada No linealidad de Ley Cuadrática

15 . Repueta Impuliva Un mecanimo ampliamente aceptado en lo itema de control, y que e ha extendido a otra epecialidade, para la modelación de lo itema lineale, e el uo de la función de tranferencia. La cláica forma de la función de tranferencia, efectúa la relacione entre la variable de entradaalida del itema.

16 . Repueta Impuliva Una forma de obtener la función de tranferencia de un itema lineal, e empleando la denominada repueta impuliva o repueta al impulo. x(t δ( δ t t

17 . Repueta Impuliva Eto e baa en coniderar un itema lineal e invariante en el tiempo, cuya entrada e x(t, y la alida e y(t. x ( t y( t Sitema Lineal e Invariante en el Tiempo

18 x(t. Repueta Impuliva El itema e puede caracterizar por u repueta al impulo g(t, que e define como la alida del itema cuando la entrada e un impulo unitario δ(t. ( δ t x ( t y ( t t y( t = g( t

19 . Repueta Impuliva Una vez conocida la repueta ante la entrada de impulo del itema lineal, la alida del itema y(t para cualquier entrada x(t e puede encontrar mediante la función de tranferencia. x ( t y ( t Función de Tranferencia

20 . Repueta Impuliva En el cao má imple, de un itema lineal e invariante en el tiempo de una entrada y una alida, la función de tranferencia e define como la tranformada de Laplace de la repueta al impulo con toda la condicione iníciale iguale a cero. Repueta Impuliva Función de Tranferencia ( t g ( t y = ( L [ g ( t ] G =

21 . Repueta Impuliva Conidere que G( repreenta la función de tranferencia del itema de una entrada y una alida; iendo x(t la entrada y y(t la alida, y ea g(t la repueta al impulo. ( t x y( t Repueta Impuliva ( t g ( t y = Función de Tranferencia ( L [ g ( t ] G =

22 . Repueta Impuliva Entonce la función de tranferencia de G( e define como: ( L[ g( t ] G = La función de tranferencia G( e relaciona con la tranformada de Laplace de la entrada y la alida de la iguiente forma: Senal Entrada ( Sitema de Control ( G = Senal Salida X Y ( Y X ( (

23 . Repueta Impuliva Con toda la condicione iniciale on upueta a cero, Y( yx( on la tranformada de Laplace de y(tyx(t repectivamente. X ( Y ( G ( Diagrama de bloque motrando la función de tranferencia, y eñale de entrada y alida Pee a que la función de tranferencia de unitema lineal e define en término de la repueta impuliva, en la práctica, la relación entrada-alida, de un itema lineal e invariante en el tiempo, en tiempo continuo, e decribe muy frecuentemente mediante una ecuación diferencial. i

24 d n. Repueta Impuliva Conidere que la relación entrada/alida de un itema lineal invariante con el tiempo e decribe mediante la iguiente ecuación diferencial de n-éimo orden con coeficiente reale contante: y n ( t d y( t dy( t n a n m ( t d x( t dx( t d x K a a y( t b b b b n 0 = m m m K m En donde lo coeficiente de la ecuación: a 0, a, a, a n-,yb 0, b, b,,b m, on reale. m 0 x ( t x ( t y( t

25 . Repueta Impuliva Cuando la entrada del itema x(t ea epecificada (t 0, la condicione iniciale del itema on conocida, la repueta del itema y(t parat 0, puede er determinada, a partir de la reolución de la ecuación diferencial ante plateada. Ete procedimiento puede er algo conumidor de tiempo, y en etapa de análii y dieño, reulta er algo moleto. Reolver la Ecuación Diferencial d n y n ( t d y( t dy( t a m m d x ( t d x( t dx( t ( t = b b K b b x ( t K a a y n 0 m m m m n n 0

26 . Repueta Impuliva S han dearrollado programa computacionale para efectuar una reolución eficiente de ecuacione diferenciale La filoofía báica de la teoría de control lineal e el dearrollo de herramienta de análii y dieño que eviten la olución exacta de la ecuacione diferenciale del itema. Excepto en lo cao en que e deea la olucione mediante imulación ió encomputadora para examinar la preentación final del deempeño del itema.

