Sistemas de orden superior

Transcripción

1 7 Sitema de orden uperior Hata ahora ólo e ha etudiado la repueta del régimen tranitorio de lo itema de primer y egundo orden imple. En ete capítulo e pretende analizar la evolución temporal de itema de orden uperior (tercero, cuarto, etc.). El procedimiento para coneguirlo erá a travé de la adición de lo polo y cero a una FDT imple. No obtante, hay apecto teórico que e han vito y que on aplicable con independencia del grado del itema. Aí, e etableció en el capítulo 5 que la etabilidad de lo itema LTI dependen de la ubicación de lo polo de la FDT del conjunto total (también denominado de la cadena cerrada i e realimentado), dentro del dominio complejo. Ademá, también e obervó que lo polo o raíce del polinomio caracterítico definen la evolución temporal del régimen tranitorio. En ete capítulo, e tratará de la adición de cero y polo, tanto en la cadena abierta como en cacada. Se deprenderá que éto también van a influir notablemente, tanto en la etabilidad, aí como en la evolución temporal de la eñal de alida. Otro apecto que e abordará erá la determinación de lo itema equivalente reducido, eto e, la búqueda de un modelo de menor grado que implifique el análii de lo equipo. Para coneguirlo e neceitará introducir el concepto de polo dominante. Dpto. Electrónica, Automática e Informática Indutrial 59

2 Capítulo 7: Sitema de orden uperior Apunte de Regulación Automática 7. Efecto de añadir polo y cero a la funcione de tranferencia Cuando e dice que e añade un polo o un cero en la cadena abierta, e etá haciendo referencia a que e tiene una etructura de realimentación negativa y e etá agregando el efecto del polo o del cero en la FDT de la planta o en la realimentación, eto e, en G() o en H(). Por eo, e dice que e en la cadena abierta, por que e la adición del efecto del polo o del cero cómo i e abriera el lazo de realimentación. En cambio, i el proceamiento del efecto añadido e hace en cacada con el itema total, e dice que e ha añadido un cero o un polo al conjunto total. Obérvee lo diagrama de la figura 7. para diferenciar en la adición en cadena abierta y en erie. + - G ( ) + T p G () ( +T z ) Figura 7.. a) Añadir un polo en la cadena abierta b) Añadir un cero en erie 7.. Adición de un polo en la cadena abierta La adición de un polo en la cadena abierta, tiende a que el itema en u conjunto ea má lento y pierda etabilidad. Una de la forma, para llegar a eta concluión, e a travé de la técnica del lugar de la raíce, LDR (ver capítulo ). Eta técnica decriben, mediante criterio gráfico, la raíce del polinomio caracterítico, +G()H(), a partir de la información de la cadena abierta. Lo reultado on lo polo de la cadena cerrada y por lo tanto definirán la etabilidad y el tipo de repueta temporal. Si a un itema ubamortiguado, por ejemplo el indicado en la figura 7., e le añade un polo en la cadena abierta, la rama del LDR (olucione del conjunto cerrado dependiente de la ganancia etática) e orientan hacia el emiplano poitivo. De ete efecto e concluye que el itema e hace má inetable y má lento. Con el fin de tener un marco de referencia idéntico e va a utilizar la mima planta piloto, facilitando la explicación de lo efecto de añadir lo polo y cero, tanto en la cadena abierta como cerrada. Se ha elegido un modelo de egundo orden imple y 6 Dpto. Electrónica, Automática e Informática Indutrial

3 Apunte de Regulación Automática Capítulo 7: Sitema de orden uperior ubamortiguado, con una frecuencia natural de [rad/], un factor de amortiguamiento de.5 y una ganancia etática unitaria. k ξ ω n ω n + T p Figura 7.. Efecto de añadir un polo en la cadena abierta. a) Diagrama a bloque, b)ldr in polo y con un polo con una contante de tiempo de.5 Comparando lo do LDR in y con polo añadido, figura 7.b, e oberva que a medida de que e aumente la ganancia etática, k, lo polo dominante del itema con polo añadido en la cadena abierta, e aproximan al eje imaginario, perdiendo etabilidad. Ademá, la frecuencia de amortiguamiento aumenta y diminuye la contante de amortiguamiento de lo polo dominante. El efecto upone que el ángulo de apertura de eto polo complejo y conjugado, e dirija hacia el emiplano poitivo, haciendo que el itema tenga mayor obreocilación hata alcanzar la inetabilidad. En la figura 7.3 e contempla la repueta ante la entrada en ecalón del conjunto realimentado, utilizando la planta referencia (ω n,ξ.5 y k), y variando la contante del polo añadido. Se oberva que la evolución má rápida e da cuando no hay polo añadido, T P. Por otro lado, mientra la contante del polo añadido eté má alejado del eje imaginario que lo polo complejo, lo polo dominante erá complejo conjugado y con mayor obreocilación. Si e hace elevada la contante de tiempo del polo añadido, por ejemplo T P 5, Amplitud T P T P.5 T P T P 5 Adición de un polo en la cadena abierta con Tp,.5,, y Tiempo () Figura Repueta al ecalón con un polo añadiendo en la cadena abierta Dpto. Electrónica, Automática e Informática Indutrial 6

