Capítulo 10: Técnicas del lugar de Raíces (LDR) (C-305)

Transcripción

1 Capítulo 0: Técnica del lugar de Raíce (LDR) (C-305)

2 Técnica del lugar de Raíce (LDR) La repueta del régimen tranitorio depende, mayoritariamente, de la ubicación de lo polo del lazo cerrado. Con el propóito de conocer lo polo de la cadena cerrada, in calcularlo analíticamente, e preenta una técnica gráfica que muetre u colocación en el dominio complejo, a partir de la información de la cadena abierta. Su importancia actual e el de ajutar el punto de funcionamiento de eto itema mediante la variación de algún parámetro intríneco, en general, la ganancia etática. X() + - E() k G() Y() H()

3 Imaginario Técnica del lugar de Raíce (LDR) La técnica del lugar de raíce muetra la infinita olucione del polinomio caracterítico de la cadena cerrada, +G()H(), a travé de una repreentación gráfica en el dominio complejo, empleando ólo la información de lo polo y cero de la cadena abierta. X() + - E() k H() G() Y() G( ) H( ) n n T k T 8 LDR del avion 6 θ e 4 0 θ Real

4 Ejemplo (rltool Matlab) X() + E() k G() - H() Y() θ e θ G( ) H( ) k T n n T Matlab >>GH=tf([ 0.5],[ 3-6 0]) >>rltool(gh)

5 Lugar de la raíce El método del lugar de la raíce, LDR, conite en un conjunto de regla mediante la cuale e puede determinar la poición de lo polo de la cadena cerrada, cuando uno o vario parámetro de la FDT del itema, en bucle abierto, varían dede - a +. Normalmente ete parámetro uele er la ganancia etática, k. Tipo: Trazado directo k 0 e invero k 0. Contorno de la raíce.

6 Fundamento Criterio del módulo y del argumento X() + E() G() - H() Ejemplo Y() G Polo GH GH Cadena GH M arg cerrada H G H q q 0,,,... G 0 Un punto pertenece al LDR i: X =-c d 3 d d O =-a X =-b G H 80 q q 0,,,... arg k k p p a b c p b p c d d a d Afortunadamente, el trazado del lugar de la raíce no requiere de la búqueda exhautiva de punto en el dominio complejo, ino que igue una erie de regla. p p 3

7 Regla para el trazado directo del lugar de la raíce (/4) Regla : Número de rama El número de rama del LDR e igual al número de polo de la cadena abierta. Regla : Punto de inicio y final Cada rama del LDR comienza en un polo de la cadena abierta, para el cual correponde con k=0, y termina en un cero de la mima, correpondiente a k=. Si el número de cero e inferior al de polo, exitirán un número de cero en el infinito complejo igual a la diferencia entre lo polo y cero en cadena abierta. Regla 3: Lugar de la raíce que etán en el eje real Un punto ituado obre el eje real pertenecerá al LDR, i el número de polo y cero contado dede la derecha hacia la izquierda, eto e, dede lo poitivo reale hacia lo negativo reale del dominio complejo, e un número impar de ello. Regla 4: Simetría El LDR e imétrico repecto del eje real.

8 Ejemplo 0. Trazado del LDR del iguiente itema de control R: Número de rama R: k=0 =- k=+ =-3 R3: Rama en el eje real Matlab >>g=tf([ 3],[ ]); >>rlocu(g)

9 Regla para el trazado directo del lugar de la raíce (/4) Regla 5: Ángulo de la aintótica La rama del LDR que terminan en el infinito complejo on aintótica a recta cuyo ángulo con el eje real vienen dado por la expreión: Regla 6: Centroide de la aíntota a q n m q 0,,,... La aíntota, la proveniente de la anterior regla, cortan al eje real en un punto ituado a una ditancia a del origen, dado por: a parte reale pologh n m parte realecerogh

10 Ejemplo 0. Calcular el LDR del equipo Peltier ometido a una realimentación unitaria.

11 Ejemplo 0. Calcular el LDR del equipo Peltier ometido a una realimentación unitaria. R: Número de rama. R: k=0 = k=0 = R3: LDR en el eje real entre y R4: Simetría repecto al eje real. q 3 R5: a, R6: a Matlab >>g=tf(0.045,poly([-.55,-.07])) >>rltool(g)