27 d n. Repueta Impuliva Paraobtener la función de tranferencia del itema lineal invariante en el tiempo, repreentado por: y n ( t d y( t dy( t n a n m ( t d x( t dx( t d x K a a y( t b b b b n 0 = m m m K m Se debe tomar la tranformada de Laplace de ambo lado de la ecuación y e aumen condicione iníciale igual a cero. n d y L ( t n = n Y m n ( k ( n k y ( 0 ± k = 0 x ( t Condicione iíil iníciale nula

28 . Repueta Impuliva Para obtener la función de tranferencia del itema lineal invariante en el tiempo, repreentado por: lineal invariante en el tiempo, repreentado por: ( ( ( ( ( ( ( ( t x b t dx b t x d b t x d b t y a t dy a t y d a t y d m m m m m m n n n n n 0 0 = K K Haciendo lo ante decrito reulta: ( ( ( ( X b b b b Y a a a m m n n ( ( ( ( X b b b b Y a a a m m n 0 0 = K K TEORIA DE CONTROL Introducción

29 . Repueta Impuliva La función de tranferencia G( e la relación entrada alida en término de tranformada de entrada alida en término de tranformada de Laplace: ( 0 b b b b Y m m ( ( ( 0 0 a a a b b b b X Y G n n n m m = = K K ( X ( Y

30 . Repueta Impuliva La función de tranferencia e una definición que olo aplica en itema línea e invariante en el tiempo, y que no eta definida en el cao de lo itema no lineale. La función de tranferencia, relaciona la entrada y alida del itema lineal e invariante en el tiempo, en término de lo parámetro del itema, ( X ( Y( G

31 . Repueta Impuliva E una propiedad del itema en í, independientemente de la entrada o la excitación. ( X ( Y ( G G ( = Y X ( m m bm bm K b = ( n n a K a a0 n b 0

32 . Repueta Impuliva La función de tranferencia de un itema lineal e invariante al tiempo, e un concepto que preenta la dinámica de un itema de ecuación algebraica, de. La potencia má alta en denominador de la función de tranferencia e igual al orden del término de la derivada má alta de la alida. G ( = Y X ( X Y ( ( m m bm bm K b = ( n n an K a a0 b0

33 3. Sitema Mecánico de Tralación En general ete itema conta de reorte (k, maa (M y amortiguador (f, aunque puede preentar eto elemento. Amortiguador x( t M k Reorte Maa f y( t Sitema Mecánico de Tralación: Maa-Reorte-Pitón

34 3. Sitema Mecánico de Tralación El amortiguador e un elemento que provee fricción o amortiguamiento. Se deea obtener la función de tranferencia, en donde la entrada x(t ( = F in e la fuerza, y la alida e el deplazamiento y(t. ENTRADA Fuerza x( t M k SALIDA Deplazamiento f y( t

35 3. Sitema Mecánico de Tralación Diagrama de Cuerpo Libre x' Ma = F F reorte amortig F in F r F r amortiguador F reorte y' Sentido poitivo en la dirección de la entrada r F entrada = r x ( t

36 3. Sitema Mecánico de Tralación Se procede a plantear la ecuación diferencial que rige el itema; por la Ley de Newton e conoce: Ma = F F reorte Para el cao del reorte e tiene: amortig F in x( t k F ( t reorte = ky f M y( t F piton = fv = f dy ( t

37 3. Sitema Mecánico de Tralación LafuerzadeentradaeF in = x(t, entonce reulta: d ( t d y dy M = f ky( t x( t Aplicando la tranformada de Laplace en la ecuación anterior: d y ( t dy L M = L f L ky( t [ ] L[ x( t ] [ ( ( ( ] Y y 0 y' 0 = f [ Y( y( 0 ] ky( X ( M

38 3. Sitema Mecánico de Tralación Si la condicione iniciale on nula: y(0 = 0, y (0 = 0, entonce e tiene: [ ( ] Y = f [ Y( ] ky( X ( M De tal modo, la función de tranferencia del itema mecánico queda dada por: ( G = M f k

39 4. Sitema Mecánico de Rotación El itema mecánico de rotación conite de una carga inercial (J y un amortiguador vicoo. T ( t ω( t J Sitema Mecánico de Rotación: Momento de Inercia-Amortiguamiento Vicoo

40 4. Sitema Mecánico de Rotación El itema mecánico de rotación conite de una carga inercial y un amortiguador vicoo. Carga Inercial Amortiguador T ( t ω( t J Sitema Mecánico de Rotación: Momento de Inercia-Amortiguamiento Vicoo