4 Capítulo 7: Sitema de orden uperior Apunte de Regulación Automática la repueta dominante e vuelve obreamortiguada. 7.. Adición de un polo en erie Si e añade un polo en cacada, a medida de que aumente u contante de tiempo aociada, T p, el conjunto total e volverá má lento y obreamortiguado. n k + ξ + ω n ( + T ω P ) Figura Efecto de añadir un polo en erie En general, lo polo en erie o en cacada hacen que el itema ea má lento, ya que uponen un filtro pao bajo, atenuando la repueta del epectro de alta frecuencia. Eta componente frecuenciale etán relacionado con la rapidez del itema aunque también con el ruido. Por tanto, el itema erá má lento pero también erá má inmune a la perturbacione. Empleando la planta referencia (ω n,ξ.5 y k) y al añadirle en cacada un polo, e oberva que el itema e má rápido cuando no e le agrega, T p. Si la contante de tiempo del polo añadido aumenta, diminuirá la frecuencia de corte del filtro pao bajo, permitiendo ólo un proceamiento de la eñal de la componente má baja de la frecuencia. En el análii temporal ignificará que tenderá a er má obreamortiguado y má lento..4. θ arcco T p ( ξ ) T P T P.5 T P σ θ ω n Adición de un polo en la cadena cerrada con Tp,.5,, y 4 jω d Amplitud.8.6 T P T P Tiempo () Figura Repueta al ecalón de la planta referencia con un polo añadido en cacada 6 Dpto. Electrónica, Automática e Informática Indutrial

5 Apunte de Regulación Automática Capítulo 7: Sitema de orden uperior 7..3 Adición de un cero en la cadena abierta Lo cero en la cadena abierta hacen que el itema e vuelva má etable y má rápido. Ete efecto e oberva empleando el LDR. La rama on atraída hacia la ubicación del cero. Luego i el cero etá en el emiplano negativo, la rama e alejarán del emiplano poitivo y conecuentemente, el itema e volverá má etable y también má rápido. k ξ ω n ω n + T p Figura Efecto de añadir un cero en la cadena abierta. a) Diagrama a bloque, b)ldr in polo y con un cero con una contante de tiempo de.5 No obtante, un aumento demedido de la contante de tiempo del cero, T Z, provocará un aumento de la obreocilación. En la figura 7.6 e le ha añadido un cero en la cadena abierta a la planta de referencia. La alida del itema in el cero e má lenta que cuando e le ha añadido un cero con una contante de tiempo de.5 y de. Al aumentar exceivamente la contante de tiempo u comportamiento deja de er adecuado. Amplitud T z 5 T z T z.5 T z Adición de un cero en la cadena abierta con Tz,.5,, y Adición de un cero en erie Lo cero en erie tienen una componente predictiva o anticipadora como conecuencia de u efecto derivativo. En el 5 5 Tiempo (ec) Figura Repueta al ecalón unitario de la planta referencia al que e le ha añadido un cero en la cadena abierta dominio frecuencial, lo cero uponen una amplificación del epectro de la alta frecuencia. Por lo tanto e fácil de entender que ante una excitación el itema al que e Dpto. Electrónica, Automática e Informática Indutrial 63