12 Regla para el trazado directo del lugar de la raíce (3/4) Regla 7: Ángulo de alida y de llegada para raíce compleja conjugada Lo ángulo de alida/llegada de lo polo/cero complejo de la cadena abierta forman una tangente a la correpondiente rama del LDR repecto el eje real que habrá de aplicar el criterio del argumento: Regla 9: Interección del LDR con el eje imaginario arg G H q q 0,,,... Lo punto de corte del LDR con el eje imaginario correponden a polo que hacen al itema críticamente etable, lo que implica la aparición de una fila de cero en la tabla de Routh.

13 Ejemplo 0.4. Determinar el LDR del iguiente itema de control R: Nº de rama 3 =- R: k=0 =-+j =--j R3: Rama en el eje real R4: Simetría con el eje real 5 R5: q a,, R6 : a Matlab >>g=tf(5,poly([-+i*,--i*])) >>h=tf(0,[ ]) >>rltool(g*h) R7: Ángulo de alida de lo polo complejo de la cadena abierta: q.? arctg 63.43º 6.56º R9: Lo polo para la ganancia crítica erán de ±j3. M 5k k k cr 6 50

14 Regla para el trazado directo del lugar de la raíce (4/4) Regla 8: Punto de diperión y confluencia Lo punto de diperión y confluencia erán la raíce de la derivada de k repecto a igualado a cero: B dk B' A BA' G( ) H( ) B ka 0 k 0 A d A Para polinomio caracterítico mayore al tercer orden un método iterativo e plantea. La alternativa e la iguiente ecuación: Regla 0: Valor de k i p z i j j j kg H 0 k G H n i m z j p i i

15 Ejemplo 0.3 Calcular el LDR para la etructura de realimentación indicada en la figura adjunta. R: Número de rama 3 S=- R: k=0 S=- S=-3 R3: Rama en el eje real R4: Simetría obre el eje real. q 5 R5: a,, R6: a 3 3 Matlab >>g=tf(3,poly([-,-])) >>h=tf(,[ 3]) >>rltool(g*h) R8: 3 d 3 d d R9: M d d d d d d d d k k 3 R0: k 3 La ganancia en el punto de diperión de la raíce erá: =-.4 k=0.8 d La ganancia crítica e de k= 0 d

16 Forma báica del LDR Sitema de primer orden Sitema de egundo orden

17 Adición de polo a un itema de egundo orden imple Lo polo de la CA repelen la rama del LDR

18 Adición de un cero a un itema de egundo orden imple Entrada k Ganancia (+a)(+b) Gp() Scope +c H() Lo cero de la CA atraen la rama del LDR

19 Práctica de laboratorio Calcular el LDR del equipo Peltier ometido a una realimentación unitaria.

20 Práctica de laboratorio

21 Amplitude Práctica de laboratorio u u e 3 u u e Lo polo on -0.55±j.065. El itema e ub-amortiguado, luego lo valore de lo punto caracterítico on:.4 Step Repone t 5.7 t.9 t.9 M 9.6% p r p Time (ec)

22 Regla para el trazado del lugar invero En el trazado de la rama del lugar invero de la raíce la ganancia de la cadena abierta reulta negativa y el criterio del argumento cambia 80º. 0 El criterio del modulo e mantiene, pero varía el del argumento. La regla que e modifican on la regla 3, 5 y 7. arg k H G H 360 q q 0,,,... G

23 Regla para el trazado invero del lugar de la raíce Regla 3: Comportamiento en el eje real Un punto ituado obre el eje real pertenecerá al lugar invero de la raíce, i el número de polo y cero contado dede la derecha, eto e, dede lo poitivo reale hacia lo negativo del dominio complejo, e un número par de ello. Regla 5: Ángulo de la aintótica q a n m q 0,,,... Regla 7: Ángulo de alida y de llegada arg G H q q 0,,,...