41 4. Sitema Mecánico de Rotación El itema mecánico de rotación conite de una SALIDA carga inercial y un amortiguador vicoo. Vl Velocidad iddangular ENTRADA Torque T ( t ω( t J Sitema Mecánico de Rotación: Momento de Inercia-Amortiguamiento Vicoo

42 4. Sitema Mecánico de Rotación En ete itema, e conidera que la entrada correponde al torque T(t, que e aplicado y la alida e la velocidad angular ω(t. El comportamiento dinámico de ete itema mecánico de rotación puede er modelado por medio de la leye de Newton aplicada al movimiento circular. Jα = T

43 4. Sitema Mecánico de Rotación En forma imple dice: (Momento de inercia (Aceleración angular = (umatoria de lo torque En ete itema, exite el torque aplicado T in (t, y ademá lo torque aociado a la maa T maa (t, y el torque aociado al amortiguador T amortig (t: T = T T in maa amortig Coniderando la definición de lo diferente torque: T T maa = amortig J = dω f ω ( t ( t

44 4. Sitema Mecánico de Rotación SiendoJ el momento de inercia del cuerpo giratorio, ω u velocidad angular y f el coeficiente de fricción vicoa. Ahora e procede a utituir la repectiva definicione: T in = J ( t dω fω ( t

45 4. Sitema Mecánico de Rotación Para obtener la función de tranferencia del itema, e procede a calcular la tranformada de Laplace en ambo lado de la ecuación anterior que decribe la dinámica. dω( d ( t T in = J ω dω t ( ( fω t [ ] L T [ ( ] in = L J L f t ω Sea, cada una de la tranformada de Laplace: Ω τ ( = L[ ω( t ] ( = L [ T ( t ]

46 4. Sitema Mecánico de Rotación Se tiene que: ( ω ( f Ω ( = τ ( J Ω 0 Aumiendo la condicione iniciale iguale a cero; ω(0 = 0, e tiene que: Ω( G( = = τ J f τ ( f

47 5. Sitema eléctrico de un circuito RLC Serie Sea un circuito RLC erie como el que e muetra en la Figura. R L v in ( t i( t C v out ( t Sitema Eléctrico: Circuito RLC erie

48 5. Sitema eléctrico de un circuito RLC Serie Sea la eñal de entrada v in (t yv out (t el voltaje de alida el cual e medido obre el capacitor. SALIDA ENTRADA Voltaje Aplicado v in R L ( t i( t C v out Sitema Eléctrico: Circuito RLC erie Voltaje en el Capacitor ( t

49 5. Sitema eléctrico de un circuito RLC Serie Se procede a etablecer la ecuación que rige el comportamiento dinámico eléctrico de ete circuito. R L v in ( t = L di ( t Ri T ( t i( t C 0 v C in i( t ( t ( t v out v out T ( t = i( t C 0

50 5. Sitema eléctrico de un circuito RLC Serie Se procede a etablecer la ecuación que rige el comportamiento dinámico eléctrico de ete circuito. Para ello e toma en conideración la Ley de Voltaje de Kirchoff. v v in out ( t = L di ( t T ( t = i ( t C Ri T C ( t i( t 0 R 0 v in t i( t C ( L v out ( t

51 5. Sitema eléctrico de un circuito RLC Serie Aplicando la tranformada de Laplace en amba expreione, y en ambo lado e tiene, y aumiendo que la condicione iniciale on cero: [ ( t ] L v in ( T t L[ Ri( t ] L i( t di = L L C 0 T = L i t C 0 [ ( t ] ( L v out

52 5. Sitema eléctrico de un circuito RLC Serie De tal modo reulta: V in = LI RI C V out ( = I ( C ( ( ( I( Finalmente queda dfiid definida la función de tranferencia como:

53 6. Sitema Rotacional Se deeaobtener un modelo dinámico para un itema rotacional dearrollando un diagrama que muetre la dirección de la velocidad angular y la correpondiente expreión para todo lo torque. Coniderando el itema rotacional que e decribe en la figura iguiente. T ( t K J J ω ( t ω ( t B B

54 6. Sitema Rotacional Ecribir un conjunto de ecuacione diferenciale (en término de la velocidade angulare que proporcionara un modelo valido para el itema. T ( t J ω ( t K J J ω ( t B B

55 6. Sitema Rotacional T ( t K J ω ( t J ω ( t B Coniderando la uma de lo torque, mediante la aplicación de la leye de Newton para el movimiento rotacional e tiene: dω ( ( t t T t = J ( [ ( (] ( 0 Bω t K ω t ω t T 0 0 ( t dω = J ω t Bω 0 B ( t K [ ω ( t ( t ] T ( 0