6 Capítulo 7: Sitema de orden uperior Apunte de Regulación Automática le ha agregado el cero, la repueta erá con mayor obreocilación y con una diminución del tiempo de pico. Para u verificación conidéree un itema de egundo orden al que e le añade un cero de primer orden. Al conjunto e le aplica una entrada en ecalón. En tranformada de Laplace permitirá una decompoición en do fraccione: y * ( t ) ω n k + ξ + ω n ( ) + T z y(t) Y. ω n k + ξ + ω n + T z ω n k + ξ + ω n (7. ) Si e llama y * (t) a la repueta del itema in el cero, la alida del conjunto ante una entrada en ecalón erá: y * * ( t) y ( t) + T y ( t) z (7. ) La repueta e una combinación lineal entre la repueta del itema in el cero má la derivada de la repueta. Nótee por el teorema de la diferenciación que e el operador derivador repecto del tiempo. Suponiendo que el modelo ea el de referencia (ω n,ξ.5 y k), la alida ante una entrada en ecalón erá dada por la uma de u do parte. En la figura 7.8 queda reflejada la repueta del itema con el cero añadido en cacada. El tiempo de pico diminuye cuando e añade el cero, véae la evolución de y(t) y de y*(t). También e aprecia el carácter típico de la derivada de una eñal, la Amplitud Repueta ante una entrada en ecalon unitario con cero añadido en la cadena cerrada y(t) y*(t) Tz y*(t) tiempo (ec) Figura Repueta de la planta referencia al que e le ha añadido un cero con una contante de tiempo de.5 64 Dpto. Electrónica, Automática e Informática Indutrial

7 Apunte de Regulación Automática Capítulo 7: Sitema de orden uperior anticipación. La derivada de la eñal de alida, in el cero (T z ẏ *(t)), e predictiva repecto a y*(t). A la planta 3 referencia e le ha añadido vario cero en.5 erie, cuya contante de tiempo de lo cero e han hecho variar y e le han aplicado una entrada.5 en ecalón. En la figura 7.9 e nota que un aumento de la contante de tiempo, por.5 aplicación de la ec. 7., upone un incremento de la influencia de la componente derivativa. El conjunto preenta mayor obreocilación y una diminución del tiempo de pico. Amplitud T z T z T z Adición de un cero en la cadena cerrada con Tz,.5,, y 4 T z 4 T z Tiempo (ec) Figura 7. 9 Evolución de la planta con la adicción de un cero en la cadena cerrada La gráfica aquí obtenida de la repueta de la planta referencia ante la adición de polo y cero puede coneguirla a travé del iguiente código MATLAB: %Efecto de añadir polo en erie w ; %Frecuencia natural e.5; %Factor de amortiguamiento g tf(w^,[ *e*w w^]); tep(g,erie(g,tf(,[.5 ])),erie(g,tf(,[ ])),... erie(g,tf(,[ ])),erie(g,tf(,[4 ]))); title('adición de un polo en erie con Tp,.5,, y 4 '); paue; %Efecto de añadir polo en la cadena abierta tep(feedback(g,),feedback(erie(g,tf(,[.5 ])),),... feedback(erie(g,tf(,[ ])),),feedback(erie(g,tf(,[5 ])),)); title('adicion de un polo en la cadena abierta con Tp,.5,, y 5 '); paue; %Efecto de añadir cero en erie tep(g,erie(g,tf([.5 ],)),erie(g,tf([ ],)),... erie(g,tf([ ],)),erie(g,tf([4 ],))); title('adicion de un cero en erie con Tz,.5,, y 4 '); paue; %Efecto de añadir uncero en la cadena abierta tep(feedback(g,),feedback(erie(g,tf([.5 ],)),),... feedback(erie(g,tf([ ],)),),feedback(erie(g,tf([5 ],)),)); title('adicion de un cero en la cadena abierta con Tz,.5,, y 5 '); paue; Dpto. Electrónica, Automática e Informática Indutrial 65