24 Sitema de fae no mínima Supóngae una planta obre-amortiguada modelada por Ziegler-Nichol que e le dé una realimentación unitaria: Entrada k Ganancia exp(-td*) (+/T) Gp() Scope La ganancia de la cadena abierta e aproximará por Pade a: G H Td k T d Td k T Td T T

25 Ejemplo 0.5 En el trabajo de campo, lo reultado del equipo de práctica Peltier ante una entrada en ecalón e caracteriza por un modelo de Ziegler-Nichol de planta obreamortiguada. La medida realizada dan un retardo aproximado de 4., el tiempo de etablecimiento e de 45 egundo y tiene una ganancia etática de.. Determinar el trazado del lugar de la raíce.

26 Ejemplo 0.5 G p R: Número rama R: k=0 =-0.5 = k= +0.5 R3: Rama del eje real R4: Simetría 360q R5 : a R6 : a a d R7: No e aplica. R8: Punto de diperión: d 0.5 d d c c 0.5 c c d.5.8 c

27 Ejemplo 0.5 G p R8: Punto de diperión: %%Symbolic toolbox >>ym >>k=(+.5)*(+.073)/(.09*(-.5)) >>diff(k,) >>pretty(diff(k,)) >>olve(diff(k,)) R9: +( k) k k k k k cr Lo polo para la ganancia crítica erán de ±j0.57

28 Ejercicio 0.4 La figura muetra, de forma báica, un itema de reconocimiento atronómico. En ella e puede ver cómo ete atélite etá formado por do bloque (unido por conexione no rígida), iendo el mayor de eto bloque el que contiene el itema de comunicación, propulión y fuente de alimentación; mientra que el otro bloque ólo contiene enore que deben etar ailado de la vibracione del primer bloque. Si la etructura metálica de conexión entre lo bloque e modelan por un reorte, K, y un rozamiento equivalente, B. Se pide:. Demotrar la FDT entre el giro del egundo bloque repecto al par dado en el bloque principal: T 3 3. Si el enor de poición del bloque egundo y el elemento de potencia tienen FDT unitaria, dibujar el diagrama a bloque del itema de control realimentado. 3. Determinar el trazado directo del lugar de la raíce del itema de control. 4. Y el trazado invero. T,

29 Ejercicio 0.4. El conjunto de ecuacione algebro-diferenciale que caracteriza la dinámica de rotación del atélite on:. t J t t B t t K t t B t t K t J t T J J K J B J J J B K T

30 Imaginary Axi Ejercicio Root Locu R: Nº de rama 4 R: k=0 (0,0,-3+j3) k= (-.97) R3: Rama en el eje real R4: Simetría con el eje real 5 R5: q a,, R6 : a 3 R7: Ángulo de alida de lo polo complejo de la cadena abierta: arctg 3 4 q. R8: Hay el punto de diperión de lo polo doble del origen y un punto de confluencia que e calculará de manera numérica: c c.97 c c c 4 3 c R9: D k.78 k La condicione de etabilidad on k>0, k<.8 y k<80. Por tanto, reulta etable entre 0 y Real Axi

31 Imaginary Axi Ejercicio 0.4 R3: Rama en el eje real q R5: a 0,, R7: Ángulo de alida de lo polo complejo de la cadena abierta: 6 3. q 4 0 Root Locu >>g=tf(.6*[.97],poly([0,0,-3-3*i,-3+3*i])) >>rltool(g) Real Axi

32 Examen (enero 07) Se ha introducido un encillo control de velocidad manejado por el uuario para el Airwheel de la figura. De manera implificada, y en condicione ideale in pendiente y para un peo de uuario medio, e ha obtenido un modelo del comportamiento del itema control-vehículo, tal y como e refleja en el diagrama de bloque. Se ha modelado ademá el efecto que provoca la pendiente del terreno obre la repueta en velocidad del itema. Se deea etudiar el efecto de la ganancia K de un controlador proporcional. Se pide:. Razonar mediante el uo del lugar de la raíce el efecto que tendrá la modificación del valor de K obre el tiempo de etablecimiento, la obreocilación, el régimen permanente y la etabilidad. Cuál e el valor máximo admiible de K para que el itema ea etable? NOTA: Para obtener el punto de diperión calcular y obtener la ecuación correpondiente in reolverla

33 Examen (enero 07)