56 7. Ejemplo Sitema de Tralación Coniderando el itema de la Figura iguiente. B B k y y ( t M k Sitema tranacional de varia maa M y ( t

57 7. Ejemplo Sitema de Tralación Ecribir un conjunto de ecuacione diferenciale para decribir el itema en término del deplazamiento y y y. Suponer que y y y onceroenla poición de repoo con todo lo reorte y maa incluido, pero f =0. B B k y ( t M k M y ( t

58 7. Ejemplo Sitema de Tralación Con la poicione de referencia determinada tal como e ha epecificado, un deplazamiento inicial del reorte uperior produce una fuerza que e igual y opueta a M g M g, y un deplazamiento inicial del reorte inferior produce una fuerza que compena a M g. Aí, la ecuación e exprea ( t f ( t = d y M K ( t [ y ( t y ( t ] d y dy K [ y ( t y ( t ] K y ( 0 = M t B ( t

59 8. Ejemplo Mecánico de Tralación Conidere el itema mecánico tranacional de la iguiente figura, donde e ha upueto que la uperficie e libre de rozamiento. x ( t k f ( t M B Sitema mecánico de tralación

60 8. Ejemplo Mecánico de Tralación Se contruye el diagrama de cuerpo libre, como e muetra a continuación. x ( t k f ( t M B f ( t M M Bv dv ( t ( t t 0 ( t f ( 0 k v a

61 8. Ejemplo Mecánico de Tralación Oberve que la dirección x(t upueta de la fuerza producida por lo elemento paivo e muetran en una dirección opueta a la velocidad v(t, que e ha aumido. dv( t ( t M Bv ( t K v ( t f ( 0 f = Donde la velocidad v(t ( e la variable dependiente y f(t e una fuerza de entrada no epecificada. t o

62 9. Ejemplo Sitema Mecánico de Tralación: Varia Maa Conidere un itema mecánico de do maa, con acoplamiento a travé de reorte y elemento vicoo. Seupone que no hay rozamiento aociado con la uperficie. La uma de la fuerza en amba maa proporciona do ecuacione en término de do variable dependiente. v ( t ( t v M f B M ( t k

63 9. Ejemplo Sitema Mecánico de Tralación: Varia Maa f ( t ( ( t v M dv ( ( t v M fa f a M f b f b M dv M M t f k [ v ( t v ( t ] f ( 0 a = 0 [ ( t v ( t ] f b = B v

64 9. Ejemplo Sitema Mecánico de Tralación: Varia Maa f dv ( t ( t M B [ v ( t v ( t ] k [ v ( t v ( t ] f ( = 0 t [ v ( t v ( t ] k [ v ( t v ( t ] f ( B = 0 0 f ( t v ( t M dv M f a f b f a f b t 0 v ( t M M d dv M v ( t t 0 [ v ( t v ( t ] f ( 0 f a = k [ ( t v ( t ] f b = B v

65 0. Diagrama de Bloque El diagrama de un itema e una repreentación gráfica de la funcione realizada por cada componente y el flujo de la eñale de tal forma indica la relacione e interaccione de lo componente. En un diagrama de bloque toda la variante del itema on enlazada entre i a travé de bloque funcionale. Un bloque funcional e un ímbolo de la operación matemática que el bloque produce en la alida, obre la eñal que tienen a la entrada.

66 0. Diagrama de Bloque Unbloque funcional e un ímbolo de la operación matemática que el bloque produce en la alida, obre la eñal que tienen a la entrada. G ( = ( Salida Y = X ( Entrada X ( Y ( G(

67 0. Detector de error El detector de error produce una eñal que e la diferencia de entrada y la eñal de realimentación del itema de control. R ( C( El ímbolo poitivo o negativo en la punta de la flecha indica i la eñal ha e er umada o retada. E (

68 0. Diagrama de Bloque Un punto de bifurcación e el punto dede el cual la eñal de alida de uno o vario bloque e tomada y deviada hacia el punto de uma. ( R E ( H G( ( C(

69 0. Diagrama de Bloque La relación entre la eñal de realimentación B( yla eñal de error actuante E( ( e denomina función de tranferencia de lazo abierto. E( B( ( R E ( B( H G( ( Función de Tranferencia Lazo Abierto C(