8 Capítulo 7: Sitema de orden uperior Apunte de Regulación Automática 7. Sitema equivalente reducido Lo modelo de la planta, en la práctica, uelen uperar a lo itema de egundo orden. Sin embargo, la influencia de lo polo de la cadena cerrada no on todo de igual importancia. Aquello que etán má cerca del emiplano poitivo on má lento en u evolución temporal que otro orientado hacia el - del emiplano negativo. A lo polo má próximo al emiplano poitivo e le llama dominante y a lo otro polo inignificante. La regla práctica de claificación de uno obre otro depende de i el polo dominante e complejo conjugado o de primer orden. Si e complejo conjugado, debe de haber una ditancia obre el eje real de 5 a vece el valor de la contante de amortiguamiento, entre el polo dominante y el reto de lo polo. Para lo polo dominante de primer orden, el valor de la contante del polo dominante debe de er al meno 5 a vece mayor que el de lo polo inignificante. Región de polo inignificante d 5 a σ d o T d > 5 a T Región de polo dominante -σ d -/T -/T d Figura 7.. Regla para la determinación de la región de lo polo dominante La reducción del orden del itema implifica tanto la fae de análii como de dieño. En la práctica, e emplean la caracterítica dinámica de lo itema de primer o de egundo orden para definir lo requiito de dieño, aunque el itema ea de mayor orden. Dede luego no tiene entido hablar del coeficiente de amortiguamiento o de la frecuencia natural de un itema i e de tercer, cuarto o de orden uperior. El comportamiento de lo itema de orden elevado puede aproximare por otro equivalente de egundo o primer orden. La repueta del equivalente no e idéntica, no tiene tanto matice, pero e aproximan y e hace factible aplicar regla encilla tanto para la predicción de u comportamiento como para el dieño. Hay do forma de reducir el orden de un itema:. Por aplicación de la teoría de polo dominante. Lo polo ubicado en la región de inignificante pueden er eliminado.. Mediante la cancelación entre el efecto de un polo y un cero próximo entre í. 66 Dpto. Electrónica, Automática e Informática Indutrial

9 Apunte de Regulación Automática Capítulo 7: Sitema de orden uperior Una vez reducido el grado del polinomio caracterítico e ajutará la ganancia etática para que el comportamiento en el régimen permanente ea idéntico. Eta condición requiere que la ganancia etática ean idéntica, tanto la del reducido como la del modelo de la planta: limg limg eq (7. 3) Ejemplo 7. Dibujar la repueta aproximada al ecalón unitario de eto do itema a) G 3( + 5) ( + + 5)( + 3) b) G 3 ( + ) ( +.)( + + 5) a) Para el primer cao, la planta etá contituido por un polo complejo y conjugado, ±, y por un polo de primer orden, 3. No etán eparado, j 3 a una ditancia de 5 vece la contante de amortiguamiento del polo dominante. Sin embargo, el efecto del polo de primer orden y del cero e pueden cancelar. Si e hace la reducción, habrá diferencia entre la repueta de la planta y la de u equivalente, debido a la dicrepancia de contante de tiempo entre el polo y el cero a cancelar. El equivalente reducido etará determinado por el polo complejo conjugado y por una ganancia k * que mantenga la mima ganancia etática que la planta: G eq * 3k k G ( ) G ( ) G eq * eq El equivalente reducido e un itema de egundo orden imple, luego erá poible calcular u valore caracterítico de la evolución temporal: π t π t p 57 σ π. / M π p e.79 <>.79% π ϑ ϑ arctg. rad t r Lo reultado de la imulación en MATLAB hacen notar que la dicrepancia pueden er aceptable: Dpto. Electrónica, Automática e Informática Indutrial 67

10 Capítulo 7: Sitema de orden uperior Apunte de Regulación Automática.4. G eq () Repueta al ecalón G () Amplitud b) El egundo cao también e trata de un itema de tercer orden. Al decomponerlo en polo y cero la FDT, e oberva que el efecto del cero e puede compenar con el polo de contante de tiempo /.78: G 3 ( + ) ( +.)( + + 5) 3( + ) ( +.)( + 9.)( +.78) El reultado de eta reduciendo puede er implificado al analizar la ubicación del polo 9. repecto de.. Hay uficiente ditancia como para aplicar el concepto de polo dominante. Igualando la ganancia etática e tendrá el equivalente reducido: G eq k k 3 eq Geq G ( ) La repueta ante una entrada en ecalón e correponderá a un itema de primer orden, con ganancia y con un tiempo de etablecimiento de 3. La imulación muetra que no hay cai diferencia entre la planta y u equivalente reducida.. 68 Dpto. Electrónica, Automática e Informática Indutrial

11 Apunte de Regulación Automática Capítulo 7: Sitema de orden uperior Repueta al ecalón 8 6 G eq () 4 G () Amplitud Problema Problema M x En la figura e muetra un modelo de upenión de vehículo de tracción. Haciendo upoicione de implificación y de reparto del peo del coche obre la cuatro rueda. Se pide:. Conjunto de ecuacione algebrodiferenciale que decribe la dinámica del modelo implificado. y. Función de tranferencia entre el denivel del pavimento (caua), Y(), con el deplazamiento del chai (efecto), X(). 3. Obtener el equivalente reducido. 4. Empleando el modelo del apartado anterior, determinar la dinámica del chai ante una variación del afalto de cm. 5. Deducir i la repueta del equivalente reducido e má lenta o rápida que la del propio modelo. Dpto. Electrónica, Automática e Informática Indutrial 69

12 Capítulo 7: Sitema de orden uperior Apunte de Regulación Automática Dato El peo del vehículo e de una tonelada y la caracterítica del amortiguador etán dada por B 5 N/m y K N/m.. El modelo implificado de upenión del coche e: n ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Mg Mx t + K x t y t + B x t y t f t K x t y t + B x t y t. El conjunto de ecuacione requiere variacione alrededor del punto de repoo. Su FDT e: x y K + B +.5 M + B + K El equivalente reducido erá eliminado el cero de la cadena cerrada: M eq Determinado la frecuencia natural del equivalente y el coeficiente de amortiguamiento e determinará lo valore caracterítico de la repueta al ecalón: t 3.4 t p.8 M p 6.67% tr. 5. La repueta del modelo tendrá mayor obreocilación y el tiempo de pico diminuirá repecto al del equivalente reducido por añadir un cero en la cadena cerrada. Problema La figura muetra el modelo implificado de un telégrafo. Ante la recepción de un pulo eléctrico e produce una fuerza magnética M e(t) proporcional a la corriente de u bobina, originando un R, L deplazamiento en la palanca que provoca el movimiento de la maa del martillo, el cual B choca contra una campana, produciendo una onda onora. Sabiendo que la FDT e: l l x x M K B 7 Dpto. Electrónica, Automática e Informática Indutrial

13 Apunte de Regulación Automática Capítulo 7: Sitema de orden uperior ( ) x e l l l l l ( R + L) M + M + B + B + k l l l l l. Determinar la evolución de x (t) ante una entrada en ecalón de un voltio. Empléee un modelo equivalente implificado.. Repueta de la alida ante un impulo en la entrada. k p Dato Bobina: L mh, R Ω, k p.4 N/A, M g, B. N/m. Palanca: l 8 cm, l cm. Martillo: M g, B.8 N/m, K 6 N/m. Problema 3 Para la tralación horizontal de una cámara de vídeo pan-tilt e ha utilizado una cinta tranportadora. En el control e ha utilizado un motor de continua y una reductora. Se pide: ) Diagrama de bloque del itema ) FDT entre la velocidad de deplazamiento del carro y la tenión en el motor. 3) Si e le aplica una tenión de V al motor, determinar la evolución de la velocidad del carro, tanto gráficamente como analíticamente (aplíquee equivalente reducido). 4) Con la eñal recibida del anterior apartado, Cuánto e habrá deplazado, aproximadamente, la cámara depué de cinco egundo? Dato: Motor: Reitencia de armadura 7.94 Ω, Inductancia equivalente del flujo dipero.54 mh, Contante del par motor 39.3 mnm/a., Contante de la fuerza contralectromotriz > 43 rpm/v, Momento de inercia del rotor 6.6 gr cm Tren de engranaje: relación de tranmiión :98 Dpto. Electrónica, Automática e Informática Indutrial 7

14 Capítulo 7: Sitema de orden uperior Apunte de Regulación Automática Cinta tranportadora: Radio de la polea 5 mm, Peo de la cámara gr. Rozamiento vicoo equivalente de la polea - N.m./rad... La FDT entre la velocidad de deplazamiento del carro con la tenión del motor e: x u 6 ( ) ( + 58)( ) m 3. El equivalente reducido queda: ( ).38 ( ) ( ) x u m Ante una entrada de V, la velocidad de deplazamiento de carro igue la expreión analítica de: x 75.7t ( t).37( e ) Y la evolución de la velocidad del carro con el tiempo erá: 7 Dpto. Electrónica, Automática e Informática Indutrial