70 0. Diagrama de Bloque B E B E C E R( E( B( H G( ( C( ( = G ( H ( = Funcion de Tranferencia de Lazo Abierto ( ( Senal de Realimentacion = G( H ( = ( Error actuante ( = G( Funcion de Tranferencia de Pao Directo (

71 0. Diagrama de Bloque La relación entre la alida C( y la eñal de error actuante E( e denomina función de tranferencia. R( E( G( C( B( H ( ( G( E( ( = R( B( ( H ( C( C = E B =

72 0. Diagrama de Bloque Senal de Entrada R ( E E( ( = R( B( G( C ( = G( E( B( H ( Realimentacion ( H ( C( B = C ( = G G ( ( H ( R(

73 . Sitema de Lazo Cerrado Sometido a una Perturbación N( R ( E ( C( ( ( G H Cuando un itema lineal etán preente do o ma eñale cada entrada puede er tratada id independientementedi t de la otra o e pueden umar la alida correpondiente a cada una de la entrada independiente para obtener la alida total. ( G

74 . Sitema de Lazo Cerrado Sometido a una Perturbación Sea C N ( la repueta producida olo por la perturbación. ( G ( = ( G ( G ( H ( C N N Por otra parte, ea C R ( la alida debido olamente a la entrada R(. C ( ( ( R G G = R G G H ( ( ( ( R

75 . Sitema de Lazo Cerrado Sometido a una Perturbación Finalmente, e tiene: C( = C ( C ( ( R G ( [ G ( R( N( ] G ( G ( H ( C = N

76 . Reducción de Diagrama de Bloque Se pueden conectar lo bloque en erie olamente i la alida de un bloque no e afectada por la del bloque iguiente. Sihay efecto de carga entre lo componente, e neceario combinarlo en un bloque único. Cualquier cantidad de bloque en cacada que repreenten componente in carga puede utituire con un olo bloque, cuya función de tranferencia ea implemente el producto de la funcione de tranferencia individuale.

77 . Reducción de Diagrama de Bloque La función de tranferencia puede er obtenida eliminando la alida y entrada intermedia. X ( X ( X ( 3 Por definición de conoce que: X ( ( G G X X ( = ( = X 3 ( ( De tal modo que e deea etimar una función de tranferencia correpondiente a la aociación de lo do bloque en cacada. X

78 . Reducción de Diagrama de Bloque X ( G ( = X X ( 3 X ( ( ( G ( G ( G = X ( 3 X ( X ( 3

79 . Reducción de Diagrama de Bloque Enelcaodeundiagramadebloquecomplicado (como on normalmente lo itema reale que contenga mucho lazo de realimentación, el proceo de implificación e realiza mediante un reordenamiento pao a pao mediante la regla del álgebra de lo diagrama de bloque. Alguna de eta regla importante aparecen en la Tabla iguiente, in embargo, toda on imple propiedade de eñale que on fácilmente deducible.

80 . Reducción de Diagrama de Bloque Diagrama de bloque original Diagrama de bloque equivalente A G AG B A B A G G AG B B B G G A G AG A G AG AG G AG A G AG A G AG A AG G A A G B A G A G G B G A G G B A G G G B

81 . Reducción de Diagrama de Bloque Se pueden repreentar en un único bloque cualquier cantidad de bloque en cacada que repreenten componente que no carga, cuya función de tranferencia e implemente el producto de la funcione de tranferencia individuale. Al implificar bloque e puede tomar en cuenta: El producto de la funcione de tranferencia en la dirección de alimentación directa debe mantenere contante. El producto de la funcione de tranferencia alrededor del lazo debe mantenere contante.

82 3. Ejemplo de Reducción de Bloque: Tomado de Ogata Conidere el itema que aparece repreentado en el iguiente diagrama de bloque. H R G G G3 C H

83 3. Ejemplo de Reducción de Bloque: Tomado de Ogata Se deea efectuar la reducción del diagrama de bloque. Inicialmente e procede a mover el punto de uma del lazo de realimentación negativa que contiene H, hacia fuera del lazo de realimentación poitiva que contiene H. H R G G G G 3 C H

84 3. Ejemplo de Reducción de Bloque: Tomado de Ogata Se procede a eliminar el lazo de realimentación poitiva e obtiene: H G R GG G G H G 3 C

85 3. Ejemplo de Reducción de Bloque: Tomado de Ogata La eliminación del lazo que contiene H /G l produce: R G G G 3 GG H GG3H C R G G G G H G G H G G G G C