15 Apunte de Regulación Automática Capítulo 7: Sitema de orden uperior.35 Evolucion de la velocidad del carro.3 Sytem: untitled Final Value: [m/] tiempo (ec) 4. Como e ve en la gráfica, la velocidad del carro alcanza el régimen permanente en 4 m, por tanto, la velocidad e prácticamente contante y el epacio recorrido en 5 egundo erá.37[m/] x 5 [].585 [m]. Problema 4 Se utiliza un dipoitivo de ratreo digital de rayo X para inpeccionar tarjeta de circuito impreo, montado en una plataforma X-Y accionada por un tornillo, como e muetra en la figura a). La poición de la plataforma o referencia e calculada por un computador. La figura b) muetra el diagrama de bloque del control proporcional (G c ()K) de uno de lo eje de la plataforma. G p () repreenta la dinámica del motor y la plataforma. Para el itema realimentado de la figura b), caracterizar la evolución temporal de la alida ante una perturbación de ecalón unitario (puede coniderar un equivalente reducido). El regulador e de ganancia unitario. La FDT entre la alida y la perturbación erá: G P Y P ( + 4) ( + ) Por la proximidade entre el cero de -4 y el polo doble de - e podría obtener un equivalente reducido: Dpto. Electrónica, Automática e Informática Indutrial 73

16 Capítulo 7: Sitema de orden uperior Apunte de Regulación Automática G Peq ( + ) Ante una entrada en ecalón unitario de la perturbación, la evolución de la alida correponderá a: y t ( t) e Simulación entre la repueta real y la obtenida por el equivalente reducido: Problema 5 y ref (t) En la figura e muetra un itema de upenione activa para un vehículo. En paralelo con el cláico amortiguador paivo (con contante equivalente K, B), el itema activo utiliza un actuador hidroneumático, controlado a partir de la medida captada por la poición de la cabina. La fuerza del actuador e proporcional, k a, a la tenión recibida en la electrovalvula, u(t). La eñal muetrada de poición, y m, igue con ganancia k m al movimiento vertical de vehículo. El compenador e de tipo proporcional. Se pide: y(t) K poición x(t) y m (t) B rueda - Controlador M u(t) Fuerza actuador G c (). Conjunto de ecuacione algebro-diferenciale que decribe la dinámica del itema de control. 74 Dpto. Electrónica, Automática e Informática Indutrial

17 Apunte de Regulación Automática Capítulo 7: Sitema de orden uperior. Diagrama a bloque del itema linealizado alrededor del punto de repoo. y 3. Calcular la FDT x y el compenador e unitario., cuando la eñal de mando e nula y ( t) ref 4. Evolución temporal aproximada de la alida del apartado anterior ante un ecalón unitario como excitación. 5. Evaluar la mejora de la upenión activa repecto al itema cláico: excitar la entrada con un ecalón unitario y ver la evolución temporal con la upenión cláica y comparar lo reultado con el apartado anterior. Dato M 5 kg, B 5 N/m, KN/m, k a N/V, k m V/m La upenión activa queda definida por el iguiente conjunto de ecuacione algebro-diferenciale: ( ) ref ( ) m ( ) ( ) c ( ) ( ) a ( ) ( ) + ( ( ) ( )) + ( ( ) ( )) + ( ) ( ) ( ) e t y t y t u t k e t f t k u t Mg My t K y t x t B y t x t f t y t k y t m m El diagrama a bloque incremental del modelo etará definido por: Lo normal e que la eñal de referencia ea nula, eto e, preervando la poición inicial de la cabina. La FDT entre la variacione en camino, x, y la variacione de la cabina, y erá: y x Dpto. Electrónica, Automática e Informática Indutrial 75

18 Capítulo 7: Sitema de orden uperior Apunte de Regulación Automática La FDT in upenión activa e igual a: y x La diferencia entre el método cláico y el activo quedan reflejada ante una variación en ecalón unitario. Mientra que en el itema de upenión cláica, la cabina igue la irregularidade del camino, no ucede lo mimo con la activa. Obérvee que i e variae el compenador, la fuerza activa podría mantener la cabina, al cabo de un cierto tiempo, en poición de repoo. También reulta má rápido la repueta temporal del itema activo. Derecho de Autor 8 Carlo Platero Dueña. Permio para copiar, ditribuir y/o modificar ete documento bajo lo término de la Licencia de Documentación Libre GNU, Verión. o cualquier otra verión poterior publicada por la Free Software Foundation; in eccione invariante, in texto de la Cubierta Frontal, aí como el texto de la Cubierta Poterior. Una copia de la licencia e incluida en la ección titulada "Licencia de Documentación Libre GNU". La Licencia de documentación libre GNU (GNU Free Documentation Licene) e una licencia con copyleft para contenido abierto. Todo lo contenido de eto apunte etán cubierto por eta licencia. La verion. e encuentra en La traducción (no oficial) al catellano de la verión. e encuentra en 76 Dpto. Electrónica, Automática e Informática Indutrial